2. Objetivos: Después de completar
este módulo deberá:
• Definir e ilustrar los siguientes términos: imagen
real y virtual, espejos convergentes y
divergentes, distancia focal y amplificación.
• Comprender y aplicar las convenciones de
signos que se aplican a distancia focal, distancia
a la imagen, altura de imagen y amplificación.
• Predecir matemáticamente la naturaleza, tamaño
y ubicación de la imagen formada por espejos
esféricos.
• Determinar matemáticamente la amplificación
y/o la distancia focal de espejos esféricos.
3. Óptica analítica
En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para
En esta unidad se discutirán las relaciones analíticas para
describir con más precisión las imágenes especulares.
describir con más precisión las imágenes especulares.
Pero primero se revisarán algunos principios gráficos
Pero primero se revisarán algunos principios gráficos
cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.
cubiertos en el módulo 34A acerca de la reflexión de la luz.
4. El espejo plano
Objeto
Imagen
Distancia
al objeto
=
p=q
p
q
Distancia
a la
imagen
La imagen es
virtual
Distancia al objeto: Distancia en línea recta p
desde la superficie del espejo al objeto.
Distancia a la imagen: Distancia en línea
recta q desde la superficie del espejo a la
imagen.
5. Espejos esféricos
Un espejo esférico se
forma mediante las
superficies interna
(cóncava) o externa
(convexa) de una
esfera.
Aquí se muestra un
espejo esférico cóncavo
con identificación de
partes.
Se muestran el eje y la
abertura lineal.
Espejo cóncavo
R
V
Eje
C
Abertura
lineal
Centro de curvatura C
Radio de curvatura R
Vértice V
6. Distancia focal f de un espejo
Rayo paralelo
incidente
C
R
F
θi
θr
eje
Punto focal
Distancia focal, f
V
f
Como θi = θr, se
encuentra que F
está a medio
camino entre V y C;
se tiene:
La distancia
focal f es:
R
f =
2
La distancia focal ff es igual a la mitad del radio R
La distancia focal es igual a la mitad del radio R
7. Espejos convergentes y divergentes
Los espejos cóncavos y
los rayos paralelos
convergentes se llamarán
espejos convergentes.
Espejo convergente
C
Los espejos convexos y
los rayos paralelos
divergentes se llamarán
espejos divergentes.
Espejo
divergente
F
C
Cóncavo
F
Convex
o
8. Definiciones
Distancia focal: Distancia en línea recta f desde
la superficie del espejo al foco del espejo.
Amplificación: Razón del tamaño de la
imagen al tamaño del objeto.
Imagen real: Imagen formada por rayos de luz
reales que se puede proyectar en una pantalla.
Imagen virtual: Imagen que parece estar en
una ubicación donde no llegan rayos de luz.
Espejos convergentes y divergentes: Se refiere a
la reflexión de rayos paralelos desde la superficie
del espejo.
9. Resumen de construcción de imagen:
Rayo 1: Un rayo paralelo al eje del espejo
pasa a través del punto focal de un espejo
cóncavo o parece venir desde el punto focal
de un espejo convexo.
Rayo 2: Un rayo que pasa por el foco de un
espejo cóncavo o procede del foco de un
espejo convexo se refleja paralelo al eje del
espejo.
Rayo 3: Un rayo que procede de un radio
siempre se refleja de vuelta a lo largo de su
trayectoria original.
10. Ejemplos de construcción de imagen
Los tres rayos principales para espejos
convergentes (cóncavos) y divergentes (convexos).
Rayo 1
Rayo 3
Rayo 1
Rayo 2
Rayo 2
C
F
Rayo 3
Espejo
convergente
C
F
Imagen
Espejo
divergente
11. Revisión de hechos de imágenes
Para espejos planos, la distancia al objeto es
igual a la distancia a la imagen y todas las
imágenes son derechas y virtuales.
Para espejos convergentes y divergentes, la
distancia focal es igual a la mitad del radio.
Todas las imágenes formadas en espejos
convexos son derechas, virtuales y reducidas.
Excepto para objetos ubicados dentro del foco
(que son derechas y virtuales), todas las
imágenes formadas en espejos convergentes
son reales e invertidas.
12. Preguntas acerca de imágenes
1. ¿La imagen es derecha o
invertida?
2. ¿La imagen es real o virtual?
3. ¿Es alargada, reducida o del mismo tamaño?
4. ¿Cuáles son las distancias al objeto y a la imagen, p
y q?
5. ¿Cuál es la altura y’ o el tamaño de la
imagen?
6. ¿Cuál es la amplificación M = y’/y de la imagen?
13. Definición de símbolos
Al aplicar álgebra y geometría al diagrama de trazado
de rayos, como el de abajo, se puede derivar una
relación para predecir la ubicación de las imágenes.
p
Dist. a objeto p
Dist. a imagen q
Distancia focal f
R
y
Y’
Radio R
Tamaño de objeto y
Tamaño de imagen y’
R
f =
2
f
q
14. Ecuación de espejo
Las siguientes ecuaciones se dan sin
Las siguientes ecuaciones se dan sin
derivación. Se aplican igualmente bien para
derivación. Se aplican igualmente bien para
espejos convergentes y divergentes.
espejos convergentes y divergentes.
p
y
1 1 1
+ =
p q f
R
Y’
f
q
R
f =
2
15. Convención de signos
1. La distancia al objeto p es
positiva para objetos reales y
negativa para objetos virtuales.
2. La distancia a la imagen q es
positiva para imágenes reales
y negativa para imágenes
virtuales.
1 1 1
+ =
p q f
3. La distancia focal f y el radio de curvatura R
son positivos para espejos convergentes y
negativa para espejos divergentes.
16. Ejemplo 1. Un lápiz de 6 cm se coloca a 50 cm
del vértice de un espejo de 40 cm de diámetro.
¿Cuáles son la ubicación y naturaleza de la
imagen?
Bosqueje la imagen
p
burda.
f
C
F
q
1 1 1
+ =
p q f
p = 50 cm; R = 40 cm
R 40 cm
f = =
; f = 20 cm
2
2
1
1
1
+ =
50 cm q 20 cm
17. Ejemplo 1 (Cont.). ¿Cuáles son la ubicación y
naturaleza de la imagen? (p = 50 cm; f = 20 cm)
p
f
C
F
q
1
1
1
+ =
50 cm q 20 cm
1
1
1
=
−
q 20 cm 50 cm
q = +33.3 cm
q = +33.3 cm
La imagen es real (+q), invertida, reducida y se
La imagen es real (+q), invertida, reducida y se
ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).
ubica a 33.3 cm del espejo (entre F y C).
18. Trabajo con recíprocos
La ecuación del espejo se puede
1 1 1
resolver fácilmente con el botón
+ =
p q f
recíproco (1/x) de la mayoría de las
calculadoras:
Posible secuencia para encontrar f en calculadoras lineales:
Cómo encontrar f:
P 1/x
+ q
1/x
=
1/x
Lo mismo con calculadoras con notación inversa
puede ser:
Cómo encontrar f:
P 1/x Enterq
1/x +
1/x
19. Soluciones alternativas
Puede ser útil resolver algebraicamente la
ecuación para cada uno de los parámetros:
1 1 1
+ =
p q f
qf
p=
q− f
pf
q=
p− f
qp
f =
q+ p
¡Tenga cuidado con la sustitución de los
¡Tenga cuidado con la sustitución de los
números signados!
números signados!
20. Ejemplo 2: Una flecha se coloca a 30 cm de la
superficie de una esfera pulida de 80 cm de radio.
¿Cuál es la ubicación y naturaleza de la imagen?
Dibuje un bosquejo de la
imagen:
p = 30 cm; R = -80 cm
R -80 cm
f = =
; f = −40 cm
2
2
Resuelva la ecuación del espejo
para q, luego observe los signos
cuidadosamente en la
sustitución:
pf
q=
p− f
21. Ejemplo 2 (Cont.) Encuentre la ubicación y
naturaleza de la imagen cuando p = 30 cm y
q = -40 cm.
(30 cm)(-40 cm)
q=
30 cm - (-40 cm)
q = -17.1 cm
La imagen es virtual (-q), derecha y
La imagen es virtual (-q), derecha y
reducida.. Parece estar ubicada a una
reducida Parece estar ubicada a una
distancia de 17.1 cm detrás del espejo.
distancia de 17.1 cm detrás del espejo.
22. Amplificación de imágenes
La amplificación M de una imagen es la razón del
tamaño de la imagen y’ al tamaño del objeto y.
Amplificación:
y ' −q
M= =
y
p
Obj. Img.
y
y’
M = +2
Obj. Img.
y
y’
M = -1/2
y y y’ son positivas cuando derechas; negativas
invertidas.
q es positiva cuando real; negativa cuando virtual.
M positiva cuando imagen derecha; negativa invertida.
23. Ejemplo 3. Una llave de 8 cm se coloca a 10
cm de un espejo divergente de f = -20 cm.
¿Cuál es la ubicación y tamaño de la imagen?
pf
(10 cm)(-20 cm)
q=
=
p − f 10 cm - (-20 cm)
q = -- 6.67 cm
q = 6.67 cm
¡Virtual!
−q −(−6.67 cm)
M=
=
p
10 cm
Amplificación:
M = +0.667
Y
p
Llave
Como M = y’/y
y’ = My o:
Imagen
virtual
Y’
q
F
C
Espejo
convergente
y’ = +5.34 cm
24. Ejemplo 4. ¿Cuán cerca debe estar la cara de
una niña a un espejo convergente con distancia
focal de 25 cm, para que vea una imagen
derecha del doble de tamaño? (M = +2)
−q
M = +2 =
; q = −2 p
p
pf
Además, q =
p− f
Por tanto,
pf
= −2 p
p− f
f = -2p + 2f
f = -2(p - f) = -2p + 2f
f 25 cm
p= =
2
2
p = 12.5 cm
p = 12.5 cm
25. Resumen
Las siguientes ecuaciones se aplican
Las siguientes ecuaciones se aplican
igualmente bien a espejos convergentes y
igualmente bien a espejos convergentes y
divergentes.
divergentes.
p
y
1 1 1
+ =
p q f
R
Y’
f
q
R
f =
2
26. Resumen: Convención de signos
1. Distancia a objeto p positiva para objetos
reales y negativa para objetos virtuales.
2. Distancia a imagen q positiva para
imágenes reales y negativa para
imágenes virtuales.
3. Distancia focal f y radio de curvatura R
positivos para espejos convergentes y
negativos para espejos divergentes.
1 1 1
+ =
p q f
4. Tamaño de imagen y’ y amplificación M de imágenes
positivos para imágenes derechas y negativos para
imágenes invertidas.
27. Resumen: Amplificación
La amplificación M de una imagen es la razón del
tamaño de la imagen y’ al tamaño del objeto y.
Amplificación:
y ' −q
M= =
y
p
Obj. Img.
y
y’
M = +2
Obj. Img.
y
y’
M = -1/2
y y y’ positivos cuando derechos; negativos invertidos.
q positivo cuando real; negativo cuando virtual.
M positivo cuando imagen derecha; negativo invertida.
