Este documento describe la evolución del concepto de función a través de la historia. Comenzó siendo una herramienta para realizar cálculos y representar el movimiento, pero fue precisándose con el tiempo. Euler definió una función como una expresión compuesta de una cantidad variable y constantes. Posteriormente, Fourier representó funciones periódicas como sumas de funciones similares. Hoy en día, se define una función como una correspondencia entre dos conjuntos donde a cada elemento del primero se le asocia un único elemento del segundo.

1. EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN números o cantidades constantes. Más tarde Euler se enfrenta
Aunque no era reconocida como objeto de estudio la noción de al problema de que a toda función le corresponde una curva y a
función empieza a manifestarse desde la antigüedad en la toda línea curva también debería representarse por una función,
construcción de tablas para cálculos y astronomía. por lo cual Euler admite como funciones las llamadas curvas
La evolución de la noción de función se dio asociada al estudio mecánicas. Al ampliar el concepto de función divide las
del cambio, en particular del movimiento. “El estudio del funciones en dos clases: las continuas y las discontinuas. El
cambio se inicia con la representación gráfica-geométrica, significado de estos dos términos era distinto al significado
construida por Nicolás Oresme (S.XIV) como método para actual. Para Euler, una función continua es aquella que esta
representar las propiedades cambiantes de los objetos. Utiliza representada por una sola ecuación, aún cuando su dibujo
la continuidad de los segmentos para expresar la relación de conste de más de un trazo, como seria el caso de la hipérbola o
variabilidad entre cantidades variables pues no se disponía de 2
un continuo numérico, para representar el movimiento de esta la función determinada por f ( x)  . Las discontinuas
x 1
2
forma, las gráficas se consideraron modelos geométricos de las
son las “curvas mecánicas”. Es decir, son aquellas para las que
relaciones funcionales.”
no tenemos una ecuación conocida, aún cuando su trazo en
Para Galileo (1.564-1.642) el interés primordial fue descubrir
papel sea seguido.
como actúan las cosas más que el porqué lo hacen. Él introdujo
Mediante la “Teoría Analítica del Calor” Fourier (hacia 1882)
lo numérico en las representaciones gráficas y expresó las leyes
demuestra que las series trigonométricas existen en el análisis
del movimiento, a las que incorporó el lenguaje de la teoría de
independiente de que provengan de una función continua y
las proporciones, dando un sentido de variación directa o
afirma que los desarrollos de senos y cosenos múltiples poseen
indirectamente proporcional. Lenguaje que junto con la teoría
evidentemente toda la generalización que comportan las
de la época encubrió aspectos de variación continua.
funciones arbitrarias. Fourier aporta la idea de función como
Con Viète (1.540-1.603) quedó prácticamente terminada la
correspondencia entre dos conjuntos de números independiente
trigonometría elemental (no analítica). Para el año 1.579 Viète
de cómo esta correspondencia esté dada pero limitada por la
amplio las tablas de Rhaeticus (1.514-1.576) dando los valores
idea de que la gráfica sea una gráfica continua. La variación
con siete decimales de las seis funciones para cada segundo de
periódica de ondas representadas por curvas del tipo de la
arco en vez de cada diez segundos como lo había hecho
figura 1, fue expresada en el teorema de Fourier como curva
Rhaeticus en 1.551. A finales del siglo XVI no se tenía un
que puede ser obtenida por la adición de gráficas similares:
concepto claro del significado de las raíces de una ecuación
algebraica que surgía de la comprensión incompleta que tenía
el álgebra del sistema de los números. Por ejemplo, para
Francisco Viète parece que las raíces negativas fueron
ininteligibles, él no admitía ni coeficientes ni raíces negativas.
Con Descartes (1.592-1.650) y Fermat (1.601-1.665) se
introduce por primera vez la idea de que una ecuación en x y y
es un medio para expresar la dependencia entre dos cantidades
variables. Con el apoyo en el desarrollo del álgebra, la
introducción de signos para las operaciones, la utilización de
letras para representar cantidades desconocidas y constantes,
junto con los progresos alcanzados en la extensión del
concepto de número (aparición de los imaginarios) la
dependencia entre variables comienza a ser reconocida como En lo referente al estudio de continuidad Dirichlet afirma que
una relación que se expresa por medio de expresiones “no es necesario que y esté sujeta a la misma regla con
analíticas. Al advertir que una ecuación entre x y y expresa respecto a x en la totalidad del intervalo”.
dependencia entre ambas, Descartes y Fermat introducen el Ya hacia el siglo XIX Lobatchevsky formula la siguiente
método analítico para la representación de las funciones en definición: “El concepto general exige que se denomine
ecuaciones algebraicas, asociadas a las curvas geométricas, las función de x a un número que está dado para toda x y que
curvas cuya naturaleza no era geométrica se denominaron cambie gradualmente junto con x. El valor de la función se
mecánicas. puede dar ya sea mediante una expresión analítica, o a través
Descartes mediante la representación de curvas en un sistema de una condición que ofrezca un medio para probar todos los
coordenado determina un método gráfico para la resolución de números y seleccionar uno de ellos; o finalmente, la
las ecuaciones correspondientes a dichas curvas. El cálculo dependencia puede existir, pero permanecer desconocida”.
algebraico llegó a su madurez en Francia gracias a la obra de Es tradicional que en los cursos de cálculo se parta de la noción
Descartes y Fermat. De acuerdo con “Descartes también se dio de relación para entrar a las funciones. Fue Peano quien
cuenta que todas las propiedades de una curva, como la medida propuso reducir el concepto de función a la noción de relación
del área encerrada por ella, su tangente, etc., están porque los movimientos de mediados del siglo XIX como son
completamente determinadas cuando se da su ecuación en dos el constructivismo y el intuicionismo cuestionan los
variables”. fundamentos matemáticos siendo para los primeros necesario
Leibniz (1.646-1.716) introduce por primera vez el término tener una regla para encontrar la y correspondiente a una x en
función asociado a lo geométrico sin indicar “cantidades momentos finitos y para los intuicionistas la definición no era
arbitrarias dependientes de alguna variable” por lo cual rigurosa. Era necesario introducir nociones nuevas primitivas
Bernoulli formula la siguiente definición: “llamamos función a antes de dar una definición. Russel y Whitehead desarrollan la
las diversas cantidades dadas de alguna forma por una teoría de las relaciones.
(cantidad) indeterminada x, y por constantes ya sea Haussdorf propone la idea de reducirla a par ordenado. Hacia
algebraicamente o trascendentemente” ; ésta se convierte en la 1920 el concepto de función es introducido a la teoría de
primera definición de función como expresión analítica. conjuntos. Dados dos conjuntos A y B una función (o
Bernoulli también propone las notaciones j y f x para aplicación) es una relación que asigna a cada elemento del
distinguir la característica de una función y para escribir su conjunto A un único elemento en el conjunto B, o una función
argumento. es una triada (X, Y, f) donde X y Y son conjuntos y f es un
Euler (1707 - 1783) continúa el camino para precisar la noción subconjunto de X´Y tal que si la pareja (x, y) pertenece a f y la
de función comenzando a definir nociones iniciales como son pareja (x, z) pertenece a f entonces y=z o una función f de A
constante y cantidad variable y sostiene que "la función de una en B es un subconjunto del producto cartesiano A´B tal que
cantidad variable es una expresión analítica compuesta de para cada elemento a de A hay un único elemento b de B tal
cualquier manera a partir de esa cantidad variable y de que (a, b) esta en f.
EDERPAD
Licmat 20.10

2. FUNCIONES que esta definido por extensión (dando todos los elementos del
Las funciones están presentes en todo lo que nos rodea, incluso conjunto) y se podría haber definido por comprensión (dando
en nuestro organismo, por ejemplo las pulsaciones nos indican una propiedad que sólo verifican los elementos del conjunto)
lo rápido que late nuestro corazón. R1 es la correspondencia que asocia a los elementos del
El número de pulsaciones depende de varios factores, entre conjunto A, las vocales abiertas.
ellos la edad, si estas en reposo o haciendo ejercicio, también
depende de la constitución y de la condición física, etc. Dados dos conjuntos A y B, no vacíos, se dice que f
 La velocidad de la marcha en bicicleta depende del terreno es una función de A en B, si a cada elemento de A le
y de como pedalees, la distancia que recorres depende de la asigna, de acuerdo con algún criterio determinado,
velocidad y del tiempo empleado. uno y sólo un elemento de B.
 El salario de los trabajadores depende de las horas
trabajadas, de la cualificación,..... Observando el Ejemplo 1 podemos deducir que R1 no es una
 El valor de una vivienda, depende de su situación, metros función, observemos por ejemplo que al 1, le corresponde más
cuadrados, calidad de la construcción, etc. de un elemento del segundo conjunto.
 El texto que estas leyendo depende de la resolución
aplicada en tu monitor. Ejemplo 2.- Sea R2 = {(1, a), (2, a)} un subconjunto de A×B
dados en el ejemplo anterior. Veamos que R2 es una aplicación.
Veamos algunos ejemplos más concretos. Si, todos los elementos de A tienen imagen en B y a cada
 El área de un triángulo es S = [(b·h)/2], observemos que el elemento de A le corresponde un único elemento de B.
área depende de dos variables independientes la base y la
altura. El área diremos que es la variable dependiente y la Ejemplo 3.- Sea R3 = {(1, a), (2, u)}. A cada elemento del
base y la altura son las variables independientes. primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo
 El área de un triángulo equilátero es S = [(a2 ·3)/4], ahora el conjunto, al 1 le corresponde la a y al 2 le corresponde la u.
área depende únicamente de una variable el lado a.
 El espacio recorrido por un vehículo depende de la En general:
velocidad y del tiempo. Una función o aplicación es una correspondencia
e=v·t donde a todo elemento del primer conjunto le
en este caso la velocidad v y el tiempo t son las variables corresponde un único elemento del segundo
independientes y el espacio e es la variable dependiente.
conjunto.
 La clasificación de la 1ª división de fútbol depende de los
resultados obtenidos, es decir, de los partidos ganados y
Ejercicio 1.- Consideramos el conjunto A formado por
empatados. La posición es la variable dependiente y los
A = {Carlos, Paco, Javi, Elena}
resultados anteriores la variable independiente.
sabemos que Carlos tiene 17 años y pesa 71 kg., Paco tiene 16
También una función puede venir dada por una gráfica. años y pesa 61 kg, Javi tiene 18 años y pesa 81 kg y por último
Elena tiene 15 años y pesa 51 kg. Si a cada elemento del
conjunto A se le hace corresponder su edad, ¿será aplicación la
correspondencia así definida? Dibuja una gráfica que
represente dicha correspondencia.
Carrera de F1.- Indica como varía la velocidad cuando recorre
cada uno de los circuitos.
¿QUÉ ES UNA RELACIÓN O CORRESPONDENCIA?
Dados dos conjuntos A y B, diferentes de vacío, definimos el
producto cartesiano A × B al conjunto de las parejas
ordenadas (a, b) tales que el elemento a pertenece al conjunto
A y el elemento b pertenece al conjunto B.
Simbólicamente:
A × B = {(a, b) /a  A  b  B}.
Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
Una relación R de A en B es un subconjunto del producto  ¿Qué curva es más peligrosa?
cartesiano A × B, de modo que elementos de A están en  ¿Cuál es la recta más larga del circuito?
correspondencia con elementos de B (uno, varios o ninguno).  ¿El coche empieza la segunda, tercera vuelta,... con la
misma velocidad que la primera?
A se llama conjunto de salida de la relación y B se llama
conjunto de llegada de la relación. Para indicar que f es una función de A en B, se escribe
El conjunto de preimágenes (elementos de A que se relacionan f :AB .
con algún elemento de B), conforman el dominio de la A cada elemento x → A, le corresponde, por medio de f , un
relación, y es un subconjunto de A. El conjunto de imágenes se elemento y → B.
llama rango o recorrido y es un subconjunto de B. Simbólicamente se indica y = f (x) y se lee “ y es función de x ”
Sean A y B dos conjuntos, se define una relación como un , “ y es igual a f de x ” o “ y es la imagen de x a través de f ” .
subconjunto del producto cartesiano A×B. Se dice que el par ordenado (x, y)  f .
Ejemplo 1.- Sea A = {1,2} y B = {a, e, i, o, u} el producto
cartesiano es el conjunto
A×B = {(1,a),(2,a),(1,e),(2,e),(1,i),(2,i),(1,o),(2,o),(1,u),(2,u)}
y un subconjunto puede ser
R1 = {(1, a), (1, e), (1, o), (2, a), (2, e), (2, o)},
EDERPAD
Licmat 20.10

3. Hagamos memoria:
El matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)
dentro de los aportes dados a las matemáticas, como la
precisión de los conceptos de función, límites y continuidad,
propone una nomenclatura para definir esquemáticamente una
función de la forma y = f (x).
Si los conjuntos A y B son numéricos a la aplicación se le
denomina función, y se suele notar de la siguiente forma: Para confeccionar el gráfico se utilizó un plano cartesiano o
f : x  A  f ( x)  y  B sistema de ejes cartesianos: un eje de abscisas (horizontal), y
a A se le llama dominio de la función, como el valor que un eje de ordenadas (vertical).
adopta y depende del valor elegido para x , y recibe el nombre
de variable dependiente y x se llama variable independiente. 4. Analítica: también llamada matemática, es aquella donde
Al conjunto de imágenes de elementos de A se le denomina por medio de una expresión matemática, se describe el
rango o recorrido. fenómeno. Para el ejemplo que nos ocupa:
G = 20 x
Recuerda que: Esta fórmula describe la ganancia G en función del número x
Variable, se puede decir que es todo aquello que cambia a de artículos vendidos.
través del espacio o tiempo. La clave de este concepto es
cambio ya que cuando se presenta cambio, se dice que hay GRÁFICAS DE RELACIONES Y FUNCIONES
variación. Recordemos que, una función de A en B es una relación de A
Constantes, son términos que tienen valores fijos; es decir, no en B que cumple las siguientes dos condiciones:
cambian en ninguna circunstancia. Los valores numéricos son 1. Dom f = A.
el ejemplo típico de constantes. 2. No hay en f dos parejas diferentes que tengan la primera
Hagamos memoria: componente igual.
En la antigüedad se utilizaban las vocales para indicar Con esta definición de función, observa que toda función es
variables y consonantes para indicar constantes. En la una relación que cumple ciertas condiciones especiales.
actualidad la convención es que las primeras letras del Evidentemente, la gran mayoría de relaciones no son
alfabeto se utilizan como constantes y las últimas letras del funciones.
alfabeto como variables.
CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL
Se llama gráfica de f al conjunto de puntos del plano definido
por Para mostrar gráficamente que una relación dada no es una
función basta encontrar una sola recta paralela al eje y que
G(f) = {(x, y)   / y = f(x)}.
2
contenga por lo menos dos puntos de la relación. Este
método para determinar si una relación es o no función se
Una función real de variable real es una aplicación
llama criterio de la vertical para funciones.
f : A  B con A, B  .
Nota:
Se designa como 2, al conjunto de todos los pares ordenados
de números reales.
2 = {(x, y) / x, y  }
Desde el punto de vista geométrico 2 es el plano.
Informalmente, dar una función f supone dar:
¿CÓMO DETERMINAR EL DOMINIO Y EL RANGO DE
a) su dominio de definición A = Dom f ;
UNA FUNCIÓN?
b) su rango B;
c) una regla de correspondencia o regla de definición que En el análisis de funciones es importante identificar el dominio
permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A, sin y el rango de una función. Esto se puede hacer a partir de la
excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado lectura de la gráfica o a partir del análisis de la fórmula
por x y f. matemática que describe la función.
¿CÓMO SE PUEDE DEFINIR UNA FUNCIÓN? A partir de la fórmula matemática:
Existen cuatro formas de definir una función: 1
Sea y vemos que x puede tomar valores diferentes de
1. Descriptiva: es la descripción verbal del fenómeno que se x
estudia. En ésta se detallan las condiciones en que ocurren los cero, ya que la división no está definida cuando el
hechos. denominador es cero.
Como ejemplo digamos que la ganancia G que resulta de
vender x artículos, en el cual cada uno vale $20. Sea y  x , para este caso, x puede tomar valores no
negativos (positivos o cero), ya que las raíces pares solo tienen
2. Numérica: consiste en hacer una tabla de valores, con los solución real para valores positivos o cero.
datos obtenidos del fenómeno que se está analizando.
Siguiendo con el ejemplo que estamos tomando: En general, el dominio de una función está determinado por los
A 1 2 3 4 … valores que puede tomar la variable x, sin que se presenten
B 20 40 60 80 … ambigüedades en el momento de hacer la operación
matemática para hallar y.
3. Gráfica: es hacer una representación visual, utilizando pares
ordenados, los cuales se grafican en el sistema de coordenadas Para hallar el rango de la función matemática, se despeja x y se
cartesianas. determina qué valores puede tomar y sin que se presenten
En el eje de las x se ubican el número de artículos y en el eje y ambigüedades.
la ganancia. Al ubicar los puntos y unirlos se observa una
tendencia a formar una recta.
EDERPAD
Licmat 20.10

4. EVALUANDO FUNCIONES puede describirse como
Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No f( )  2( )2  4( ) 1
obstante, en este texto nos concentraremos fundamentalmente donde se usan paréntesis en lugar de x. Para evaluar f(-2), basta
en funciones dadas por ecuaciones que involucran las variables colocar -2 entre cada par de paréntesis.
dependiente e independiente. Por ejemplo, la ecuación
x2  2 y  1 Ecuación en forma implícita f (2)  2(2) 2  4(2)  1 Sustituir x por -2
define y, la variable dependiente, como función de x, la  2(4)  8  1 Simplificar
variable independiente. Para evaluar esta función (esto es, para  17 Simplificar
hallar el valor de y correspondiente a un valor de x dado)
resulta conveniente despejar y.
1
y
2
1  x2  Ecuación en forma explícita
Denotando por f la función, se puede escribir esta ecuación
como
1
f  x 
2
1  x 2  Notación de funciones
La ecuación original x  2 y  1 define implícitamente y
2
como función de x. Cuando despejamos y, estamos escribiendo
la ecuación en forma explícita.
La notación de funciones tiene la ventaja de que permite
identificar claramente la variable dependiente como f{x),
informándonos al mismo tiempo de que la variable
independiente es x y de que la propia función se denota por «f».
El símbolo f(x) se lee « f de x ». La notación de funciones
permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar «¿cuál es el
valor de y que corresponde a x = 3?» se puede preguntar
«¿cuánto vale f(3)?»
En la ecuación que define una función, el papel de la variable x
es simplemente el de un hueco a llenar. Por ejemplo, la función
dada por
f ( x)  2 x 2  4 x  1
APLICA
En Los ejercicios 1-10, evaluar (si es posible) la función en los valores dados de la variable independiente. Simplificar los
resultados.
11. Determine si cada una de las curvas es la gráfica de una función de x, aplicando el criterio de la recta vertical.
EDERPAD
Licmat 20.10

5. 12. Determine si la curva es la gráfica de una función de x. En caso de serlo, obtenga el dominio y el rango de la misma.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 1. Determinar el dominio de las siguientes funciones
x x2  5
a. f ( x)  b. g ( x) 
x  9x
3
x 2  16
SOLUCIÓN
a. La función f no está definida cuando el denominador es 0. Dado que:
x3  9 x  x  x 2  9   x  x  3 x  3
Se tiene que:
Dom  f     3, 0,3   , 3   3, 0    0,3   3,  
b. Como la raíz de un número negativo no es un número real, la función g estará definida sólo para los valores de x para los cuales
x2  5
0,
x 2  16
resolviendo esta desigualdad se tiene que:
Dom  g    , 4     5, 5    4,   .
 
Ejemplo 2. Determinar el rango de las siguientes funciones
x
a. f ( x)  x  x 2 b. g ( x) 
x  16
2
a. Ahora lo que se quiere es analizar los valores que puede tomar la variable y, esto es ver cuáles son los números reales y que se
pueden escribir como y  x  x , lo que equivale a analizar para qué valores de y la ecuación x  x  y  0 tiene
2 2
soluciones reales.
La ecuación tendrá soluciones reales cuando su discriminante sea positivo o cero, en el caso de la ecuación considerada se tiene
1
que: 1  4 y  0 si y sólo si y  . Por tanto
4
 1
Ran  f    ,  .
 4
13-20. Se da una función f. 21-27. Calcule el dominio y rango de cada una de las funciones
reales dadas.
a. Trace la gráfica.
b. Determine el dominio.
EDERPAD
Licmat 20.10