1. SEMANA 3
PRODUCTOS NOTABLES
1.
8
m−n = 0 → m = n
8
m−p = 0 →m = p
8
p −m = 0 →p = m
2
Si
2
x
y
−
= 3( x − y ), halle
y
x
∴
x
C) 4−2
A) 16
B) 23
D) − 2−4
E) 16 −1 / 2
w=1
4.
4
x
y 
W =  x + y  ∀x ≠ 0, y ≠ 0
y
x 


y
Si:
x + 6 y + 6 z = 0, halle
4
B) 32
E) 8
A) 16 −1
D) 16
( x) + ( y) + ( z)
3
6
4
(
6
3
6
x +6y
3
6
6
2.
Si a − a
−12
= 1 , halle W = a + a
A)256
D)322
B)306
E)196
C) 343
∴
=
=
=
=
=
1
3
7
343
322
Si
8
Halle W =
2p
m +n +1
m4m + p2n + 1
∀m, np ∈ R +
A) mnp
C) mnp
E) 2−1
B)1
D) m + n + p
6
)
yz = 93 xyz
93 xyz − ( x + y + z)
2
4


 = 24 = 16 R



PTA.: D
5.
Si x = b + c − a
y = c +a−b
z = a+b−c
m − n + 8 m − p + 8 p − m = 0,
4n
z
2

 3
9 xyz − ( x + y + z )
W=
 93 xyz − ( x + y + z )


2
RPTA.: D
3.
= 36 xyz
3
xy + xz + yz =
RESOLUCIÓN
a² − 2 + a−2
a² + a−2
a4 + a−4
12
−12
a + a + 3(7)
a12 + a−12
3
6
2
12
6
) = (− z )
x + 3 xy ( − z ) + y = −
( x + y + z ) = (3 xyz )
x + y + z + 2( xy + xy +
RPTA.: A
−1
C) 18
RESOLUCIÓN


x = y ⇒ W =  xx + xx  = 16
x
x 


x
6
 93 xyz − ( x + y + z ) 
 , ∀x, y, z ∈ R − {0}
W=
 xy + xz + yz 


RESOLUCIÓN
x3 − y3 = 3xy( x − y )
( x − y )3 + 3xy( x − y ) = 3xy( x − y )
( x − y )3 = 0
x
RPTA.: B
Halle:
W=
x2yz + xy2z + xyz2
(b + c − a)( c + a − b)( a + b − c)( a + b + c )
x
A)
B) b + c − a
y
C) 2( y + z )
D)
1
abc
E) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
W=
xyz( x + y + z )
=1
xyz( a + b + c )
∧

2. A) 0,5
D) 0,25
x+y+z=a+b+c
RPTA.: E
6.
D ⇒ ( 2 + 1)( 2 − 1) = 22 − 1
5
8 + 2 −1 −
4
4
4
8 −

2 −1 



8−
2 +1
A) 343
D) 8 2
B) 4 2
E) 32
D⇒
f2 =
2 8 −2
8−
24 8 −
2
4
8−
2 +1
3
22
2
C) 32 2
(
.
.
−1
)(
)
N ⇒ 1 + 22 − 1 22 + 1
.
n
= 22
(2
4
−1
)(
8
)
−1
N 28
=
=1
D 28
=2
)
− 1 24 + 1
(2
2 +1
2 +1
N
22 = 22 = 28
8 − 2 +1
4
4
2N − 3
( 2 − 1) ( 2 + 1) = 2
RESOLUCIÓN
f2 =
C)4
RESOLUCIÓN
Simplificar:


W=


B)2
E)1
.
.
.
f2 = 2 ⇒ f = 2
∴
7.
5
W= 2
W =4 2
2256 − 1
RPTA.: B
N⇒
−1
−1
Si xy = 3 − x y, halle
9.
B)7
E)8
Operar: W = 3 1 +
A)1
D) 2 7
x y
+ =3
y x
x2 + y2 = 3xy
x2 + 2xy + y2 = 5xy
B)2
E) −2 3
W3 = 1 +
2 7
2 7
28
( W)
+1−
+ 33 1 −
27
3 3
3 3
W3 = 2 + 33 −
1
W
27
W3 = 2 − W
25x²y² + 3x²y²
w=
4x²y²
W3 + W = 2 ⇒ W = 1
RPTA.:B
W=
Simplificar:
32
2
n−3
(
10.
)(
)(
) (
)
1 + 3 22 + 1 24 + 1 28 + 1 ... 2128 + 1
(
)(
)(
)
1 + ( 2 + 1) 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ...n fact
2
C)3
RESOLUCIÓN
( x + y )2 = 5xy
( x + y ) 4 = 25x2y2
8.
2 7 3
2 7
+ 1−
3 3
3 3
C)-6
RESOLUCIÓN
⇒
2256 = 28
RPTA.: E
 ( x + y ) 4 + 3x2y2 

W=


4x2y2


A)11
D)4
32
4
8
RPTA.: A
−1
−1
−1
Si ( ab) + ( ac ) + (bc ) = −1 ,
Halle: W =
( a + 1)(b + 1)( c + 1)
( a − 1)(b − 1)( c − 1) ,

3. xy + xz + yz
1
=−
xyz
a
1 1 1
+ + = −a−1
z y x
x −1 + y −1 + z −1 = −a−1
∀a, b, c ≠ 0
A)1
D)
B)-1
1
abc
C)2
E) 2−1
RPTA.: C
12.
RESOLUCIÓN
Simplificar:
2
(x
)(
)
ab + bc + ac + 1
= −1
W=
− ( ab + bc + ac + 1)
2
2
+ 1 − 1 − x2048
A)1
D)-2
a + b + c + abc = 0
)
) )
¼
abc + ac + bc + c + ab + a + b + 1
W=
= −1
abc − ac − bc + c ± ab + a + b − 1
)
2
2
−2
C) 211
B) 0
E) 4096
RESOLUCIÓN
W=
( x − 1) ² ( x + 1) ² ( x² + 1) ² ( x 4 + 1) ²...
(x
1024
)
(
)
+ 1 ² − 1 − x2048 ² − 2
(
)
W = ( x² − 1) ² ( x² + 1) ² x + 1 ²...
(x
1024
RPTA.:B
11.
2
) (
1024
a + b + c = −abc
→
(
W = ( x − 1) ( x + 1) x2 + 1 x4 + 1 ...
1
1
1
+
+
= −1
ab ac bc
(
)
(
4
)
+ 1 ² − 1 − x2048 ² − 2
) (
)
4
4
W = x − 1 ² x + 1 ²...
Si
(1 + a x )( a + y) (1 + a z) = a + x + y + z
−1
−1
(x
1024
(
8
) (
(x
1024
Halle: x
+y
−1
−1
+ z , ∀ x, y, z ≠ 0
B) a−1
A)a
W=
C)
(
8
)
)
W = x − 1 ² x + 1 ²....
,
−1
)
+ 1 ² − 1 − x2048 ² − 2
(x
2048
)
(
)
+ 1 ² − 1 − x2048 ² − 2
)
(
)
− 1 ² − x2048 − 1 ² − 2
W = −2
− a−1
D) a2
RPTA.: D
E)1
RESOLUCIÓN
x
z


1 + a ÷ ( a + y ) 1 + a ÷ = a + x + y + z




( a + x )( a + y)( a + z) = a2 ( a + x + y + z)
a3 + a2 ( x + y + z ) + a( xy + xz + yz ) + xyz =
a3 + a2 ( x + y + z )
a( xy + xz + yz ) = −xyz
13.
Si n = ( a + b + c ) − 4( ab + bc + ac)
2
a + b2 + c2 + ab + ac + bc
y:
a 2 + b2 + c2 = 8
4
(
)
Halle:
n, a ≠ b ≠ c
A) 2 2
B)
C)2
D)4
E)8
2
2

4. RESOLUCIÓN
b2 c2 + a2 c2 + a2b2 + 2abc2 + 2ab2 c + 2a2bc = 0
a2 + b2 + c2 = x
b2 c 2 + a2 c 2 + a2b2 = −2abc( c + b + a)... (α)
ab + bc + ac = y
n = ( x + 2y ) − 4y( x + y )
2
2
Además:
2
n = x + 4xy + 4y − 4xy − 4y
n = x²
(
n = a2 + b2 + c
(a
2
n =
2
(a
2
)
2 2
+ b2 + c2
(
)
(α) ∧ (β )
)
2
(a
2
=8
RPTA.: E
14.
)
+ b2 + c2 = a4 + b4 + c4 + 2 a2b2 + a2c2 + b2c2 ...( β )
Operar:
3
3
2
W = ( a + b + c ) − ( a − b + c ) − 6b ( a + c ) − b2
Si: b = 0,5
1
A)1
B)2
C)
4
3
1
D)
E) 16 − 4
16
[
+ b2 + c 2
(a
2
]
)
= a4 + b 4 + c 4 + 2[ − 2abc( c + b + a) ]
2
+ b2 + c2
)
(a
2
(a
2
2
= a4 + b 4 + c 4 − 4abc( a + b + c ) ∴
+ b2 + c 2
)
2
+ b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ε=
(a
2
[a
2
+ b2 + c 2
)
)
2
2
+ b2 + c 2 + 2( ab + ac + bc )
3
2
3
2
3
(
=1
RPTA.: C
(
3
2
W = (n + b ) − (n − b ) − 6b n2 − b2
3
2
0
RESOLUCIÓN
a+c=n
]
)
W = n + 3n b + 3nb + b − n − 3n b + 3nb2 − b3
)
− 6bn2 + 6b3
W = 8b3
16.
¿Cuál es el intervalo de valores de
“α”, de modo que la ecuación
2x 2 − 2(α−1) x − 8 = 0,
tenga
raíces de distinto signo?
3
1
W = 8  = 1
2 
RPTA.: A
1
∞
A) 2 ,+
C)
B)
− ;+
2 ∞
D)
−∞ 2
;−
−6;
2
E)
15.
−1
Si a + b
Halle:
E=
−1
8;+
∞
+ c −1 = 0; a, b ∧ c ≠ 0,
a4 + b 4 + c 4 − 4abc( a + b + c )
( a + b + c) 4
RESOLUCIÓN
 2α − 1 
x2 − 
x − 4 = 0 ⇒ ∆ > 0
 2 
2
A) − 4abc
D)2
B)4abc
E)abc
RESOLUCIÓN
1 1 1
+ + =0
a b c
(bc + ac + ab) 2 = ( 0) 2
C)1
 2α − 1 

 + 16 = 0 ,
 2 
como
c<0,
presentan 2 posibilidades:
2α − 1
1
> 0 ⇒ 2α − 1 < 0 ⇒ α <
i) b > 0 ⇒ −
2
2
2α − 1
1
< 0 ⇒ 2a − 1 > 0 ⇒ α >
ii) b < 0 ⇒ −
2
2
se

5. En este caso una respuesta seria
1
1
x ∈ −∞;
∨
;∞
2
2
RPTA.:A
17.
Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:
2x + 13 =
x +3 + x +6
tiene la propiedad que su suma
es:
A)-14
D)-2
B)-7
E)7
19.
En la ecuación cuadrática:
ax 2 + bx + c = 0 afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual
a
su
producto,
entonces
b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
entonces 2b2 = 9ac
A) Las
3
afirmaciones
son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
C)-9
RESOLUCIÓN
2x + 13 = x + 3 + 2 ( x + 3)( x + 6) + x + 6
4 = 2 x 2 + 9x + 18
4 = x 2 + 9x + 18
0 = x 2 + 9x + 14
0 = ( x + 7)( x + 2)
RESOLUCIÓN
x= -7No cumple
x=-2 Si cumple
Únicamente
ecuación.
(-2)
satisface
la
RPTA.: D
18.
Sea A la suma de las raíces de
ax 2 + bx + c = 0 y B la suma de las
raíces
a
b
c
; P=
a
a
I. x1 + x 2 = x1.x 2
b c
− = ⇒ b + c = 0 (V)
a a
S=
II. x1 = −x 2 , pero x1 + x 2 = −
b
a
b
0=−
a
0 = b (V)
− x2 + x2 = −
( x + 1) 2 + b( x + 1) + c = 0 ,
entonces B-A es:
A)-2
D)1
B)-1
E)2
C)0
III. x1 = 2x 2 ⇒ x1 + x 2 = −
RESOLUCIÓN
b
c
b
x2 + x + = 0 ⇒ S = −
a
a
a
2
ax + 2ax + a + bx + b + c = 0
ax 2 + ( 2a + b) x + ( a + b + c ) = 0
 2a + b 
a + b + c
x2 + 
x + 
=0
a
 a 


2a + b
⇒S=−
a
b  b

∴B − A =  − 2 −  −  −  = −2
a  a

RPTA.: A
b
a
b
a
2x 2 + x 2 = −
b
a
b
a
b
x2 = −
3a
3x 2 = −
( x2 ) 2
 b 
= −

 3a 
2
x2 =
2
...........................(1)
b2
9a2

6. c
a
c
2x2 gx2 =
a
c
2x 2 =
2
a
Luego: x1.x 2 =
x2 =
2
c
...........................(2)
2a
De (1) y (2)
b²
c
=
9a² 2a
2b² = 9ac
RPTA.: A
20.
Si las ecuaciones cuadráticas:
2x 2 + ( m + 1) x + 3 − n = 0
3x 2 + (3n) x + m − 2 = 0
Son equivalentes, para
m ∧n ∈R, calcule n.
23
5
11
D)
9
A)
B)15
C)
15
7
E) 9
RESOLUCIÓN
2 m+1 3−n
=
=
3
3n
m−2
2m − 4 = 9 − 3n ∧ 6n = 3m + 3
13 − 3n
2
 13 − 3n 
6n = 3 
÷+ 3
2


m=
6n =
39 − 9n
+3
2
12n = 39 − 9n + 6
n=
15
7
RPTA. C

7. c
a
c
2x2 gx2 =
a
c
2x 2 =
2
a
Luego: x1.x 2 =
x2 =
2
c
...........................(2)
2a
De (1) y (2)
b²
c
=
9a² 2a
2b² = 9ac
RPTA.: A
20.
Si las ecuaciones cuadráticas:
2x 2 + ( m + 1) x + 3 − n = 0
3x 2 + (3n) x + m − 2 = 0
Son equivalentes, para
m ∧n ∈R, calcule n.
23
5
11
D)
9
A)
B)15
C)
15
7
E) 9
RESOLUCIÓN
2 m+1 3−n
=
=
3
3n
m−2
2m − 4 = 9 − 3n ∧ 6n = 3m + 3
13 − 3n
2
 13 − 3n 
6n = 3 
÷+ 3
2


m=
6n =
39 − 9n
+3
2
12n = 39 − 9n + 6
n=
15
7
RPTA. C