1. Métodos De Eliminación Gaussiana
Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
A.X = B
El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada
del sistema:
( AM B )
para obtener un sistema equivalente :
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + + a1n xn = b1
′ ′ ′
a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2′
M
′ ′
ann xn = bn
′
donde la notación aij se usa simplemente para denotar que el elemento aij cambió. Se
despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta
razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la
eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
 x1 + 2x2 + 3x3 = 1

4x1 + 5x2 + 6 x3 = −2
7 x + 8x + 10x = 5
 1 2 3
Usando el método de eliminación Gaussiana.
Solución._ Escalonamos la matriz aumentada del sistema:
1 2 3 1 
 ÷
 4 5 6 −2 ÷
 7 8 10 5 ÷
 

2. Multiplicando por (-4) fila 1 restando a la fila 2:
 1 2 3 1  −4F1 − F2 1 2 3 1 
 ÷  ÷
 4 5 6 −2 ÷ →  0 −3 −6 −6 ÷
 7 8 10 5 ÷  ÷
   7 8 10 5 
Multiplicando por (-7) fila 1 restando a la fila 3 Se tiene:
1 2 3 1  1 2 3 1 
 ÷  ÷
 0 −3 −6 −6 ÷ →  0 −3 −6 −6 ÷
 7 8 10 5 ÷−7 F + F  ÷
  1 3  0 −6 −11 −2 
Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:
1 2 3 1  1 2 3 1
 ÷  ÷
 0 −3 −6 −6 ÷F2 / −3 →  0 1 2 2÷
 7 8 10 5 ÷  ÷
   0 −6 −11 −2 
Multiplicando por (3) fila 1 sumando a la fila 3 se obtiene:
1 2 3 1 1 2 3 1 
 ÷  ÷
0 1 2 2÷ → 0 1 2 2 ÷
 0 −6 −11 −2 ÷6 F2 + F3  ÷
   0 0 1 10 
Por lo tanto, el sistema equivale a:
x1 + 2x2 + 3x3 = 1
x2 + 2x3 = 2
x3 = 10
De la última ecuación se tiene; sustituir este valor en la ecuación de arriba para obtener x3 = 10;
sustituir estos valores en la ecuación de arriba para obtener x2 = -18 x1 = 7.

3. Método de Gauss-Jordan
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en
el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones
elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones es
menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método computacionalmenteo bueno
cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos
simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.
En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la matriz y la
resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss -
Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas
con la misma matriz.
Descomposición LU
Factorización De Cholesky
Factorización de QR, Householder
Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos
Método de Gauss Seidel
El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones
suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. Es difícil definir el margen

4. mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y
es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de
valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor
absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es
mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la
convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como
sistema diagonal.
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una
hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados
arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero
afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el
coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente
más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores
supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita
que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos
valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben
utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando
la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se
ha completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular,
difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto error
seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.

5. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un
error = 0.001.
0,1x1 − 7,0x2 − 0,3x3 = 19,30

3,0x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85
0,3x − 0,2x − 10,0x = 71,40
 1 2 3
Solución : Primero ordenar las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los
coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
3,0x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85

0,1x1 − 7,0x2 − 0,3x3 = −19,30
0,3x − 0,2x − 10,0x = 71,40
 1 2 3
Despejar cada una de las variables sobre la diagonal:
7,850,1x2 + 0,2x3
x1 − =
3
−19,30 + 0,1x1 − 0,3x3
x2 =
7
71,40 − 0,3x1 + 0,2x2
x3 =
10
Suponer los valores iniciales x2 = 0 y x3 = 0 y calcular x1:
7,85
x1 − =
0
= 2,616666
3
Este valor junto con el de x3 se puede utilizar para obtener x2:
−19,30 + 0,1x1 − 0,3x3
x2 =
0
= −2,794523
7
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de x 1 y x2 calculados obteniendo:
−19,30 + 0,1 ( 2,616666 ) − 0,3 ( −2,794523 )
x3 =
0
= 7,005609
10
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

6. 7,85 + 0,1 ( −2,794523 ) − 0,2 ( 7,005609 )
x1 =
1
= 2,990556
3
−19,30 − 0,1 ( 2,990556 ) + 0,3 ( 7,005609 )
x2 =
1
= −2,499624
7
71,4 − 0,3 ( 2,990556 ) + 0,2 ( −2,499624 )
x3 =
1
= 7,000290
10
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración, se absoluto de
cada variable:
x1 − x1 = 2,990556 − 2,616666 = 0,373890
1 0
x2 − x2 = −2,794523 − ( −2,499524 ) = 0,294899
1 0
x3 − x3 = 7,005609 − 7,000290 = 0,005319
1 0
Como se observar, no cumple la condición:
xi1 − xi0 < error, siendo i = 1,2,3
Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para iteración. Se
repite el proceso:
7,85 + 0,1 ( −2,499624 ) − 0,2 ( 7,000290 )
x1 =
2
= 3,000031
3
−19,30 − 0,1 ( 3,000031) + 0,3 ( 7,000290 )
x2 =
2
= −2,499988
7
71,4 − 0,3 ( 3,000031) + 0,2 ( −2,499988 )
x3 =
2
= 6 ,999999
10
Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto)
x1 − x1 = 3,000031 − 2,990556 = 0,009475
2 1
x2 − x2 = −2,499988 − ( −2,499624 ) = 0,000364
2 1
x3 − x3 = 6 ,999999 − 7,000290 = 0,000291
2 1
Como se observa todavía no se cumple la condición
xi2 − xi1 < error, siendo i = 1,2,3
Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente
iteración. Se repite el proceso:

7. 7,85 + 0,1 ( −2,499988 ) − 0,2 ( 6 ,999999 )
x1 =
3
= 3,000000
3
−19,30 − 0,1 ( 3,000000 ) + 0,3 ( 6 ,999999 )
x2 =
3
= −2,500000
7
71,4 − 0,3 ( 3,000000 ) + 0,2 ( −2,500000 )
x3 =
3
= 7,000000
10
Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto)
x1 − x12 = 3,000000 − 3,000031 = 0,000031
3
x2 − x2 = −2,500000 − ( −2,499988 ) = 0,000012
3 2
x3 − x3 = 7,000000 − 6 ,999999 = 0,000001
3 2
Dado que se cumple la condición, el resultado es:
x1 = 3,0
x2 = −2,5
x3 = 7,0
Método de Jacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma
simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método
requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no
cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es
diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi
converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial X o. Partimos de una
aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos
estos valores en la ecuación:
(k)
Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x en función de
(k-1)
vector anterior x en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo; donde el a el
método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un conjunto
de las x anteriores (). De esta forma, como se generan nuevos valores, no se usan en
forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.