Material de álgebra, teoría y ejercicios aplicativos del tema esencial del álgebra.
El material no es propio, es la Universidad Nacional "Pedro Ruíz Gallo"
Este documento explica los conceptos de grado relativo y absoluto de monomios y polinomios. El grado de un polinomio es el exponente más alto de la variable principal. El grado relativo de una variable en un monomio o polinomio es su exponente más alto. El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes, y de un polinomio es el grado del término de mayor grado. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los grados.
La factorización consiste en transformar un polinomio en una multiplicación de factores primos. Existen varios métodos de factorización como el factor común, agrupaciones y aspa simple. Factorizar significa descomponer un polinomio en dos o más factores para expresarlo de forma multiplicativa.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de ecuaciones, incluyendo la definición de ecuación, diferentes tipos de ecuaciones como polinomiales y fraccionarias, y el teorema fundamental del álgebra que establece que toda ecuación polinomial tiene al menos una raíz. También explica cómo encontrar las raíces de un polinomio igualando cada factor a cero.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica racional entera donde las variables solo tienen exponentes enteros positivos. Explica los grados relativos y absolutos de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, explica la forma general de un polinomio en una variable y los polinomios idénticos.
El documento presenta conceptos básicos sobre polinomios como su definición, grado, coeficientes y términos especiales como polinomios completos, homogéneos e idénticamente nulos. Incluye teoremas como que la suma de los coeficientes de un polinomio se obtiene reemplazando la variable por 1 y que el número de términos de un polinomio completo es igual a su grado más uno. Finalmente, propone ejercicios de diferentes niveles sobre estos temas.
Este documento define y explica las características de una función polinómica. Una función polinómica es una relación entre un conjunto de números racionales y otro conjunto de números racionales que se expresa como una suma de términos, donde cada término consiste en un número racional multiplicado por una potencia de una variable con un exponente natural. El documento proporciona ejemplos de funciones polinómicas y explica que las variables siempre deben tener exponentes naturales para que la función se considere polinómica.
El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición como suma de términos de potencias de una variable, operaciones como suma, producto, división, y el teorema fundamental del álgebra que establece que todo polinomio tiene al menos una raíz. También cubre temas como el grado de un polinomio, máximo común divisor, factorización, y la regla de Ruffini para operar con polinomios.
El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición como una función de potencias de una variable, las operaciones de suma, producto, cociente y división entre polinomios, el máximo común divisor y mínimo común múltiplo, y el teorema fundamental del álgebra que establece que todo polinomio tiene al menos una raíz. También explica la factorización de polinomios y la regla de Ruffini para operar con polinomios.
Este documento explica los conceptos de grado relativo y absoluto de monomios y polinomios. El grado de un polinomio es el exponente más alto de la variable principal. El grado relativo de una variable en un monomio o polinomio es su exponente más alto. El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes, y de un polinomio es el grado del término de mayor grado. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los grados.
La factorización consiste en transformar un polinomio en una multiplicación de factores primos. Existen varios métodos de factorización como el factor común, agrupaciones y aspa simple. Factorizar significa descomponer un polinomio en dos o más factores para expresarlo de forma multiplicativa.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de ecuaciones, incluyendo la definición de ecuación, diferentes tipos de ecuaciones como polinomiales y fraccionarias, y el teorema fundamental del álgebra que establece que toda ecuación polinomial tiene al menos una raíz. También explica cómo encontrar las raíces de un polinomio igualando cada factor a cero.
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica racional entera donde las variables solo tienen exponentes enteros positivos. Explica los grados relativos y absolutos de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, explica la forma general de un polinomio en una variable y los polinomios idénticos.
El documento presenta conceptos básicos sobre polinomios como su definición, grado, coeficientes y términos especiales como polinomios completos, homogéneos e idénticamente nulos. Incluye teoremas como que la suma de los coeficientes de un polinomio se obtiene reemplazando la variable por 1 y que el número de términos de un polinomio completo es igual a su grado más uno. Finalmente, propone ejercicios de diferentes niveles sobre estos temas.
Este documento define y explica las características de una función polinómica. Una función polinómica es una relación entre un conjunto de números racionales y otro conjunto de números racionales que se expresa como una suma de términos, donde cada término consiste en un número racional multiplicado por una potencia de una variable con un exponente natural. El documento proporciona ejemplos de funciones polinómicas y explica que las variables siempre deben tener exponentes naturales para que la función se considere polinómica.
El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición como suma de términos de potencias de una variable, operaciones como suma, producto, división, y el teorema fundamental del álgebra que establece que todo polinomio tiene al menos una raíz. También cubre temas como el grado de un polinomio, máximo común divisor, factorización, y la regla de Ruffini para operar con polinomios.
El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su definición como una función de potencias de una variable, las operaciones de suma, producto, cociente y división entre polinomios, el máximo común divisor y mínimo común múltiplo, y el teorema fundamental del álgebra que establece que todo polinomio tiene al menos una raíz. También explica la factorización de polinomios y la regla de Ruffini para operar con polinomios.
Este documento trata sobre conceptos básicos de polinomios como definiciones, grados, tipos especiales de polinomios (ordenados, completos, homogéneos, idénticos, opuestos, nulos), y ejercicios para practicar el cálculo de grados y la identificación de tipos de polinomios. Incluye definiciones de términos como monomio, polinomio, grado relativo, grado absoluto, y ejemplos ilustrativos de cálculo de grados y tipos de polinomios.
Este documento presenta los métodos de iteración del punto fijo y bisección para aproximar las raíces de ecuaciones. Explica que el método de iteración del punto fijo converge si la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de bisección involucra dividir repetidamente un intervalo que contiene una raíz hasta que el error deseado se alcanza. Luego, proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de ambos métodos. Finalmente, formula preguntas sobre los detalles de los ejemplos.
Este documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Explica que los polinomios se utilizan para expresar fórmulas científicas como el movimiento en caída libre o el volumen de un cubo. Luego define los monomios, polinomios y sus partes, y describe operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Finalmente, presenta identidades notables para operar con binomios.
El documento presenta las teorías de límites, continuidad y derivadas que se enseñarán en el grado 11 de matemáticas. Incluye los objetivos, contenidos, evaluaciones y didáctica a utilizar. Se explicarán conceptos como límites, funciones continuas, discontinuidad, derivadas y sus aplicaciones, además de proveer fórmulas y ejemplos para derivar diferentes funciones.
El documento describe diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. También explica conceptos como polinomios, términos, grado, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.
El documento trata sobre el cálculo numérico. Aborda temas como la teoría de errores, la solución numérica de ecuaciones, interpolación, derivación e integración numérica y ecuaciones diferenciales. También explica conceptos matemáticos fundamentales como límites, funciones continuas, derivadas, integrales, teoremas como el de Rolle, valor medio y valor extremo. Por último, analiza la teoría de errores en cálculo numérico.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones matemáticas. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que incluyen una variable y coeficientes. Se pueden realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con polinomios siguiendo reglas algebraicas.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos monomiales.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos monomiales.
Este documento presenta conceptos matemáticos como operaciones algebraicas (división, potencia, raíces), expresiones algebraicas (términos, clasificación), polinomios (notación, grados) y operaciones con expresiones algebraicas (suma, resta, multiplicación). Define términos como monomio, binomio, trinomio y explica propiedades de la multiplicación de expresiones algebraicas.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Define expresiones algebraicas, polinomios y diferentes tipos de expresiones como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. También explica conceptos como sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, encontrar raíces de polinomios y resolver ecuaciones fraccionarias.
Este documento trata sobre polinomios. Define qué son polinomios y monomios, y explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios. También cubre conceptos como factorización usando la regla de Ruffini, raíces de polinomios, y el teorema fundamental del álgebra.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales. Explica qué son pares ordenados, el plano cartesiano, producto cartesiano, relaciones binarias y funciones. Define dominio, rango y regla de correspondencia para funciones. Finalmente, muestra cómo calcular el dominio y rango de funciones reales de variable real.
Este documento presenta una introducción a la teoría de polinomios. Define conceptos clave como expresión algebraica, polinomio, grado de un polinomio, valor numérico y polinomios especiales como polinomios homogéneos y ordenados. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento define conceptos básicos sobre polinomios como monomios, polinomios, grado relativo y absoluto. Explica que un polinomio es una expresión algebraica racional entera compuesta de uno o más monomios. También describe polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación sobre estos conceptos.
El documento habla sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define expresiones algebraicas racionales y irracionales, y clasifica expresiones según la naturaleza de sus exponentes o el número de términos. Explica el grado de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como homogéneos, ordenados, completos e idénticos. Incluye ejemplos y reglas para operaciones algebraicas.
Polinomios, ejercicios para aprender matemáticasAldoZapataRamos1
Este documento proporciona una explicación detallada de los conceptos fundamentales relacionados con los polinomios, incluyendo elementos de un término algebraico, monomios, polinomios, grados absolutos y relativos de monomios y polinomios, polinomios ordenados, completos, homogéneos e idénticos. Además, incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.
El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su suma, multiplicación, división y factorización. Explica que un polinomio es la suma de monomios y define términos como grado, coeficientes, raíces, divisor y cociente. También cubre propiedades como conmutatividad, asociatividad y distribución, así como el Teorema del Resto para la división de polinomios.
Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicasAntonio Moreno
Este documento introduce conceptos básicos sobre polinomios y fracciones algebraicas. Explica que un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios, y define términos como grado y coeficientes. También cubre operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación, división y factorización. Finalmente, introduce fracciones algebraicas y operaciones como simplificación, suma, resta, producto y cociente.
Este documento trata sobre conceptos básicos de polinomios como definiciones, grados, tipos especiales de polinomios (ordenados, completos, homogéneos, idénticos, opuestos, nulos), y ejercicios para practicar el cálculo de grados y la identificación de tipos de polinomios. Incluye definiciones de términos como monomio, polinomio, grado relativo, grado absoluto, y ejemplos ilustrativos de cálculo de grados y tipos de polinomios.
Este documento presenta los métodos de iteración del punto fijo y bisección para aproximar las raíces de ecuaciones. Explica que el método de iteración del punto fijo converge si la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de bisección involucra dividir repetidamente un intervalo que contiene una raíz hasta que el error deseado se alcanza. Luego, proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de ambos métodos. Finalmente, formula preguntas sobre los detalles de los ejemplos.
Este documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Explica que los polinomios se utilizan para expresar fórmulas científicas como el movimiento en caída libre o el volumen de un cubo. Luego define los monomios, polinomios y sus partes, y describe operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Finalmente, presenta identidades notables para operar con binomios.
El documento presenta las teorías de límites, continuidad y derivadas que se enseñarán en el grado 11 de matemáticas. Incluye los objetivos, contenidos, evaluaciones y didáctica a utilizar. Se explicarán conceptos como límites, funciones continuas, discontinuidad, derivadas y sus aplicaciones, además de proveer fórmulas y ejemplos para derivar diferentes funciones.
El documento describe diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. También explica conceptos como polinomios, términos, grado, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios.
El documento trata sobre el cálculo numérico. Aborda temas como la teoría de errores, la solución numérica de ecuaciones, interpolación, derivación e integración numérica y ecuaciones diferenciales. También explica conceptos matemáticos fundamentales como límites, funciones continuas, derivadas, integrales, teoremas como el de Rolle, valor medio y valor extremo. Por último, analiza la teoría de errores en cálculo numérico.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones matemáticas. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que incluyen una variable y coeficientes. Se pueden realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con polinomios siguiendo reglas algebraicas.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos monomiales.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos monomiales.
Este documento presenta conceptos matemáticos como operaciones algebraicas (división, potencia, raíces), expresiones algebraicas (términos, clasificación), polinomios (notación, grados) y operaciones con expresiones algebraicas (suma, resta, multiplicación). Define términos como monomio, binomio, trinomio y explica propiedades de la multiplicación de expresiones algebraicas.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Define expresiones algebraicas, polinomios y diferentes tipos de expresiones como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. También explica conceptos como sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, encontrar raíces de polinomios y resolver ecuaciones fraccionarias.
Este documento trata sobre polinomios. Define qué son polinomios y monomios, y explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios. También cubre conceptos como factorización usando la regla de Ruffini, raíces de polinomios, y el teorema fundamental del álgebra.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales. Explica qué son pares ordenados, el plano cartesiano, producto cartesiano, relaciones binarias y funciones. Define dominio, rango y regla de correspondencia para funciones. Finalmente, muestra cómo calcular el dominio y rango de funciones reales de variable real.
Este documento presenta una introducción a la teoría de polinomios. Define conceptos clave como expresión algebraica, polinomio, grado de un polinomio, valor numérico y polinomios especiales como polinomios homogéneos y ordenados. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento define conceptos básicos sobre polinomios como monomios, polinomios, grado relativo y absoluto. Explica que un polinomio es una expresión algebraica racional entera compuesta de uno o más monomios. También describe polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación sobre estos conceptos.
El documento habla sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define expresiones algebraicas racionales y irracionales, y clasifica expresiones según la naturaleza de sus exponentes o el número de términos. Explica el grado de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como homogéneos, ordenados, completos e idénticos. Incluye ejemplos y reglas para operaciones algebraicas.
Polinomios, ejercicios para aprender matemáticasAldoZapataRamos1
Este documento proporciona una explicación detallada de los conceptos fundamentales relacionados con los polinomios, incluyendo elementos de un término algebraico, monomios, polinomios, grados absolutos y relativos de monomios y polinomios, polinomios ordenados, completos, homogéneos e idénticos. Además, incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.
El documento describe los conceptos básicos de los polinomios, incluyendo su suma, multiplicación, división y factorización. Explica que un polinomio es la suma de monomios y define términos como grado, coeficientes, raíces, divisor y cociente. También cubre propiedades como conmutatividad, asociatividad y distribución, así como el Teorema del Resto para la división de polinomios.
Tema 2 Polinomios y fracciones algebraicasAntonio Moreno
Este documento introduce conceptos básicos sobre polinomios y fracciones algebraicas. Explica que un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios, y define términos como grado y coeficientes. También cubre operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación, división y factorización. Finalmente, introduce fracciones algebraicas y operaciones como simplificación, suma, resta, producto y cociente.
El documento trata sobre los polinomios y su tratamiento en la enseñanza secundaria. Explica que los polinomios han tenido una presencia variable en los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, desde no mencionarlos explícitamente hasta estudiar sus propiedades y operaciones de manera formal. También analiza conceptos como grado, términos, sumas, productos, divisiones, factorización, raíces y valor numérico de polinomios.
El documento describe brevemente la situación de los polinomios en la enseñanza secundaria en España. Explica que los polinomios han estado entrando y saliendo de los planes de estudio y que existen diferentes enfoques, como trabajar con expresiones algebraicas sin definir el concepto de polinomio. También resume algunos conceptos y operaciones básicas con polinomios como suma, resta, producto y división.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Define expresiones algebraicas, polinomios y diferentes tipos de expresiones como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. También explica conceptos como sumas, restas, multiplicación y división de polinomios así como cálculo de raíces.
El documento define un polinomio como una expresión que combina letras y números mediante sumas, restas, multiplicaciones y potenciaciones. Explica que un polinomio tiene un grado relativo y absoluto, y describe varios tipos especiales de polinomios como ordenados, completos y homogéneos. También cubre cálculos con polinomios como sumas, restas, multiplicaciones y evaluar un polinomio para un valor numérico.
El documento habla sobre expresiones algebraicas. Explica que una expresión algebraica relaciona valores indeterminados con operaciones matemáticas. Luego describe diferentes tipos de expresiones como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. También define conceptos como polinomios, términos, grado y raíces de un polinomio. Finalmente, explica operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación y división.
Expresiones Algebraicas Y Sus Operacionesguest5d8d8531
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones matemáticas. Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos monomiales. Se pueden realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con polinomios siguiendo reglas algebraicas.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por la suma de términos que son el producto de un coeficiente y una potencia de la variable.
Una expresión algebraica es una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Existen expresiones algebraicas racionales e irracionales, enteras y fraccionarias. Los polinomios son expresiones algebraicas comunes formadas por términos de distintos grados. Se pueden sumar, restar y multiplicar polinomios siguiendo reglas algebraicas.
El documento presenta información sobre expresiones algebraicas y polinomios especiales. Define expresiones algebraicas racionales y irracionales, y clasifica expresiones según la naturaleza de sus exponentes y el número de términos. Explica conceptos como grado de expresiones y polinomios, y tipos de polinomios especiales como homogéneos, ordenados y completos.
Este documento presenta una unidad sobre expresiones algebraicas. Explica que las expresiones algebraicas permiten resolver ecuaciones que surgen en problemas de la vida cotidiana. El objetivo es que los estudiantes aprendan a utilizar expresiones algebraicas, sus propiedades y operaciones para resolver problemas. Cubre temas como polinomios, términos, suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Finaliza con un taller sobre expresiones algebraicas.
Este documento presenta información sobre polinomios, incluyendo su definición, casos especiales como polinomios ordenados, completos y homogéneos, y propiedades como el grado de un polinomio. Explica que un polinomio es la suma o diferencia de monomios y puede representar fenómenos físicos. Incluye ejemplos y ejercicios sobre polinomios.
El documento habla sobre los polinomios. Define un polinomio como una función que asigna valores a variables mediante la suma de términos con coeficientes y potencias de la variable. Explica conceptos como grado, suma, producto, división, máximo común divisor y teorema fundamental del álgebra.
El documento habla sobre los polinomios. Define un polinomio como una función que asigna valores a variables mediante la suma de términos con coeficientes y potencias de la variable. Explica conceptos como grado, suma, producto, división, máximo común divisor y teorema fundamental del álgebra.
El documento presenta una actividad sobre la elaboración e interpretación de mapas para mejorar la seguridad ciudadana. Se propone elaborar mapas y planos a escala que representen la ubicación de lugares seguros en la comunidad y que incluyan información relacionada a la seguridad. Adicionalmente, se pide justificar el procedimiento de elaboración e interpretación de los mapas.
Este documento presenta 11 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas cubren temas como proporcionalidad, geometría, álgebra y estadística. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo de manera clara y concisa para llegar a la respuesta correcta en cada caso.
El documento presenta 10 problemas resueltos de matemáticas de un examen nacional escolar en Perú. Los problemas incluyen ecuaciones, geometría, promedios y otros temas. Se proporcionan detalles completos sobre cómo resolver cada problema paso a paso.
El documento explica la diferencia entre propósito de aprendizaje, criterio de evaluación y evidencia de aprendizaje. Los propósitos de aprendizaje se refieren a lo que se quiere lograr, los criterios de evaluación describen las características que los estudiantes deben demostrar, y las evidencias de aprendizaje son las producciones de los estudiantes que muestran su nivel de aprendizaje. Juntos, estos tres componentes guían el proceso de evaluación formativa de acuerdo a las normas del MINEDU.
El documento presenta una serie de problemas matemáticos resueltos. Los problemas involucran cálculos con números enteros y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Los problemas tratan temas como movimientos, distancias, edades, cantidades y transacciones financieras.
Este documento presenta 4 problemas de regla de tres compuesta, donde se dan ciertas cantidades relacionadas con el tiempo, volumen, peso u otras variables. Se pide identificar si la relación es directa o inversa y calcular la cantidad desconocida usando la regla de tres. Se provee la solución a cada uno de los 4 problemas planteados.
Este documento presenta 15 problemas de matemáticas relacionados con la regla de tres compuesta. Los problemas involucran variables como el número de trabajadores, horas de trabajo, cantidad de trabajo realizado, y plazos. El objetivo es calcular valores desconocidos como la cantidad de trabajadores necesarios, tiempo requerido, o cantidad de trabajo realizado, basados en la información dada.
El documento presenta la biografía de Malba Tahan, el seudónimo utilizado por el matemático brasileño Júlio César de Mello e Souza. Escribió más de 50 libros utilizando historias árabes para enseñar matemáticas, siendo su obra más famosa "El Hombre que Calculaba". Se enamoró de la cultura árabe desde niño y estudió en profundidad su lengua y cultura. Sus libros se han traducido a más de 12 idiomas y ha vendido más de 2.6 millones de copias. Fue
Material de álgebra, teoría y ejercicios aplicativos del tema esencial del álgebra.
El material no es propio, es la Universidad Nacional "Pedro Ruíz Gallo".
Este material es muy bueno que puede servir para niveles PRE y Universitario
Material de álgebra, teoría y ejercicios aplicativos del tema esencial del álgebra.
El material no es propio, es la Universidad Nacional "Pedro Ruíz Gallo"
Este documento presenta 20 juegos matemáticos que pueden ser utilizados por profesores de educación secundaria para hacer sus clases más creativas y lúdicas. Los juegos cubren una variedad de temas matemáticos como áreas y perímetros, factorización de polinomios, valor absoluto, números racionales y lenguaje algebraico. El autor explica cómo cada juego puede ser utilizado en el aula para reforzar conceptos matemáticos de manera divertida.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Docentes y el uso de chatGPT en el Aula Ccesa007.pdf
Grados en expresiones algebraicas
1. 163
Grado de las Expresiones
Algebraicas
DEFINICIONES PREVIAS:
o MONOMIO : Expresión del tipo Racional
entera de UN solo término
Ejemplo:
4
o POLINOMIO: Es aquella expresión
matemática donde intervienen las
operaciones de adición y sustracción para
unir monomios.
Ejemplo:
4 7 8
GRADO DE UN POLINOMIO
Se denomina grado a la característica relacionada
con los exponentes de las variables de una
expresión algebraica. Se distinguen dos tipos de
grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR).
Para un Monomio:
Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la
variable indicada.
Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que
afectan a todas las variables indicadas.
Ejemplo:
Dado el monomio F (x,y,z) = -52x9
y5
x
GR(x) = 9 GR(y) = 5 GR(z) = 1 GA(F) = 15
Para un Polinomio:
Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta
a la variable seleccionada en toda la expresión.
Grado Absoluto: Es el grado absoluto
(simplemente grado), del término de mayor grado
en dicho polinomio.
Dado el polinomio
356427 yx5yx3yx7)y,x(P +-=
GR(x) = 7 GR(y) = 6 GA = 10
Nota: El grado del término independiente es cero.
Representación general de polinomios de acuerdo
al grado
Considerando la variable "x" y las constantes a, b, c
y d tal que a ¹ 0, tenemos :
De grado cero: a
De primer grado: ax + b
De segundo grado: ax2
+ bx + c
De tercer grado: ax3
+ bx2
+ cx + d
Grados en operaciones con polinomios
Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q (x) de
grado n (con m > n), entonces:
1. GA [P(x) ± Q (x) ] = m
2. GA [P(x) . Q(x) ] = m + n
3. GA ú
û
ù
ê
ë
é
)x(Q
)x(P
= m - n
4. GA r
)]x(P[ = r.m
5. GA
r
m
)x(Pr = , r ¹ 0
POLINOMIOS ESPECIALES
Ø Polinomio Homogéneo
Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo
grado absoluto. A éste grado común se le denomina
grado de homogeneidad.
Ejemplo :
P( x, y, z ) = x3
- 6x2
y + 7xy2
- 9y3
Es un polinomio homogéneo de grado 3
PROPIEDAD:
Sea ),( yxP un polinomio homogéneo de grado ""n
Entonces: ),(),( yxpkkykxP n
=
Ø Polinomio Ordenado
Con respecto a una variable, un polinomio está
ordenado si los exponentes de esta variable lo
están ya sea en forma ascendente o descendente,
no necesariamente en forma consecutiva.
Ejemplo:
P(x,y) = x5
y - x3
y2
+ xy3
, es un polinomio ordenado
en forma descendente respecto a "x" y en forma
ascendente respecto a "y".
Ø Polinomio completo
Con respecto a una variable, un polinomio es
completo, si existen todos los exponentes de dicha
variable, desde el exponente 0 hasta el grado del
polinomio.
Teorema: Si un polinomio es completo en una variable,
entonces el número de términos es igual a su grado
aumentado en 1, es decir:
NT = GA + 1
Ejemplo:
2. 164
P(x) = 2 +x5
+ 2x- p x4
+ 4x3
+ ( 2 -1)x2
, es
de quinto grado con seis términos.
Ø Polinomio entero en “x”
Es aquel que depende únicamente de la variable "x",
siendo sus coeficientes números enteros.
Ejemplo :
P(x) = 3x3
+ 2x2
- 1 , es un polinomio entero en "x"
de tercer grado.
Ø Polinomio mónico
Es aquel polinomio entero en "x" que se
caracteriza por que su coeficiente principal
(coeficiente de la variable con mayor exponente) es
igual a la unidad.
Ejemplo :
P(x) = x5
– 5x + 8, es un polinomio mónico de
quinto grado.
Ø Polinomios idénticos
Dos o más polinomios en las mismas variables son
idénticos, cuando tienen los mismos valores
numéricos para cualquier valor que se le asigne a
sus variables.
Ejemplo:
P(x,y) = (x+y)2
-4xy
Q(x,y) = (x-y)2
Vemos que P y Q tienen el mismo valor numérico, y
se denota por: P(x,y) ºQ(x,y)
Teorema: Polinomios idénticos son aquellos cuyos
términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
Ø Polinomios equivalentes
Son aquellos polinomios que teniendo formas
diferentes aceptan igual valor numérico para un
mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo. Dados los polinomios
P(x,y) = (x + y)2
+ (x - y)2
Q (x,y) = 2(x2
+ y2
)
Nótese que : P(x,y) y Q (x,y) son equivalentes
y denotamos:
P(x,y) Q (x,y)
Ø Polinomio idénticamente nulo
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su
valor es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo:
Si P(x) = ax4
+ bx + c es idénticamente nulo. Se
cumplirá que: a = b = c = 0 y se representa por :
P(x) º 0
Valor numérico de un polinomio
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le
asigna un determinado valor a su variable.
Ejemplo:
Si P(x) = x3
– 5x2
+ 4, entonces
P(1) = (1)3
– 5(1)2
+ 4 = 0
P(-2) = (-2)3
– 5(-2)2
+ 4 = 6
Nota :
La suma de los coeficientes del polinomio P(x) es
P(1), es decir,
S coef. de P(x) = P(1)
El término independiente del polinomio P(x) es
P(0), es decir
T. I. de P(x) = P(0)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la suma de valores de “n” para los cuales
la expresión.
n
n
yx 2
128
2
210
34 -
-
es un polinomio
a) –14 b) 8 c) 6 d) 9 e) 3
Solución
Por ser polinomio:
NyN n
n
ÎÎ
-
2
128
2
210
Sólo se cumple si: n = 1,2,3
å n = 1+2+3 = 6
Respuesta : alternativa “c”
2. En el polinomio homogéneo
1n42n42n41n4
yxyyxx ----
++++ L que
también es completo y ordenado se verifica que
la suma de los grados absolutos de sus
términos es de 240. Hallar su grado de
homogeneidad:
a) 4 b) 15 c) 16 d) 60 e) 4n
Solución
Por dato del problema :
3. 165
å de los grados absolutos = 240, entonces
(4n-1) + (4n-1) + (4n-1) + LL + (4n-1) = 240
como el polinomio es completo, homogéneo y
ordenado, entonces :
# de términos = G.A. + 1
además G.A. = 4n - 1
entonces # de términos = 4n
luego
240)1n4()1n4()1n4(
vecesn4
=-++-+-
444444 3444444 21
L
4n(4n-1) = 240
de donde n = 4
luego el grado de homogeneidad es:
4n-1 = 15
Respuesta: alternativa “b”
3. Dado el polinomio P(x) y Q(x), se sabe que los
polinomios: P3
(x).Q(x) y P3
(x) ¸ Q2
(x), son de
grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado
de P(x).Q(x).
a) 4 b) 6 c) 10 d) 15 e) 9
Solución
Sea P(x) un polinomio de grado m
Sea Q(x) un polinomio de grado n
Luego: P3
(x).Q(x) = 3m + n
P3
(x) ¸ Q2
(x) = 3m – 2n
Entonces: 3m + n = 17
3m – 2n = 2
de donde m = 4 y n = 5
entonces P(x).Q(x) es de grado:
m + n = 9
Respuesta: alternativa “e”
4. En el polinomio
P(x + 1) = (3x+2)2n
(5x+7)2
(4x+7)
Se observa que:
3å coef = 343 veces el término independiente
Calcular el valor de n
a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 0
Solución
I. å coef = P(1)
Si x = 0
→ P(1) = 22n
. 72
. 7 = 2n . 343
II. T. Ind. = P(o)
Si: x = -1
→ P(o) = (-1)2n
. (-5 + 7)2
. (-4 + 7)= 22
. 3
Por dato: 3(22n
. 343) = 343 . 22
. 3
n = 1
Respuesta: alternativa “c”
5. Determinar el valor de “k” si el polinomio
5
202b
1a5
2b
ka2a
y3yx2x)y,x(P
+
+++
+-=
es homogéneo ; a < b < 9 , k Î Z
Solución
como P(x,y) es homogéneo entonces:
5
20b
1a
5
b
kaa
22
2 +
=++=++ Þ
5
20b
1a
5
b 22 +
=++
4
5
b
1a
5
b 22
+=++ Þ a = 3
luego como a < b < 9 entonces 3 < b < 9 y
puesto que
5
20b2
+
debe ser entero por ser
P(x,y) un polinomio, entonces b = 5. ahora
5
20b
kaa
2
2 +
=++ Þ 12 + k = 9
Þ k = -3
Respuesta: alternativa “c”