Límites y continuidad 1º bachiller

Juan José Vicente Jiménez Cejas Ingeniero Técnico Industrial
Límites y continuidad de funciones 1
LÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Se dice que el límite de la función y = f(x), cuando x tiende a p, es igual a L:
lim f(x) = L
x → p
El límite es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a p.
A cualquier punto p de la recta real nos podemos aproximar por ambos lados: por su
izquierda (mediante valores menores que p) p−, o por su derecha (mediante valores
mayores que p) p+.
Puede resultar interesante ver que ocurre en la función al aproximarnos a p por cada
lado: aparecen de esta manera los límites laterales de una función en un punto p.
LÍMITES LATERALES:
Límite por la izquierda.
Se dice que el límite por la izquierda de una función f(x) es el valor al que se aproxima
la función f(x) cuando x se aproxima a p por la izquierda:
lim f(x) = L1
x → p
-
Límite por la derecha.
Se dice que el límite por la derecha de una función f(x) es el valor al que se aproxima la
función f(x) cuando x se aproxima a p por la derecha:
lim f(x) = L2
x → p
+

Cuando ambos límites laterales existan y sean iguales, entonces existirá límite de la
función en el punto p.
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
1. Unicidad del límite: El límite de una función en un punto, si existe, es único.
2. Si una función tiene límite en un punto, está acotada en dicho punto.
3. Si una función tiene límite en un punto, entonces existe un entorno de dicho punto
en el cual la función tiene el mismo signo que el límite.
4. Si una función toma infinitos valores positivos e infinitos valores negativos en un
entorno de un punto y tiene límite en dicho punto, entonces su límite es igual a cero.
5. Si lim f(x) = L, lim g(x) = L´ y L< L', entonces f(x) < g(x) en un entorno reducido de p.
x → p x → p
6. Si lim f(x) = L, lim g(x) = L´ y L< L', y en un entorno reducido de p se verifica que
x → p x → p
f(x) < g(x) entonces L < L´.
7. Si lim f(x) = L, lim g(x) = L´ y f(x) < h(x) < g(x) en un cierto entorno reducido de p,
x → p x → p
entonces lim h(x) = L.
x → p
LÍMITES EN EL INFINITO.
Estudio de límites de funciones cuando x → +∞ (similar al de sucesiones): lim f(x)
x → +∞
lim f(x) = +∞
x → +∞
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más infinito.
Significa que la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores
grandes positivos. (1º cuadrante).
lim f(x) = -∞
x → +∞
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es menos infinito.
Significa que la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores
grandes positivos. (4º cuadrante).
lim f(x) = L
x → +∞
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es L.

Significa: L es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes
positivos; (y = L es una asíntota horizontal).
Estudio de límites de funciones cuando x → -∞. lim f(x)
x → -∞
lim f(x) = +∞
x → -∞
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es más infinito.
Significa que la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores
grandes negativos. (2º cuadrante).
lim f(x) = -∞
x → -∞
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es menos infinito.
Significa que la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores
grandes negativos. (3º cuadrante).
lim f(x) = L
x → -∞
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es L.
Significa: L es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes
negativos, (y = L es una asíntota vertical).
OPERACIONES CON LÍMITES.
1. El límite de la suma es igual a la suma de los límites:
lim f(x) = -3 y lim g(x) = 0: lim [f(x) + g(x)] = -3 + 0 = -3
x → p x → p x → p
2. El límite del producto es igual al producto de los límites:
lim f(x) = -3 y lim g(x) = 0: lim [f(x) · g(x)] = -3 · 0 = 0
x → p x → p x → p

3. El límite del cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el límite
del denominador sea distinto de cero.
lim f(x) = -3 y lim g(x) = 1 : lim [f(x) / g(x)] = -3 / 1
x → p x → p x → p
4. Si lim f(x) = 3 , entonces: lim [f(x)]8
= 38
x → p x → p
5. Si lim f(x) = 4 , entonces: lim ඥࢌ(࢞)
૜
= √૝
૜
Si n ϵ N.
x → p x → p
6. Si lim f(x) = 9 y lim g(x) = 7, entonces: lim [f(x)]g(x)
= 97
x → p x → p x → p
Actividades para el alumno:
Si lim f(x) = -3 y lim g(x) = 0, calcular:
x → p x → p
a) 2f-3g d) f+g g) (f+g)f
b) (3f)2
e) g/f h) g1-f
c) fg f) fg
i) (f-4g)2f
CÁLCULO DE LÍMITES.
Para calcular el límite de una función lim f(x),
x → p
se sustituirá x por p y calcularemos el valor de f(p) sin más.
Una vez calculado podremos obtener diferentes valores, un número real cuyo valor
será el del límite, una indeterminación (0/0, ∞/∞….), un número real partido por cero
(3/0)... de forma que tendremos que actuar de diferentes formas para el cálculo del
límite.
1. Cálculo de límites si al sustituir x por p y calcular f(p) obtengo un número real o
infinito (3, 78, -999, +∞, -∞) al sustituir la x por p:
• Si al sustituir la x por p obtengo un número real (R), este valor será el del límite.
• Si la x tiende a infinito +∞, su valor será +∞ o -∞. Para determinar su signo
se estudia el valor del signo de las x.
• Si la x tiende a -infinito -∞, su valor será +∞ o -∞. Se cambia el valor del
signo de todas las x y se hace el límite para x → +∞, y actuamos como en el
paso anterior.
a) lim x2
= 32
= 9
x → 3
b) lim
ହ௫
௫ିହ
=
ହ·ଶ
ଶିହ
=
ଵ଴
ିଷ
x → 2

c) lim = √3‫ݔ‬ + 4 = √3 · 7 + 4 = √25 = 5
x → 7
d) lim 2x + x3
- 3 = (+)3
= (+) = +∞
x → +∞
e) ) lim 2x + x3
- 3 = lim -2x + -x3
- 3 = (-)3
= -∞
x → -∞ x → +∞
nota: también se puede calcular el valor de un límite con una tabla de valores:
a) lim x2
= 32
= 9
x → 3
f(2,9) = 8,41
f(2,99) = 8,94
f(2,999) = 8,99. Se aproxima a 9.
e) lim 2x + x3
- 3 = 32
= -∞
x → -∞
f(-10) = -1023
f(-1000) = -1000002003
f(-10000) = -1.0000000 · 1012
. Se aproxima a -∞.
2. Cálculo de límites si al sustituir x por p y calcular f(p) obtengo un número real
dividido por 0, (
௔
଴
), su valor será +∞ o -∞.
En este tipo de expresiones se calcularán los límites laterales de la función en el punto.
a) lim
ଶ
௫ିଶ
=
ଶ
ଶିଶ
=
ଶ
଴
x → 2
Tipo a/0. Calculo límites laterales:
lim
ଶ
௫ିଶ
=
ା
ା
= +∞
x → 2
+
lim
ଶ
௫ିଶ
=
ା
ି
= -∞
x → 2
-
No coinciden los límites laterales, no existe límite.

b) lim
ିଷ
(௫ିଶ)మ
=
ିଷ
(ଶିଶ)మ
=
ିଷ
଴
x → 2
Tipo a/0. Calculo límites laterales:
lim
ିଷ
(௫ିଶ)మ
=
ି
ା
= -∞
x → 2
+
lim
ିଷ
(௫ିଶ)మ
=
ି
ା
= -∞
x → 2
-
Coinciden los límites laterales, existe límite de valor -∞.
Actividad para el alumno:
Calcula los siguientes límites:
a) lim
ଷ௫
(௫ିଶ)మ
b) lim
௫మ
௫ିଶ
c) lim
௫మାସ௫ାଷ
௫ିଷ
x → 2 x → 2 x → 3
d) lim
ଶି√௫
ଶି௫
x → 2
3. Cálculo de límites si al sustituir x por p y calcular f(p) obtengo una indeterminación
del tipo (
଴
଴
,
ஶ
ஶ
, ∞-∞, 1∞
, 0·∞, 00
, ∞0
):
3.1. En las indeterminaciones del tipo
૙
૙
conviene distinguir el tipo de función que
tengamos:
• Si se trata de funciones racionales, esta indeterminación desaparece
descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando.
lim
௫మି଺௫ା଼
௫మିସ
=
ଶమି଺·ଶା଼
ସିସ
=
଴
଴
. Tipo 0/0 y función racional, descompongo en factores:
x → 2
x2
- 6x + 8 = 0 → x = 2, x = 4 → (x - 2)·(x - 4).
x2
- 4 = (x + 2) · (x - 2).
lim
௫మି଺௫ା଼
௫మିସ
=
(௫ିଶ)·(௫ିସ)
(௫ାଶ)·(௫ିଶ)
=
௫ିସ
௫ାଶ
=
ିଶ
ସ
= -1/2
x → 2
• Si se trata de funciones con radicales, se multiplica y se divide la función por la
expresión radical conjugada: simplificando el resultado desaparecerá la
indeterminación.
lim
√௫ାଵିଶ
௫ିଷ
= lim
√ଷାଵିଶ
ଷିଷ
=
଴
଴
. Tipo 0/0 y función irracional, conjugado.
x → 3 x → 3

Multiplico en numerador y denominador por el conjugado de √‫ݔ‬ + 1 - 2 = √‫ݔ‬ + 1 + 2
lim
√௫ାଵିଶ
௫ିଷ
= lim
൫√௫ାଵିଶ൯·√௫ାଵାଶ
(௫ିଷ)·(√௫ାଵାଶ)
= lim
(√௫ାଵ)మିଶమ
= lim
௫ାଵିସ
=
x → 3 x → 3 x → 3 x → 3
lim
௫ାଵିସ
= lim
௫ିଷ
= lim
ଵ
(√௫ାଵାଶ)
=
ଵ
√ଷାଵାଶ)
=
ଵ
√ସାଶ)
= 1/4
x → 3 x → 3 x → 3
Calcula los siguientes límites:
a) lim
௫మିହ௫ା଺
௫మାଷ௫ିଵ଴
x → 2
b) lim
√௫ିଵ
௫ିଵ
x → 1
3.2. En las indeterminaciones del tipo
ஶ
ஶ
.
- Para funciones racionales se actuará buscando las x con mayor potencia en el
numerador y el denominador y compararlas:
• Si el grado del numerador es más pequeño que el del denominador, su valor es
0:
lim
௫ିଵ
௫మିଵ
=
ஶ
ஶ
. Grado numerador < grado denominador → lim
௫ିଵ
௫మିଵ
= 0
x → ∞ x → ∞
• Si los grados son iguales, divido los coeficientes de las x de mayor grado:
lim
଺௫మିହ௫ାଷ
ଶ௫మିହ
=
ஶ
ஶ
. Grado numerador = grado denominador → divido los
x → ∞
coeficientes que acompañan a las x de mayor grado.
lim
଺௫మିହ௫ାଷ
ଶ௫మିହ
= 6/2 = 3
x → ∞

• Si el grado del numerador es más grande que el del denominador, su valor será
+∞ o -∞. Se dividen los signos de los coeﬁcientes que acompañan a las x de
mayor grado y si es positivo será + ∞ y si es negativa -∞:
lim
ଷ௫మିହ௫ାଵ
ଷ௫ିହ
=
ஶ
ஶ
. Grado numerador > grado denominador → divido los
x → ∞
signos de los coeficientes que acompañan a las x de mayor grado.
lim
ଷ௫మିହ௫ାଵ
ଷ௫ିହ
=
ା
ା
= +∞
x → ∞
- Para funciones irracionales la indeterminación
ஶ
ஶ
se calcula dividiendo numerador y
denominador por la mayor potencia de la variable.
lim
√ସ௫మ ାଵ
௫
=
ஶ
ஶ
x → +∞
lim
√ସ௫మ ାଵ
௫
= lim
ඥరೣమ శభ
ೣ
ೣ
ೣ
= lim
ඨ4‫ݔ‬2 +1
‫ݔ‬2
ଵ
= lim
ඨ4‫ݔ‬2
‫ݔ‬2 +
1
‫ݔ‬2
ଵ
= lim
ටସା
భ
ೣమ
ଵ
=
x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞
ටସା
భ
ೣమ
ଵ
=
ටସା
భ
ಮ
ଵ
=
√ସା଴
ଵ
= 2
3. En las indeterminaciones del tipo ∞ − ∞:
3.1 Funciones racionales conviene efectuar la operación (suma o diferencia) con lo que
la indeterminación se transformará en la del tipo a/0 o 0/0:
lim [
௫మ ା ଵ
௫ ି ଶ
-
௫మ ା ௫ ି ଶ
௫మ ି ଶ௫
] =
ସ ା ଵ
ଶ ି ଶ
-
ସ ା ଶ ି ଶ
ସ ି ସ
=
ହ
଴
-
ସ
଴
= ∞ - ∞
x → 2
lim [
௫మ ା ଵ
௫ ି ଶ
-
௫మ ି ଶ௫
] = lim
(௫మ ା ଵ)·(௫మ ି ଶ௫) ି (௫మ ା ௫ ି ଶ)·(௫ ି ଶ)
(௫ ି ଶ)·(௫మ ି ଶ௫)
=
଴
଴
x → 2 x → 2
lim [
௫మ ା ଵ
௫ ି ଶ
-
௫మ ି ଶ௫
] = lim
(௫మ ା ଵ)·(௫మ ି ଶ௫) ି (௫మ ା ௫ ି ଶ)·(௫ ି ଶ)
(௫ ି ଶ)·(௫మ ି ଶ௫)
=
x → 2 x → 2
= lim
( ௫ ି ଶ)·[(௫మ ା ଵ)·௫ ି (௫మ ା ௫ ି ଶ)]
(௫ ି ଶ)·(௫ ି ଶ)·௫
= lim
(௫మ ା ଵ)·௫ ି (௫మ ା ௫ ି ଶ)]
(௫ ି ଶ)·௫
=
x → 2 x → 2

lim
௫య ା ௫ ି ௫మ ି ௫ ା ଶ
(௫ ି ଶ)·௫
= lim
௫య ି ௫మ ା ଶ
(௫ ି ଶ)·௫
=
ଶయ ି ଶమ ା ଶ
(ଶ ି ଶ)·ଶ
=
଺
଴·ଶ
=
଺
଴
= ±∞
x → 2 x → 2
Al quedarnos un número dividido por cero, tendremos que calcular los límites laterales
de la función en dicho punto:
lim [
௫మ ା ଵ
௫ ି ଶ
-
௫మ ି ଶ௫
] = lim =
(௫ ି ଶ)·௫
=
଺
଴ష·ଶ
= -∞
x → 2-
x → 2-
lim [
௫మ ା ଵ
௫ ି ଶ
-
௫మ ି ଶ௫
] = lim =
(௫ ି ଶ)·௫
=
଺
଴శ·ଶ
= +∞
x → 2+
x → 2+
3.2. Funciones con radicales, multiplicando y dividiendo por la expresión radical
conjugada, pasamos a la indeterminación
ஶ
ஶ
.
lim = √‫ݔ‬ଶ + 2‫ݔ‬ - x = ∞ - ∞
x → +∞
lim = √‫ݔ‬ଶ + 2‫ݔ‬ - x = lim
൫√௫మ ା ଶ௫ ି ௫൯·(√௫మ ା ଶ௫ ା ௫)
√௫మ ା ଶ௫ ା ௫
= lim
(√௫మ ା ଶ௫)మ ି ௫మ
√௫మ ା ଶ௫ ା ௫
=
x → +∞ x → +∞ x → +∞
lim
௫మ ା ଶ௫ ି ௫మ
√௫మ ା ଶ௫ ା ௫
= lim
ଶ௫
√௫మ ା ଶ௫ ା ௫
=
ஶ
ஶ
x → +∞ x → +∞
Divido numerador y denominador por la mayor potencia de la variable:
lim
ଶ௫
√௫మ ା ଶ௫ ା ௫
= lim
ଶ௫/௫
ටೣమ
ೣమ ା
మೣ
ೣమ ା
ೣ
ೣ
= lim
ଶ
ටଵ ା
మ
ೣ
ା ଵ
=
ଶ
√ଵ ା ଴ ା ଵ
= 2/2 = 1
x → +∞ x → +∞ x → +∞
4. Funciones definidas a trozos, se calculan los límites laterales en los puntos donde
esté definida la función.
2x + 5 si x < 3
f(x) = Límites laterales: 3-
y 3+
.
-x + 7 si x ≥ 3

Límites y continuidad de funciones
10
lim 2x + 5 = 3·2 + 5 = 11
x → 3
-
lim -x + 7 = -3 + 7 = 4
x → 3
+
Calcula el siguiente límite:
3x + 7 si x < 2
f(x) = 1 si x = 2
x2
+ 9 si x > 2
5. Otras Funciones:
5.1. Número real elevado a ∞: a∞
a+∞
→ +∞
Si a > 1
a-∞
→ 0
a+∞
→ 0
Si 0 < a < 1
a-∞
→ +∞
5.2. Uno elevado a ∞: 1∞
En las indeterminaciones de este tipo aplicaremos la regla siguiente:
Dado un límite: lim f(x)g(x)
x → p
Si lim f(x) = 1 y lim g(x) = ∞ , se aplica la siguiente transformación:
x → p x → p
lim f(x)g(x)
= ݁୪୧୫ೣ→೛(௙(௫)ିଵ)·௚(௫)
x → p
Ejemplo:
lim (‫ݔ‬ − 2)
ೣషభ
ೣషయ = (3 − 2)
యషభ
యషయ = 1
మ
బ = 1∞
x → 3
f(x) = x - 2 ; g(x) =
௫ିଵ
௫ିଷ

11
aplico → ݁୪୧୫ೣ→೛(௙(௫)ିଵ)·௚(௫)
= ݁୪୧୫ೣ→య(௫ିଶିଵ)·(௫ିଵ/௫ିଷ)
= ݁୪୧୫ೣ→య(௫ିଷ)·(௫ିଵ)/(௫ିଷ)
=
݁୪୧୫ೣ→೛ ௫ିଵ
= e3-1
= e2
FUNCIONES EQUIVALENTES:
Nos permitirá sustituir una función por otra equivalente con la que nos resultará más
fácil quitar indeterminaciones.
Son funciones equivalentes:
En x = 0: En x = 1:
sen x ≈ x Lx ≈ x - 1
tg x ≈ x sen (x-1) ≈ x-1
arcsen x ≈ x
arctg x ≈ x
1 - cos x ≈ x2
/2
ex
- 1 ≈ x
log (1+x) ≈ x

12
CONTINUIDAD
ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD EN UNA FUNCIÓN:
La idea de función continua es la de que “puede ser construida con un solo trazo”.
Una función f(x) es continua en el punto x = a, si lim f(x) = f(a)
x → p
Todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas
las que conocemos hasta ahora, exceptuando las funciones a trozos), son continuas en
todos los puntos de su dominio.
• y = x2
- 5 → Dominio = {R}. Continua en todos los puntos del dominio.
Punto 3:
Será continua en x = 3 si lim x2
- 5 = f(3)
x → 3
lim x2
- 5 = 32
- 5 = 9 - 5 = 4
x → 3
f(x) = x2
- 5 → f(3) = 32
- 5 = 9 - 5 = 4
Continua en el punto 3
• y = √‫ݔ‬ + 2 → Dominio = {-2, +∞}. Continua en todos los puntos del dominio.
Punto 2:
Será continua en x = 2 si lim √࢞ + ૛ = f(2)
x → 2
lim √‫ݔ‬ + 2 = √2 + 2 = 2
x → 2
f(x) = √‫ݔ‬ + 2 → f(2) = √2 + 2 = 2
Continua en el punto 2
Las funciones racionales serán discontinuas en los puntos en que se anule el
denominador, es decir que sea igual a 0. Si no se anula para ningún valor será continua
en todo su dominio.
• f(x) =
௫ାଶ
௫ିଷ
→ Continua cuando x - 3 = 0 → x = 3
Continua en todo R - {3}
• f(x) =
ଶ
௫మା ଷ
→ Continua cuando x2
+ 3 = 0 → x2
= -3 → x = √−3 → no tiene
solución
Continua en todo su dominio

13
Las funciones a trozos habrá que estudiarlas en los extremos de sus trozos que
pertenezcan al dominio. Para ello calcularemos sus límites laterales, si:
• Los límites laterales no coinciden. Discontinua en el punto.
lim f(x) ≠ lim f(x)
x → p
-
x → p
+
• Los límites laterales son iguales pero no coinciden con el valor de f(a).
Discontinua en el punto.
lim f(x) = lim f(x) ≠ f(a)
x → p
-
x → p
+
• Los límites laterales son iguales y coinciden con el valor de f(a). Continua en el
punto.
lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x → p
-
x → p
+
3x - 4 si x < 3
f(x) =
x + 1 si x ≥ 3
Puntos del extremo de la función: 3
lim f(x) = lim 3x - 4 = 3 · 3 - 4 = 9 - 4 = 5
x → 3
-
x → 3
-
lim f(x) = lim x + 1 = 3 + 1 = 4
x → 3
+
x → 3
+
Al ser los límites laterales diferentes, la función es discontinua en el punto 3.
Continua en todo R - {3}.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES:
Discontinuidad inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es infinito o
no existe.
Discontinuidad inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero
distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales.

14
Discontinuidad evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor
no coincide con f(a) o no existe f(a).
Ejercicios:
1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) f(x) =
ଷ௫ ି ଵ
௫రା ଵ
b) f(x) =
௫మି ଵ଺
௫మା ௫ିଵଶ
x + 1 si x ≤ 0
c) f(x) = x - 1 si 0 < x ≤ 3
2x - 4 si x > 2
a) f(x) =
ଷ௫ ି ଵ
௫రା ଵ
+ 1 = 0 → x4
= -1 → x = √−1
ర
→ no tiene solución
Continua en todo su dominio
b) f(x) =
௫మ ି ଵ଺
௫మା ௫ ି ଵଶ
+ x - 12 = 0 → x =
ିଵ±ඥଵమିସ·ଵ·(ିଵଶ)
ଶ·ଵ
→
→ x =
ିଵ±√ଵାସ଼
ଶ
=
ିଵ±√ସଽ
ଶ
=
ିଵ±଻
ଶ
; x1 = 3; x2 = -4 → (x - 3)·(x + 4)
La función es continua en todo R - {3, -4}
x + 1 si x ≤ 0
c) f(x) = x - 1 si 0 < x ≤ 3
2x - 4 si 3 < x
Puntos del extremo de la función: 0 y 3
Punto 0:
lim f(x) = lim x + 1 = 0 + 1 = 1
x → 0
-
x → 0
-
lim f(x) = lim x - 1 = 0 - 1 = -1
x → 0
+
x → 0
+
Discontinua en el punto 0.

15
Punto 3:
lim f(x) = lim x - 1 = 3 - 1 = 2
x → 3
-
x → 3
-
lim f(x) = lim 2x - 4 = 2·3 - 4 = 6 - 4 = 2
x → 3
+
x → 3
+
Al ser los límites laterales iguales, compruebo si f(3) = 2:
f(3) = x - 1 = 3 - 1 = 2. Al ser los límites iguales y coincidir con f(3) es continua en 3.
La función es Continua en todo R - {0}.
2. Estudia la continuidad de la siguiente función:
௫మି ସ
௫ିଶ
si x ≠ 2
f(x) =
4 si x = 2
lim
௫మି ସ
௫ିଶ
=
ଶమି ସ
ଶିଶ
=
଴
଴
→ indeterminación 0/0:
x → 2
lim
௫మି ସ
௫ିଶ
= lim
(௫ି ଶ)·(௫ାଶ)
(௫ିଶ)
= lim x + 2 = 2 + 2 = 4
x → 2 x → 2 x → 2
f(2) = 4. Al ser el límite igual a f(2) es continua en 2.
La función es Continua en todo R
3. Calcular a para que la funciones siguientes sean continuas en todo R:
x2
- 5x + 1 si x ≤ 4
a) f(x) =
2x + a si x > 4
lim f(x) = lim x2
- 5x + 1 = 16 - 20 + 1 = -3
x → 4
-
x → 4
-
lim f(x) = lim 2x + a = 8 + a
x → 4
+
x → 4
+
Para que sea continua la función: 8 + a = -3 → a = -11
x3
- 2x + a si x ≠ 3
b) f(x) =
7 si x = 3

16
Punto del extremo de la función: 3
lim f(x) = lim x3
- 2x + a = 27 - 6 + a = 21 + a
x → 3 x → 3
Para que sea continua la función: 21 + a = 7 → a = -14
4. Calcular a y b para que la función sea continua en todo R. Una vez determinados
esboza la gráfica de la función:
-4x + a si x ≤ -2
f(x) = x2
- 5 si -2 < x < 1
bx + 3 si 1 ≤ x
Puntos del extremo de la función: -2 y 1
Punto -2:
lim f(x) = lim -4x + a = -4·(-2) + a = 8 + a
x → -2
-
x → -2
-
lim f(x) = lim x2
- 5 = -22
- 5 = 4 - 5 = -1
x → -2
+
x → -2
+
Para que sea continua la función: 8 + a = -1 → a = -9
Punto 1:
lim f(x) = lim x2
- 5 = 1 - 5 = -4
x → 1
-
x → 1
-
lim f(x) = lim bx + 3 = b + 3
x → 1
+
x → 1
+
Para que sea continua la función: -4 = b + 3 → b = -7
La función queda:
-4x - 9 si x ≤ -2
f(x) = x2
- 5 si -2 < x < 1
-7x + 3 si 1 ≤ x
Cuando x ≤ -2 → y = -4x - 9. Función lineal:
x = -2 → y = -4·(-2) - 9 → y = -1
x = -3 → y = -4x - 9 → y = 12 - 9 → x = 3
Cuando -2 < x < 1 → f(x) = x2
- 5. Función polinómica: ax2
+ bx + c = 0; a = 1. b = 0. c = -5
a > 0 → 1 > 0 → convexo
Vértice V: vx =
ି௕
ଶ௔
=
଴
ଶ·ଵ
= 0 / vy = f(vx) = f(0) = x2
- 5 = 0 - 5 = -5 / V (0, -5)
x = -2 → y = x2
- 5 → y = 4 - 5 → y = -1
x = 1 → y = x2
- 5 → y = 1 - 5 → y = -4
Cuando 1 ≤ x → f(x) = -7x + 3. Función lineal:
x = 1 → y = -7x + 3 → y = -7 + 3 → y = -4

17
x = 2 → y = -7x + 3 → y = -7·2 + 3 → y = -14 + 3 → y = -11
5. Estudia la continuidad y dibuja la gráfica de la función:
x2
- 1 si x ≤ 0
f(x) =
(x - 1)2
si x > 0
lim f(x) = lim x2
- 1 = 0 - 1 = -1
x → 0
-
x → 0
-
lim f(x) = lim (x - 1)2
= (0 - 1)2
= 1
x → 0
+
x → 0
+
Discontinua en el punto 0.
Cuando x ≤ 0 → f(x) = x2
- 1. Función polinómica: ax2
+ bx + c = 0; a = 1. b = 0. c = -1
a > 0 → 1 > 0 → convexo
Vértice: vx =
ି௕
ଶ௔
=
଴
ଶ·ଵ
= 0 / vy = f(vx) = f(0) = x2
- 1 = 0 - 1 = -1 / V (0, -1)
x = 0 → y = x2
- 1 → y = -1
Cuando x > 0 → f(x) = (x - 1)2
= x2
- 2x + 1. Función polinómica: ax2
+ bx + c = 0; a = 1.
b = -2. c = 1 . a > 0 → 1 > 0 → convexo
Vértice: vx =
ି௕
ଶ௔
=
ିିଶ
ଶ·ଵ
= 1 / vy = f(vx) = f(1) = x2
- 2x + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 / V (1, 0)
x = 0 → y = (x - 1)2
→ y = -12
→ y = 1

18
RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS:
Se dice que una función tiene una RAMA INFINITA cuando x, f(x) o ambas al mismo
tiempo crecen infinitamente. De esta manera el punto (x, f(x)) se aleja infinitamente.
Podríamos distinguir tres posibilidades de ramas infinitas:
a) (x, f(x)) = (infinito, finito)
Es el caso de la función f(x) =
ଵ
௫మା ଵ
que cuando x → ∞, lim f(x) = 0, f(x) → 0
x → ∞
b) = (finito, infinito)
Tenemos la función f(x) =
ଵ
௫ ି ଵ
que cuando x → 1+
, lim f(x) =
ା
ା
= + ∞, f(x) → + ∞
x → 1
+
Y cuando x → 1-
, lim f(x) =
ା
ି
= - ∞ , f(x) → - ∞
x → 1
-
c) = (infinito, infinito)
Es el caso de la función f(x) =
௫మି ସ
௫ି ଵ
que cuando x → ∞, lim f(x) → ∞
x → ∞
Algunas de estas ramas infinitas se aproximan a unas rectas determinadas que reciben
el nombre de ASÍNTOTAS.
En consecuencia, podemos decir que las asíntotas son rectas tangentes a la gráfica de
la función en el infinito, son rectas cuya distancia a la curva tiende a cero cuando la
distancia al origen tiende a infinito.
Existen tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES:
Si lim f(x) = L :
x → ±∞
La recta y = L es asíntota, pues la distancia f(x) - L de la curva a la recta tiende a
cero cuando nos alejamos del origen.
La situación de la curva respecto de la asíntota la podemos estudiar calculando los
límites:
lim [f(x) - L] lim [f(x) - L]
x → +∞ x → -∞
que nos dicen si la curva está por encima (0+
) o por debajo (0-
).
Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes a
cada uno de los límites en +∞ y en −∞: tendríamos una asíntota hacia la izquierda y
otra hacia la derecha aunque frecuentemente la misma recta es asíntota por la
izquierda y por la derecha.

19
En funciones racionales, si hay asíntota para x → +∞, la misma recta es asíntota para
x → −∞. Sin embargo, en funciones con radicales suelen ser distintas.
La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos,
aunque en la mayoría de las funciones elementales la gráfica está por encima o por
debajo de la asíntota.
Ejemplo:
Calcular las asíntotas horizontales, si existen, de la función f(x) =
࢞૛ି ૞࢞ ା ૚
࢞૛ ି ૚
Veamos si existe el límite de la función cuando x → ±∞:
lim
௫మି ହ௫ ା ଵ
௫మ ି ଵ
=
ஶ
ஶ
→ lim
௫మ ି ଵ
=
ଵ
ଵ
= 1
x →± ∞ x →± ∞
Al existir el límite de la función cuando x→ ±∞ y ser finito, existe asíntota horizontal.
Ésta será la recta y = L → y = 1.
y = 1
Para estudiar la posición de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal,
calculamos la diferencia f(x) - L, f(x) - 1:
f(x) - 1 =
௫మ ି ଵ
- 1 =
(௫మି ହ௫ ା ଵ)ି (௫మି ଵ)
௫మ ି ଵ
=
(ି ହ௫ ା ଶ)
௫మ ି ଵ
• Si x >> 0 →
௫మ ି ଵ
→ 0-
. Ya que el denominador crece más rápidamente que el
numerador y éste es negativo. Esto nos indica que en +∞ la gráﬁca de la función está
por debajo de la asíntota horizontal.
• Si x << 0 →
௫మ ି ଵ
→ 0+
numerador y éste es positivo. Esto nos indica que en −∞ la gráﬁca de la función está
por encima de la asíntota horizontal.

20
ASÍNTOTAS VERTICALES:
La recta x = a es asíntota vertical de la función y = f(x) si se verifica que
lim f(x) = ± ∞ o lim f(x) = ± ∞
x → a
-
x → a
+
Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función, si es que tiene, hay que
localizar los valores finitos de la variable x que hacen tender la función a +∞ o a −∞.
Podríamos establecer las siguientes observaciones sobre las asíntotas verticales:
• Una función puede tener infinitas asíntotas verticales, como la función tangente.
• La gráfica de la función no corta nunca a la asíntota vertical, ya que en los puntos
donde existe asíntota no está definida la función.
• En las funciones racionales, las asíntotas verticales se hallan tomando los puntos que
anulan el denominador.
La situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical x = a se obtiene
calculando los límites laterales en x = a y viendo si valen +∞ o −∞.
También puede hacerse estudiando el signo de la función en las regiones en las que
existe.
Ejemplo:
Calcular las asíntotas verticales, si existen, de la función f(x) =
࢞૜
࢞૛ ି ૚
Para encontrar las asíntotas verticales de una función, buscaremos aquellos puntos
donde la función tienda a infinito: por tratarse, en nuestro caso, de una función
racional, para que la imagen tienda a infinito tendremos que anular el denominador.
lim
௫య
௫మ ି ଵ
= ± ∞ → x2
- 1 = 0 → x = ± 1
x → a
Por tanto, tendremos dos asíntotas verticales: x = 1 y x = -1.
Veamos la posición de la gráfica de la función respecto a cada una de las asíntotas:
para ello calcularemos los límites laterales de la función en cada una de los puntos.
En x = 1:
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ଵ
଴ష .ଶ
= -∞
x → 1
-
x → 1
-
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ଵ
଴శ .ଶ
= +∞
x → 1
+
x → 1
+

21
En x = -1:
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ିଵ
ିଶ. ଴ష
= -∞
x → -1
-
x → -1
-
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ିଵ
ିଶ. ଴శ
= +∞
x → -1
+
x → -1
+
ASÍNTOTAS OBLICUAS:
La recta y = mx + n ,, para m ≠ 0, es una asíntota oblicua de la función y f(x) si existe
alguno de los límites siguientes:
lim [f(x) - (mx + n)] = 0
x → +∞
lim [f(x) - (mx + n)] = 0
x → -∞
En el primer caso se dice que la función tiene asíntota en +∞, y en el segundo en −∞.
Una determinada función puede tener asíntotas oblicuas de ambos tipos, de alguno o
de ninguno de ellos, dependiendo de que existan los dos límites, sólo uno o ninguno.
La asíntota oblicua y = mx + n ,, para m ≠ 0 quedará completamente determinada
cuando conozcamos los valores de m y n.
Cálculo de la pendiente:
Para obtener la pendiente m de la recta, se calcula el valor hacia el que tiende el
cociente de f(x) por x cuando x → ±∞:
m = lim
௙(௫)
௫
x → ± ∞
Según el valor de m obtenido al calcular el límite en ±∞ pueden darse los siguientes
casos:
a) Si m es un número real no nulo, la función tiene una asíntota oblicua en +∞ (−∞).
b) Si m = ±∞ la función no tiene asíntota oblicua en +∞ (−∞) y la rama
correspondiente de la misma tiene la forma de la parábola vertical y = x2

22
c) Si m = 0, la función no tiene asíntota oblicua en +∞ (−∞). La rama correspondiente
tiene la forma de la parábola y = √‫ݔ‬
Cálculo de la ordenada en el origen n.
Si m es un número real no nulo, se calcula n de la forma: n = lim [f(x) - mx]
x → ±∞
• Si n es finito, existe asíntota oblicua de ecuación y = mx + n
• Si n no es finito, hay una rama parabólica en la dirección y = mx
En las funciones racionales no es necesario utilizar límites para calcular los valores de
m y n ya que se puede calcular directamente la asíntota mediante el siguiente
procedimiento:
Las funciones racionales, si el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador, pueden expresarse de la forma:
f(x) =
௉(௫)
ொ(௫)
= C (x) +
ோ(௫)
ொ(௫)
sin más que hacer la división entera. Para que el grado de C(x) sea uno, la diferencia de
grados entre numerador y denominador debe ser uno.
Al tender x → ±∞, la fracción
ோ(௫)
ொ(௫)
→ 0 y tendríamos que la asíntota oblicua sería
y = C(x).
Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:
• Una función puede tener como máximo dos asíntotas oblicuas correspondientes a
cada uno de los límites.
• Las asíntotas horizontales y las oblicuas son mutuamente excluyentes.
• La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios puntos.
• La situación de la gráfica respecto de la asíntota oblicua se hace estudiando el signo
de f(x) - (mx + n) para valores grandes de x.
Ejemplo:
Calcular las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas si existen, de la función:
f(x) =
࢞૜
࢞૛ ି ૚

23
Asíntotas horizontales:
Veamos si existe el límite de la función cuando x → ±∞:
lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
ஶ
ஶ
→ lim
௫య
௫మ ି ଵ
= +∞
x →± ∞ x →± ∞
Al ser el límite de la función cuando x→ ±∞ infinito, no existe asíntota horizontal.
Asíntotas verticales:
lim
௫య
௫మ ି ଵ
= ± ∞ → x2
- 1 = 0 → x = ± 1
x → a
Por tanto, tendremos dos asíntotas verticales: x = 1 y x = -1.
En x = 1:
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ଵ
଴ష .ଶ
= -∞
x → 1
-
x → 1
-
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ଵ
଴శ .ଶ
= +∞
x → 1
+
x → 1
+
En x = -1:
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ିଵ
ିଶ. ଴ష
= -∞
x → -1
-
x → -1
-
lim f(x) = lim
௫య
௫మ ି ଵ
=
௫య
(௫ ି ଵ)·(௫ ା ଵ)
=
ିଵ
ିଶ. ଴శ
= +∞
x → -1
+
x → -1
+

24
Asíntotas oblicuas:
Valor de la pendiente m:
lim
௙(௫)
௫
= lim
௫య/௫మି ଵ
௫
= lim
௫య
௫·(௫మ ି ଵ)
= lim
௫య
௫య ି ௫
=
ଵ
ଵ
= 1
x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞
Valor de la pendiente n:
n = lim [f(x) - mx] = lim (
‫ݔ‬3
‫ݔ‬2 − 1
- x) = lim (
‫ݔ‬3 − ‫ݔ(·ݔ‬2 − 1)
‫ݔ‬2 − 1
) = lim (
‫ݔ‬
‫ݔ‬2 − 1
) = 0
x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞
Por tanto, existe asíntota oblicua para nuestra función que sería la recta de ecuación:
y = mx + n → y = x
Calculamos la diferencia entre la función y la asíntota, y estudiamos el signo para
valores grandes de x, tanto positivos como negativos:
f(x) - (mx + n) =
௫య
௫మ ି ଵ
- x =
‫ݔ‬
‫ݔ‬2 − 1
• Si x >> 0 →
(௫ )
௫మ ି ଵ
→ 0+
numerador y los dos son positivos. Esto nos indica que en +∞ la gráﬁca de la función
está por encima de la asíntota oblicua.
• Si x << 0 →
(௫)
௫మ ି ଵ
→ 0-
numerador, y el denominador es negativo. Esto nos indica que en −∞ la gráﬁca de la
función está por debajo de la asíntota oblicua.

25
Ejemplo:
Encuentra, sin operar con límites, la asíntota oblicua de la siguiente función:
f(x) =
࢞૛ା ૝࢞ ା ૚
࢞
Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, puede
aplicarse la fórmula:
f(x) =
௉(௫)
ொ(௫)
= C (x) +
ோ(௫)
ொ(௫)
f(x) =
௫మା ସ௫ ା ଵ
௫
→ f(x) =
௫మ
௫
+
ସ௫
௫
+
ଵ
௫
→ f(x) = x + 4 +
ଵ
௫
Por tanto la asíntota oblicua será: y = x + 4
Ejemplo:
Encuentra, sin operar, la asíntota oblicua de las siguientes funciones.
a) f(x) = x + 4 +
૚
࢞
b) f(x) = x + 2 +
૜
√࢞
c) f(x) = 3x -
૚
૛
-
૞
࢞ ା ૛
d) f(x) = -x + 1 -
૜
࢞ ି ૛
a) y = x + 4 b) y = x + 2 c) y = 3x -
ଵ
ଶ
d) y = -x + 1
Ejemplo:
Encuentra, sin operar, la asíntota oblicua de la siguiente función:
f(x) = x + 4 +
૚
࢞
Después comprueba que el resultado coincide operando con límites.
a) Sin operar: y = x + 4
b) Operando:
f(x) = x + 4 +
ଵ
௫
→ f(x) =
௫మା ସ௫ ା ଵ
௫
. Calculo las pendientes m y n:
Valor de la pendiente m:
lim
௙(௫)
௫
= lim
ೣమ శ రೣ శ భ
ೣ
௫
= lim
௫మା ସ௫ାଵ
௫మ
= 1
x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞

26
m = 1 → y = mx → y = x
Valor de la pendiente n:
n = lim [f(x) - mx] = lim
‫ݔ‬2 + 4‫1 + ݔ‬
‫ݔ‬
- x = lim
‫ݔ‬2 + 4‫ݔ − 1 + ݔ‬2
‫ݔ‬
= lim
4‫1 + ݔ‬
‫ݔ‬
=
ସ
ଵ
= 4
x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞ x →± ∞
n = 4 → y = mx + n → y = x + 4

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