La derivada direccional calcula la pendiente de una función en cualquier dirección, no solo en las direcciones x e y. Se define utilizando un vector unitario que indica la dirección, y es igual al gradiente de la función escalado por ese vector. El gradiente es un vector que contiene las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable.
1. LA DERIVADA DIRECCIONAL
Ya sabemos como determinar las pendientes en las direcciones x e y que vienen
dadas respectivamente por las derivadas parciales fx (x, y) y fy (x, y). En esta
sección veremos que estas dos pendientes sirven para calcular la pendiente en
cualquier dirección.
Para calcular la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo
tipo de derivada, la derivada direccional. Sea z = f (x, y) una superficie y P (x0,
y0) un punto en el dominio de f. la dirección de la derivada direccional la da un
vector unitario: jseniu θθ += cos
2. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
Cálculo de la derivada direccional
EJEMPLO 1: Calcular la derivada direccional de :
4. EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos
variables. Tiene múltiples aplicaciones (como la divergencia y el rotacional), las
cuales describiremos más adelante. (ver figura 12.45)
NOTA: No se asigna valor alguno al símbolo en sí mismo . Es un
operador, en el mismo sentido que lo es d/ dx: Cuando opera sobre f
(x, y) produce el vector f (x, y)
∇
∇
∇
5. EJEMPLO 3: Calcular el gradiente de:
CÁLCULO DEL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN
)2,1(ln),( 2
puntoelenxyxyyxf +=
6. Cálculo de la derivada direccional usando el gradiente ),( yxf∇
EJEMPLO 4: Calcular la derivada direccional de :
7. EJEMPLO DE APLICACIÓN.
Un termocople utilizado para medir la temperatura se
encuentra flotando en un líquido cuyos campos de
velocidad y temperatura están dados por:
T = x2
+ yz + 3t o
C
V = 3xi + (2y + 6t2
y)j + 5k
Encuentre la razón de cambio de la temperatura
cuando se está en la posición:
5i + 2j + k en t =1 seg
