1. El documento explica conceptos relacionados con polinomios como grados, operaciones algebraicas, propiedades y tipos de polinomios. 2. Se presentan ejemplos para calcular el grado de operaciones algebraicas como productos, cocientes, potencias y raíces. 3. También se explican reglas para hallar el término independiente y coeficiente principal de un producto de polinomios.

1. Polinomios
18_PI_AL _A21
 
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1
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POLINOMIOS
POLINOMIOS
2 4 2 3 2
P(x, y,z) 3x yz 2 2x y z xyz
3
  
Valor Numérico Monomio
7 4
M(x, y) 3 2x y

Polinomios Especiales
Propiedades
Caso I
Si P(x,y) = 3x2
– 2xy + 2y3
Evalúe P(3;-2)
P(3,-2) = 3(3)2
– 2(3)(-2) + 2(-2)3
P(3,-2) = 27 + 12 – 16
P(3,-2) = 23
Caso II
Si P(x + 3) = 3x2
– 5x + 2
Evalúe P(P - 1).
x 3 1 x 4
     
P(-1) = 3(-4)2
– 5(-4) + 2
P(-1) = 48 + 20 + 2 = 70
Caso III (cambio de variable)
Si P(x + 2) = 3x + 7
Determine P(x + 1).
x + 2  x + 1
x  x – 1
P(x + 1) = 3(x – 1) + 7
P(x + 1) = 3x + 4
Suma de coeficientes
coef(P(x)) = P(1)
Término independiente
TI(P(x)) = P(0)
Grado Relativo (GR)
Exponente de la variable
GR(x) = 7 GR(y) = 4
Grado Absoluto (GA)
Suma de exponentes de sus variables
GA = 7 + 4 = 11
Polinomios Ordenado
Con respecto a los exponentes de sus
variables pueden ser creciente o
decreciente.
P(x) = 3x5
+ 2x3
+ 6x – 2
P(x) = 3 – x + 2x3
+ x7
– x10
Polinomios Completo
Los exponentes de las variables
indicada están en forma consecutiva
desde el mayor exponente hasta el
exponente cero.
P(x) = 3x4
+ 2x3
+ x2
– x + 7
P(x) = 5 + 2x – x2
+ 3x3
– x4
Polinomios Homogéneo
De dos o más términos en más de una
variable; si dichos términos tienen el
mismo grado absoluto.
4 10 8 6 12 2
GA 14 GA 14 GA 14
P(x, y) 2x y 3x y 5x y
  
  



 
 



Polinomio
4 3 7 2 2 9
P(x, y) 2x y 6x y 2x y
  
Grado Relativo (GR)
Es el mayor exponente de la variable
indicada.
GR(x) = 7 GR(y) = 9
Grado Absoluto (GA)
Es el mayor grado absoluto de cada
término indicado.
4 3 7 2 2 9
7 9 11
P(x, y) 2x y 6x y 2x y
  



  
GA = 11
Polinomio Constante
P(x) = k, k: escalar
Polinomio Lineal
P(x) = ax + b, a  0
Polinomio Cuadrático
P(x) = ax2
+ bx + c, a  0
Polinomio Cúbico
P(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, a  0

2. 2
Polinomios
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GRADO DE LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS
El grado de una Expresión Algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas, pero nosotros
aplicaremos las siguientes reglas:
I. Grado de un producto: Se suman los grados de cada uno de los factores indicados
Ejemplo 1: El grado de:
(x3
+ 8)(x2
+ 4)(x1
– 9)
grado: 3 2 1 6
   Rpta.
Ejemplo 2: El grado de:
(5x2
+ 5x + 2)(x5
+ 1)
grado: 2 5 7
  Rpta.
II. Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor mencionado.
Ejemplo 1: El grado de:
5 4
2 3
x y
x y
grado:    
5 4 2 3 4
    Rpta.
Ejemplo 2: El grado de:
18 10 6
5
x x 4x 5
x 2x 11
  
 
grado: 18 5 13
  Rpta.
III. Grado de una Potencia: Se multiplican el grado de la base por el exponente.
Ejemplo 1: El grado de:
(x3
+ 5x2
- 3)2
grado: 3 2 6
  Rpta.
Ejemplo 2: El grado de:
[(3x7
– x4
+ 5x + 1)3
]2
grado: 7 3 2 42
   Rpta.
IV. Grado de una Raíz: Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.
Ejemplo 1: El grado de:
3 9 7 3
x x x 4
  
grado: 9 3 3
  Rpta.
Ejemplo 2: El grado de:
3 24 4
x 2x 7
 
grado:  
24 2 3 4
   Rpta.

3. Polinomios
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 
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V. Término independiente de un producto: Esta se determina por el producto de los términos independientes
de los factores a multiplicarse.
Ejemplo 1: Halle el término independiente en:
     
3 9 2
F x 5x 9x 6 2x 6x 1 x 2x 7
      
Resolución:
   
T.I. 6 1 7 42
    Rpta.
VI. Término independiente de una potencia: Para hallar el término independiente de una potencia, se toma el
término independiente de la base y luego lo elevamos al exponente de la base:
Es decir:
Ejemplo 1: Halle el término independiente en:
F(x) = (x2 + 4x – 3)4
Resolución:
   4
P T.I. 3 81
   Rpta.
VII. Coeficiente principal de un producto: Se obtiene multiplicando los coeficientes principales de cada uno de
los factores:
Ejemplo 1: Halle el coeficiente principal (C.P.) en:
      
5 4 5
h x 2x 4x 1 x 4 3x x 4 x 3
      
Resolución:
    
C.P 2 1 1 1 2
  Rpta.
    4
2
F x x 4x 3
  

4. 4
Polinomios
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01. Dado el polinomio
P(x) = x(ax3
+ bx2
+ cx + d)
donde se verifica P(x)  P( 1 -x),
calcular 2a + b
a) 3 b) 5
c) -4 d) 1
e) 0
02. Si la siguiente expresión matemática es un
polinomio
       
a c
b c a
b
P x, y,z a b x b c y c a z ,
     
Establecer el valor de verdad de cada una de las
proposiciones:
I. P presenta 3 términos
II. P es un polinomio homogéneo
III. P es idénticamente nulo
IV. P es de grado cero
a) VVVV b) VFVV
c) VVFV d) FFVF
e) FFFF
03. Calcular el valor de
b a
ab b si el polinomio
   
2a 2
a 1 a
a 15 2a 1 b 1
P x 7 x 3x 5x ....nx

  
    
Tal que n  0 y b  0, es completo y ordenado de
4ªa
términos.
a) 7 b) 6
c) 4 d) 3
e) 2
04. Si al polinomio
  p p 1
m m 1 n 8
P x, y nx y mx y x

 
  
Le restamos 10x3
y4
su grado absoluto disminuye.
¿Cuánto vale el menor de los grados relativos?
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
05. Hallar el valor de a33
+
99
2
a
, si el polinomio
     
6 9
3 a a
P x a b c x c b 9 x
     
es idénticamente nulo.
a) 2 b) 1
c) 0 d) 4
e) 3
06. Dada la siguiente identidad:
       
7 7 2
2x 5 x 1 x 9x 18 A x ax b
       
Donde A(x) = 5 4
0 1 5 5 0
a x a x ... a a a 0,
     
Determinar a + b
6
.
a)  
7
2
4 1
3
 b)  
7
3
4 1
2

c)  
7
2
4 1
3
 d)  
7
3
4 1
2

e) 4325

5. Polinomios
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07. Si el polinomio
       
2 2 2
M x,y a b c d x b de xy 9 b c a e y
         
es idénticamente nulo, calcular
2
2
d 9b 6a
S
b c
e
  
a) 15 b) 16
c) 18 d) 13
e) 9
08. Calcular el valor de m + n con la condición de que
el polinomio
  2m n 4 m n 2
2m n 3 m n 1 2m n 2 m n
P x, y x y
x y x y
   
      
 

Sea de grado absoluto 28 y la diferencia de
grados relativos a x e y sea igual a 6.
a) 17 b) 15
c) 13 d) 10
e) 9
09. Calcular el grado de
  5 13 25
A x, y,z,... 3xy z w ...
 de 10 variables
a) 528 b) 670
c) 720 d) 840
e) 936
10. En el polinomio homogéneo
   
b a a b
3a b c
P x, y,z,... xy y 2z
  
 
Calcular a + b + c
a) 4 b) 5
c) 7 d) 9
e) 15
11. Si el polinomio completo es de (4 + a) términos
     
2a 2a 1 2a 2
P x 2ax 2a 1 x 2a 2 x ...
 
     
Hallar elvalor de "a".
a) 0 b) 3
c) 1 d) 2
e) 4
12. Calcular H(3) a partir de
H(x) = F(x + 1) + G(x – 1)
donde F(x + 1)= x2
+ x + 1 y G(x + 1) = x2
– 2x + 2
a) 4 b) 16
c) 32 d) 8
e) 35
13. Del polinomio
P(x, y) = 35
xn+3
ym-2
z6-n
+ xn+2
ym-3
GA(P) = 11; G.Rx – G.Ry = 5
Luego 2m + n es:
a) 5 b) 15
c) 10 d) 25
e) 12
14. Sabiendo que
F(x) = -x2
+ x + m y G(x) = x + 3,
Hallar m de tal manera que
F(G(F(2)))= -1
Indicar el mayor valor.
a) 2 b) 0
c) 1 d) -1
e) -2

6. 6
Polinomios
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15. Si P(x) = x
P[M(x) + G(x)] = 4x + 6
P[M(x) – 2G(x)] = x + 12,
Hallar M(G(2))
a) 0 b) 1
c) 6 d) 3
e) 8
16. ¿Cuántos factores han de tomarse en la
expresión:
P(x) = (x2
+ 1)(x6
+ 2)(x12
+ 3)…
Tal que P(x) sea de grado 330?
a) 10 b) 12
c) 13 d) 9
e) 8
17. Luego de transformar la expresión de variables
x e y
2 2 4 4
2 2
3 3 3 3
y y
x x
x y x y xy
x y x y
   
       
   
  
       
   
       
   
   
Resulta:
a) Racional entera b) Irracional
c) Racional fraccionaria d) De 6 términos
e) Monomio
18. La suma de todos los valores de "n" de tal modo
que al simplificar
n 7 n 8
n 2
2
x x
x x
 
 

, se obtenga
una expresión algebraicas racional entera es:
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
19. Si el polinomio
   
2 4 2 2
P x n 5 x 3m x n 8
    
es Mónico, el término que no depende de la
variable es:
a) -10 b) -6
c) -2 d) 2
e) 4
20. Al efectuar:
  
n 1
n n 1 n 1 n 2
x x 1 x x 1

  
   
resulta un polinomio de grado 13. El valor de "n2
es:
a) 2 b) 3
c) 13 d) 15
e) 6
21. Sean los polinomios:
   
m m 6 m 3 m
P x, y x x y x y x y
  
   
2 m m 1 m
Q x, y y x xy y

  
Si el grado de P es al grado de Q como 8 es a 3,
entonces el grado relativo a "x" del polígono P
(x,y) es:
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6