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1
RELACIONES Y FUNCIONES
INTRODUCCION
Cuando manejamos esquemas de este tipo, solemos decir que se estableció una relación o
correspondencia entre los conjuntos A y B en donde al elemento a le corresponde el 1 y
también el 3 y al elemento c le corresponde solamente el 3.
Al decir que al elemento a le corresponde el elemento 1 estamos haciendo entrar en juego
un par ordenado de elementos, el par (a,1). Nótese que no es lo mismo decir que a a le
corresponde el 1, que decir que a 1 le corresponde a.
Consideraciones similares hacen aparecer a los pares (a,3) y (c,3). No parece descabellado
entonces considerar:
 1 ( ,1),( ,3),( ,3)R a a c
Establezca un par de relaciones cualesquiera entre los mismos conjuntos A y B. ¿Las
consideraciones hechas sobre 1R puede realizarlas sobre las dos relaciones que acaba de
definir? En otras palabras ¿Puede considerarlas como conjunto de pares ordenados?
Definición
Consideramos A y B dos conjuntos cualesquiera. Decimos que R es una
relación de A en B si y solo si R es un conjunto de pares ordenados de primera componente
en A y segunda en B. Anotamos :R A B En otras palabras:
Nota:
Consideramos : si ( , )R A B x y R  decimos que y es imagen de x (según R) y
que x es preimagen de y (según R). Así por ejemplo ya que 1( ,1)a R diremos que a es
preimagen de 1 y que 1 es imagen de a. También puede expresarse que a x le corresponde y
(según R) o que y es correspondiente de x (según R).
Si ( , )x y R podemos anotar: óR
x y xRy .
R es una relación de A en B R A B  
a
b
c
1R
1
2
3
3
A B

2. 2
2
Definición
Sea :R A B . Llamamos dominio de R al conjunto formado por los
elementos de A que tienen al menos una imagen en B (según R). En otras palabras el
dominio es el conjunto de las primeras componentes de los pares de R. Anotamos DR.
Sintéticamente:
Así por ejemplo  1
,RD a c
Denominamos recorrido de R al conjunto formado por los elementos de B que tienen al
menos una preimagen en A (según R). En otros términos el recorrido de R es el conjunto de
las segundas componentes de los pares que forman R. Anotamos RR . Sintéticamente:
Así por ejemplo  1
1,3RR  . Hallar el dominio y el recorrido de las relaciones por Ud.
definidas.
Definición
Consideramos una relación :F A B Decimos que F es una función si y solo
si todo elemento de A tiene una y solo una imagen en B (según F)
Ejercicio:
Sean    , , ,A a b c B    y las siguientes relaciones de A en B
 ( , ),( , ),( , ),( , )R a a b c       ( , ),( , ),( , ) y ( , ),( , )R a b c R a c      
Indicar cuáles de ellas son funciones y cuáles no. (Sugerimos realizar un diagrama para
cada una de las relaciones).
Seguramente ha llegado a la conclusión de que R y R’’ no son funciones por diferentes
motivos. Mientras que R no es una función debido a que a tiene dos imágenes ( y )  , R
no lo es ya que b carece de imagen..
Observemos que si consideramos  *
,A a c en lugar de A , R es una función de
*
A B . Sin embargo no hay forma de que cambiando los conjuntos A ó B, R pase a ser
una función. En otras palabras si una relación no es una función porque hay algún
elemento del conjunto de partida que no tiene imagen, cambiando dicho conjunto
(eliminando de él aquellos elementos sin imagen) pasamos a tener una función. Ahora si no
DR  / ; ( , )x A y B x y R    
 / ; ( , )RR y B x A x y R    

3. 3
3
es función porque algún elemento del primer conjunto tiene más de una imagen, esto no
tiene “arreglo” sin alterar el conjunto de pares (la relación en si misma). Esta
“desprolijidad” de que R es función o no, dependiendo de quién sea el conjunto de
partida, puede superarse adoptando otra definición de relación. Concretamente
considerando a una relación :R A B no solamente como un conjunto de pares
ordenados de primera componente en A y segunda en B, sino como la terna formada por el
conjunto de pares, A y B. Así con esta última definición al cambiar el conjunto A estamos
cambiando la relación. Más precisamente:
RELACIÓN O CORRESPONDENCIA
Definición
Llamamos gráfica a un conjunto de pares ordenados.
Si G es una gráfica llamamos primera proyección de G al conjunto formado por las
primeras componentes de los pares de G. Anotamos  1prG . Análogamente definimos
segunda proyección.
Definición
Consideramos A y B conjuntos. Llamamos relación o correspondencia de A en
B a una terna ordenada  , ,R G A B en donde G es una gráfica tal que G A B  .
Se dice que G es la gráfica de R, A el conjunto de partida y B el conjunto de llegada o
codominio.
Nota
Si R es una relación de A en B anotamos :R A B
Sea  , ,R G A B una relación de A en B. Si  ,x y G decimos que y es imagen de x
según R, también que a x le corresponde y, que x es preimagen de y etc. En otras palabras la
misma terminología ya presentada.
FUNCIÓN
Definición
Decimos que una gráfica F es una gráfica funcional
 
 
,
,
x y F
y y
x y F
  
        

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4
Definición
Consideramos  , ,f F A B una relación de A en B. Decimos que f es una
función de A en B si y solo si: 1) 1pr F A (El dominio coincide con el conjunto de partida)
2) F es una gráfica funcional.
En otras palabras la relación  , ,f F A B es una función si y solo si todo elemento de A
tiene una y solo una imagen según f.
Observación Sea :f A B una relación
f es función
) / ( , )
( , )
( , )
) ' ( ', ') '
( , ')
'
i x A y B x y F
x y F
x y F
ii y y x y F x x
x y F
y y
    

  
      
                 
Nota
Volvamos al ejemplo. Siendo    , , ,A a b c B     *
,A a c y la gráfica
 ( , ),( , )R a c   Observemos que  , ,R A B no es función pero sí lo es  , ,R A B

Ahora se trata de dos ternas distintas ya que difieren en la segunda componente. Salvando
así la inconsistencia observada.
Nota: Consideramos  , ,g G   con  2 2
( , ) /G x y y x   Observemos que g es
una función de   . Abusando de los diagramas podemos esquematizar:
 
 
 
x x2

5. 5
5
A g la anotaremos mas brevemente 2
: ; ( )g g x x   Así con esta notación
indicamos que la imagen de un x real cualquiera es x2
. Por ejemplo si anotamos (2)g
hacemos referencia a la imagen de 2 según g y la calculamos 2
(2) 2 4g   simplemente
sustituyendo x por 2 en 2
( )g x x .
En general si  , ,f F A B es una función y  ,x y f anotamos ( )f x y
¿Por qué esta notación se utiliza exclusivamente para funciones y no para una relación
cualquiera?
Nota
Consideramos :f A B función y H un subconjunto de A.
Anotamos  f H al conjunto de las imágenes de los elementos de H.
Sintéticamente    ( ) /f H f x x H 
Por ejemplo si 2
: ; ( )g g x x   y denominamos  1,2,3,4H  entonces
   1,4,9,16g H 
RESTRICCIONES Y EXTENSIONES DE UNA FUNCIÓN
También podemos considerar una nueva función 2
: ; t( )t H x x  más precisamente
           1,1 , 2,4 , 3,9 , 4,16 , 1,2,3,4 ,t  
Esta nueva función, a cada elemento de H le hace corresponder la misma imagen que la
función g. A la función t la denominaremos restricción de g sobre H. En general:
Definición
Consideramos: :f A B función,  , tal queX A Y B f X Y  
Llamamos restricción de f a X y a Y, a la función  , ,F X Y en donde F es la gráfica
  , ( ) /F x f x x X  A esta nueva función la anotaremos ,f X Y
Es habitual que Y B y en este caso anotamos simplemente f X y la denominamos
restricción de f sobre X. Concretamente si anotamos f X convenimos que el codominio es
el mismo que el de la función original f.

6. 6
6
Ejemplo Consideramos
( ) 0 si 2
: ;
( ) 1 si 2
f x x
f
f x x



 
 
  
 
P el conjunto de los naturales pares.
 0,1,2H 
Entonces: f P es una función de dominio P que a todos los elementos del mismo le hace
corresponder la misma imagen (0)
       0,0 , 1,1 , 2,0 , ,f H H 
Definición
Consideramos :f A B función
Si g es una restricción de f , diremos que f es una extensión de g a A y a B.
Cuando no interese poner en evidencia dominio y codominio de la función f, diremos
simplemente que f es una extensión de g. Si solo interesa el dominio A decimos que f es una
extensión de g a A.
Ejemplos Consideramos  : ; ( ) 10 con 0,1,2g A g x x A   
Las funciones 2
( ) 10 si 3
: ; ( ) 10 y : ;
( ) si 3
h x x x
f f x x h
h x x x
  
    
 
    son
extensiones de g sobre  .
Observación
Una función f es una extensión de una función g si y solo si:
1) El dominio de f contiene al de g.
2) El codominio de f contiene al de g.
3) ( ) ( ) gf x g x x D  
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Para que una relación de A en B sea una función todo elemento de A debe cumplir dos
condiciones 1) debe tener imagen 2) dicha imagen debe ser única. Si condiciones similares
le exigimos a los elementos de B, esto da lugar a la clasificación habitual de funciones. Más
precisamente:

7. 7
7
Definición
Consideramos :f A B una función. Diremos que:
1) f es sobreyectiva si y solo si todo elemento de B tiene preimagen.
2) f es inyectiva si y solo si los elementos de B que tienen preimagen, esta es
única.
3) f es biyectiva si y solo si es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
Ejercicio:
Dar un ejemplo de: i) Una función biyectiva ii) Una función ni inyectiva ni
sobreyectiva iii) Una función inyectiva no sobreyectiva. iv) Una función sobreyectiva no
inyectiva.
En cada uno de los casos anteriores. ¿Observa alguna vinculación entre la
cantidad de elementos del conjunto de partida y el de llegada?
Observación
Consideramos :f A B
1) f es sobreyectiva / ( ) fy B x A f x y R B       
En otras palabras una función es sobreyectiva si y solo si el recorrido coincide con
el codominio.
2) f es inyectiva  
( )
( ) ( )
( )
f x y
y y x x f x f x
f x y
  
         
  
Para decirlo de otra manera. Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos hace
corresponder imágenes distintas.
Ejercicios Probar: 1)  : ; ( ) , , 0f f x ax b a b a       es biyectiva.
2) 2
: ; ( )g g x x   no es ni inyectiva ni sobreyectiva.
3) ,g  
  es biyectiva.
RELACIÓN INVERSA – FUNCIÓN INVERSA
Definición
Sea G una gráfica. Llamamos gráfica inversa de G (anotamos 1
G
)
    1
, / ,G y x x y G
 
Ejemplos 1) Si              1
1,2 , 3,5 , 7,10 2,1 , 5,3 , 10,7G G
  

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8
2) Si         2 1
2, / 2 ,2 / , /y
G x y y x x x x G y y
         
Definición
Consideramos  , ,R G A B una relación de A en B.
Llamamos relación inversa de R a la relación  1 1
, ,R G B A 

Ejemplo
Consideramos             , , , , , , , , , , , y , ,A a b c B F a b c f F A B        
Entonces         1 1 1
, , , , , y , ,F a b c f F B A    
 
Observemos que f es función pero 1
f 
no lo es. Es razonable cuestionarse qué condiciones
debe cumplir una función para que su inversa también lo sea. ¿Qué opina?
Teorema
:f A B función.
1
:f B A
 es función f es biyectiva
Dem.   Llamemos F a la gráfica de f. Entonces  1 1
, ,f F B A 

Si 1
f 
es función 1 1pero f ff f
D B D R R B      
es sobreyectivaf
Por otra parte si ( ) ( )f x f x como 1
f 
es función podemos afirmar que
   1 1
( ) ( )f f x f f x x x 
    Con lo cual f es inyectiva
  Ahora partimos de la hipótesis de biyectiva sobreyectiva ff f R B  
Como 1 1f f f
R D D B   
Ahora si        1 1
, , , ,y x F y x F x y F x y F 
       
Teniendo en cuenta que f es inyectiva podemos afirmar que x x
Así que:    1 1
, ,y x F y x F x x 
     
De ambas proposiciones subrayadas se concluye que 1
:f B A
 es una función.
Nota  
11
f f

 Entonces si :f A B es una función biyectiva, 1
:f B A
 también
es una función biyectiva.

9. 9
9
RELACIÓN COMPUESTA – FUNCIÓN COMPUESTA
Consideramos:
Si nos piden una relación 3 :R A C a partir de 1 2yR R seguramente la primera relación
que se nos ocurre es:
A esta nueva relación (nos referimos a 3R ) la denominaremos relación compuesta de 1R
con 2R Intentemos generalizarlo.
Definición
Consideramos 1 2yG G gráficas tales que 2 1 1 2pr G prG   . Llamamos grafica
compuesta de 1 2yG G (anotamos 2 1G G )       2 1 1 2, / ; , ,G G x z y x y G y z G    
En el caso particular con el que empezamos      , , , , , , , 1,2A a b c B C     
                 1 2 1 1, , , , , , , , ,1 , ,2 , ,2 , , ,G a a b c G R G A B         ,
 2 2 , ,R G B C tenemos que     2 1 ,1 , ,2G G a c
1R 2R
a
b
c



 1
2
3
4
A B C
a
b
c
c
1
2
3
4
A C
3R

10. 10
10
Definición
Consideramos las relaciones    1 1 2 2, , y , , tal queR G A B R G C D 
2 1 1 2pr G prG . Llamamos relación compuesta de 1 2 2 1con (anotamos )R R R R
a la relación  2 1 2 1, ,R R G G A D 
Teorema
: función
: función : es función
f g
f A B
g C D g f A D
R D


  
 

Dem.
Como :f A B es función,    , único / , gráfico def fx A y B x y G G f    
Teniendo en cuenta que :g C D también es función y que f gy R D C   podemos
afirmar que  único / , gz D y z G   .
Por lo tanto  , único / , g fx A z D x z G G      De donde  , ,g fg f G G A D  es
una función, a la que denominaremos función compuesta de f con g.
Nota
Si  , fx y G anotamos ( )f x y , como  , gy z G tenemos que ( )g y z
Ya que  , g fx z G G  podemos afirmar que ( )g f x z Ahora  ( ) ( )z g y g f x 
Así que  ( ) ( )g f x g f x justificando de alguna forma el porqué escribimos la
composición “al revés” de cómo se hace.
A partir de esta nota podríamos definir función compuesta sin antes hablar de relación
compuesta de la siguiente manera:
Consideramos: : funciónf A B , : funcióng C D tal que f gR D . Llamamos función
compuesta de f con g (anotamos g f )  : ; ( ) ( )g f A D g f x g f x  
Ejercicios Consideramos las funciones : y :f A B g B C  . Probar:
1) Si f y g son inyectivas :g f A C  es inyectiva.
2) Si f y g son sobreyectivas :g f A C  es sobreyectiva.
3) Si f y g son biyectivas :g f A C  es biyectiva.
4) f y g son biyectivas    
1 1 1 1
: yg f A C g f f g
   
    

11. 11
11
5)     siendo : también una funciónf g h f g h h C D    
6) La función : ; ( )A AId A A Id x x  es biyectiva. A esta función la
denominamos función identidad de A.
7) Si f es biyectiva 1 1
yB Af f Id f f Id 
   
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Definición
Consideramos A un conjunto no vacío y R una relación definida en A
( : )R A A Decimos que R es una relación de equivalencia si y solo si cumple:
1) Idéntica xRx x A  “todo elemento está relacionado consigo mismo”
2) Recíproca Si xRy yRx “Si x está relacionado con y necesariamente y lo
está con x”
3) Transitiva
xRy
xRz
yRz



Una idea restringida de la “igualdad” es la igualdad como identidad. En otras palabras: dos
elementos son iguales si y solo si son el mismo elemento. Sin embargo habitualmente
utilizamos un concepto más amplio de la igualdad. Por ejemplo decimos que dos segmentos
son iguales sin que sean necesariamente el mismo segmento; el mismo conjunto de puntos.
Justamente la necesidad formal de manejar una idea más amplia de la igualdad que la
igualdad como identidad fue la que llevo a la definición de relación de equivalencia. La
idea utilizada para tal ampliación fue rescatar las características esenciales que debe
cumplir una relación para ser una “igualdad”. Todo elemento debe ser “igual a si mismo”
(idéntica). Si x es “igual” a y necesariamente y tiene que ser “igual” a x (recíproca). Si x es
“igual” a y e y es “igual” a z entonces x es “igual” a z (transitiva).
El lector verificará fácilmente que la relación tener la misma edad o calzar el mismo
número de zapatos definida en un conjunto de personas es una relación de equivalencia.
Veamos ahora algunos ejemplos de relaciones de equivalencia entre objetos matemáticos.
Ejemplo Consideramos 1 1: ; 2R x R y x y

     Demostremos que 1R es una
relación de equivalencia. Para ello debemos probar que 1R cumple:
1) Idéntica 1x R x x  Como 10 2x x x x R x x

        

12. 12
12
2) Recíproca 1 1 1 1Si 2 ( ) 2x R y y R x x R y x y y x x y y R x
 
          
3) Transitiva 1 1 1x R y y R z x R z 
1
1
1
2
( ) ( ) 2
2
x R y x y
x y y z x y y z x z x R z
y R z y z




   
           
   
Ejercicio Llamemos  al conjunto de todas las rectas del plano.
Definimos 2 :R    tal que 2r R s r s  (Dos rectas están relacionadas si y solo si
son paralelas) Nos referimos en este caso al paralelismo amplio; o sea consideramos que
dos rectas de un mismo plano son paralelas si y solo si coinciden o su intersección es vacía.
Verificar que 2R es una relación de equivalencia.
Nota A las relaciones de equivalencia se les suele anotar o  en lugar de R .
Definición
Consideramos :R A A una relación de equivalencia y a A . Llamamos
clase de equivalencia de a (anotamos  a ) al conjunto formado por todos los elementos
de A que están relacionados con a.
   /a x A x Ra 
Así en el ejemplo        10 / 0 / 0 2 / 2x x R x x x x
 
          
       11 / 1 / 1 2 / 2x x R x x x x
 
          
         12 / 2 / 2 2 / 2 0x x R x x x x
 
           
         13 / 3 / 3 2 / 2 1x x R x x x x
 
           
       4 0 , 5 1  etc. Tenemos pues solo dos clases de equivalencia distintas.  0 el
conjunto formado por todos los enteros pares y  1 el conjunto formado por todos los
impares. 1R clasifica a los enteros en pares e impares.

13. 13
13
Si llamamos r a una recta de      2; ;r x x R r x x r      En otras palabras
la clase de equivalencia de r es el conjunto de todas las rectas del plano paralelas a r.
A  r se le denomina dirección de r.
Nota
Consideramos :R A A una relación de equivalencia, ,a b A
Si
   
   
como y cumple transitiva
como y por lo tanto
x a xRa aRb R xRb x b
aRb
x b xRb aRb bRa xRa x a
     
 
     
Así que en caso de que    aRb a b 
       Recíprocamente si teniendo en cuenta que y por lo tantoa b aRa a a a b aRb    
Por lo tanto    a b aRb 
Nota
Consideramos               , , , , , , , , , , , , , , ,A a b c d G a a b b c c d d b c c d 
y la relación  3 , ,R G A A El lector podrá verificar que se trata de una relación de
equivalencia y además              , , ya a b c b c d d    . Es natural considerar el
conjunto formado por las clases de equivalencia, en este caso       , , ,a b c d al que
denominaremos conjunto cociente. Más precisamente:
Definición
Consideramos :R A A una relación de equivalencia. Denominamos conjunto
cociente de A por R al conjunto formado por todas las clases de equivalencia de los
elementos de A. Conjunto que anotamos A
R
  ( ) /A a P A a A
R
  
Por ejemplo     1
0 , 1
R


14. 14
14
Observación
Consideramos :R A A una relación de equivalencia y A
R
el conjunto
cociente. Observemos: que 1) todo elemento de A
R
(que es una clase de equivalencia) es
no vacío   a a 2) Los elementos de A
R
son disjuntos dos a dos (pues dos clases de
equivalencia si tienen un elemento en común, necesariamente coinciden) 3) La uníon de
todos los elementos de A
R
es A    
 
,
Ax
R
a A a a a x

 
     
 
 

Cualquier familia de conjuntos que cumpla estas tres condiciones se llama partición de A .
Definición
Consideramos: A un conjunto y ( )P A
 un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de A
Decimos que  es una partición de A si y solo si se cumple:
1) i iX X   
2) , tal quei j i j i jX X X X X X     
3)
i
i
X
X

 = A
Por lo observado anteriormente parecería razonable:
Teorema
Si :R A A es una relación de equivalencia A
R
 es una partición de A
Dem
Ahora:   ( ) /A a P A a A
R
  
1)       AaRa a A a a a A a a
R
          
2) Si        a b a b    
       
 
 
   Pues si
c a cRa aRc
a b c a b aRb a b
c b cRb
   
          
 
3) Es inmediato que  
  Ax
R
x A

 ya que     Ax A x
R
  

15. 15
15
Nos falta demostrar que  
  Ax
R
A x

 
   
 
, ,
Ax
R
a A aRa a A a a a x a A

         
Con lo cual se concluye la demostración.
Ejercicio Consideramos  1,2,3,4,5A  i) Construya  partición de .A
ii) Sea : : e pertenecen al mismo elemento deR A A xRy x y  . Pruebe que R es
de equivalencia.
Teorema
un conjunto no vacio
H) una partición de
: : /i i i
A
A
R A A xRy X x X y X



       
T) :R A A es de equivalencia
Dem
Idéntica xRx x A 
Como  es una partición de
i
i
X
A A X

  
Entonces x A  necesariamente
i
i
X
x X

 
/k kX x X xRx x A      
Recíproca xRy yRx
/
/
i i i
i i i
xRy X x X y X
X y X x X yRx
      
      
Transitiva xRy yRz xRz 
/i i ixRy X x X y X     
/j j jyRz X y X z X     
Por lo tanto i j i jy X X X X     . Teniendo en cuenta

16. 16
16
que ei jX X son elementos de una partición, no pueden ser elementos distintos. Así que
i jX X . En consecuencia /i j i iX X x X z X xRz      
RELACIONES DE ORDEN
De la misma manera que presentamos las relaciones de equivalencia como una
generalización de la igualdad, ahora intentaremos generalizar las relaciones < y .
Concretamente:
Definición
Consideramos una relación :R A A .
Decimos que R es una relación orden estricto en A si y solo si verifica:
Inidéntica xRx x A  “Ningún elemento está relacionado con si mismo”
Asimétrica Si xRy yRx
Transitiva Si xRy yRz xRz 
Ejercicios
Probar que i) 1 1: :R xR y x y   
ii) 2 2: ( ) ( ):R P A P A XR Y X Y  
Son relaciones de orden estricto.
Definición
Consideramos una relación :R A A .
Decimos que R es una relación orden amplio en A si y solo si verifica:
Idéntica xRx x A 
Antimétrica Si xRy yRx x y  
Transitiva Si xRy yRz xRz 
Ejercicios
Probar que i) 3 3: :R xR y x y   
ii) 4 4: ( ) ( ):R P A P A XR Y X Y  
iii) 5 5: :R xR y x y

   
Son relaciones de orden amplio.

17. 17
17
Definición
Sean: :R A A una relación de orden estricto o amplio
,a b A
Decimos que a y b son comparables por R si y solo si aRb bRa
Definición
Sea :R A A una relación de orden estricto o amplio.
Decimos que R es de orden total si y solo si todo par de elementos distintos de
A es comparable.
R es de orden total , ; necesariamentea b A a b aRb bRa    
Ejercicios
Analizar si 1 2 3 4 5, , , yR R R R R son o no relaciones de orden total.
Material consultado para la elaboración de estas notas:
“Relaciones definidas en un conjunto” Gustavo Franco. Fundamentos 2010
“Introducción a la teoría de conjuntos” Lia Oubiñas. EUDEBA 1976
Abril del 2012 Responsable: Daniel Siberio