Matemática III. Derivadas Direccional.

2. La derivada es el resultado de un límite y
representa la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en un punto.

3. Una derivada parcial de una función de
diversas variables es su derivada respecto a
una de esas variables manteniendo las otras
constantes.
La derivada parcial de una función f respecto a
la variable x se representa como f/ x

4. Se conoce que para una función z= f(x,y), sus
derivadas parciales evaluadas en ese punto
(x,y) miden las razones de cambio en
direcciones paralelas a los ejes x, y
respectivamente.
La razón de cambio en cualquier dirección
viene determinada por la DERIVADA
DIRECCIONAL en la dirección de un vector
unitario.

5.  Sea 𝑢 un vector unitario perteneciente al
plano y  su Angulo director, es decir el
ángulo que forma con el semieje (+) de las
x, entonces la derivada direccional de dicho
vector vendría dado por:
𝑢= cos 𝑖 ,sen 𝑗 
D𝑢 F(x,y) = Fx(x,y)cos+ Fy(x,y)sen

7. Si la función f(x,y) es diferenciable, entonces la
derivada direccional se calcula por la fórmula:
 𝑧
𝑢
=
 𝑧
 𝑥
𝑢1 +
 𝑧
 𝑦
𝑢2
Es decir la suma de los productos de las
parciales por las componentes del vector
unitario

8. Existen diferentes notaciones:
 ∇𝑢f

 𝑓
 𝑢
 f𝑢
 D𝑢 f
 𝑢f
Todas estas notaciones representan lo mismo: la
razón de cambio de f a medida que mueves la
entrada a lo largo de la dirección de 𝑢.

10.  1) Teniendo una función multivariable f(x,y,z)
que toma tres variables de entrada, y quieres
calcular su derivada direccional a lo largo del
siguiente vector:
𝑣  2,3,-1
La respuesta seria:
D 𝑣 = 2
 𝑓
 𝑥
+ 3
 𝑓
 𝑦
+ (-1)
 𝑓
 𝑧

11.  2) Sea F(x,y) = 𝑥2
- xy, Cual es la derivada
direccional de f en el punto (2,3)en la
dirección del vector 𝑣=< 0,6 𝑖 +
0,8 𝑗 >
Solución:
D𝑢= 0,6
 𝑓
 𝑥
+ 0.8
 𝑓
 𝑦
 𝑓
 𝑥
=2x-y
 𝑓
 𝑦
= -x

12. Evaluando las derivadas en el punto (2,3)
tenemos:
 𝑓
 𝑥
= 2(2) – 3 = 7
 𝑓
 𝑦
= -2
 D𝑢 = 0,6(7) + 0.8(-2)
= 2.6

13.  3) Encontrar la derivada direccional de la
función f(x,y) = 𝑥2
+ y +1 en la dirección de
𝑢 =
1
√2
,
1
√2
 en el punto (0,0).
Utilizando la defición de la derivada direccional
como un limite tenemos:
D 𝑢 f(0,0) = lim
ℎ 0
𝑓 0,0 +ℎ
1
2
,
1
2
−𝑓 (0,0)
ℎ
= lim
ℎ 0
𝑓
ℎ
2
,
ℎ
2
−𝑓 (0,0)
ℎ
= lim
ℎ 𝑜
ℎ2
2
+
ℎ
√2
+1−1
ℎ
=
1
√2