Profesora Elismar subí el documento a Slideshare el día 23-11-2022 a las 9:45 pm, referente a la UNIDAD I LÍMITES Y CONTINUIDAD.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN AGROALIMENTACIÓN
BARQUISIMETO ESTADO LARA
INVESTIGACIÓN
INTEGRANTE:
SAUL CHACON. V-28454982
PROFESORA:
ELISMAR
SECCION: AG1405
BARQUISIMETO NOVIEMBRE 2022

2. UNIDAD I LÍMITES Y CONTINUIDAD
- Límite de una función real
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático
aplicado a las funciones. En particular, el concepto se refiere en análisis real al
estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales.
Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c
significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede
ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no
depende del valor que adquiere f en dicho punto c.
Ejemplo:
- Interpretación geométrica
Geométricamente, la derivada de una función f en un punto determinado se
interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en
dicho punto. La derivada es uno de los conceptos más importante en
matemáticas.
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La
definición de derivada es la siguiente: Podría, pues, no existir tal límite y ser la
función no derivable en ese punto.

3. La interpretación geométrica de la derivada la tienes cuando se evalúa en un
cierto punto de una función. Es decir, si tienes una función f, la derivada de f en un
punto Xo viene a ser la pendiente de la recta que es tangente a la función en dicho
punto. Esto sólo tiene sentido si la derivada está bien definida en dicho punto.
•Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredos cantidades
variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial.
•Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la
velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en
recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente
(razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en
el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de
ésta, etc.
•Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro
valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento
basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.
•Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se leee “delta x”.
•El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable
aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.
Por ejemplo: Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final
x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha
incrementado positivamente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el
valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4: la variable ha tenido un incremento negativo
(decremento) de 4 unidades.
- Teorema y Límite de funciones
Los límites son expresiones abstractas, es decir, nunca se pueden tocar ni
visualizar, simplemente se entienden los conceptos básicos, teoremas y cómo
trabajar con estos, y para eso tenemos que estudiar algo de teoría que se
abordará a continuación, avancemos.
El límite de una función.
Sea la función
La función f está definida para todos los valores de (x), excepto en x=1 y la función
puede simplificarse a: f(x) = 3x+1 si x≠1.

4.  Teorema 1: Si a y c son números reales cualesquiera, entonces: C=C.
 Teorema 2: Si a es un número real cualquiera: x=a.
 Teorema 3: Si a, b y c son números reales, entonces: (mx+b) = ma+b.
 Teorema 4: Si f(x) =L1 y g(x) =L2 entonces:
 Teorema 5: Si f(x) es un polinomio, entonces f(x) = f(a).
 Teorema 6: Si f(x) = L y n es un entero positivo, entonces [f(x)]n =Ln.
 Teorema 7: Si f(x) =L,
entonces n√f(x) = n√L
 Si L > 0 y n es un entero positivo.
O si:
 Si L < 0 y n es un entero impar positivo.
 Teorema 8: (Para límites Unilaterales)
El límite de f(x) = L si y sólo si f(x) = f(x) =L
Si f(x) ≠ f(x) entonces f(x) =L no existe.
 Teorema 9: (Para límites al infinito)
 Teorema 10:

5.  Teorema 11: Si c es cualquier número real, f(x) = 0 y g(x) = c con c≠0.
- Técnica de factorización
En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la
descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una
suma). antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar
utilizando [de[Principales conjuntos numéricos#Números Reales|números reales]],
si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización para
algunos casos especiales, que son:
1. Suma o diferencia de cubos.
2. Suma o diferencia de potencias impares iguales.
3. Trinomio cuadrado perfecto.
4. Trinomio de la forma x²+bx+c
5. Trinomio de la forma ax²+bx+c.
6. Factor común.
Ejemplo:
- Factor común
En las matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de
dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar
residuo alguno. El a y b dos números enteros distintos de cero. Si un número c
divide a y b, es decir, c/a y c/b, diremos que c es divisor común de a y b.
Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Si

6. los divisores comunes de a y b son únicamente 1 y -1 entonces diremos son
primos entre sí.
Un número entero d se llama máximo común divisor (M.C.D) de los números a y
b cuando:
1. d es divisor común de los números a y b
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.
Ejemplo:
12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1,
2, 3, 4, 6 y 12 que son divisores comunes de 36 y 60.
- Resolvente cuadrática o ecuación de 2do Grado
Seguramente te has encontrado con un problema al tratar de resolver la
ecuación. Para calcular estos valores de x aplicaremos una fórmula llamada
resolvente: Te mostraremos cómo se obtiene esta expresión, pero “tranquilo”, no
tendrás que estudiar este procedimiento, sólo utilizarás la resolvente, cada vez
que sea necesario:
Forma genérica de la ecuación de
2do grado ax2 + bx + c = 0
Se pasa el término independiente al
segundo miembro:
ax2 + bx = - c
Se multiplica toda la igualdad por el
número 4a convenientemente
elegido:
(ax2 + bx) . 4a = - c . 4a
4a2x2 + 4abx = - 4ac
Se suma el número b2 a ambos
miembros de la igualdad:
4a2x2 + 4abx + b2 = - 4ac + b2
Trinomio cuadrado perfecto
(3er caso de factoreo)
Se factorea el primer miembro de
esa igualdad:
(2ax + b)2 = b2 – 4ac

7. Se despeja la incógnita x:
-
-
La expresión b2 – 4ac se llama discriminante y se la simboliza Δ
Observa que:
Si Δ > 0 se obtendrán dos raíces reales distintas
Si Δ = 0 se dice que se obtienen “dos” raíces reales iguales (en
realidad se obtiene un único valor de x)
Si Δ < 0 se obtienen dos raíces complejas conjugadas. En
este último caso la parábola no cortará al eje x.
- Producto notable:
Se le llama identidad notable o producto notable a un cierto producto que
cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es
decir, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una
fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de
cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados
Ejemplo.
Potencia cuadrada
Elevar un número al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo, 7
elevado al cuadrado es 7 x 7, es decir 49. El número que obtenemos de esa
multiplicación particular, en este caso el 49, decimos que es el cuadrado de 7.
A esos números que son el resultado de multiplicar un número entero (es decir,
sin decimales) por sí mismo también se llaman “números cuadrados”. El 49 es un

8. número cuadrado, porque es el resultado obtenido de multiplicar un número entero
por sí mismo.
Potencia cubica
Las potencias cuadradas y cúbicas, también conocidas como cuadrados y
cubos de un número, son muy comunes en situaciones de la vida cotidiana. Esto
es porque las ideas de cuadrado y de cubo están muy relacionadas con las
nociones espaciales y geométricas de área y de volumen.
 Por ejemplo:
o Tres al cuadrado, o tres a la dos, se resuelve así:
3² = 3 x 3 = 9
Podemos decir que 9 es el cuadrado de 3.
- Ruffini
En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de
cualquier polinomio entre un binomio de la forma (x - r). Descrita por Paolo Ruffini
en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en
donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de Horner para la división de
polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner
o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite así mismo localizar las
raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x - r) (siendo r un
número entero) si es coherente.
Ejemplo:

9. - Diferencia de Cuadrados
En matemáticas, la diferencia de dos cuadrados es el resultado de restar un
número al cuadrado (es decir, multiplicado por sí mismo), de otro número al
cuadrado. Toda diferencia de cuadrados se puede factorizar de acuerdo con la
identidad
Que forma parte del álgebra elemental.
De forma abreviada, esta identidad se suele recordar con la expresión: Producto
de suma por diferencia, igual a diferencia de cuadrados.
- Diferencia de Cubos
Recordamos de cocientes notables que:
Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el
cociente, efectuándolo nos queda:
De donde se deducen las siguientes reglas:
 La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el
primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el
cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el
cuadrado de la segunda raíz.
 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el
primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone

10. del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el
cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
- Suma:
La adición o suma es la operación matemática de composición que consiste
en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.
La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin
de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es
la forma más básica de contar.
En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre
conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y
complejos), y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios
vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que
tengan su imagen en ellos. También se suman matrices.
Ejemplo:
- Resta:

11. La resta o la sustracción es una operación aritmética que se representa con
el signo (−); representa la operación de eliminación de objetos de una colección.
Por ejemplo, en la imagen de la derecha hay 5 − 2 manzanas; significando 5
manzanas con 2 quitadas, con lo cual hay un total de 3 manzanas. Por lo tanto, 5
− 2 = 3. Además de contar frutas, la sustracción también puede representar
combinación de otras magnitudes físicas y abstractas usando diferentes tipos de
objetos: números negativos, fracciones, números irracionales, vectores,
decimales, funciones, matrices y más.
La resta sigue varios patrones importantes; es anticonmutativa, lo que significa
que el cambio del orden cambia el signo de la respuesta. No es asociativa, lo que
significa que cuando se restan más de dos números, importa el orden en el que se
realiza la sustracción. Restar 0 no cambia un número. La sustracción también
obedece a reglas predecibles relativas a las operaciones relacionadas, tales como
la adición y la multiplicación. Todas estas reglas pueden probarse a partir de la
sustracción de números enteros y generalizarlas mediante los números reales y
más allá. Las operaciones binarias generales que siguen estos patrones se
estudian en el álgebra abstracta.
Ejemplo:
- Multiplicación:
La multiplicación es una operación binaria y derivada de la suma que se
establece en un conjunto numérico.2 En aritmética, es una de las cuatro
operaciones elementales, junto con la suma, la resta y la división, y es la
operación inversa de esta última. Esto significa que para toda multiplicación hay
una división, por ejemplo para «5 por 2 igual a 10» la división equivalente es «10
dividido entre 2 igual a 5», o «10 dividido entre 5 igual a 2».
Existen dos signos para indicar esta operación entre números naturales: el
aspa "×" y el punto gordo a media altura ( • ). En el caso de variables
representadas por letras (solo letras o mezcla) se usa el punto (no el aspa) pero
se puede prescindir de él por ejemplo 3ab (se lee «tres a b») xy + 2y (se lee
«equis i más dos i»)
Multiplicar una cantidad por un número consiste en sumar dicha cantidad tantas
veces como indica el número.3 Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o,
simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el número 4 (4+4+4)4
(nota5) También se puede interpretar como 3 filas de 4 objetos, o 4 filas de 3 (véase
el dibujo). 4 y 3 son los factores, y 12, el resultado de la operación, es el

12. producto.6 La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica: es fácil
ver que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de ambos
lados, basta con imaginarnos la superficie cubierta con baldosas cuadradas.7
Podemos multiplicar dos números o más, y da igual en qué orden efectuemos la
operación o cómo agrupemos los números; siempre se obtendrá el mismo
resultado:
3 • 4 • 5 = 5 • 3 • 4 = 4 • 5 • 3 = 12 • 5 = 15 • 4 = 20 • 3 = 60
El resultado de la multiplicación de dos o más números se llama producto. Los
números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente:
multiplicando (número a sumar o número que se está multiplicando) y multiplicador
(veces que se suma el multiplicando). Esta diferenciación tiene poco sentido
cuando, en el conjunto donde esté definido el producto, se da la propiedad
conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos: 3×7 =
7×3, es decir, el orden de los factores no altera el producto). Sin embargo puede
ser útil si se usa para referirse al multiplicador de una expresión algebraica
La potenciación es un caso particular de la multiplicación donde el exponente
indica las veces que debe multiplicarse un número por sí mismo. Ejemplo: 2 • 2 • 2
• 2 • 2 • 2 • = 2 6 = 64
Aquí, 6 es el exponente, y 2 la base.
- División de Fracciones:
Consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador
de la segunda fracción y el resultado de la multiplicación corresponde al
numerador del resultado, por otra parte, para obtener el resultado del denominador
se debe multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción.
En el siguiente ejemplo se dividirán las fracciones 1/3 entre 2/6, para llevar a cabo
la división de fracciones se realizan los siguientes pasos:
 1. Se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de
la segunda fracción.
1
3

13. ÷
2
6
=
?
 2. El resultado de la multiplicación se coloca en la posición del numerador.
1
3
÷
2
6
=
6
 3. Ahora el denominador de la primera fracción se multiplica con el
numerador de la segunda fracción.
1
3
÷
2
6
=
6

14. ?
 4. El resultado de la multiplicación se coloca en la posición del
denominador.
1
3
÷
2
6
=
6
6
Por lo tanto, podemos resumir el procedimiento en un sólo paso, donde lo
marcado en azul indica el resultado del numerador y lo marcado en rojo el
resultado del denominador:
1
3
÷
2
6
=
1 x 6 3 x 2
=
6
6
El resultado de la división se puede simplificar porque, tanto numerador
como denominador tienen el mismo valor. De esta forma, 6/6 = 1.

15. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Límite de una función real:
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n
- interpretación geométrica:
https://math4you2.wixsite.com/math4you/interpretacin-geometrica-
- Teorema y Límite de funciones: https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-8-
definicion-de-limite-y-teoremas/
- técnica de factorización:
https://es.wikiversity.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
- Factor común:
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor
- Resolvente cuadrática o ecuación de 2do Grado:
https://sites.google.com/site/borradorecuacioncuadratica/resolvente
- Producto notable: https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_notable
- Potencia cuadrada:
https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/129
8368808/contido/primaria/primaria/actividades/aritmetica/naturales_y_enter
os/elevar_al_cuadrado/actividad.html
- Potencia cubica: https://www.mundoprimaria.com/recursos-
matematicas/potencias-cuadradas-y-cubicas
- Rufini: https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Ruffini
- Diferencia de Cuadrados:
https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_dos_cuadrados
- Diferencia de Cubos:
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/algebra/suma-o-diferencia-
de-cubos-perfectos-l10956
- Suma: https://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
- Resta: https://es.wikipedia.org/wiki/Resta
- Multiplicación: https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
- División de Fracciones:
https://www.matematicas18.com/es/tutoriales/aritmetica/fracciones/division-
de-fracciones/