Semana 02 - Vectores y Movimiento-2023-I (1).pdf

BIOFISICA MÉDICA - 2023-01
SEMANA 02:
Textos de referencia:
1. Daniel Fernández P; Biofísica para estudiantes de Ciencias Médicas y de la Salud –EDITORIAL
UPAO 2020.
2. CROMER, ALAN H. FISICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA 1996
3. DAVID JOU. Y COL. FÍSICA PARA LAS CIENCIAS DE LA VIDA. 2009
Dr. Luis M. Angelats Silva
langelatss@upao.edu.pe
04/04/2023
Vectores y operaciones con vectores. Definiciones básicas de movimiento uniforme y
movimiento variado. Movimiento Corporal.
UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
Departamento Académico de Ciencias
Medicina Humana

I. ADICIÓN DE VECTORES
1.1 Método gráfico o geométrico:
a) Para dos vectores:
A
A
B
B
R = A + B
R = A + B
Propiedad: A + B = B + A
Método del triángulo
A
B
R =A + B
Método del paralelogramo
1. CANTIDAD VECTORIAL Y OPERACIÓN CON VECTORES:
Una cantidad vectorial está especificada completamente por un número y unidades
apropiadas, más una dirección. Ejemplos: Fuerza, velocidad, aceleración, campo eléctrico, etc.
b) Para tres vectores:
B
R
A+B
B+C
A
C
Propiedad: A + (B + C) = (A + B) + C
04/04/2023

1.2 Método analítico:
A
B
R =A + B


BCos
A
B
A
R 2
2
2
+
+
=
Ley del Coseno
Actividad: Demuestre que R es menor cuando el ángulo  es mayor que 90°, y
mayor cuando el ángulo  es menor que 90°.
Caso particular:
Si  = 90o; 2
2
B
A
R +
=
Ley de los senos:


 Sen
R
Sen
B
Sen
A
=
=
A
B
R =A + B




 Como: Sen = Senθ ¿puede demostrarlo?


 Sen
R
Sen
B
Sen
A
=
=
04/04/2023

II. DIFERENCIA DE DOS VECTORES:
Se define la operación A – B como: A – B = A + (-B), entonces sean
los vectores:
A
B
-B
D = A - B
 
BCos
A
B
A
D 2
2
2
−
+
=
III. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:
Sea m un escalar y A un vector,
P = m A, resulta:
P  A, si sólo si m (+) (m > 0):
P  A, si sólo si m (-) (m < 0):
¿Es correcta esta propiedad? A – B = B – A
A
B
04/04/2023

IV. COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR FUERZA:
(a) En el plano: F = Fx i + Fy j
F
Y
x

F x i
FY j
0
i
j
Fx = F Cos , FY = F Sen
tan 𝜃 =
𝐹𝑌
𝐹𝑋
, F= 𝐹𝑋
2
+ 𝐹𝑌
2
(b) En el espacio:
F = Fx i + Fy j + FZ k
F
+Y
+Z
+X

 
F x i
FY j
FZ k i
j
k
F= 𝐹𝑋
2
+ 𝐹𝑌
2
+ 𝐹2
𝐶𝑜𝑠𝛼 =
𝐹𝑋
𝐹
; 𝐶𝑜𝑠𝛽 =
𝐹𝑌
𝐹
; 𝐶𝑜𝑠𝛾 =
𝐹𝑍
𝐹
;
1
2
2
2
=
+
+ 

 Cos
Cos
Cos
Vectores unitarios
04/04/2023

04/04/2023 Dr. Luis M. Angelats Silva
Ejemplos:
1. Dos jóvenes tiran de un caballo terco con fuerzas de 80.0
N y 120.0N (ver Fig.). Encuentre la fuerza resultante y la
dirección de esta resultante (ángulo respecto al eje +X).
Rpta:
2. El músculo deltoides levanta el brazo hasta la posición
horizontal (Ver Figura). Si la tensión T ejercida por el
músculo es de 300 N, calcular las componentes horizontal
(Tx) y vertical (Tx) del vector T
T
18°
3. La Figura muestra las fuerzas ejercidas por el suelo y por
el tendón de Aquiles de una persona de 90 kg cuando está
agachada. La fuerza de contacto R ejercida por la tibia
actúa en el punto O. a) Exprese las componentes para
cada una de las fuerzas, (b) Calcule la fuerza que realiza el
tendón de Aquiles y el módulo de fuerza de contacto.
R
41°

07/04/2023
2. CINEMÁTICA: Definiciones básicas de movimiento Uniforme y movimiento variado
P
Q
Trayectoria
+Z
+Y
+X
r
Parte de la mecánica que describe el movimiento de los cuerpos. Un cuerpo
describe una trayectoria, que queda determinada por su posición en cada
instante, dada por el vector de posición r
I. Movimiento en una dimensión:
a. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): V  constante
Desplazamiento y ecuaciones del MRU:
t1= 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
(0,0) +X
v
x1
x2
t2
1. Desplazamiento ( x): Se define como el cambio de posición: x = x2 – x1 [m]
2. Velocidad media (vm): Se define como:
tiempo
de
intervalo
posición
de
cambio
=
m
v
1
2
1
2
t
t
x
x
t
x
vm
−
−
=


=
ó
[m/s]

07/04/2023
Ejemplo 1: La posición del corredor mostrado en la figura cambia
de x1 = 50.0m a x2 = 30.5 m durante un intervalo de tiempo de 3.0
s. ¿Cuál es la velocidad media? Inicio
Final
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥2−𝑥1
𝑡2−𝑡1
=
30−50
3
= −6.7 𝑚/𝑠
¿Cuál es el significado del signo menos en este resultado?
Ejercicio 1: ¿Qué tan lejos puede un ciclista viajar en 2,5 h a
lo largo de una recta si su velocidad media es 18 km/h?
Rpta: 45 km
3. Ecuación del movimiento: Si, x1 = xo (posición inicial); x2 = x (posición final)
t1 = 0 (tiempo inicial); t2 = t (tiempo final), y teniendo en cuenta que vm es constante (vm = v, velocidad instantánea)
:
0
−
−
=
t
x
x
v o
ó vt
x
x o +
= Ecuación del movimiento
Ejemplo 2
Los accidentes de tránsito suelen ocurrir por pequeñas distracciones. Si estás conduciendo un auto a 110
km/h a lo largo de una pista recta y miras hacia un lado por 2.0 s, ¿cuánto has avanzado durante este
tiempo de distracción?
𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝑣𝑡
𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒂
Donde:
𝑥 − 𝑥0 = 𝑑 = (30.6
𝑚
𝑠
)(2.0𝑠) = 61.2𝑚
Convertir 110 km/h a m/s, 30.6 m/s

07/04/2023
b. Movimiento Rectilíneo uniformemente variado (MRUV) (aceleración constante)
(Trayectoria en una línea recta y su velocidad aumenta o disminuye en cantidades iguales en tiempos
iguales: aceleración constante)
Ecuaciones del movimiento:
P Q
x0 x
t0 = 0 t
x
x
v0 v
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 ±
1
2
𝑎𝑡2
1. ento
desplazami
x
x
x 

=
− 0
(Distancia recorrida)
2.
at
v
v 
= 0
𝑥 = 𝑥0 +
1
2
(𝑣0 + 𝑣)𝑡
3.
4. )
(
2 0
2
0
2
x
x
a
v
v −

=
Nota: Se usa el signo (+) para el movimiento
acelerado y el signo (-) para el
movimiento desacelerado (aceleración
negativa)
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Un corredor acelera desde el reposo hasta 10.0 m/s en 1.35 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?
Rpta 7.41 m/s2
Un auto inicialmente en reposo en un semáforo se acelera a 2m.s-2 cuando se enciende la luz verde
¿Cuál sería su velocidad y posición 4 s después? Rptas 8.0 m.s-1; .16.0 m

c. Caída libre de los cuerpos – movimiento vertical:
Suponiendo que el campo gravitatorio es el único factor que afecta al movimiento de un objeto que cae en
las proximidades de la superficie terrestre y que la resistencia del aire es nula o despreciable, se dice que
el movimiento vertical es “caída libre”.
1. La aceleración gravitatoria es la misma para todos los objetos que caen, sin considerar su tamaño o su
composición.
2. La aceleración gravitatoria (g) es constante e igual a 9.81 m/s2 durante la caída del cuerpo.
Consideraciones:
Ecuaciones de movimiento:
v
y0= 0
v0 = 0
y
-g
Haciendo: x → y, y a = -g: en las ecuaciones de MRUV:
1.
2.
3.
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑦 = 𝑦0 +
1
2
(𝑣0 + 𝑣)𝑡
gt
v
v −
= 0
)
(
2 0
2
0
2
y
y
g
v
v −
−
=
4.

Ejemplo
Solución
Después de 1 s, la moneda está 4.9 m debajo del origen (punto de partida) y
tiene una velocidad hacia abajo (vy es negativa) con magnitud de 9.8 m/s.

y
c.g.
d. El salto vertical:
c.g.
c.g.
04/04/2023

h = 1.0 m
vd
d = 0.5 m
y
c.g.
c.g (centro de gravedad).
c.g.
07/04/2023
d = distancia de aceleración
h = altura del salto o altura máxima
vd = velocidad de despegue
Características del Salto vertical:

h vd
d
c.g.
c.g.
1. Propulsión
vo = 0; a = ad (↑) (aceleración de despegue)
v = vd (velocidad de despegue) 2. Vuelo
vo → vd a = -g (↓)
v (final) = 0 (en máxima altura h)
Etapas en el salto vertical:
07/04/2023
(1)
(2)
Igualando (1) con (2),
determinamos la aceleración de
despegue:
d
2a
v d
d =
2gh
vd =
g
d
h
ad = (3)

Tabla: Distancias de aceleración (d) y alturas verticales (h) en el salto vertical
Saltador Distancia de aceleración, d (m) Altura, h (m)
Humanos 0.5 1.0
Canguro 1.0 2.7
Rana 0.09 0.3
Langosta 0.03 0.3
Pulga 0.0008 0.1
Con los datos de la tabla de arriba, halle la velocidad y aceleración de despegue para un ser
humano.
07/04/2023
Ejemplo
Ejercicio 4
Un astronauta con traje espacial puede saltar 0.5 m (vertical) en la superficie de la Tierra. La aceleración
de la gravedad en la superficie de Marte es 0.4 veces la de la Tierra. Si la velocidad de despegue es la
misma que en la Tierra, ¿a qué altura llegará un astronauta que salte en Marte? Rpta. h = 1.25 m.
𝑣𝑑 = 2𝑔ℎ = 2𝑥9.81𝑥1 = 4.43 𝑚/𝑠
(a) (b) 𝑎𝑑 =
ℎ
𝑑
𝑔 =
1𝑚
0.5𝑚
𝑥9.81
𝑚
𝑠2
= 19.62 𝑚/𝑠2

II. Movimiento en dos dimensiones
➢ Movimiento Circular:
v Aceleración
centrípeta
ac
➢ Movimiento parabólico:
vo

vX
vY
vY
vX
Y
Salto de una rana
https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-
motion_es_PE.html

Movimiento Circular Uniforme (MCU):
ac
v
y  = (Velocidad angular) constante)
v
r

S (arco)
A
B
1. Velocidad angular:
t
n
t



2
=


=
Ecuaciones del movimiento:
n  número de vueltas en un tiempo t
Si n = 1 (una vuelta), t  T (período)
T


2
=
2. Velocidad tangencial:
v
v
t
S
v


=
[rad//s] ó
rev/min (rpm) 𝑆 = 𝑟𝜃
Donde:
𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
3. Aceleración radial o centrípeta:
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
=
42
𝑟
𝑇2
= 𝜔2𝑟
v
1 rev/min =
𝜋
30
𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑣 =
Δ(𝑟)
Δ𝑡
=
𝑟∆𝜃)
∆𝑡
ó,
𝑣 = 𝑟

07/04/2023
Movimiento Circular Uniformemente Variado, MCUV:
 , aceleración angular (constante)

v2
v1
s
r
(aceleración
tangencial)
ac Ecuaciones del movimiento:
1. Aceleración angular:
[rad//s2]
t
o 

 
=



 2
2
2

= o
2
2
1
t
t
o 

 
=
2. Aceleración tangencial:
t
v
at


= 𝑣 = 𝑟𝜔
, como: 𝑎𝑡 = 𝑟𝛼
3. Aceleración total a (ver Figura):
ac
at
a
𝒂 = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒕
2
t
2
c a
a
a +
=
3. Aceleración radial o centrípeta, ac: 𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
at
𝛼 =
∆𝜔
∆𝑡

04/04/2023
Una noria (“rueda de chicago”) de 40 m de diámetro gira con una velocidad
angular constante de 0.125 rad/s. Calcule: a) La distancia recorrida por un
punto de la periferia en 1 min; b) El número de vueltas que da la noria en
ese tiempo. c) Su periodo. d) su frecuencia. Respuestas: a) 150 m b) 1.19
vueltas c) 50.27 s d) 0.02 Hz?
Ejemplo
En una prueba de un “traje g”, un voluntario se gira en un círculo horizontal de 7.0 m de
radio. ¿Con qué periodo de rotación la aceleración radial o centrípeta tiene magnitud de a)
3.0g? b) 10g? Rptas:3.1 s, 1.68 s
𝑎𝑐 =
42
𝑟
𝑇2
Sugerencia, usar:
Ejercicio 5
Nota: El entrenamiento de alta g es una serie de actividades de entrenamiento llevadas a
cabo por pilotos de aeronaves de alto rendimiento y también astronautas, quienes se
encuentran sujetos a altos niveles de aceleración como parte de sus rutinas en aeronaves o
naves espaciales. Este tipo de entrenamiento está específicamente diseñado para buscar
prevenir una pérdida de consciencia inducida por fuerzas g, una situación en la que, por la
acción de las maniobras del piloto al mando, las consecuentes fuerzas g alejan a la sangre
del cerebro del tripulante, hasta el punto en el que este pierde la conciencia.

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