presentación de la clase en cecyted durango

1. CALCULO
UNIDAD 2
ING. LUIS MONREAL

2. CLASE 1

3. REPASO UNIDAD 1

8. TU CEREBRO PUEDE SER ENTRENADO
PARA SER MAS INTELIGENTE

9. LAS MATEMÁTICAS TE HACEN MAS
INTELIGENTE

13. INTERVALO

15. INTERVALO
CERRADO ABIERTO
SEMI-ABIERTO
ó
SEMI-CERRADO
INFINITO
SEMI-CERRADO-
INFINITO
SEMI-ABIERTO-
INFINITO

19. FUNCIONES

26. UNA FUNCIÓN ES UNA
RELACIÓN MATEMÁTICA DE
UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
CON UNA DEPENDIENTE

27. y=f(x)=3x+5
y es la variable
dependiente de x

34. Función polinomial
0
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxf n
n
n
n
n
n  




35. Grado de polinomio
y=4 cero
y=3x grado 1
grado 2𝑦 = 𝑥2

38. Función lineal

39. CLASE 2

40. LIMITES

41. DEFINICIÓN

47. TAREA
REALICE LOS EJERCICIOS DE LA PAGINA
74

48. CLASE 3

54. TAREA
REALICE LOS EJERCICIOS HASTA LA
PAGINAS 75 Y 76

55. CLASE 4

56. PROPIEDADES DE LOS
LIMITES

59. Limites directos
Ya que conociste los teoremas de los límites,
ahora debemos aplicarlos para calcular el límite
de diversas funciones
Funciones polinomiales
Cuando queremos calcular el límite de una
función polinomial; de los teoremas ya vistos
podemos escoger o identificar el que
utilizaremos y aplicarlo a cada uno de los
términos que contiene.

60. Como puedes observar se trata de suma y resta de varios
términos en la función en este caso utilizaremos los teoremas
3 y 4, los cuales indican que el límite de una suma o resta de
funciones y/o términos es igual a la suma o la resta de los
límites de cada uno de los términos y así tenemos que:
lim
𝑥→3
( 3𝑥2 − 5𝑥 + 8) = lim
𝑥→3
( 3𝑥2) − lim
𝑥→3
5𝑥 + lim
𝑥→3
( 8)

61. Ahora aplicaremos los teoremas 5,1 y 9, donde el
teorema 5 indica que el límite de un producto es el
producto de sus límites, el teorema 1 nos dice que
el límite de una constante es la misma constante,
por último el teorema 9 afirma que el límite del
argumento elevado a una potencia, es igual al valor
que tiene ese argumento elevado a esa potencia. Y
así se obtiene lo siguiente:
lim
𝑥→3
( 3𝑥2
) = lim
𝑥→3
3 lim
𝑥→3
𝑥2
= 3(3)2
= 3 9 = 27

62. lim
𝑥→−1
(5 − 2𝑥3)
Este límite es una resta de dos términos, por lo que utilizaremos
el teorema 4
lim
𝑥→−1
5 − 2𝑥3 = lim
𝑥→−1
5 − lim
𝑥→−1
2𝑥3
lim
𝑥→−1
5 = 5
lim
𝑥→−1
2𝑥3 = lim(
𝑥→−1
2) lim
𝑥→−1
𝑥3 = 2(−13) = −2
lim
𝑥→−1
5 − 2𝑥3 = lim
𝑥→−1
5 − lim
𝑥→−1
2𝑥3 = 5 − 2 = 7lim
𝑥→−1
5 − 2𝑥3 = 7

63. Ahora de manera similar aplicando los teoremas al segundo
término tenemos:
lim
𝑥→3
( 5𝑥) = lim
𝑥→3
5 lim
𝑥→3
𝑥 = 5(3) = 15
Finalmente, el límite del tercer término es:
lim
𝑥→3
( 8) = 8
obtenido tenemos
lim
𝑥→3
( 3𝑥2 − 5𝑥 + 8) = lim
𝑥→3
( 3𝑥2) − lim
𝑥→3
5𝑥 + lim
𝑥→3
( 8) = 27
Concluyendo:

64. TAREA
REALIZA LOS EJERCICIOS DE LA
PAGINA 81 ( LOS QUE PUEDAS
REALIZAR)

65. CLASE 5

70. TAREA
HACER EJERCICIOS DE LA
PAGINA 81

71. VACACIONES

72. CLASE 6

73. EL MARTES HAY
EXAMEN A LIBRO
ABIERTO
SIN COPIAR

74. LIBRETA
CONTESTA EL CUESTIONARIO EN
TU LIBRETA CON CALIDAD
EXCELENTE

75. Límites de otro
tipo

77. Cuando la variable x tiende a cero, o bien
tiende a ∞, se obtiene, en algunos casos,
los siguientes resultados, en los que c Є R
con c ≠ 0

81. En las soluciones del inciso B
(Cuando x→ ∞), al leer el signo
“es igual a” debemos pensar
“que tiende a infinito”.

82. Al aplicar los razonamientos
“no existe límite”,
“divergente”,
“infinito”,
nos referimos a un mismo significado.

83. EJERCICIOS DE LA
PAGINA 84

84. CLASE 7

85. Formas indeterminadas
de limites

86. En algunos casos, los más frecuentes en un
examen, al remplazar x por un número
determinado a, la función f(x) adopta
algunas veces las formas o de ,
expresiones que como no representan
ningún valor determinado se le llama a
cada una indeterminada.

88. Entonces el objetivo es localizar estos
factores y solo se puede resolver
utilizando dos criterios:
Por Factorización
Multiplicando por su conjugado (este
método solo se utiliza en caso de que
intervenga una raíz)

89. RECORDANDO ALGEBRA
En matemáticas la factorización es una técnica
que consiste en la descomposición de una
expresión matemática (que puede ser un
número, una suma o resta, una matriz, un
polinomio, etc.) en forma de producto

92. Por Factorización:
Para este tipo de límites, primero recordaremos cuatro métodos
fundamentales de factorización:
-Factorización por factor común: ax + xb – xc = x(a+b+c)
-Factorización por diferencia de cuadrados: a2-b2= (a+b)(a-b)
-Factorización de la forma x2+bx+c Se abren dos paréntesis. Se
saca la raíz cuadrada al primer término del trinomio buscan dos
números que sumados den “b” y multiplicados den “c”
-Factorización por la fórmula general

96. Reglas de potencias

98. TAREA
EJERCICIOS DE LA PAGINA 85-87

99. CLASE 8

100. La palabra continuidad significa que
algo sucede sin detenerse o sin alguna
variación, algo que permanece
constante o seguido que no cambia,
algo que no se detiene; que no se
interrumpe.

101. Seguramente alguna vez te ha tocado
que cuando vas de regreso a tu casa
de la escuela, te encuentras en el
camino alguna zanja o un charquito, lo
cual hace que saltes para pasarlo, en
matemáticas se puede decir que una
función es continua a través de una
gráfica o bien de manera analítica.

102. Para determinar la continuidad de una función a
través de su grafica es muy sencillo solo tienes
que usar tu lápiz, una función es continua si su
grafica no se interrumpe en su trazo y con tu
lápiz solo tienes que seguir el trazo de la gráfica,
si no despegas el lápiz del trazo es continua, si
despegas el lápiz del trazo entonces no es
continua esa gráfica o esa función.

104. Comprueba con ayuda de tu lápiz si las
siguientes funciones son continuas o
discontinuas, indicando en que valores
de su dominio lo son:

111. La palabra continuidad significa que
algo sucede sin detenerse o sin alguna
variación, algo que permanece
constante o seguido que no cambia,
algo que no se detiene; que no se
interrumpe.

112. Teorema de continuidad de una función
De manera analítica podemos determinar
si una función es continua y discontinua
usando el teorema de continuidad, el cual
establece lo siguiente:
Una función f(x) es continua en un punto
de su dominio x = a si cumple:

114. Si una función cumple con estos tres
incisos se dice que la función es
continua en el valor del dominio
indicado, si por el contrario no
satisface con alguno de estos incisos la
función será discontinua.

116. Se comprueba que la función es
continua en x = 1. Ya que en el
resultado obtenido en el inciso a y b
corresponden al mismo valor, de tal
manera que en el inciso c se completa
la igualdad.

117. Como te habrás percatado, en la
actividad anterior los ejercicios son
para comprobar si una función
presenta continuidad o discontinuidad
en un punto de su dominio, pero ¿Qué
pasa si quiero saber no en un punto
sino en un intervalo del dominio si la
función es continua o discontinua?

118. Para responder la pregunta anterior se
utiliza el “teorema de valor intermedio
o Bolzano” el cual dice:

119. Una f(x) es continua en un intervalo
[a, b], si el signo de f(a) es distinto del
signo de f (b), entonces existe un
valor del dominio c tal que f(c) = 0.

120. Ahora considera la función f(x) = x5 en
un intervalo de [-3, 3].

122. las funciones polinomiales son siempre
continuas; mientras que las racionales en la
mayoría de los casos presentan
discontinuidades, a su vez, las trigonométricas
también presentan discontinuidades como lo
son los casos de la tangente, cotangente,
secante y cosecante.

123. A demás si una función es
continua en un intervalo
definido de su dominio, esa
función tiene un máximo y un
mínimo absolutos en ese
intervalo.

124. TAREA
EJERCIOS Y PREGUNTAS
DE LAS PAGINAS 90-92

125. CLASE 9

126. CONTINUIDAD DE UNA
FUNCION

127. A demás si una función es continua en
un intervalo definido de su dominio,
esa función tiene un máximo y un
mínimo absolutos en ese intervalo.

128. Lo anterior se puede comprobar con el
teorema de los valores extremos de
Weierstrass; el cual enuncia:
“Si una f(x) es continua en un intervalo
[a,b], entonces la f(x) tiene su máximo y
su mínimo absolutos en dicho intervalo”.

129. Los valores del valor intermedio (Bolzano) y de
los valores extremos (Weierstrass) son útiles
para estudiar las características de las
funciones. En la unidad 3 se abordaran de
manera más profunda.

130. Con el teorema de continuidad
determinaste si una función era
continua o discontinua en
determinado punto del dominio; pero
¿Cómo podemos determinar los
puntos del dominio donde la función
no es continua?

131. Hay que recordar que una de las
propiedades de las funciones
polinomiales es que son continuas en
todos sus puntos; pero las racionales
que se forman con la división de dos
polinomiales; en la mayoría de los
casos presentan discontinuidades en
ciertos puntos de su dominio, ¿Cómo
determinarlos?

135. TAREA
EJERCICIO PAG
94

136. CLASE 10

137. DERIVADA

138. En la vida cotidiana hay un sinfín de
situaciones que involucran una relación
entre dos variables, de tal forma que si una
de esas variables cambia, afecta también a
la otra variable.

139. Si queremos ejemplificar lo que
mencionamos anteriormente,
podemos utilizar la actividad de un
maratonista, en la cual el tiempo en
que tarda en completar la prueba
dependerá de la rapidez con la que se
desplazó durante todo el trayecto del
maratón.

140. Pero esta rapidez no fue la misma durante
todo el recorrido. Como es bien sabido el
ganador de un maratón no va en el primer
lugar durante todo el maratón, va
dosificando su energía intercambiando
lugares con otros competidores, pero en la
etapa final del recorrido realiza el mayor
esfuerzo para poder adelantar a todos los
competidores y ganar

141. Estas variaciones entre la rapidez con
la que va cubriendo determinadas
distancias, es lo que dio origen al
concepto de derivada de una función,
que será lo que estudiaremos.

145. Razón de cambio
Comenzaremos el estudio de la
Derivada conociendo el concepto de la
razón de cambio, que es la
comparación del cambio de una
variable en relación con el cambio de
otra variable

148. t
x
v
t
i



 0
lim

149. La derivada como razón de
cambio instantánea

150. Cuando tenemos dos cantidades dependientes entre
sí, podemos hablar de rapidez o razón de cambio
instantánea de una de ella con respecto de otra, por
ejemplo la rapidez con que corre un delantero de un
equipo de futbol, está en función del tiempo; la
rapidez con que se llena una cisterna está en función
o relación con el gasto que lo alimenta, etc.

151. EJEMPLO DE LA TAZA DE CAFE

152. En general si f(t) es una función que
describe la variación de una cantidad
en función del tiempo, la razón o
rapidez instantánea está definida por:

154. Ésta es la definición de la
derivada como razón de
cambio

155. En general, la rapidez con que
se presente un cambio de
variable en relación con otra es
una derivada

156. ESA TENDENCIA ES UNA RAZON
DE CAMBIO

157. Interpretación
geométrica de la
derivada

158. Como ya habías visto, la tangente es
una recta que toca solo un punto de
una circunferencia; pero la palabra
tangente se deriva de un término
latino que significa “tocando”; por lo
tanto una tangente a una curva es una
línea que la toca en cierto punto,
¿Cómo podemos especificar esto?
Veamos las siguientes figuras:

159. TANGENTE

160. Como podemos observar, en la primera
figura la recta sólo toca un punto de la
curva (es una tangente), pero en la
segunda figura en cierto punto hay dos
rectas, parecería que la que cumple con la
definición es la línea punteada, porque
toca a la curva en un solo punto; pero en
realidad no la toca, sino que la cruza; en
cambio la otra recta la toca en dicho punto
y la cruza en otro.

162. Resulta evidente que en la curva
anterior se puede marcar una
tangente en cualquiera de sus puntos.
Solo que en esta ocasión solo están
marcadas las cinco más visibles. Marca
con x1, x2, x3, x4, x5 donde se
encuentran las rectas tangentes.

167. x
xfxxf
m
x 



)()(
lim
0

170. Surge siempre al calcular una rapidez de
cambio en cualquier ciencia o rama de la
ingeniería, como la rapidez de la reacción
química o un costo marginal en economía.
Dado que este tipo de límite se presenta
muy frecuentemente, se le ha dado un
nombre y una notación especial:

171. La derivada de la función f en un
número x, representada por f’(x), es

172. x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0

173. La derivada de una función
se representa por:

174. TAREA
EJEMPLOS DE USOS DE
LAS DERIVADAS

175. CLASE 11

177. Derivada por los cuatro pasos
Para obtener la derivada de
una función y=f(x), mediante
su definición se realiza el
siguiente procedimiento
denominado de los cuatro
pasos:

178. PASO 1
Se reemplaza la variable “y” por “y +
∆y” y la variable “x” por “x+ ∆x” y
nos da:
y + ∆y =f(x+ ∆x)

179. PASO 2
A esta función que acabamos de obtener
en el paso anterior se le resta la original:
En este paso se realizan la operaciones indicadas
(con polinomios multiplicación, división,
reducción de términos semejantes, productos
notables, etc.)

180. PASO 3
Al resultado de la resta anterior se divide
entre y se simplifica (se realiza la división
de un polinomio entre un monomio y/o
se obtiene el factor común).
x

181. Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

182. PASO 4
Se obtiene la derivada de la función como:
Δ𝑦
Δ𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

183. Ejemplo:
Determina la derivada de la función
25)( 2
 xxxf

187. TAREA
PAG 98

188. LIBRETA
CONTESTA EL
CUESTIONARIO CON
CALIDAD EXCELENTE EN TU
LIBRETA

189. EXAMEN A LIBRO
ABIERTO
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