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La investigación de operaciones y el uso de modelos

En congruencia con lo que analizó en las Notas. La investigación de operaciones y
el uso de los modelos, el ejercicio tiene como finalidad que identifique problemas
de negocios en donde se utilicen modelos matemáticos, así como la investigación
de operaciones.

Instrucciones: Tomando como referencia la lectura de las notas, elabore lo que a
continuación se solicita.

1. Realice una búsqueda documental y electrónica acerca de los modelos
icónicos, análogos y simbólicos.

2. Enliste las características de cada modelo refiriendo las fuentes de información.

3. Describa en detalle tres ejemplos de su utilización en el ámbito de los negocios
(cite casos reales), por ejemplo: la fila de espera en un banco, las rutas de
distribución de una empresa de refrescos, la manera como se asignan los
horarios y los salones en una escuela, etcétera.

4. Con base en la información obtenida:
a. Elija cualquiera de los ejemplos descritos anteriormente.
b. Utilice alguno de los modelos que investigó, para representar dicho
ejemplo.
c. Realice lo siguiente:
– Justifique la elección del modelo utilizado. ¿Por qué ése y no otro?
– Indique si se puede utilizar los tres tipos de modelos para plantear la
situación o sólo uno. Justifique su respuesta.
– Indique si se pueden combinar dos o más tipos de modelos para el
planteamiento de la situación. Justifique su respuesta.

Planteamiento de modelos

Individual
Introducción



Después de haber realizado las lecturas de las notas y del libro de texto y tras haber
resuelto algunos ejercicios, cerramos esta unidad con la resolución de esta tarea
que permitirá consolidar las habilidades adquiridas y evaluar lo aprendido.

Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes planteamientos y realice lo que se solicita
en cada uno.

Construcción de modelos matemáticos

1. Del modelo que se describe a continuación, identifique: la función objetivo, las
variables de decisión, los parámetros, las restricciones de no negatividad y
determine a qué clase de modelos pertenece.

Minimizar Z = x1 - 2 x2 + 2 x3
Sujeto a: -2 x1 + x2 + x3  20
x1 + x2 + 2 x3  30
- x1 + 2 x2 + x3  24
x10; x20; x30

2. La empresa MADERAS DEL VALLE S.A., fabrica portarretratos, toalleros y muñecas
de madera. Para la fabricación de un portarretratos necesita dos piezas de
madera, un
bote de laca y tres botellas de pintura. Para la elaboración de un toallero se
requiere tres piezas de madera, dos metros de estambre, una botella de pintura
y un bote de laca.
En la fabricación de cada muñeca un bote de laca, dos piezas de madera, cuatro
metros de estambre y dos bote de pintura.

Mensualmente esta empresa cuenta con 8,000 botes de laca, 12,500 piezas de
madera, 14,000 metros de estambre y 21,000 botellas de pintura. Obtiene
$130.00 de utilidad por cada portarretrato, $140.00 por cada toallero y $150.00
por cada muñeca.

Con base en lo anterior plantee el modelo matemático de producción que
permita a esta empresa maximizar utilidades.

Planteamiento de modelos de optimización de recursos



3. El periódico Finamex es una publicación especializada en negocios y finanzas.
Por especificaciones técnicas de sus rotativas, sólo puede imprimir 150,000,
175,000 o 200,000 ejemplares. Por su parte, las ventas dependen del día. Los
lunes y viernes se venden alrededor de 200,000 ejemplares. Los martes y
jueves, 175,000 unidades, y los miércoles, 150,000. Cada periódico tiene un
precio de $6.00 y su costo total de producción es de $3.50. Los ejemplares que
no se venden el mismo día, regresan a Finamex, ya que la fábrica de papel los
compra a $0.30 cada uno. De esta manera se reprocesan los ejemplares no
utilizados.

Con base en la información anterior:

a. Construya un modelo matemático (en forma de tabla) en donde se muestre la
situación problemática descrita.
b. Si usted se viera obligado a producir el mismo número de ejemplares todos los
días (150,000; 175,000 o 200,000), por cuál alternativa se inclinaría si lo que
busca es que sus utilidades sean las máximas. (Evite resolver el modelo
matemáticamente, sólo guíese por su intuición).

4. Elabore una breve reflexión sobre la importancia de los temas revisados en esta
unidad para su desarrollo profesional y la forma en que los podrá aplicar.

Aplicaciones del criterio de utilidad esperada

Individual
Introducción

En esta unidad hemos analizado los elementos que intervienen en el proceso de
toma de decisiones. A continuación se presentan una serie de ejercicios
relacionados directamente con esos conceptos.

Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas considerando los datos que se
proporcionan.

1. Diseños innovadores es una empresa que se dedica a la producción de
vestidos y adquiere para la venta en sus sucursales ropa de exportación. Se
cuenta con la siguiente información: precio de venta = $680.00 y precio de



adquisición = $598.00. La siguiente tabla muestra el número de vestidos
vendidos por un número determinado de días:

NÚMERO DE DÍAS VESTIDOS VENDIDOS
15 58
25 65
40 96

Por políticas de calidad, la empresa dona los vestidos que no se venden en
determinado tiempo a una institución de asistencia social.


a. Determine la cantidad de vestidos que la empresa debe poner a la venta a
fin de lograr las máximas utilidades.

2. Arturo es un estudiante del turno vespertino. Entra a clase a las 17:30 y son
las 16:30, está indeciso sobre el tipo de transporte a usar para llegar a tiempo.
Le gustaría hacerlo lo antes posible para tomar un café. La siguiente tabla
muestra las opciones, así como su costo y duración promedios.

OPCIÓN DURACIÓN COSTO GRADO DE COMODIDAD UTILIDAD
Microbús 40 $ 4.00 50%

Metro 30 $ 2.50 30%

Taxi 25 $ 25.00 80%

Automóvil particular 30 $ 12.00 90%

Con base en la información anterior determine:

a. Qué decisión debe tomar según el criterio de tiempo de duración.
b. Cuál es la mejor opción según el costo.
c. Qué decisión tomaría si prioriza la comodidad del viaje.
d. Complete la última columna de la tabla definiendo como “utilidad” el
tiempo que le quedaría libre a Arturo para disfrutar el café.
e. Con base en esta columna indique cuál es ahora la mejor decisión.



3. Usted es un hombre de negocios y necesita elegir entre dos contratos para
realizar un proyecto de expansión de su empresa. La utilidad resultante, P(x),
en cada contrato es incierta. Los contratos se describen a continuación.

El primer contrato le ofrece las siguientes opciones con sus probabilidades de
ocurrencia de cada evento:

EVENTO X P(X)

Ganancia 0.30 $ 9’000,000.00

Ganancia 0.45 $ 6’000,000.00

Pérdida 0.25 $8’500,000.00

El segundo contrato le ofrece las siguientes opciones con sus probabilidades
de ocurrencia de cada evento:

EVENTO X P(X)
Ganancia 0.25 $ 7’500,000.00
Ganancia 0.60 $ 3’000,000.00
Pérdida 0.15 $ 5’000,000.00


a. Realice los cálculos necesarios a fin de que determine el contrato que le
pueda reportar un mayor beneficio esperado.

4. La compañía ABC está realizando los planes de inversión para el siguiente año
fiscal. Las decisiones de inversión de la compañía dependerán de la
predicción acerca de las condiciones económicas del país. El mercado de
valores puede encontrarse con una economía inestable, estable y mala. Las
ganancias de acuerdo a cada condición se muestran en la siguiente matriz de
decisión:

TASA TASA TASA
ESTADO DE LA NATURALEZA
PREFERENTE NORMAL CASTIGADA



Inestable $ 1,500.00 $ 1,200.00 $ 1,000.00

Estable 1,100.00 900.00 800.00

Mala 500.00 600.00 700.00

Si las probabilidades de las condiciones económicas, según el Banco de
México, son .50, .10 y .40, respectivamente, determine:

a. El beneficio esperado por la compañía.
b. Cuál de los dos proyectos reporta la mejor combinación de riesgo y
rendimiento.

Aplicación de Excel

Individual

Introducción

En esta tarea se pretende que el estudiante integre todas las etapas de la solución
de problemas de asignación de programación lineal a través del uso del Excel. Para
esto se plantea un caso en el que tendrá que utilizar todos los elementos
constitutivos
de la unidad.

Instrucciones: Resuelva el siguiente caso tomando como referencia los datos que se
proporcionan.

Caso

Una empresa de cosmetología ha lanzado al mercado dos paquetes de cosméticos:
el básico y el de lujo. El paquete básico contiene: un lápiz labial, dos sombras, dos
maquillajes y un delineador; el paquete de lujo incluye tres piezas de lápiz labial,
una sombra, dos maquillajes y un delineador.



Los costos de los cosméticos que conforman los paquetes son:

COSMÉTICO COSTO POR PIEZA
Lápiz labial $100.00
Sombras $150.00
Maquillaje $200.00
Delineador $120.00

Para la elaboración de estos paquetes de cosméticos esta empresa dispone
semanalmente de seis cajas de lápiz labial con 100 piezas cada una, 400 sombras,
800 estuches de maquillaje y 500 delineadores.

Estudios de mercado realizados indican que pueden venderse semanalmente hasta
100 paquetes básicos y por lo menos 100 paquetes de lujo. Los precios de venta
recomendados son $1,400.00 para el paquete básico y $1,500.00 para el de lujo.

Con base a la información anterior, el dueño de la empresa solicita su ayuda para
determinar cuál seria la mezcla que maximiza la utilidad, para ello es necesario que
realice lo siguiente:

– Elabore el planteamiento del problema a través de un modelo de programación
lineal.

– Solucione el modelo en Excel, interpretando los resultados obtenidos.

– Encuentre los precios de sombra (o precios duales). Utilice el método gráfico.
Nota: Esto lo ayudará a comprender mejor la situación al modificar los lados
derechos de las restricciones y así encontrar la sensibilidad de estos cambios
en la función objetivo.

– Tome en cuenta el análisis de sensibilidad obtenido en Excel y vuelva a correr el
modelo matemático (en Excel) para indagar cómo cambia la solución si se
sobrepasan los límites hacia arriba y hacia debajo de los lados derechos de las
restricciones y de los coeficientes de la función objetivo. Ya que son cuatro
recursos los que se usan en este problema y dos paquetes de cosméticos,
usted deberá hacer 12 corridas del modelo matemático, ya que modificará cada



parámetro dos veces, uno hacia arriba y el otro hacia abajo. Haga una tabla
resumen señalando los cambios hechos y el cambio observado en la solución.
Además de esta tabla entregue una copia en papel o archivo digital, según
indicaciones de su docente/asesor, de las corridas obtenidas con Excel. No es
necesario solicitar el análisis de sensibilidad a los programas de cómputo para
estas 12 corridas. Sólo interesa ver cómo queda la solución.

– Elabore un breve informe dirigido al dueño de la empresa en el que le indique la
mezcla que maximiza la utilidad. (Es necesario entregar junto con el informe, el
archivo de Excel en donde se visualice el procedimiento utilizado para resolver el
caso).

Estados estables

Por M.A. Fís. Jorge Rivera Hernández

Introducción

En los ejercicios anteriores se ha observado que cuando se calculan varios pasos de una
cadena de Markov, los resultados parecen converger en un valor. Asegurar que esta
convergencia es real y tener un método para calcularla, es de gran relevancia en
cualquier situación.

Pensemos, por ejemplo, en el caso de dos o más empresas que compiten con un
producto similar para dominar cierto mercado. La transferencia de consumidores de una
marca a otra se da de una manera continua, aun cuando haya consumidores fieles a la
marca. Sin embargo, a la larga, es posible llegar a una situación estable en la que la
pérdida de clientes es compensada por la llegada de otros provenientes de las otras
marcas. Cuando se alcanza esta estabilidad, se llega a la penetración del mercado de
cada marca, que no es más que el porcentaje del mercado dominado por cada una de
éstas.

Calcular la solución de estabilidad de una cadena de Markov es relativamente simple. Ya
se ha visto que las soluciones sucesivas de una cadena se obtienen multiplicando la
matriz de transición por la matriz solución actual, esto es:

X1 = PX 0

X 2 = PX1 = P 2 X 0

X 3 = PX 2 = P 3 X 0

X = PX = P X n n-1
n
0


A partir de que se obtenga la solución estable debe ser cierto que:

X = PX
Es decir, la solución ya no cambiará en los periodos siguientes. Dado que P y X son
matrices, despejando la matriz X se obtiene:

X (I – P) = 0

Esta ecuación matricial da lugar a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas,
siendo n el número de estados de la cadena de Markov. Este conjunto de ecuaciones no
es linealmente independiente, sino que una de ellas es combinación lineal de las otras,
por lo cual debe sustituirse por otra ecuación que permita resolver el problema.

Esta ecuación es la siguiente:

= N 
n
 Xi = 1 o
i=1

Si las variables Xi son probabilidades, la suma anterior debe ser 1, pero si Xi se refiere al
número de elementos de la población en estudio, entonces la suma debe ser igual al
tamaño de la población, N.

Los ejercicios tienen como finalidad que ejercite el método para hallar la solución estable
de una cadena de Markov e identificar algunas posibles aplicaciones de este tema.

Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes ejercicios y resuelva con claridad lo que
se solicita. Puede apoyarse en la hoja de cálculo Excel para realizar las multiplicaciones
matriciales y la resolución de los sistemas de ecuaciones que resulten, usando para este
efecto el método de la matriz inversa o el de determinantes.

1. En una población existen tres marcas de jabón en polvo para ropa que pelean el
dominio del mercado. Para simplificar llamaremos a dichas marcas A, B y C. Un
estudio de mercado realizado por la marca A permitió conocer las características de
consumo de esta población. Se descubrió que el 85% de los consumidores de A
estarían dispuestos a volverla a comprar, el 10% compraría la B y el 5% restante la C.



Respecto a la marca B, el 90% la volvería a comprar, el 8% cambiaría a la A y el 2%
restante compraría la C. Por último, de los consumidores de la marca C, el 80% la
volvería a comprar, el 11% compraría la A y 9% la B.

Se estima que actualmente la marca A tiene 10,000 consumidores, la B 8,000 y la C
12,000. Con base en esta información, determine:

a. La matriz de transición correspondiente.

b. La configuración de consumidores durante los próximos ocho periodos de
compra.

c. La configuración final estable de consumidores. ¿Con qué porcentaje del mercado
se ha quedado cada marca al final? Es decir, ¿cuál es su penetración del
mercado?

2. Otra forma de abordar los problemas de evolución de una marca en su penetración de
mercado, es analizando la probabilidad de que un consumidor se mantenga fiel a la
marca o cambie a otras. En estos casos, en lugar de iniciar con un conjunto de
consumidores, se inicia con uno solo y se analiza la evolución interpretando las
fracciones obtenidas como la probabilidad de que el consumidor esté en esas marcas.
Con base a los datos del problema anterior, determine:

a. La probabilidad de que un consumidor de la marca A la siga consumiendo
después de cinco periodos. En este caso la matriz inicial de consumidores es: (1,
0, 0).

b. La probabilidad de que un consumidor de la marca B le siga siendo fiel a ésta
después de cinco periodos. El vector o matriz inicial de consumidores es (0. 1. 0).

c. ¿Cuál será la probabilidad de fidelidad para la marca C? La matriz de
consumidores iniciales sería: (0, 0, 1)

d. Aplique estos porcentajes al número de consumidores iniciales que tenía cada
marca del ejemplo anterior. ¿Por qué no coinciden los resultados del quinto
periodo?

3. Dos marcas dominan el mercado de refrescos de toronja. Los mercadólogos han
logrado establecer la matriz de transición entre estas marcas:

 0.90 0.10 
P = 
www.maestronline.com  0.12 0.88 


Con base en la información anterior, determine:

a. ¿Cuál es la penetración de mercado de estas marcas? Es decir, ¿cuál es el
porcentaje del mercado que tiene cada marca en la situación final de equilibrio?

b. Si el mercado consistía de 40,000 consumidores, ¿cuántos posee cada marca al
final?

c. Supóngase que aparece una tercera marca. La siguiente tabla muestra el
porcentaje de transferencias de consumidores de una marca a las otras. ¿Cuál
será ahora la penetración del mercado?

A:
A B C
A 85% 8 % 7 %

De: B 10% 83% 7 %
C 12% 13% 75%

4. El mercado de sopas instantáneas está dominado por tres marcas: A, B, y C. La
siguiente tabla muestra los porcentajes de consumidores que se transfieren de
marcas en cada periodo. La marca A tiene 50,000 consumidores, la marca B 30,000 y
la marca C 20,000.

A:
A B C
A 92% 5 % 3 %

De: B 10% 80% 10%
C 6% 8 % 86%

Con base en la información anterior, determine:

a. ¿Cuál es la penetración del mercado para cada marca?



b. ¿Con cuántos consumidores terminan en la condición de equilibrio?

c. ¿Cuál será el número de consumidores finales si la marca A inicia con los
100,000 consumidores y las demás en cero?

d. ¿Cómo será la distribución de consumidores si la marca A inicia en cero y las
demás con 50,000 consumidores cada una?

e. Elabore en Excel la distribución de consumidores para los primeros 10 periodos
en las condiciones de los incisos c y d anteriores y compare el comportamiento de
ambas series o cadenas de Markov. ¿Parecen tender hacia el mismo límite?
¿Depende el estado final estable de la situación inicial?

Procesos Markovianos finitos

Por M.A., Fís. Jorge Rivera Hernández

Introducción

Aunque hemos visto la forma de obtener la solución del estado estable de una
cadena de Markov, eso no significa que se llegue a dicha solución en unos cuantos
pasos de la cadena. De hecho, como se revisó en los ejercicios anteriores, incluso
ni después de 10 o más pasos del proceso se veía una tendencia clara de la
solución estable del proceso markoviano. De hecho, dado que siempre queda una
cantidad de probabilidad por transferir entre los diferentes estados del proceso, el
número de etapas para llegar al resultado final estable se torna infinito.

El concepto de finitud de una cadena no tiene que ver con el número de
transiciones para llegar al estado estable, sino con el número de estados posibles
en que puede estar el sistema. Si los estados en que puede estar un sistema son:
S1, S2, S3,…, Sn donde n es un número finito, entonces la cadena es finita.

De los diferentes procesos que puede tener una cadena markoviana, sobresalen
dos como casos especiales. Se trata del proceso que posee un estado absorbente,
lo que significa que tarde o temprano dicho estado terminará por “comerse” toda la
probabilidad y el estado final estable será cuando el estado absorbente tenga el
100% de probabilidad de que el sistema se encuentre en él. La probabilidad de estar
en cualquiera de los otros estados es naturalmente cero. Si el proceso se refiere a
la transferencia de clientes de una marca a otra, el estado absorbente se “come” a
todos los consumidores y la marca correspondiente se queda con el 100% del



mercado. Este proceso de absorción puede darse por concluido cuando el número
de consumidores de las otras marcas sea menor de uno, ya que deben tener un
número entero de consumidores.

El otro proceso es el que se conoce como cíclico, porque en el estado final de
equilibrio, el sistema termina con una secuencia predecible de transferencia entre
estados.
Otro tipo de proceso que reviste cierto interés es cuando existen dos o más
estados absorbentes. Cualquiera de ellos puede constituirse en el estado final de
equilibrio, y la probabilidad de llegar a serlo depende del estado inicial del proceso
markoviano.

Supongamos que el estado k es absorbente, entonces, si el proceso inicia en el
estado k, jamás saldrá de él. Para analizar la probabilidad de que el estado k se
constituya en el estado final de equilibrio, debe suponerse que no se inicia en él ni
en ningún otro estado absorbente. Para que tenga sentido el problema, debe
iniciarse en un estado no absorbente.

Es posible demostrar que la probabilidad que tiene una cadena de Markov de
terminar en el estado absorbente k, partiendo del estado no absorbente i, (Pi k),
satisface la siguiente ecuación:

Ecuación 1

1 - pi i  Pi k = pi k +  pi j Pj k
j i

Donde Pj k = 0 si j es un estado absorbente P

Armando todas las ecuaciones correspondientes a todos los estados no
absorbentes i, se llega a un sistema de ecuaciones que permite calcular la
probabilidad de terminar en el estado absorbente k si se inició en el estado no
absorbente i.

Tiempo de primera pasada

Este es un concepto útil en el estudio de la duración de un proceso. Se define como
el número de transiciones para que el proceso vaya por primera vez del estado i al
estado j. En el caso especial en que i = j, estaríamos calculando el tiempo de
recurrencia del estado i, es decir, el tiempo que necesita para regresar a sí mismo.
Conocer este tiempo de recurrencia, medido como número de transiciones, es de
interés cuando el estado es absorbente o parte de una secuencia cíclica.



Para calcular los tiempos esperados de primera pasada de todos los estados de
una cadena markoviana, tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones
simultáneas:

Ecuación 2

 i j = 1+  p i k  k j
k j

Donde  i j son los tiempos esperados de primera pasada, desde el estado i hasta el
estado j, y los p i j son los elementos de la matriz de transición, es decir, la
probabilidad de que el sistema vaya del estado i al estado j.

En la literatura se demuestra que si  j es la probabilidad que tiene el estado j en la
situación estable, entonces esta probabilidad es igual al inverso del tiempo de
recurrencia, esto es:

Fórmulas

 j= 1 j = 1, 2,…n
 jj

Siendo n el número de estados posibles de un sistema.

Estos ejercicios tienen como finalidad que practique los conceptos anteriores,
relacionados con la duración de un proceso markoviano antes de llegar al estado
de equilibrio. Si bien es cierto que el número de transiciones es infinito, en el caso
de las cadenas de Markov irreducibles y ergódicas, es decir, con estados
recurrentes y no periódicos, si los estados de la cadena de Markov presentan
estados cíclicos o absorbentes, se puede pronosticar cierto comportamiento en un
número finito de transiciones.

Instrucciones: Lea detenidamente los siguientes ejercicios y resuelva con claridad lo
que se solicita. Puede apoyarse en la hoja de cálculo Excel. Recuerde que con esta
hoja de cálculo pueden realizarse multiplicaciones matriciales y programarse la
solución de sistemas de ecuaciones.

1. Consideremos el caso de tres compañías telefónicas que operan en un estado
benevolente con las grandes compañías, permitiéndoles monopolizar los servicios.
Llamaremos a estas telefónicas T, U y V. La siguiente tabla muestra el número de



consumidores que actualmente posee cada compañía y los porcentajes de sus
clientes que se quedan o cambian a las otras. La compañía T acapara prácticamente
toda la infraestructura del estado en materia de comunicación, lo que le permite
disminuir notablemente sus gastos operativos y por lo tanto ofrecer tarifas de telefonía
extremadamente bajas, lo cual hace prácticamente inexistente cualquier competencia
de las compañías U y V, que están viendo notablemente disminuida su clientela en
cada estado de resultados.

A:
T U V
T 1 0 0

De: U 0.3 0.6 0.1
V 0.4 0.1 0.5

Con base en esta información:

a. Construya la matriz de transición, ¿detecta algún estado absorbente?
b. Estudie la cadena de Markov correspondiente hasta 15 pasos adelante. Observe
que el pez grande se come al chico. De las 15 transiciones, ¿habrá alguna en la
que ya se dé por concluido el proceso? Es decir, ¿en alguno de los pasos las
compañías U y V se han quedado con menos de un cliente? Suponga que la
compañía T tiene 20 millones de clientes, la compañía U 6 millones y la V 2
millones.
c. Calcule mediante el método matricial la situación final de equilibrio y verifique que
en verdad el estado absorbente termina por quedarse con el 100% del mercado.

2. La burocracia puede generar malas experiencias. La siguiente tabla muestra la matriz
de transición entre cuatro departamentos de una oficina de gobierno que se encarga
de autorizar la apertura de pymes.

ASESORÍA REVISIÓN DOCUMENTACIÓN AUTORIZACIÓN
Asesoría 0.1 0.2 0.2 0.5
Revisión 0 1 0 0
Documentación 0.3 0.4 0.1 0.2
Autorización 0 0 0 1

Observamos que existen dos estados absorbentes, revisión y autorización. Este
último implica los permisos para iniciar el negocio, pero si tenemos la mala
suerte de caer en el departamento de revisión, los trámites quedarán
estancados, a menos que hagamos algo por cambiar las probabilidades de



transición, pero en este caso estaremos en otra cadena de Markov. Los estados
de asesoría y documentación no son absorbentes.

Llamaremos a estos estados 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Utilice la ecuación 1
presentada al principio de esta parte del cuaderno para determinar:

a. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 1, termine estancado en
el estado 2.

b. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 1, termine en el estado
4.

c. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 3, termine estancado en
el estado 2.

d. La probabilidad de que un trámite que inicia en el estado 3, termine en el estado
4.

3. Consideremos la siguiente tabla de transferencia porcentual entre 3 estados.

A:
A: B C
A 0.5 0.3 0.2

De: B 0.2 0.7 0.1
C 0.2 0.2 0.6

Con base en estos datos:

a. Determine la probabilidad de estar en estos estados en la solución estable.

b. Utilice las 2 ecuaciones presentadas al inicio de esta parte del cuaderno, para
determinar los tiempos esperados de primera pasada para cada uno de estos
estados.

c. Usando los cálculos de los dos incisos anteriores, compruebe la veracidad de las
fórmulas presentadas al principio de esta parte del cuaderno.



4. Una brigada de reparación de asfalto utiliza taladros para levantar el piso. Al terminar
la jornada, envía los taladros dañados al taller para su reparación o mantenimiento. El
resto de los taladros los manda al almacén. En la creencia de que todos los
empleados se conocían, se eliminaron las órdenes de trabajo que se intercambiaban
el taller y el almacén. Actualmente, el almacenista cree que todos los taladros que le
llegan son para enviarlos al taller para su mantenimiento, y al revés, cuando el taller
termina el mantenimiento, envía los taladros al almacén bajo el supuesto de que ellos
se encargarán de distribuirlos. La siguiente tabla muestra los porcentajes de taladros
que se envían de un lado a otro:

A:
BRIGADA TALLER ALMACÉN
Brigada 0 0.3 0.7
De: Taller 0 0 1
Almacén 0 1 0


a. Elabore la matriz de transición.

b. Si la brigada inicia el primer estado con 100 taladros, construya los
siguientes 10 estados para ver la historia de éstos.

c. Inicie ahora con los 100 taladros pero en el almacén, ¿qué le está
ocurriendo a los taladros?



Respuestas

Ejercicio 1

a. La matriz de transición es la siguiente:

T U V
T 1 0 0
U 0.3 0.6 0.1
V 0.4 0.1 0.5

Observamos que el estado T es absorbente.

b. La historia de la transferencia de clientes entre las telefónicas, durante los
primeros 15 pasos, es la siguiente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
T 20000000 22600000 24380000 25584000 26392200 26932060 27291528 27530383.4 27688878.62
U 6000000 3800000 2440000 1582000 1032600 677080 445334 293514.2 193718.76
V 2000000 1600000 1180000 834000 575200 390860 263138 176102.4 117402.62

10 11 12 13 14 15
T 27793955.3 27863576.03 27909686.59 27940218.2 27960430.91 27973811
U 127971.518 84590.2294 55937.51212 37000.09681 24478.22797 16196
V 78073.186 51833.7448 34375.89534 22781.69888 15090.85912 9993

Vemos que en el paso 15 la compañía V ha perdido clientes de manera
dramática ya que de los 2 millones de abonados sólo le quedan 9,993. Si
llegáramos hasta el paso 37 a 41, la historia seguiría como se muestra a
continuación:

37 38 39 40 41
T 27999997 27999998 27999998.7 27999999.1 27999999.4
U 1.84182794 1.21892797 0.80669066 0.53387062 0.35331739
V 1.13831205 0.75333882 0.49856221 0.32995017 0.21836215



Aun cuando pudiéramos redondear, la compañía V se ha quedado sin clientes
en el periodo 37 y la compañía U lo hará en el periodo 39.

c. Usando el método matricial para representar y hallar la solución final estable, se
obtiene que, en efecto, la compañía T se queda con el 100% del mercado.

T 28000000
U 0
V 0

Ejercicio 2

La fórmula a utilizar es la siguiente:

1- pi i  Pi k = pi k + p
j i
i j Pj k

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad de terminar en el estado
absorbente k partiendo del estado no absorbente i. Además Pjk = 0 si j es un estado
absorbente.

En el problema tenemos los estados absorbentes revisión y autorización y dos
estados no absorbentes. Tenemos que calcular la probabilidad de ir de los estados
no absorbentes a los absorbentes. Para mayor facilidad, nos referiremos a estos
estados con un número, como se muestra a continuación:

Asesoría 1
Revisión 2 Absorbente
Documentación 3
Autorización 4 Absorbente

También necesitamos conocer la probabilidad de ir de un estado al otro, lo cual
está en la matriz de transición:



p11 p12 p13 p14 0.1 0.2 0.2 0.5
p21 p22 p23 p24 = 0 1 0 0
p31 p32 p33 p34 0.3 0.4 0.1 0.2
p41 p42 p43 p44 0 0 0 1

Calculemos la probabilidad de terminar en el estado 2 (puede ser desde el estado 1
o desde el estado 3):

Partiendo del estado 1: i = 1 k = 2 j diferente de i = 1

(1 - p11) P12 = p12 + Suma (p1j Pj2) donde j diferente de 1
(1 - p11) P12 = p12 + p12 P22 + p13 P32 + p14P42
(1-0.1) P12 = 0.2 + 0.2(0) + 0.2 P32 + 0.5 (0) P22 y P42 son 0 porque 2 y 4 son
estados absorbentes.
0.9 P12 = 0.2 + 0.2 P32


(1 - p33) P32 = p32 + suma (p3j Pj2) donde j diferente de 3
(1 - p33) P32 = p32 + p31 P12 + p32 P22 + p34P42
(1-0.1) P32 = 0.4 + 0.3P12 + 0.4 (0) + 0.2 (0)
0.9 P32 = 0.4 + 0.3 P12

Combinemos ahora las ecuaciones:

0.9 P12 - 0.2 P32 = 0.2
- 0.3 P12 + 0.9 P32 = 0.4

La solución de este sistema es:

P12 = 0.34667
P32 = 0.56



Calculemos ahora la probabilidad de terminar en el estado 4 (puede ser desde el
estado 1 o desde el estado 3):


(1 - p11) P14 = p14 + p12 P24 + p13 P34 + p14P44
(1-0.1) P14 = 0.5 + 0.2(0) + 0.2 P34 + 0.5 (0)
0.9 P14 = 0.5 + 0.2 P34


(1 - p33) P34 = p34 + p31 P14 + p32 P24 + p34P44
(1-0.1) P34 = 0.2 + 0.3P14 + 0.4 (0) + 0.2 (0)
0.9 P34 = 0.2 + 0.3 P14
Combinemos ahora las ecuaciones.

0.9 P14 - 0.2 P34= 0.5
- 0.3 P14 + 0.9 P34 = 0.2

La solución de este sistema es:

P14 = 0.65333
P34 = 0.44

En conclusión, la probabilidad de terminar en el estado 2 (revisión) es de:

– 34.67% si se parte del estado 1
– 56% si se parte del estado 3

La probabilidad de terminar en el estado 4 (autorización) es de:



– 65.33% si se parte del estado 1
– 44% si se parte del estado 3

Obsérvese que si partimos del estado 1, sólo habrá dos opciones: terminar en el
estado 2 o en el 4, ya que ambos son absorbentes. Nunca se terminará en el estado
3. La probabilidad de lo anterior es de 34.67% y de 65.33%, que suman 100%, como
debe ser análogamente. Si partimos del estado 3, sólo podemos terminar en los
estados absorbentes 2 o 4. Las probabilidades respectivas son 56% y 44%, que
también suman 100%. Esto da la confianza de que los resultados obtenidos son
correctos.

Por último, con relación a este caso, podemos aconsejar que para tener más
probabilidades de que se autorice nuestro trámite, es mejor partir del estado 1 que
del 3. Es decir, es mejor pedir asesoría (estado 1), que intentar entregar
directamente la papelería al departamento de documentación.

Ejercicio 3

a. La solución final estable indica las siguientes probabilidades:

ESTADO PROBABILIDAD
A 28.57%
B 45.71%
C 25.71%

b. Las ecuaciones a usar son las siguientes:

 i j = 1+  pi k  k j
kj

El número de transiciones que se necesitan para ir del estado 1 al 1 (a sí mismo), se
obtendría desarrollando la fórmula anterior con i = 1 y j = 1: usaremos la letra m en
lugar de la griega "mu".



m11 = 1 + suma(p1k)(mk1) con k diferente de j = 1
m11 = 1 + p12 m21 + p13 m31
m11 = 1 + 0.2 m21 + 0.2 m31

Procediendo de manera similar, se llega a las siguientes ecuaciones:

m11 = 1 + p12 m21 + m11 = 1 + 0.3 m21 + m11 - 0.3 m21 - 0.2 m31
p13 m31 0.2 m31 =1
m12 = 1 + p11 m12 + m12 = 1 + 0.5 m12 +
p13 m32 0.2 m32 0.5 m12 - 0.2 m32 = 1
m13 = 1 + p11 m13 + m13 = 1 + 0.5 m13 +
p12 m23 0.3 m23 0.5 m13 - 0.3 m23 = 1
m21 = 1 + p22 m21 + es m21 = 1 + 0.7 m21 +
p23 m31 decir: 0.1 m31 0.3 m21 - 0.1 m31 = 1
m22 = 1 + p21 m12 + m22 = 1 + 0.2 m12 + simplifica m22 - 0.2 m12 - 0.1
p23 m32 0.1 m32 ndo m32= 1
m23 = 1 + p21 m13 + m23 = 1 + 0.2 m13 +
p22 m23 0.7 m23 0.3 m23 - 0.2 m13= 1
m31 = 1 + p32 m21 + m31 = 1 + 0.2 m21 +
p33 m31 0.6 m31 0.4 m31 - 0.2 m21 = 1
m32 = 1 + p31 m12 + m32 = 1 + 0.2 m12 +
p33 m32 0.6 m32 0.4 m32 - 0.2 m12 = 1
m33 = 1 + p31 m13 + m33 = 1 + 0.2 m13 + - 0.2 m13 - 0.2 m23 +
p32 m23 0.2 m23 m33 = 1

Tenemos un sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas:

m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 = b
1 0 0 -0.3 0 0 -0.2 0 0 = 1
0 0.5 0 0 0 0 0 -0.2 0 = 1
0 0 0.5 0 0 -0.3 0 0 0 = 1
0 0 0 0.3 0 0 -0.1 0 0 = 1
0 -0.2 0 0 1 0 0 -0.1 0 = 1
0 0 -0.2 0 0 0.3 0 0 0 = 1
0 0 0 -0.2 0 0 0.4 0 0 = 1
0 -0.2 0 0 0 0 0 0.4 0 = 1



0 0 -0.2 0 0 -0.2 0 0 1 = 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 1

Resolviendo el sistema con el método matricial de la matriz inversa, obtenemos
finalmente los tiempos de primera vez siguientes:

m11 = 3.50
m12 = 3.75
m13 = 6.67
m21 = 5.00
m22 = 2.19
m23 = 7.78
m31 = 5.00
m32 = 4.38
m33 = 3.89

c. Se pide verificar las fórmulas:

1
 j= j = 1, 2,… n
 jj

Es decir, las probabilidades de los estados m1 m2 m3.

TIEMPO DE PROBABILIDAD DEL
ESTADO
PRIMERA VEZ ESTADO

A 3.50 28.57%
B 2.19 45.71%
C 3.89 25.71%

Comparando con las probabilidades del inciso (a), vemos que son iguales.

Ejercicio 4

a. La matriz de transición es:



0 0.3 0.7
0 0 1
0 1 0

b. Los primeros 10 pasos de la cadena muestran las siguientes transacciones,
empezando con 100 taladros:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 30 70 30 70 30 70 30 70 30
0 70 30 70 30 70 30 70 30 70

Vemos que sólo en el primer periodo los taladros están en uso, el resto del
tiempo se la pasan alternándose entre el almacén y reparaciones. El 70% sale
alternadamente para ir de un conjunto a otro y se ha formado un proceso
cíclico.

c. Si iniciamos los 100 taladros en el almacén, su historia sería:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 100 0 100 0 100 0 100 0 100
100 0 100 0 100 0 100 0 100 0

Vemos que el total de taladros se alterna entre el almacén y el taller. El estado
"brigada", que implicaría que están en uso, es inaccesible desde los estados
cíclicos.

Aplicación de las cadenas de Markov

Individual

Fís. Jorge Rivera Hernández



En esta tarea aplicará la elaboración de una matriz de transición a partir de datos
reales y su análisis con la técnica de las cadenas de Markov.

Instrucciones:

1. Aplique la siguiente encuesta a una muestra de 30 personas consumidoras de
refrescos de cola. Si no son consumidoras de este tipo de refresco, no deberán
ser consideradas. Sólo interesa tener una muestra de 30 personas que
consuman refresco de cola.

Es importante aclarar que esta encuesta sólo intenta detectar la intención del
consumidor ante los refrescos de cola, pero no determina la fidelidad a la marca
ni su posible cambio de producto, ya que sólo mide intenciones, no hechos
consumados.

Para que la matriz de transición sea más acorde a la realidad, se necesitan
estudios realizados sobre el cambio de marca que realizan realmente los
consumidores de refrescos de cola. Si encuentra una dirección web o un
estudio al respecto, úselo en lugar de hacer la encuesta.

Encuesta

a. ¿Cuál es su refresco de preferencia? Elija sólo uno; si le gusta más de uno,
elija el que preferiría como primera opción.

REFRESCO MI PREFERENCIA
Big Cola
Coca Cola
Pepsi Cola

b. Si el refresco de su preferencia no estuviera disponible, ¿cuál elegiría? (no
haga caso al renglón de su refresco preferido).

REFRESCO MI PREFERENCIA
Pediría Big Cola
Pediría Coca Cola
Pediría Pepsi Cola



Pediría otra cosa

2. Con la información obtenida en la encuesta, elabore la matriz de transición.

3. Determine la probabilidad de que un consumidor de:

a. Big Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
b. Coca Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos
c. Pepsi Cola la siga consumiendo después de 1, 2 y 3 periodos

4. Determine la distribución de probabilidades para el estado final estable.

5. Elabore un informe que contenga lo siguiente:

a. Introducción
b. Resultados de la encuesta
c. Evidencia y explicación de cómo se obtuvo la matriz de transición y los
demás resultados solicitados
d. Interpretación de los resultados y conclusiones

Elaboración de red media de actividades, red a tiempo estándar y red a costo
óptimo

Recomendaciones generales

1. Antes de responder a cada planteamiento o ejercicio, lea con atención las
instrucciones e información proporcionada.

2. Responda con claridad lo que se solicita.



3. Desarrolle el procedimiento que le permita resolver los ejercicios y/o problemas
planteados.

4. Coteje sus resultados en la sección de respuestas con la finalidad de autoevaluar su
aprendizaje y verificar la compresión de los procedimientos estudiados.

5. Externe al docente/asesor sus dudas sobre los temas tratados en el ejercicio.



Ejercicio 5. Elaboración de red media de actividades, red a tiempo estándar y
red a costo óptimo

En esta unidad ha comprobado que el campo de acción de los métodos de redes
PERT-CPM es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a casi cualquier
proyecto. Constituyen un proceso administrativo de planeación, programación,
ejecución y control de todas las actividades que integran un proyecto en un tiempo
y con un presupuesto determinados.

Estudió la forma de optimizar uno de los parámetros importantes en la administración de
proyectos: el tiempo. También incorporó al análisis de redes el concepto de comprensión
o reducción de una red, que en este caso se refiere a la red de tiempo óptimo, que tiene
como objetivo conocer el menor tiempo en que puede llevarse a cabo un proyecto.

Por otra parte, revisó que la idea central de la red a costo óptimo consiste en que si
únicamente se reducen aquellas actividades que conforman la ruta crítica y que el valor
de las pendientes es menor o igual al valor del costo fijo ($F) del proyecto, el resultado
será la optimización del costo, lo cual es la finalidad de la red a costo óptimo.



Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios considerando los datos que se
proporcionan.

1. Se tiene la siguiente información:

MATRIZ DE SECUENCIA MATRIZ DE TIEMPO MATRIZ DE COSTOS

ACTIVIDAD SECUENCIA O N P T $N $L M

INICIO 5, 7, 10 - - - - - - -

1 2, 8 2 4 6 1,500 1,800

2 12, 17 3 4 5 2,300 2,420

3 13 2 3 6 4,400 4,600

4 11, 15 3 3 3 3,500 3,500

5 1 3 4 7 4,750 4,930

6 18 3 4 6 3,250 3,580

7 1 3 4 5 2,350 2,625

8 3 2 4 8 2,780 3,305

9 4, 8 4 4 4 1,970 1,970

10 9 4 5 7 4,600 5,180

11 14 2 3 4 2,700 2,835

12 6 1 3 5 1,780 2,070

13 16 3 4 6 2,300 2,900

14 16 3 4 5 3,270 3,390

15 Fin 2 3 4 4,320 4,530

16 18 2 3 6 3,600 3,850

17 Fin 1 2 3 2,850 2,980

18 Fin 0 0 0 2,500 2,500

$F = $150.00 por día

Con base en lo anterior:



a. Elabore la red media de actividades.

b. Determine y trace la ruta crítica.

c. Determine el costo de la red con base en la duración del proyecto.

d. Obtenga la desviación estándar de la ruta crítica e indique cuál sería su duración
promedio y entre cuántos días se puede ejecutar el proyecto utilizando un nivel de
confianza del 68%.

e. Determine el máximo y trace la red a tiempo óptimo.

f. Determine el costo de la red con base a la duración del proyecto.

g. Trace la red a costo óptimo.

h. Determine el costo de la red a costo óptimo con base a la duración del proyecto.



Respuestas

Ejercicio 1

MATRIZ DE SECUENCIA MATRIZ DE TIEMPO MATRIZ DE COSTOS DESVIACIÓN
VARIANZA
ACTIVIDAD SECUENCIA O N P T $N $L M ESTÁNDAR

INICIO 5, 7, 10 - - - - - - - - -
1 2, 8 2 4 6 4 1,500 1,800 150 0.67 0.44
2 12, 17 3 4 5 4 2,300 2,420 120 0.33 0.11
3 13 2 3 6 4 4,400 4,600 100 0.67 0.44
4 11, 15 3 3 3 3 3,500 3,500 #¡DIV/0! 0.00 0.00
5 1 3 4 7 5 4,750 4,930 90 0.67 0.44
6 18 3 4 6 5 3,250 3,580 165 0.50 0.25
7 1 3 4 5 4 2,350 2,625 275 0.33 0.11
8 3 2 4 8 5 2,780 3,305 175 1.00 1.00
9 4, 8 4 4 4 4 1,970 1,970 #¡DIV/0! 0.00 0.00
10 9 4 5 7 6 4,600 5,180 290 0.50 0.25
11 14 2 3 4 3 2,700 2,835 135 0.33 0.11
12 6 1 3 5 3 1,780 2,070 145 0.67 0.44
13 16 3 4 6 5 2,300 2,900 300 0.50 0.25
14 16 3 4 5 4 3,270 3,390 120 0.33 0.11
15 Fin 2 3 4 3 4,320 4,530 210 0.33 0.11
16 18 2 3 6 4 3,600 3,850 125 0.67 0.44
17 Fin 1 2 3 2 2,850 2,980 130 0.33 0.11
18 Fin 0 0 0 0 2,500 2,500 #¡DIV/0! 0.00 0.00
54,720

$F = $150.00 por día



a. Red media de actividades.

b. La ruta crítica se marca en color rojo y comprende las actividades:

10 - 9 - 8 - 3 -13 - 16

c. El diagrama muestra que la duración del proyecto es de 28 días. El costo es
igual a la suma de los costos normales, lo cual se calculó en la tabla de
información (suma de N) y el costo fijo (28 días por $150.00/día).

Costo total = 54,720 + 28 (150) = $ 58,920.00

d. En la tabla se añadió una columna que registra el cálculo de la desviación
estándar de cada actividad, así como la varianza (S^2).



La varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades de la
ruta crítica (casillas amarillas). La desviación estándar del proyecto es la raíz
cuadrada de su varianza.

S^2 = 2.39 S= 1.55

La duración del proyecto, con una certeza del 68%, es: 28 +/- 1.55. Esto da el
intervalo:

26.45 29.55

e. Sumando la duración de las actividades de cada rama pero a tiempo óptimo
(mínimo), se llega a la conclusión que la de mayor duración es la rama:

10 - 9 - 4 - 11 - 14 - 16

Ésta será la ruta crítica de la red a tiempo óptimo o mínimo. Construyendo la
red, se obtiene:

f. El costo total consiste de los siguientes conceptos: costo normal + costo fijo +
costo por comprimir actividades. De esta forma:



Costo normal = $ 54,720.00
Costo fijo (18 x 150) = $ 2,700.00
Costo por comprimir = $ 2,465.00
Costo total = $ 59,885.00

Costo compresión Total
90 120 145 525 200 300 580 135 120 250 2,465

g. Conforme a lo expuesto en las notas del curso, lo que hay que hacer es
apresurar, "comprimir", aquellas actividades de la ruta critica cuyo "costo
pendiente" sea menor o igual al costo fijo diario. El resultado es el siguiente:

h. Tomando en cuenta que el proyecto durará 24 días, el costo total es:

Costo compresión



200
250
Total: 450

Costo fijo (24 x 150) = $ 3,600.00
Costo por comprimir = $ 450.00

Matriz comparativa del costo de las redes

La matriz comparativa se utiliza para saber cuál red es la mejor opción para
desarrollar un proyecto. Si es imprescindible realizar el proyecto en el menor
tiempo posible y se cuenta con los recursos financieros necesarios para pagar
costos extras, deberá emplearse la red a tiempo óptimo, en el caso contrario, el
proyecto deberá realizarse a tiempo normal; si lo que se desea es realizar el
proyecto en el menor precio, la red de costo óptimo es la indicada.

Instrucciones: Resuelva el siguiente ejercicio considerando los datos que se proporcionan.

1. Una empresa que fabrica maletas y mochilas posee la siguiente información sobre las
actividades a realizar para elaborar maletas deportivas.

M ATRIZ
TIEMPOS COSTOS
ACTIVIDAD SECUENCIA
O T $N M
INICIO 4, 10 --- --- --- ---
1 5 2 4 1,000 100
2 7 1 2 850 50
3 13 1 3 2,000 225
4 2, 3 2 2 1,950 0
5 8 1 2 1,300 100
6 1, 15 1 3 2,500 250
7 1, 9 1 3 1,900 200
8 11 2 3 1,620 130
9 14 1 2 1,500 115
10 3, 12 2 2 1,400 0
11 FIN 2 4 2,400 250
12 6 1 2 1,420 100



13 1 2 3 1,500 100
14 11 2 3 1,900 70
15 8 2 4 2,400 200

$F = $250.00 por día

a. Elabore la red media de actividades.

b. Determine el costo de la red con base en la duración del proyecto.

c. Trace la red a tiempo óptimo.

d. Determine el costo de la red con base en la duración del proyecto.

e. Trace la red a costo óptimo.

f. Determine el costo de la red a costo óptimo con base en la duración del
proyecto.

g. Determine la matriz comparativa de los costos de la redes y trace la gráfica
de la relación tiempo-costo e interprete sus resultados.



Respuestas

Ejercicio 1

MATRIZ

TIEMPOS COSTOS
ACTIVIDAD SECUENCIA
O T $N M
INICIO 4, 10 --- --- --- ---
1 5 2 4 1,000 100
2 7 1 2 850 50
3 13 1 3 2,000 225
4 2, 3 2 2 1,950 0
5 8 1 2 1,300 100
6 1, 15 1 3 2,500 250
7 1, 9 1 3 1,900 200
8 11 2 3 1,620 130
9 14 1 2 1,500 115
10 3, 12 2 2 1,400 0
11 FIN 2 4 2,400 250
12 6 1 2 1,420 100
13 1 2 3 1,500 100
14 11 2 3 1,900 70
15 8 2 4 2,400 200
25,640

$F = $250.00 por día



a. Red media de actividades.

b. Costo = costo normal + costo fijo = costo normal + días (costo diario)
Costo = 25,640 + 21 (250)
Costo = $ 30,890.00

c. Red a tiempo óptimo.
d. El costo total consiste de los siguientes conceptos: costo normal + costo fijo +
costo por comprimir actividades. De esta forma:



Costo fijo (días x 250) = $ 3,000.00
Costo por comprimir = $ 2,280.00

Compresión Total:
50 200 450 100 200 100 130 500 100 250 200 2280

e. Para trazar la red a costo óptimo deben comprimirse todas aquellas actividades
de la ruta crítica cuya pendiente (costo por comprimir un día) sea menor o igual
al costo diario fijo. Si observamos la red a tiempo estándar (inciso a), vemos
que el costo pendiente de todas las actividades de la ruta crítica (actividades: 4,
3, 13, 1, 5, 8 y 11) es menor o igual al costo fijo. Esto significa que tendríamos
que comprimir todas las actividades al máximo para lograr el costo óptimo del
proyecto (según se indicó en las notas de este tema). Pero esto fue lo que se
hizo para construir la red de tiempo óptimo (mínimo), inciso c. Por lo tanto, la
red de tiempo mínimo es, al mismo tiempo, la red de costo óptimo.

Sin embargo, observamos que el costo resultó mayor que el de la red a tiempo
estándar (o normal). Esto se debe a que en las otras ramas del proyecto se
tuvieron que hacer más apresuramientos, lo cual incrementó el costo total. Esto
nos lleva a una conclusión interesante: Buscar la red de costo mínimo
reduciendo sólo las actividades de la ruta crítica, no garantiza que se obtenga la
red de costo mínimo. Deben analizarse todas las rutas. Es un análisis que
requiere mayor tiempo. Para efectos del ejercicio concluimos que la red de
costo óptimo es la misma que la del tiempo óptimo.

f. Tenemos el mismo resultado del inciso d:




g. En resumen:

Aplicación de las redes PERT-CPM

Individual

Los problemas que corresponden a proyectos o actividades que deben realizarse
en una secuencia específica, implican determinar el grado de esfuerzo para ejecutar
una actividad y el momento de programarla, de modo que se optimice una gran
parte de la ejecución integral del proyecto.

Las medidas de eficiencia en un problema de este tipo pueden adoptar distintas
formas, generalmente las siguientes:

– Minimización del tiempo total transcurrido
– Minimización de los costos del proyecto

La mayoría de los analistas de estos problemas se han interesado en dos
preguntas: ¿cómo identificar las actividades de acuerdo al programa, si el proyecto
completo va a terminarse según éste, y cómo revisar los avances del proyecto
conforme pasa el tiempo? Si es posible reducir el tiempo de duración de alguna o
de todas las actividades a costa de un incremento en los costos, ¿cómo se
deberían programar las actividades de tal manera que se minimice el tiempo de
terminación del proyecto para un costo específico?

El propósito de esta tarea es que aplique las técnicas de redes PERT-CPM y verifique
que las preguntas anteriores pueden responderse trazando las redes
correspondientes.

Instrucciones: Resuelva el siguiente ejercicio tomando como referencia los datos que se
proporcionan.

1. La gerencia de sistemas de una empresa ha propuesto la introducción de un
nuevo sistema computarizado que mejorará el procesamiento de información y



las comunicaciones entre oficinas dentro de la empresa. La propuesta incluye
una lista de actividades a realizarse para concretar el proyecto.

TIEMPO TIEMPO COSTO COSTO
ACTIVIDAD DESCRIPCIÓN SECUENCIA ESTÁNDAR ÓPTIMO NORMAL LÍMITE
(SEMANAS) (SEMANAS (MILES $) (MILES $)
Inicio Necesidades del plan ----- ----- ----- ----- -----
1
2 Ordenar el 1 4 3 30 70
equipamiento
3 Instalar el equipo 2 8 6 120 150
4 Instalar el laboratorio 1 7 6 100 160
de capacitación
5 Llevar a cabo el curso 4 5 3 40 50
de capacitación
6 Probar el sistema 3, 4 5 4 60 75


a. Desarrolle la red media de actividades del proyecto.

b. Determine las actividades críticas del proyecto y el tiempo de terminación
esperado de éste.

c. Si la empresa debe finalizar el proyecto en un plazo menor al promedio,
determine el tiempo más rápido en que lo puede realizar y su costo.

d. Si la administración de la empresa le pidiese a la gerencia de sistemas que
optimizase costos, determine el costo ideal para realizar el proyecto y su
tiempo.

e. Determine la matriz comparativa de los costos del proyecto con las tres
opciones propuestas e interprete sus resultados.

f. Trace la gráfica de la relación tiempo-costo.


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