FUERZAS EN EL ESPACIO

1. “AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
E. P. INGENIERÍA QUÍMICA AMBIENTAL
CURSO: FÍSICA I
DOCENTE: ING. MANUEL NESTARES GUERRA
INTEGRANTES:
 CASALLO CUSI MIRIAN
 DELGADO PACHECO FABRICIO
 DUEÑAS ARIZAPANA GLORIA
 HUARICAPCHA DE LA SOTA BETSY
 ROMAN ASTO KATHERINE
 SALAZAR BOZA DEYSI
 SANABRIA GALVEZ CAMILA
HUANCAÑYO-PERÚ
2016

2. FUERZAS EN EL
ESPACIO

3. ABSTRACT

4. RESUMEN

5. INDICE

6. HOJA DE NOTACION O NOMENCLATURA

7. I. INTRODUCCIÓN

8. OBJETIVO
OBJETIVO GENERAL:
Llegar a conocer las fuerzas que actúan en el espacio
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Determinar la expresión vectorial de cada una de las fuerzas
 Determinar la expresión vectorial del vector de posición
 Determinar el momento para cada una de las fuerzas en su forma
vectorial
 Determinar el momento resultante en forma vectorial y escalar
 Determinar la expresión de la posición relativa de B sobre A
 Determinar el momento con respecto al punto A
 Determinar los componentes rectangulares para cada una de las fuerzas

9. II. MARCO TEÓRICO
2.1. FUERZAS EN EL ESPACIO
Una fuerza F en un espacio tridimensional se pude descomponer en
componentes rectangulares Fx, Fy y Fz. Al simbolizar por medio de θx, θy y
θz, respectivamente, los ángulos que F forma con los ejes x, y, z; se tiene:
Figura 2.1
COSENOS DIRECTORES
Los cosenos de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores
(direccionales) de la fuerza F. Con la introducción de los vectores unitarios i,
j y k a lo largo de:
F= Fx i + Fy j + Fz k
F = F (cos θx i + cos θy j + cos θz k) (2.1.1)
Lo que demuestra (figura 1) que F es el producto de su magnitud F y el vector
unitario UF
UF= cos θx i + cos θy j + cos θz k (2.1.2)
Puesto que la magnitud de UF es igual a la unidad, se tiene que
cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1 (2.1.3)
Cuando las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una fuerza F se
proporcionan, la magnitud F de la fuerza se encuentra al escribir
F = √F²x + F²y + F²z (2.1.4)

10. y los cosenos directores de F se obtienen a partir de las ecuaciones . Se
tiene
cos θx =
𝐹𝑥
𝐹
(2.1.5)
cos θy =
𝐹𝑦
𝐹
(2.1.6)
cos θz =
𝐹𝑧
𝐹
(2.1.7)
Cuando una Fuerza F se define en un espacio tridimensional por medio de
su magnitud F y de dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus
componentes rectangulares se pueden obtener de la siguiente manera:
primero se expresa el vector MN que une los puntos M y N en términos de
sus componentes dx, dy y dz se escribe
MN = dx i + dy j + dz k (2.1.8)
Después se determina el vector unitario λ a lo largo de la línea de acción de
F al dividir MN entre su magnitud MN = d:
UMN=
𝐌𝐍
MN
=
1
𝑑
(dx i + dy j + dz k) (2.1.9)
Recordando que F es igual al producto de F y UMN, se tiene
F = F UMN =
𝐹
𝑑
(dx i + dy j + dz k) (2.1.10)
De lo cual se desprende que las componentes escalares de F son,
respectivamente,
Fx =
𝐹𝑑𝑥
𝑑
(2.1.11)
Fy =
𝐹𝑑𝑦
𝑑
(2.1.12)
Fz =
𝐹𝑑𝑧
𝑑
(2.1.13)

11. 2.2. EXPRESION VECTORIAL DE UNA FUERZA
FUERZA = MAGNITUD DE LA FUERZA * VECTOR UNITARIO DE LA
FUERZA
F= F UF (2.1.14)
UF = [cosθx;cosθy; cosθz]
RECTA DE ACCIÓN DE LA FUERZA
X−Xo
A
=
Y−Yo
B
=
Z−Zo
C
(2.1.15)
D = √A2 + B2 + C² (2.1.16)
UD=
𝐴𝑖
𝐷
+
𝐵𝑗
𝐷
+
𝐶𝑘
𝐷
(2.1.17)
VECTOR DIRECTOR
Dado dos puntos de la línea de acción de la fuerza, a y b, y su sentido ab el
vector director de la fuerza se obtiene como
A (ax,ay,az) B (bx,by,bz)
UAB=
𝐀𝐁
|𝐀𝐁|
=
[bx−ax;by−ay;bz−az]
|𝐀𝐁|
(2.1.18)
IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
UAB┴ . UAB = 1*1* cos θ=1 (2.1.19)
cos²θx + cos²θy + cos²θz = 1 (2.1.20)
2.3. VECTOR DE POSICION
Para describir el movimiento de una partícula o un punto de interés,
usaremos el concepto de vector de posiciónde dicha partícula en un sistema
de coordenadas. El vector de posiciónr se puede representar como un vector
fijo que pivota o tiene el origen fijo en el origen del sistema de coordenadas y
que acaba en la posición de aquello que nos interesa. Dicho vector, en
general, será función del tiempo t, ya que conforme t cambie, r se irá
modificando para apuntar siempre al lugar donde se encuentra la partícula.

12. Sin embargo, es fijo ya que para cada momento nos interesa saber el
emplazamiento del vector. En mecánica, dicha función cambiará siempre de
manera continua, ya que los objetos no aparecen y desaparecen.
El vector de posiciónno es propiamente un vector, sino una función vectorial:
dado un instante de tiempo, el vector de posición apuntará a un lugar, dado
otro instante de tiempo, apuntará a otro lugar distinto (o quizás al mismo, si
la partícula no se ha movido o a regresado a dicho punto). Esta función es
vectorial porque a cada instante de tiempo asocia un vector, el vector posición
de la partícula en dicho tiempo, y no un número real como ocurre con otras
magnitudes como la temperatura.
Matemáticamente se describe así:
r: R → R3
t→ 𝐫(t)
No se ha definido la forma la función r(t) ya que aún no está determinada,
sólo podemos especificar cuál es su dominio (los instantes de tiempo) y su
codominio (vectores de posición). Será objetivo primordial de la mecánica
calcular dicha función, ya que conociéndola, basta sustituir el instante de
tiempo para saber en que posición se encuentra la partícula.
La posición de cualquier punto P puede expresarse mediante su vector de
posición, que es aquél que tiene como origen el de coordenadas y como
extremo el punto P (es, por tanto, un vector ligado)
𝐫P = 𝐎𝐏 = XP𝐢 + YP𝐣 + ZP𝐤 (2.3.1)
La posición del origen de coordenadas y la orientación de los ejes son
arbitrarias. Por ello no hay que presuponer que, por ejemplo, “el eje Z es
vertical”. Nadie se encuentra un eje Z por la calle. El eje Z será el que nosotros
queramos que sea y si nos interesa que forme un ángulo de 37° respecto al
suelo, pues así lo podemos tomar.
En forma abreviada, la posición del punto P se puede escribir en la forma
P(xp,yp,zp)

13. La posición relativa del punto Q respecto al punto P la da el vector que tiene
por origen P y por extremo Q. Es inmediato obtener las componentes de este
vector en la base cartesiana, conocidas las coordenadas cartesianas del
origen y del extremo. Basta restarle las primeras a las segundas.
Si P(xp,yp,zp) y Q(xq,yq,zq), el vector PQ es:
𝐏𝐐 = 𝐎𝐐 − 𝐎𝐏 = (XQ − XP) 𝐢 + (YQ − YP) 𝐣 + (ZQ − ZP) 𝐤 (2.3.2)
SISTEMA DE REFERENCIA
Podemos representar la posición de una partícula o de un punto del espacio,
respecto de un sistema de ejes, mediante las coordenadas cartesianas (x,y,z)
del punto, o mediante el vector de posición de dicho punto respecto al origen
"O" del sistema de coordenadas (Figura 1). Dicho vector de posiciónse define
como el vector que tiene como origen el punto "O" y como extremo el punto
"P", es decir, el vector aplicado en el punto "O" que tiene como componentes
las coordenadas cartesianas x, y, z, del punto "P". Escribiremos
𝐫 = 𝐎𝐏 = X𝐢 + Y𝐣 + Z𝐤 (2.3.3)
Siendo i, j, k los vectores asociados a los ejes coordenados respectivos. En
general, un sistema de referencia queda definido por un origen y una base
vectorial asociada. Si la base vectorial es ortogonal (si los tres vectores que
la definen son perpendiculares entre sí), el sistema de referencia también es
ortogonal.
DERIVADA TEMPORAL DEL VECTOR DE POSICION
Cuando la partícula permanece en reposo en el sistema de referencia, sus
coordenadas no cambian en el transcurso del tiempo y su vector de posición
será constante:
𝐫 = X𝐢 + Y𝐣 + Z𝐤
Si la posición de una partícula puntual P cambia con el tiempo, en un instante
dado se representa por:
En un sistema de referencia fijo, la base coordenada para expresar la
posición
𝐫(t) = x(t) 𝐢 + y(t) 𝐣 + z(t) 𝐤

14. de vectores tiene la propiedad de permanecer fija, con lo cual el vector
velocidad respecto a un sistema inercial puede obtenerse simplemente
derivando las componentes del vector de posición respecto al tiempo:
𝐯(t) =
dr(t)
dt
=
dx(t)
dt
𝐢 +
dy(t)
dt
𝐣 +
dz(t)
dt
𝐤
Esto contrasta con el caso de un sistema de referencia móvil, en los que
aparecen términos adicionales asociados al movimiento del referencial.
2.4. MOMENTO DE UNA FUERZA:
Se sabe que la causa de una rotación es el momento de una fuerza,
calculemos ese momento.
Allí vemos que: d = r senϕ
Por tanto: MO = r Senϕ x F
MO = r x FSenϕ
Del análisis vectorial recordamos que la magnitud de un vector
multiplicado por la magnitud de otro y por el seno del ángulo entre los dos
es el producto vectorial o producto cruz entre los dos vectores.
Por tanto: MO = r x FSenϕ
Es:
𝐌𝐨 = 𝐫 × 𝐅 (2.4.1)

15. 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO
Se sabe: Mo=r x F
Además: r= rx i + ry j + rz k
F= Fx i + Fy j + Fz k
Luego:
i j k
Mo= rX rY rZ
FX FY FZ
Entonces:
Mo= (ryFz - rzFy) i + (rzFx - rxFz) j + (rxFy - ryFx) k (2.4.2)
Mo= Mx i + My j + Mz k (2.4.3)
Modulo del vector momento:
Mo= √Mx² + My2 + Mz2 (2.4.4)
Mo= Mo eMO (2.4.5)
2.6. MOMENTO RESULTANTE:
El momento de las fuerzas respecto a O puede determinarse mediante
adición vectorial

16. MRo = ∑(r x F) (2.4.6)
2.7. COMPONENTES RECTANGULARES DE LA FUERZA
Considerando la fuerza F que actúa en el origen. Para definir la
dirección de F se traza el plano vertical OBAC que contiene a F. Este plano
pasa a través del eje vertical y, su orientación está definida por el ángulo f
que forma con el plano xy, mientras que la dirección de F dentro del plano
está definido por el ángulo qy que forma F con el eje y.
La fuerza F puede descomponerse en una componente vertical Fy y un a
componente horizontal Fh; esta operación se realiza en el plano OBAC de
acuerdo con las reglas desarrolladas ya vistas. Las componentes escalares
correspondientes son

17. 𝐅𝐲 = ǀ𝐅ǀCosθy 𝐅𝐡 = ǀ𝐅ǀSenθy
La Fh puede separarse en sus dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo
largo de los ejes x y z, respectivamente. Esta operación se realiza en el
plano xz. De esta manera se obtienen las expresiones siguientes para las
componentes escalares correspondientes:
𝐅𝐱 = ǀ𝐅𝐡ǀCosϕ = ǀ𝐅ǀSenθyCosϕ (2.7.1)
𝐅𝐲 = ǀ𝐅𝐡ǀSenϕ = ǀ𝐅ǀSenθySenϕ (2.7.2)

18. Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB y OCD (se omiten
cálculos) se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus
componentes rectangulares escalares
ǀ𝐅ǀ = √Fx2 + Fy2 + Fz² (2.7.3)
la relación que existe entre la fuerza F y sus tres componentes Fx, Fy, y Fz
se presenta más fácil si se observa lo siguiente
Con el uso de los vectores unitarios i, j y k dirigidos a lo largo de los ejes X,
Y, Z respectivamente se obtienen las componentes rectangulares de la
fuerza:
𝐅𝐱 = ǀ𝐅ǀCosθx 𝐢
𝐅𝐲 = ǀ𝐅ǀCosθy 𝐣
𝐅𝐳 = ǀ𝐅ǀCosθz 𝐤
Conformando así la expresión vectorial de la fuerza
𝐅 = Fx 𝐢 + Fy 𝐣 + Fz 𝐤 (2.7.4)

19. III. MÉTODOS Y MATERIALES
3.1. MÉTODO
Experimental
3.2. DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO

20. 3.3. MATERIALES Y REACTIVOS
 1 Soporte universal
 1 Llave de soporte universal
 1 Nuez para el soporte universal
 Fuerzas o flechas metálicas
 1 Wincha
 1 Plomada
 1 Cono pabilo
 1 Escuadra de 30° y 60°
 1 Tiza
 2 Frutas

21. 3.4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

22. 3.5. DATOS OBTENIDOS

23. 3.6. CÁLCULOS

24. IV. RESULTADOS

25. V. DISCUCIÓN DE RESULTADOS

26. VI. CONCLUSIONES

27. VII. RECOMENDACIONES

28. VIII. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

29. IX. BIBLIOGRAFÍA

30. X. ANEXOS