trabajo

1. Alexari Y. Romero P.
Aplicaciones de las derivadas
Una derivada se calcula mediante la operación de diferenciación o derivación.
Los teoremas que permiten ejecutar este cálculo sobre funciones algebraicas se
establecen y también se introducen las derivadas de orden superior.
La tasa de crecimiento de una población de bacterias proporciona una
aplicación de la derivada en biología. La tasa de variación en una reacción química es
el interés para un químico. Los economistas tratan con conceptos marginales tales
como ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal, los cuales son tasas (o
razones) de variación.
RAZÓN DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable
independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con
respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por
ejemplo
 El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
 La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
 El volumen de un globo mientras se infla
 La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento
)()( tfttfQ 
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición,
la razón de cambio ∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente
t
tfttf
t
Q




 )()(

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Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el
límite de esta razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea
de Q es
t
tfttf
t
Q
tt 





)()(
limlim
00
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio
instantánea de Q=f(t) es la derivada
)´(tf
dt
dQ


3. Alexari Y. Romero P.
La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el
punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia
con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo de la curva. Pero si súbitamente, en el
instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva
trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es
positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si
𝒅𝑸
𝒅𝒕
> 𝟎
Q es decreciente en el instante t si
𝒅𝑸
𝒅𝒕
< 𝟎

4. Alexari Y. Romero P.
La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede
interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable
independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio
unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente
x
xfxxf
x
y




 )()(
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando
∆x→0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con
respecto de x es
)x´(f
dx
dy
x
y
lim
x



 0
Ejercicio 1
Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas
circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando
la onda exterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50
cm=s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del círculo formado por dicha onda?
Solución:
Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando el área de un
círculo, cuando su radio mide 3 m y la longitud de éste aumenta a razón de 0,5 m/s. Es
decir, si consideramos un círculo que (en cierto instante t ) tiene un radio r(t) y un
área A(t), entonces lo que se desea es calcular la velocidad con que cambia (razón de
cambio) el área A(t), cuando el radio r(t)es de 3 m y la razón de cambio del radio es de
0.5 m/s. Esto es, se pide calcular la derivada
𝒅𝑨
𝒅𝒕
cuando r = 3 y cuando
𝒅𝒓
𝒅𝒕
= 𝟎, 𝟓

5. Alexari Y. Romero P.
El área del círculo es A = πr2. La razón de cambio de A con respecto al tiempo t
se obtiene derivando ambos miembros con respecto al tiempo:
𝒅𝑨
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
( 𝝅𝒓 𝟐) = 𝟐𝝅𝒓
𝒅𝒓
𝒅𝒕
En el caso particular en que r(t) = 3 m y
𝒅𝒓
𝒅𝒕
= 𝟎, 𝟓𝒎/𝒔
𝒅𝑨
𝒅𝒕
= 𝟐𝝅 · 𝟑𝒎 ·
𝟎. 𝟓𝒎
𝒔
= 𝟑𝝅 𝒎 𝟐
/𝒔 ≈ 𝟗, 𝟒𝟐𝟒𝟖𝒎 𝟐
/𝒔
Esto es, en el preciso instante en que el radio es de 3 m, éste tiene un cambio de
0.5 m/s y el área tiene un cambio de 3π m2/s ≈ 9,4248 m2/s.
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION
DEFINICION: Se dice que una función tiene un máximo relativo en un punto de
abscisa x = c perteneciente a un intervalo [a, b] si se verifica que:
f( c ) > f( x )  x  [a,b]
DEFINICION: Se dice que una función tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa
x = c perteneciente a un intervalo [a,b] si se verifica que:
f( c ) < f( x )  x  [a,b]

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Si la función f tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo
en c, entonces se dice que f tiene un extremo relativo en c.
TEOREMA: Si f(x) existe para todos los valores de x en el intervalo abierto (a,b) y si f
tiene un extremo relativo en c, donde a < c < b, si f ´(c) existe, f ´ (c ) = 0.
DEFINICION: Si c es un número en el dominio de la función f y si f ´(c ) = 0 o f ´(c ) no
existe, entonces c se llama valor crítico de f.
DEFINICION: La función f se dice que tiene un valor máximo absoluto en un intervalo,
si existe algún número c en el intervalo tal que f(c )  f(x) para toda x en el intervalo.
En tal caso f(c) es el valor máximo absoluto de f en el intervalo.
DEFINICION: La función f se dice que tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo,
si existe algún número c en el intervalo tal que f(c)  f(x) para toda x en el intervalo.
En tal caso f(c) es el valor mínimo absoluto de f en el intervalo.
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
DEFINICION: Se dice que una función y = f(x) es creciente en un intervalo si para cada
par de valores x1 y x2 con x1<x2 pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: f(x1)
< f(x2)
a bc x
y
a bc x
yMáximo relativo
(c, f(c))
(c, f(c))
Mínimo relativo

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DEFINICION: Se dice que una función y = f(x) es decreciente en un intervalo si para
cada par de valores x1 y x2 con x1<x2 pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que:
f(x1) > f(x2)
TEOREMA:
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el
intervalo abierto (a,b):
1º) Si f ´(x) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].
2º) Si f ´(x) < 0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b].
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR EXTREMOS
RELATIVOS DE UNA FUNCION
y
xx1 x2
xx1 x2
y
y
xx1 x2
xx1 x2
y

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Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) que contiene
al número c, y supongamos que f´ existe en todos los puntos de (a,b), excepto
posiblemente en c:
1º) Si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c
como punto extremos derecho, y si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n
valor máximo relativo en c.
2º) Si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c
como punto extremos derecho, y si f´(x) > 0 para todos los valores de x en algún
intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n
valor mínimo relativo en c.
En resumen, para determinar los extremos relativos de una función y = f(x)
(máximos y mínimos relativos) se sigue los siguientes pasos:
a) Se calcula la primera derivada de la función
b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que resulta, las raíces
de esta ecuación se denominan valores críticos y representan las abscisas de los
posibles máximos y/o mínimos relativos de la función.
c c

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c) Si x = c es un valor crítico, entonces:
𝑆𝑖 𝑓 ‘( 𝑐 − ) < 0
𝑓 ‘( 𝑐) = 0
𝑓 ‘( 𝑐 + ) > 0
𝛿 > 0} 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑆𝑖 𝑓 ‘(𝑐 − ) > 0
𝑓 ‘( 𝑐) = 0
𝑓 ‘( 𝑐 + ) < 0
𝛿 > 0} 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR EXTREMOS
RELATIVOS DE UNA FUNCION
TEOREMA:
Sea c un valor crítico de una función f en la cual f ´(c) = 0 y f existe para todos los
valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c. Entonces, si f ´´(c) existe y:
1º) si f ´´(c) < 0, f tiene un valor máximo relativo en c.
2º) si f ´´(c) > 0, f tiene un valor mínimo relativo en c.
Para determinar los extremos relativos de una función (máximos y mínimos
relativos) y = f(x) se sigue los siguientes pasos:
a) Se calcula la primera derivada de la función
b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que resulta, las raíces
de esta ecuación se denominan valores críticos y representan las abscisas de los
posibles máximos y/o mínimos relativos de la función.
c) Se calcula la segunda derivada de la función.

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d) Si x = c es un valor crítico, entonces:
Si f ‘‘(c) > 0 la función tiene un mínimo relativo en x = c.
Si f ‘‘(c) < 0 la función tiene un máximo relativo en x = c.
ESTUDIO DE LA CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA CURVA
DEFINICION:
La gráfica de una función f se dice que es cóncava hacia arriba en el punto (c,f(c )) si
existe f ´(c ) y si existe un intervalo abierto I que contenga a c tal que para todos los
valores de x  c en I, el punto (x,f(x)) sobre la gráfica esté arriba de la recta tangente a
la gráfica en el punto (c,f(c )).
DEFINICION:
La gráfica de una función f se dice que es cóncava hacia abajo en el punto (c,f(c )) si
existe f ´(c ) y si existe un intervalo abierto I que contenga a c tal que para todos los
valores de x  c en I, el punto (x,f(x)) sobre la gráfica esté bajo de la recta tangente a la
gráfica en el punto (c,f(c )).
(c,f(c ))
c x
y

11. Alexari Y. Romero P.
TEOREMA: Sea f una función diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a
c. Entonces:
1º) Si f ´´(c ) > 0, la gráfica de f es cóncava hacia arriba (cóncava) en (c,f(c )).
2º) Si f ´´(c ) < 0, la gráfica de f es cóncava hacia abajo (convexa) en (c,f(c )).
PUNTOS DE INFLEXION
El punto (c,f(c )) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, si la
gráfica tiene ahí una recta tangente y si existe un intervalo abierto I que contenga a c,
tal que si x está en I, entonces
1º) f ´´(x) < 0 si x < c y f ´´(x) > 0 si x > c o
2º) f ´´(x) > 0 si x < c y f ´´(x) < 0 si x > c.
Es decir, un punto de inflexión es un puntos sobre la gráfica de una función en la cual
el sentido de la concavidad cambia, entonces la gráfica intercepta a la tangente en ese
punto.
(c,f(c ))
c x
y
c x
y

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TEOREMA: Si la función f es diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a c
y si (c,f(c )) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces si f ´´(c ) existe, f ´´(c )
= 0.
ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN
Para realizar el estudio completo de una función, es decir, determinar los intervalos
de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, la concavidad de la
curva y los puntos de inflexión se siguen los siguientes pasos:
a) Se calcula la primera derivada de la función
b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que resulta, las raíces
de esta ecuación se denominan valores críticos y representan las abscisas de los
posibles máximos y/o mínimos relativos de la función.
c) Se calcula la segunda derivada de la función.
d) Se iguala a cero la segunda derivada y se resuelve la ecuación que resulta, las
raíces de la misma son las abscisas de los posibles puntos de inflexión.
Criterio de la segunda derivada
e) Si x = c1 es un valor crítico para máximos y mínimos, entonces:
Si f ‘‘(c1) > 0 la función tiene un mínimo relativo en x = c.
Si f ‘‘(c1) < 0 la función tiene un máximo relativo en x = c.
f) Si x = c2 es un valor que anula la segunda derivada, entonces habrá punto de
inflexión si el signo de esta segunda derivada cambia para valores antes y después
de c2.
Ejercicio2:
1) Dada la función y = x3 – 6x2 + 9x realizar el estudio completo de la misma.

13. Alexari Y. Romero P.
y = x3 – 6x2 + 9x
Primera derivada
y’ = 3x2 – 12x + 9
y’ = 0  3x2 – 12x + 9 = 0  x2 – 4x + 3 = 0  (x-1)(x-3) = 0
Abscisas de los posibles máximos y mínimos de la función (números críticos).
 x1 = 1; x2 = 3
y’’ = 6x – 12 segunda derivada
Abscisa del posible punto de inflexión.
y’’ = 0  6x – 12 = 0  6x = 12  x = 2
Una vez calculados todos los valores críticos se ordenan los mismos y se
confecciona una tabla donde se tienen en cuenta los distintos intervalos donde se
realizará el estudio de la función, de la primera y segunda derivada de la misma.
INTERVALOS f(X) f'(x) f''(x) CONCLUSIONES
x < 1 + - Crece - Cóncava hacia abajo
x = 1 4 0 - Cóncava hacia abajo - Máx (1,4)
1< x < 2 - - Decrece - Cóncava hacia abajo
x = 2 2 - 0 Decrece - Punto de inflexión. (2, 2)
2 < x < 3 - + Decrece - Cóncava hacia arriba
x = 3 0 0 + Cóncava hacia arriba - Mín (3, 0)
x > 3 + + Crece - Cóncava hacia arriba

14. Alexari Y. Romero P.
Usos de las Derivadas en las áreas tecnológicas:
Las derivadas tienen una aplicación muy práctica para la empresa. Es
fundamental para el cálculo de máximos y mínimos de funciones.
De esta forma si se establece que los gastos de una empresa tienen forma de
una función f, se querrá saber cuál es el mínimo para poder evitar las máximas
pérdidas. Si el precio en el mercado de un producto, atendiendo a la ley de oferta y
demanda, es más barato cuanto más haya se tendrá que calcular como sacar máximos
beneficios. Esta es una, tal vez la más utilizada, de las aplicaciones de las derivadas en
la administración de empresas.
La administración se basa a veces en la estadística o en los datos contables
para dirigir el curso de las acciones empresariales en base a los datos del pasado; por
ejemplo.
Máximo
Mínimo
Punto de
Inflexión
3

15. Alexari Y. Romero P.
En función a la demanda de los años anteriores de un juguete y del crecimiento
poblacional y varianza del poder adquisitivo en el año, determinar la producción de
cada juguete.
En función a la cantidad de personal existente, rendimientos e ingresos,
determinar la cantidad de posible personal a contratar, para que éste sea sustentable
El cálculo diferencial en las industrias se aplica sobre todo en las operaciones
de transferencia de cantidad de movimiento (o momentum), de calor y de masa.
Regular y propiamente el cálculo se aplica para el desarrollo de los modelos
matemáticos que representan estos fenómenos de transferencia (movimiento, calor y
masa). Una vez definidos los modelos que se concretan en ecuaciones o fórmulas,
solamente aplicas estas ecuaciones. La salida o resultados de esto es el
dimensionamiento (por ejemplo potencias, velocidades, áreas y longitudes) en el
diseño de los equipos o en el control de los procesos.
Sin embargo la aplicación más en corto y común del cálculo diferencial se tiene
en balance de materia, balance de energía y termodinámica. Los balances, sobre todo
el de materia, es lo que más se aplica en la industria, para el cálculo de rendimientos y
evaluación de la eficiencia de los procesos. Esto es especialmente en procesos no
estacionarios y con recirculación, por ejemplo la impregnación de solutos (sales o
azúcares) en tanques con bombeo para recirculación de las salmueras o jarabes, para
poder calcular la alimentación con nuevas soluciones de las sales o los azúcares.
También se aplica para la modelación de la cinética de las reacciones, las cuales sirven
para calcular la cantidad de las sustancias.
Las derivadas representan razones de cambio en su aspecto más simple; así
pues, cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste el
embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automóvil, todo eso son
las derivadas funcionando.
La ingeniera no debe su existencia a un decreto real ni fue creada por ninguna
legislación, ha evolucionado y se ha desarrollado como un arte práctico y como una
profesión a lo largo de más de cincuenta años de historia documentadas. Sus raíces
pueden remontarse al nacimiento de la civilización misma y su progreso ha sido

16. Alexari Y. Romero P.
paralelo al progreso de la humanidad. Nuestros antepasados intentaron controlar y
utilizar los materiales y las fuerzas naturales para el beneficio general, tal como lo
seguimos haciendo en la actualidad. Se dedicaron a estudiar y a observar leyes de la
naturaleza y desarrollar un conocimiento de las matemáticas y la ciencia. Aplicaron
estos conocimientos con discreción y buen juicio, logrando así satisfacer necesidades
sociales mediante la construcción de puertos, caminos y edificios, medios de riego y de
control de corrientes de agua mediante trabajos creativos.
Sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino velocidades de
crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc.; esto
es algo fundamental para el estudio de poblaciones, de fluidos, de dinámica, de
termodinámica, y de química. Prácticamente todas las fórmulas que se conocen surgen
a partir de ecuaciones diferenciales, y de condiciones; por ejemplo en análisis de
señales ya que una señal tiene una amplitud y una frecuencia, actúan como funciones
de senos y cosenos, y pues obvio para analizarlas te tienes que meter en una ecuación
diferencial. Y pues bueno, en una ingeniería se ocupan para analizar cuestiones
técnicas de cada rama que estudies, por ejemplo, en electrónica pues con la ley de
ohm, en química con las leyes de los gases ideales, en ingeniería civil se ocupan las
derivadas para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las ecuaciones de
momentos flexionantes.
Como varía la temperatura en un tubo cuando aumenta la presión
(refrigeradores) Cuánta fuerza necesitas para revolver una mezcla a velocidad
constante en función de cómo varía su densidad al aumentar los ingredientes (una
fábrica de mantequilla de maní). Calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo
tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo.