Derivada

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Derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la
rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el
valor de su variable independiente. La derivada de una función es un
concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de
cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se toma cada vez más
pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta
función en un punto dado.
La derivada de la función en el punto marcado
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función
equivale a la pendiente de la recta tangente (la
representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada gráfica de la función está dibujada en negro; la
es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo tangente a la curva está dibujada en rojo).
transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una
velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos
tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de
800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media
en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las
15:21, etc.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la
mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el
caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta
derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se
denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como
cálculo.

Historia de la derivada
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la
antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después
(en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
• El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
• El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

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Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura
Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al
descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de
cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos
«derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que
ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para
derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a
reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión,
que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar
los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y
trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de
símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos
y el símbolo de la integral .

Conceptos y aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la
«antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos
conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como
el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante
del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en
los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo,
cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta
tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la
distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante
en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos
de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene
derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es
una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

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Condiciones de continuidad de una función
Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable
dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, ,y
usando la expresión , queda donde en este caso,
. Ello quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un
teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función
que cumpla con
es continua en el punto .

Condición no recíproca
La relación no funciona a la inversa: el que una función
sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que
los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas
laterales no; en este caso la función presenta un punto
anguloso en dicho punto.
Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también
llamada módulo) en el punto . Dicha función se
expresa:

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas,
el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas
resultan:

Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a
pesar de que sea continuo.
De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable.

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Definición analítica de derivada como un límite
En terminología clásica, la
diferenciación manifiesta el
coeficiente en que una cantidad
cambia a consecuencia de un cambio
en otra cantidad .
En matemáticas, coeficiente es un
factor multiplicativo que pertenece a
cierto objeto como una variable, un
vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión
numérica que mediante alguna fórmula
determina las características o
propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica
de la derecha, el coeficiente del que
hablamos vendría representado en el
punto de la función por el resultado
de la división representada por la
relación , que como puede Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.

comprobarse en la gráfica, es un valor
que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función.
Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por
mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.

Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta
tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la
función f en el punto se define como sigue:

,

si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la
velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas
bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de
muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia
directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo
infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la
siguiente manera:

,

La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o
por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del

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movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites
anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.

Notación
Existen diversas formas para nombrar a la derivada.

f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos:

• {Notación de Lagrange}
se lee «efe prima de equis»
• o {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee « sub de », y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
• { Notación de Newton}
se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en
áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de
velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

• , ó {Notación de Leibniz}

se lee «derivada de ( ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de
una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de
en el punto , se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de en ,
se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

Con esta notación, se puede escribir la derivada de en el punto de dos modos diferentes:

Si , se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como

o

para la enésima derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la
tercera derivada es

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la cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador);
lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los
términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque
por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En
análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos
velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras
y segundas derivadas.

Diferenciabilidad
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su derivada existe en
ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sin embargo, una función
continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad,
pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se
llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así
sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

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Cociente de diferencias de Newton
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta
tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir,
no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a
una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea
tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con
múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más
pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de
las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la
pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el
límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea
tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige
un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser
positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es

.

Esta expresión es el cociente de diferencias de
Newton. La derivada de en es el límite del
valor del cociente diferencial, conforme las líneas
secantes se aproximan a la línea tangente:

.

Si la derivada de existe en todos los puntos , se
puede definir la derivada de como la función cuyo
valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división
por cero, calcular directamente la derivada puede no
ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
en el numerador, de manera que se pueda cancelar la
del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es
incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es decir donde no hace
un ángulo. En el punto de se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su
pendiente, es , el número derivado de en .
La función es la derivada de .

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En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , se puede saber a qué ritmo crece o
decrece la función. El signo de determina si la función crece o decrece.

En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha),
y por lo tanto es positiva, como en el punto ( ), mientras que donde es decreciente, las tangentes
apuntan hacia abajo y es negativa, como en el punto ( ). En los puntos y , que son máximo y
mínimo local, la tangente es horizontal, luego .
La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de . En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la
tangente, se tiene la fórmula:

Por ejemplo, sea

entonces:

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Lista de derivadas de funciones elementales
En las fórmulas siguientes se considera que :

(regla de la cadena)

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Ejemplos

Ejemplo #1
Sea la función , definida sobre el conjunto de los números reales (denotado
por ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

Para encontrar el signo de , se tiene que factorizar:

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.
También se observa su segunda derivada:

Dado que y entonces tiene un mínimo local en 1 y su valor es .
Dado que y entonces tiene un máximo local en -4 y su valor es .
Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de tales que
, los cuales son y , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que entonces la
derivada es negativa en el intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo .
Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es
una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente
en el intervalo y en el intervalo .

Ejemplo #2
Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.

Sustituir datos:

Desarrollar:

Entonces, la derivada de la función es:

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Ejemplo #3
Encuentra la derivada de:

Racionalizando:

Calculamos el límite:

Generalizaciones
El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras:
• Para funciones de varias variables:
• Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.
• Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.
• En análisis complejo:
• Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas
• En análisis funcional:
• Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser
necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales.
• Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de
dimensión no finita.
• Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o
distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución.

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• Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables cuando existen derivadas
continuas en todas direcciones es el de:
• Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según
cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo
de dimensión n finita).
• La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función diferenciable a espacios de Banach
de dimensión infinita.

Referencias

Enlaces externos
• Web de Derivadas en español (http://www.derivadas.es/)

Fuentes y contribuyentes del artículo 13

Fuentes y contribuyentes del artículo
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