teoria de los polinomios

1. ÁLGEBRA
Prof. MARTIN FAJARDO

2. Un pensamiento celebre!!!
“Los educados se diferencian
de los no educados tanto
como los vivos de los
muertos”.
-Aristóteles-

3. PARTES DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

4. • Los polinomios son objetos muy utilizados
en matemáticas y en ciencia.
• En la práctica, son utilizados
en cálculo y análisis matemático para
aproximar cualquier función derivable;
las ecuaciones polinómicas y las funciones
polinómicas tienen aplicaciones en una
gran variedad de problemas, desde la
matemática elemental y el álgebra hasta
áreas como la física, química, economía y
las cienciassociales.

6. POLINOMIOS
ALGEBRA

14. 1 Si P(x) es un polinomio definido por:
Calcula “n”
𝑃 𝑥 = 3𝑥8−𝑛
− 5𝑥𝑛−4
+ 2𝑥
𝑛
3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑍+
8 − 𝑛 = n − 4
𝑛 = 6


15. 2 Si: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3 𝑦 𝑔 𝑥 =
𝑥 + 1
4𝑥 + 1
Halla: 𝑓(4). 𝑔 3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝑓 4 = 42 − 3 = 13
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜; 𝑎𝑠í:
𝑔 3 =
3 + 1
4(3) + 1
=
4
13
𝑓 4 . 𝑔 3 = 13. (
4
13
)
 = 4

16. 3 En el monomio 4(𝑚 − 1)𝑥𝑛+3𝑦3𝑚 el 𝐺𝐴 es 21 y el 𝐺𝑅(𝑦) es
igual al coeficiente. Halla el valor de “𝑚. 𝑛”
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝐷𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝐺𝐴 = 𝑛 + 3 + 3𝑚 = 21
𝐺𝑅(𝑦) = 3𝑚 = 𝐶𝑜𝑒𝑓. = 4(𝑚 − 1)
3𝑚 = 4𝑚 − 4
𝑚 = 4
𝑛 + 3 + 3 4 = 21
𝑛 = 6
 𝑚. 𝑛 = 24

17. 4 Si: 𝑃 𝑥 = (𝑥 − 1)2013 + (𝑥 + 2)3+𝑥 − 3 + 𝑎 , y su término independiente es –15.
Calcula la suma de coeficientes de 𝑃 𝑥
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
Del dato 𝑇. 𝑖 = −15 ;
𝑃 0 = (0 − 1)2013
+ (0 + 2)3
+0 − 3 + 𝑎 = −15
(−1)2013+ (2)3− 3 + 𝑎 = −15
−1 + 8 − 3 + 𝑎 = −15 𝑎 = −19
Nos piden
𝑃 1 = (1 − 1)2013
+ (1 + 2)3
+ 1 − 3 − 19 = 25 − 19
 𝑐𝑜𝑒𝑓.𝑷
= 𝟔
𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑇. 𝑖 = 𝑃(0)
𝑐𝑜𝑒𝑓. = 𝑃(1)

18. 5 Si 𝑃 2 − 𝑥 = 𝑥2
+ 2𝑥 − 2 , halla la suma de los cuadrados de los
coeficientes del polinomio P(x).
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝑅𝑒𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜, ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 2 − 𝑥 = 𝒙, 𝑎𝑠í:
(𝟐 − 𝒙)2+2(𝟐 − 𝒙) − 2
𝑃 𝒙 = 𝟒 − 𝟒𝒙 + 𝒙2
+ 4 − 𝟐𝒙 − 2
𝑃 𝒙 = 𝒙2 − 𝟔𝒙 − 6
(𝑐𝑜𝑒𝑓.)
2
= 12 +(−6)2+(−6)2
 (𝑪𝒐𝒆𝒇.) 𝟐 = 73
𝑃 𝒙 =

19. 6
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
Halla el valor de 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2. Si el polinomio:
𝑃 𝑥 = 𝑥2𝑎+1 + 2𝑥𝑏+3 + 3𝑥𝑐+2 + … + 2𝑐 es completo y ordenado.
𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 "𝑃" 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑐 + 2 = 1 , 𝑏 + 3 = 2 , 2𝑎 + 1 = 3
𝑐 = −1 𝑏 = −1 𝑎 = 1
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑛:
= (−1)2
+(−1)2
−(1)2
 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑐2
= 1
𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2

20. 7 Si el polinomio:
𝑃 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛+5 + 𝑛 + 1 𝑥𝑛+6 + 𝑛 + 1 𝑥𝑛+7 + …
Es ordenado y completo, calcula: 𝑃 1 − 𝑃(−1)
𝑛 + 5 = 0 𝑛 = −5
Evaluando los valores numéricos:
𝑃 1 = 𝑛(1)𝑛+5+ 𝑛 + 1 1 𝑛+6 + 𝑛 + 1 1 𝑛+7 + … = 3𝑛 + 2
𝑃 −1 = 𝑛(−1)𝑛+5+ 𝑛 + 1 −1 𝑛+6 + 𝑛 + 1 −1 𝑛+7 + … = 𝑛
𝑃 1 − 𝑃 −1 = 3𝑛 + 2 − 𝑛 = 2𝑛 + 2
 2(-5)+2= -8
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:

21. 8 El polinomio 𝑚 + 5 𝑥𝑦4 + 𝑛 + 4 𝑥4𝑦 − 3𝑥𝑦4 − 5𝑥4𝑦
Es idénticamente nulo. Hallar el valor de 𝑚𝑛
+ 𝑛−𝑚
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝑃 𝑥 = 0𝑥4
+ 0𝑥3
+ 0𝑥2
+ 0𝑥1
+ 0 = 0
𝑚 + 5 𝑥𝑦4
+ 𝑛 + 4 𝑥4
𝑦 − 3𝑥𝑦4
− 5𝑥4
𝑦
• 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠:
• 𝑈𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑃 𝑥 = 0, 𝑎𝑠í:
𝑚 + 5 − 3 𝑥𝑦4
+ 𝑛 + 4 − 5 𝑥4
𝑦 … 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
0 0
𝑚 = −2 ; 𝑛 = 1 𝑚𝑛
+ 𝑛−𝑚
= (−2)1
+ (1)−2
 𝑚𝑛
+ 𝑛−𝑚
= −1

22. 9 Halla la suma de coeficientes del polinomio homogéneo
3𝑎𝑥𝑛−5𝑦12 + 2 𝑎 − 𝑏 𝑥𝑎𝑦𝑏 + (7𝑏 + 14)𝑥𝑛𝑦3𝑛−14
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝑛 − 5 + 12 = 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 + 3𝑛 − 14
Por ser homogéneo igualamos los grados de cada término:
𝑛 = 7 𝑎 + 𝑏 =14
𝑐𝑜𝑒𝑓.
 𝑐𝑜𝑒𝑓. = 84
= 5 14 + 14 = 84
= 3𝑎 + 2 𝑎 − 𝑏 + 7𝑏 + 14 = 5𝑎 + 5𝑏 + 14 = 5 𝑎 + 𝑏 + 14

23. 10 Si el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 6 se puede escribir como:
𝑎(𝑥 + 2)2
+ 𝑏 𝑥 + 2 + 𝑐
Calcula: “𝑎 − 𝑏 + 𝑐”
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ón:
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 6 = 𝑎(𝑥 + 2)2 + 𝑏 𝑥 + 2 + 𝑐
𝑎(𝑥2
+ 2𝑥 + 4) + 𝑏𝑥 + 2𝑏 + 𝑐
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 6 =
𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 4𝑎 + 𝑏𝑥 + 2𝑏 + 𝑐
𝑎𝑥2 + (2𝑎 + 𝑏)𝑥 + 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 6 =
1𝑥2 + 0𝑥 + 6 =
𝑎 = 1 ; 2𝑎 + 𝑏 = 0 ; 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 6
𝑏 = −2 𝑐 = 6
 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 =1-(-2)+6=9

24. Convenio con:
S A N M I
G U E L