El documento presenta tres casos de estudio para modelación matemática con ecuaciones diferenciales ordinarias. Para el primer caso, sobre un sistema de enrollamiento, se debe construir un modelo matemático, implementarlo computacionalmente y analizar los efectos de cambios en los parámetros. Para el segundo caso, sobre vibraciones en un automóvil, se debe presentar un modelo lineal, calcular la solución analítica y numérica, y determinar la velocidad de los asientos. Para el tercer caso, sobre contaminación en reservorios acuíferos, se debe construir
El documento presenta un caso de estudio sobre el transporte transitorio en un reactor unidimensional. Se formula el problema mediante la ecuación de advección-difusión-reacción unidimensional y condiciones de frontera. Se debe discretizar el problema usando esquemas de diferencias finitas explícito y semi-implícito, y resolverlo numéricamente para obtener curvas de concentración en función del tiempo y la posición. Adicionalmente, se deben presentar resultados para un tiempo determinado usando ambos esquemas.
Este documento describe el método numérico de diferencias finitas para resolver problemas de conducción de calor bidimensional en estado estacionario. Explica cómo dividir la región en una malla rectangular de nodos y numerarlos para describir su posición. También describe cómo formular el balance de energía para un elemento de volumen alrededor de un nodo interior para desarrollar la ecuación aproximada por diferencias finitas, y cómo manejar los nodos frontera aplicando el mismo enfoque. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar el método.
El documento describe una situación en la que vapor de agua fluye a través de un tubo de acero inoxidable con aislamiento de lana de vidrio. Se proporcionan detalles sobre las temperaturas, diámetros, espesores de materiales y coeficientes de transferencia de calor. El problema pide determinar la velocidad de transferencia de calor del vapor a lo largo del tubo y las caídas de temperatura a través de las paredes del tubo y el aislamiento.
Este documento presenta una introducción a los circuitos magnéticos y materiales magnéticos. Explica que los circuitos magnéticos permiten simplificar problemas de campo magnético complejos mediante la aproximación de que el flujo se concentra en la estructura del núcleo. También introduce conceptos como fuerza magnetomotriz, flujo magnético, permeabilidad magnética y su relación con la intensidad del campo. Finalmente, analiza un circuito magnético simple y uno con entrehierro usando estas herramientas.
Diseño 13 factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga-utpMarc Llanos
El documento describe los factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga según la ecuación de Marín, incluyendo el factor de superficie, tamaño, carga, temperatura y efectos diversos. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de cada factor.
El documento describe tres tipos principales de devanados para motores eléctricos: devanados traslapados, devanados imbricados y devanados ondulados. Los devanados traslapados tienen sus extremos próximos el uno del otro, los devanados imbricados conectan sus extremos a segmentos adyacentes del conmutador, y los devanados ondulados mantienen sus extremos separados.
1) El documento describe diferentes tipos de mecanismos de cuatro eslabones, incluyendo mecanismos con cuatro pares giratorios, manivela biela deslizador y sus configuraciones. 2) Explica cómo determinar las posiciones límite de los mecanismos manivela balancín y biela manivela usando ecuaciones geométricas. 3) Describe conceptos como ángulo de transmisión, desviación y presión, y cómo calcular los valores máximos y mínimos de ángulo de transmisión para diferentes mecanism
Este documento presenta 7 ejercicios sobre el cálculo y diseño de engranajes. Cada ejercicio describe una aplicación diferente que requiere calcular parámetros como la potencia transmitida, la carga dinámica, el módulo, los diámetros y los esfuerzos en los ejes y dientes utilizando fórmulas como la de Buckingham. Los ejercicios abarcan temas como la selección de materiales, el tipo de tallado y las condiciones de servicio de los engranajes.
El documento presenta un caso de estudio sobre el transporte transitorio en un reactor unidimensional. Se formula el problema mediante la ecuación de advección-difusión-reacción unidimensional y condiciones de frontera. Se debe discretizar el problema usando esquemas de diferencias finitas explícito y semi-implícito, y resolverlo numéricamente para obtener curvas de concentración en función del tiempo y la posición. Adicionalmente, se deben presentar resultados para un tiempo determinado usando ambos esquemas.
Este documento describe el método numérico de diferencias finitas para resolver problemas de conducción de calor bidimensional en estado estacionario. Explica cómo dividir la región en una malla rectangular de nodos y numerarlos para describir su posición. También describe cómo formular el balance de energía para un elemento de volumen alrededor de un nodo interior para desarrollar la ecuación aproximada por diferencias finitas, y cómo manejar los nodos frontera aplicando el mismo enfoque. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar el método.
El documento describe una situación en la que vapor de agua fluye a través de un tubo de acero inoxidable con aislamiento de lana de vidrio. Se proporcionan detalles sobre las temperaturas, diámetros, espesores de materiales y coeficientes de transferencia de calor. El problema pide determinar la velocidad de transferencia de calor del vapor a lo largo del tubo y las caídas de temperatura a través de las paredes del tubo y el aislamiento.
Este documento presenta una introducción a los circuitos magnéticos y materiales magnéticos. Explica que los circuitos magnéticos permiten simplificar problemas de campo magnético complejos mediante la aproximación de que el flujo se concentra en la estructura del núcleo. También introduce conceptos como fuerza magnetomotriz, flujo magnético, permeabilidad magnética y su relación con la intensidad del campo. Finalmente, analiza un circuito magnético simple y uno con entrehierro usando estas herramientas.
Diseño 13 factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga-utpMarc Llanos
El documento describe los factores que modifican el límite de resistencia a la fatiga según la ecuación de Marín, incluyendo el factor de superficie, tamaño, carga, temperatura y efectos diversos. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de cada factor.
El documento describe tres tipos principales de devanados para motores eléctricos: devanados traslapados, devanados imbricados y devanados ondulados. Los devanados traslapados tienen sus extremos próximos el uno del otro, los devanados imbricados conectan sus extremos a segmentos adyacentes del conmutador, y los devanados ondulados mantienen sus extremos separados.
1) El documento describe diferentes tipos de mecanismos de cuatro eslabones, incluyendo mecanismos con cuatro pares giratorios, manivela biela deslizador y sus configuraciones. 2) Explica cómo determinar las posiciones límite de los mecanismos manivela balancín y biela manivela usando ecuaciones geométricas. 3) Describe conceptos como ángulo de transmisión, desviación y presión, y cómo calcular los valores máximos y mínimos de ángulo de transmisión para diferentes mecanism
Este documento presenta 7 ejercicios sobre el cálculo y diseño de engranajes. Cada ejercicio describe una aplicación diferente que requiere calcular parámetros como la potencia transmitida, la carga dinámica, el módulo, los diámetros y los esfuerzos en los ejes y dientes utilizando fórmulas como la de Buckingham. Los ejercicios abarcan temas como la selección de materiales, el tipo de tallado y las condiciones de servicio de los engranajes.
Este documento describe los métodos para analizar esfuerzos multiaxiales variables en elementos mecánicos sometidos a fatiga. Explica cómo calcular esfuerzos combinados utilizando el método de Von Mises y el método de Sines. También cubre el uso del diagrama de Goodman modificado para determinar factores de seguridad en cuatro casos posibles de esfuerzos multiaxiales variables.
Este documento presenta un resumen de los métodos para analizar las velocidades en mecanismos. Explica dos métodos, el análisis gráfico de velocidades usando el polígono de velocidades y el método de los centros instantáneos de rotación, y el análisis numérico de velocidades. También cubre conceptos como órganos deslizantes y aplica los métodos a ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos de velocidad.
Diseño de flechas o ejes (calculo del factor de seguridad empleado para flechas)Angel Villalpando
Este documento presenta los conceptos clave para el diseño de ejes, incluyendo el cálculo de esfuerzos debidos a flexión y torsión usando factores de concentración de esfuerzo. También describe varios criterios de falla como ASME, Goodman modificado y Gerber para evaluar la resistencia a la fatiga y fluencia. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para calcular factores de seguridad contra fatiga y fluencia para un eje de acero.
Este documento describe el diseño y cargas en flechas de transmisión rotatoria. Explica que las flechas transmiten movimiento y par de torsión de un lugar a otro en maquinaria rotatoria. Están sujetas principalmente a cargas de torsión y flexión. También cubre materiales comunes para flechas, consideraciones de diseño como deflexiones y esfuerzos, y falla por cargas combinadas.
Este documento contiene 7 ejercicios de cálculo de engranajes. Los ejercicios involucran calcular la potencia transmitida, velocidades, materiales adecuados, dimensiones geométricas, cargas dinámicas y esfuerzos en engranajes para diferentes aplicaciones industriales como bombas, transportadoras y compresores. Se utilizan fórmulas como la de Buckingham para determinar cargas y se consideran factores como relación de velocidades, potencia, rpm, servicio continuo vs intermitente y durabilidad.
Este documento presenta una introducción a varios tipos de mecanismos de eslabones articulados, incluyendo mecanismos de cuatro barras articuladas, biela-manivela-corredera, yugo escocés, retorno rápido, palanca, línea recta y transmisión de movimiento entre dos flechas. Explica conceptos como la ley de Grashoff para determinar el tipo de movimiento, y ofrece ecuaciones y diagramas para ilustrar el funcionamiento y análisis geométrico de estos mecanismos. El document
Este documento presenta diferentes teorías de fallas para materiales dúctiles y frágiles. Para materiales dúctiles, describe las teorías del esfuerzo cortante máximo, de Von Mises, de tresca y de Coulomb-Mohr. Para materiales frágiles, describe las teorías del máximo esfuerzo normal de Rankine y de Coulomb-Mohr. También discute la importancia de detectar fallas tempranas en elementos de máquinas para evitar posibles accidentes.
Este documento describe los diferentes tipos y aplicaciones de bandas de transmisión. Explica los parámetros geométricos de las bandas y sus ventajas y desventajas. Se clasifican las bandas según su forma de sección transversal, incluyendo bandas planas, trapeciales, dentadas, nervadas y eslabonadas. Cada tipo se utiliza para diferentes aplicaciones dependiendo de factores como la distancia entre centros, relación de transmisión y capacidad tractiva requerida. El documento también compara el comportamiento de los diferentes tipos de bandas.
El documento presenta información sobre tolerancias y ajustes. Explica cómo expresar dimensiones nominales con tolerancias superior e inferior usando símbolos. Luego resuelve ejemplos numéricos de dimensionamiento de piezas con tolerancias y ajustes, utilizando tablas normalizadas.
Este documento describe los diferentes tipos de rodamientos, sus propiedades y aplicaciones. Explica que los rodamientos están compuestos de bolas o rodillos que ruedan dentro de una pista sin deslizamiento. Se mencionan rodamientos de bolas, rodillos cilíndricos y cónicos, y sus usos comunes. También cubre temas como lubricación, mantenimiento e inspección para garantizar el funcionamiento confiable de los rodamientos.
El documento describe el ciclo de Carnot y los principios de la refrigeración. El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos adiabáticos reversibles que representan la máxima eficiencia posible de una máquina térmica. La refrigeración involucra transferir calor de un lugar a otro para enfriar, utilizando ciclos de compresión o absorción. Los ciclos de absorción usan una fuente de calor residual para disolver un refrigerante en un solvente.
inversion de giro de un motor trifasico de forma directa Juan Plaza
Este documento describe un circuito eléctrico diseñado para invertir la dirección de giro de un motor asíncrono trifásico de manera directa mediante el uso de contactores, pulsadores y señales luminosas. El circuito permite cambiar la dirección de giro del motor entre sentido horario y antihorario presionando diferentes pulsadores, los cuales activan bobinas de control que a su vez cierran contactos y permiten el flujo de energía en un sentido u otro hacia el motor.
Este documento presenta información sobre rodamientos, incluyendo su historia, función, constitución, fabricación, lubricación, tipos, montaje, diagnóstico de fallas y vida útil. Los rodamientos son piezas mecánicas que reducen la fricción y facilitan el movimiento entre elementos rotativos. Su fabricación involucra procesos como tratamientos térmicos, rectificación y ensamblaje para lograr alta resistencia y precisión.
El documento describe diferentes tipos de soportes, rodamientos y engranajes. Los soportes sirven para alojar y fijar rodamientos que transmiten fuerza y movimiento. Existen soportes para cargas ligeras y pesadas. Los rodamientos incluyen bolas, rodillos cilíndricos y cónicos que soportan cargas radiales, axiales y combinadas. Finalmente, los engranajes transmiten movimiento giratorio entre ejes y pueden ser internos, externos, rectos o helicoidales.
Este documento describe los ejes y árboles de transmisión, incluyendo sus tipos y diferencias. Los ejes sirven como soporte para piezas giratorias y están sujetos a esfuerzos de flexión. Los árboles transmiten potencia al girar y están sujetos a esfuerzos de torsión o combinados con flexión. Las principales diferencias son que los árboles transmiten potencia al girar con los elementos que soportan, mientras que los ejes son fijos y no transmiten potencia.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre calor y termodinámica. Explica que el calor es una forma de energía asociada con la temperatura de un cuerpo. Introduce la idea del calor específico, el cual determina la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de una sustancia. También describe el principio de la conservación de la energía y cómo puede extenderse para incluir el intercambio de calor entre un sistema y su entorno.
El documento presenta un análisis de mecanismos que incluye cinco unidades sobre principios de mecanismos, levas, engranes rectos, engranes helicoidales y trenes de mecanismos. También define conceptos básicos como síntesis, diseño, mecánica, máquina, eslabón, par cinemático y cadena cinemática. Finalmente, distingue entre mecanismos planos y esféricos.
Este documento presenta un problema de ingeniería mecánica sobre cojinetes deslizantes. Se proporcionan los datos de un cojinete con un diámetro de 1 pulgada y se pide calcular el espesor mínimo de la película lubricante, la pérdida de potencia y el flujo lateral. El autor resuelve paso a paso el problema utilizando tablas y ecuaciones para determinar que el espesor mínimo es de 0,0031 pulgadas, la pérdida de potencia es de 1,47 W/hp y el flujo
Este documento presenta un ejercicio para determinar el área de intercambio térmico necesaria para enfriar una solución de alcohol etílico utilizando agua en un intercambiador de calor. Se proporcionan cuatro configuraciones posibles para el intercambiador y se guía al lector a través de los cálculos necesarios para cada configuración, incluido el cálculo de temperaturas, calor transferido, LMTD y área de intercambio.
El documento describe diferentes tipos de puentes eléctricos, incluyendo el puente Wheatstone, el puente Kelvin, el puente Maxwell y el puente Wien. Explica cómo se usan estos puentes para medir resistencias desconocidas, inductancias y frecuencias mediante el equilibrio de las ramas del puente. También discute los errores de medición y aplicaciones de los puentes de corriente alterna.
Diseño avanzado de cigueñal y cojinetesMarcos ....
Este documento compara dos métodos para analizar el comportamiento de cigüeñales y cojinetes de apoyo de bancada en motores alternativos. El primer método, estáticamente determinado, ha sido utilizado durante 30 años pero proporciona resultados menos precisos. El segundo método, estáticamente indeterminado, combina cálculos hidrodinámicos y de elementos finitos para obtener resultados más precisos con menos hipótesis. Este nuevo método permite diseñar cigüeñales más ligeros y realizar análisis detallados de fatiga y tension
Analisis espectral de propagacion de ondajcblackmore
Este documento presenta un análisis analítico de la propagación de ondas en pilotes para modelar la prueba de integridad de pilotes (PIT). Se desarrolla un modelo unidimensional que considera la disipación de energía y la interacción suelo-pilote. El problema se resuelve usando análisis espectral implementado en Matlab. Los parámetros del modelo se calibran y validan con pruebas reales.
Este documento describe los métodos para analizar esfuerzos multiaxiales variables en elementos mecánicos sometidos a fatiga. Explica cómo calcular esfuerzos combinados utilizando el método de Von Mises y el método de Sines. También cubre el uso del diagrama de Goodman modificado para determinar factores de seguridad en cuatro casos posibles de esfuerzos multiaxiales variables.
Este documento presenta un resumen de los métodos para analizar las velocidades en mecanismos. Explica dos métodos, el análisis gráfico de velocidades usando el polígono de velocidades y el método de los centros instantáneos de rotación, y el análisis numérico de velocidades. También cubre conceptos como órganos deslizantes y aplica los métodos a ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos de velocidad.
Diseño de flechas o ejes (calculo del factor de seguridad empleado para flechas)Angel Villalpando
Este documento presenta los conceptos clave para el diseño de ejes, incluyendo el cálculo de esfuerzos debidos a flexión y torsión usando factores de concentración de esfuerzo. También describe varios criterios de falla como ASME, Goodman modificado y Gerber para evaluar la resistencia a la fatiga y fluencia. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para calcular factores de seguridad contra fatiga y fluencia para un eje de acero.
Este documento describe el diseño y cargas en flechas de transmisión rotatoria. Explica que las flechas transmiten movimiento y par de torsión de un lugar a otro en maquinaria rotatoria. Están sujetas principalmente a cargas de torsión y flexión. También cubre materiales comunes para flechas, consideraciones de diseño como deflexiones y esfuerzos, y falla por cargas combinadas.
Este documento contiene 7 ejercicios de cálculo de engranajes. Los ejercicios involucran calcular la potencia transmitida, velocidades, materiales adecuados, dimensiones geométricas, cargas dinámicas y esfuerzos en engranajes para diferentes aplicaciones industriales como bombas, transportadoras y compresores. Se utilizan fórmulas como la de Buckingham para determinar cargas y se consideran factores como relación de velocidades, potencia, rpm, servicio continuo vs intermitente y durabilidad.
Este documento presenta una introducción a varios tipos de mecanismos de eslabones articulados, incluyendo mecanismos de cuatro barras articuladas, biela-manivela-corredera, yugo escocés, retorno rápido, palanca, línea recta y transmisión de movimiento entre dos flechas. Explica conceptos como la ley de Grashoff para determinar el tipo de movimiento, y ofrece ecuaciones y diagramas para ilustrar el funcionamiento y análisis geométrico de estos mecanismos. El document
Este documento presenta diferentes teorías de fallas para materiales dúctiles y frágiles. Para materiales dúctiles, describe las teorías del esfuerzo cortante máximo, de Von Mises, de tresca y de Coulomb-Mohr. Para materiales frágiles, describe las teorías del máximo esfuerzo normal de Rankine y de Coulomb-Mohr. También discute la importancia de detectar fallas tempranas en elementos de máquinas para evitar posibles accidentes.
Este documento describe los diferentes tipos y aplicaciones de bandas de transmisión. Explica los parámetros geométricos de las bandas y sus ventajas y desventajas. Se clasifican las bandas según su forma de sección transversal, incluyendo bandas planas, trapeciales, dentadas, nervadas y eslabonadas. Cada tipo se utiliza para diferentes aplicaciones dependiendo de factores como la distancia entre centros, relación de transmisión y capacidad tractiva requerida. El documento también compara el comportamiento de los diferentes tipos de bandas.
El documento presenta información sobre tolerancias y ajustes. Explica cómo expresar dimensiones nominales con tolerancias superior e inferior usando símbolos. Luego resuelve ejemplos numéricos de dimensionamiento de piezas con tolerancias y ajustes, utilizando tablas normalizadas.
Este documento describe los diferentes tipos de rodamientos, sus propiedades y aplicaciones. Explica que los rodamientos están compuestos de bolas o rodillos que ruedan dentro de una pista sin deslizamiento. Se mencionan rodamientos de bolas, rodillos cilíndricos y cónicos, y sus usos comunes. También cubre temas como lubricación, mantenimiento e inspección para garantizar el funcionamiento confiable de los rodamientos.
El documento describe el ciclo de Carnot y los principios de la refrigeración. El ciclo de Carnot consiste en dos procesos isotérmicos y dos adiabáticos reversibles que representan la máxima eficiencia posible de una máquina térmica. La refrigeración involucra transferir calor de un lugar a otro para enfriar, utilizando ciclos de compresión o absorción. Los ciclos de absorción usan una fuente de calor residual para disolver un refrigerante en un solvente.
inversion de giro de un motor trifasico de forma directa Juan Plaza
Este documento describe un circuito eléctrico diseñado para invertir la dirección de giro de un motor asíncrono trifásico de manera directa mediante el uso de contactores, pulsadores y señales luminosas. El circuito permite cambiar la dirección de giro del motor entre sentido horario y antihorario presionando diferentes pulsadores, los cuales activan bobinas de control que a su vez cierran contactos y permiten el flujo de energía en un sentido u otro hacia el motor.
Este documento presenta información sobre rodamientos, incluyendo su historia, función, constitución, fabricación, lubricación, tipos, montaje, diagnóstico de fallas y vida útil. Los rodamientos son piezas mecánicas que reducen la fricción y facilitan el movimiento entre elementos rotativos. Su fabricación involucra procesos como tratamientos térmicos, rectificación y ensamblaje para lograr alta resistencia y precisión.
El documento describe diferentes tipos de soportes, rodamientos y engranajes. Los soportes sirven para alojar y fijar rodamientos que transmiten fuerza y movimiento. Existen soportes para cargas ligeras y pesadas. Los rodamientos incluyen bolas, rodillos cilíndricos y cónicos que soportan cargas radiales, axiales y combinadas. Finalmente, los engranajes transmiten movimiento giratorio entre ejes y pueden ser internos, externos, rectos o helicoidales.
Este documento describe los ejes y árboles de transmisión, incluyendo sus tipos y diferencias. Los ejes sirven como soporte para piezas giratorias y están sujetos a esfuerzos de flexión. Los árboles transmiten potencia al girar y están sujetos a esfuerzos de torsión o combinados con flexión. Las principales diferencias son que los árboles transmiten potencia al girar con los elementos que soportan, mientras que los ejes son fijos y no transmiten potencia.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre calor y termodinámica. Explica que el calor es una forma de energía asociada con la temperatura de un cuerpo. Introduce la idea del calor específico, el cual determina la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de una sustancia. También describe el principio de la conservación de la energía y cómo puede extenderse para incluir el intercambio de calor entre un sistema y su entorno.
El documento presenta un análisis de mecanismos que incluye cinco unidades sobre principios de mecanismos, levas, engranes rectos, engranes helicoidales y trenes de mecanismos. También define conceptos básicos como síntesis, diseño, mecánica, máquina, eslabón, par cinemático y cadena cinemática. Finalmente, distingue entre mecanismos planos y esféricos.
Este documento presenta un problema de ingeniería mecánica sobre cojinetes deslizantes. Se proporcionan los datos de un cojinete con un diámetro de 1 pulgada y se pide calcular el espesor mínimo de la película lubricante, la pérdida de potencia y el flujo lateral. El autor resuelve paso a paso el problema utilizando tablas y ecuaciones para determinar que el espesor mínimo es de 0,0031 pulgadas, la pérdida de potencia es de 1,47 W/hp y el flujo
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Este documento compara dos métodos para analizar el comportamiento de cigüeñales y cojinetes de apoyo de bancada en motores alternativos. El primer método, estáticamente determinado, ha sido utilizado durante 30 años pero proporciona resultados menos precisos. El segundo método, estáticamente indeterminado, combina cálculos hidrodinámicos y de elementos finitos para obtener resultados más precisos con menos hipótesis. Este nuevo método permite diseñar cigüeñales más ligeros y realizar análisis detallados de fatiga y tension
Analisis espectral de propagacion de ondajcblackmore
Este documento presenta un análisis analítico de la propagación de ondas en pilotes para modelar la prueba de integridad de pilotes (PIT). Se desarrolla un modelo unidimensional que considera la disipación de energía y la interacción suelo-pilote. El problema se resuelve usando análisis espectral implementado en Matlab. Los parámetros del modelo se calibran y validan con pruebas reales.
Análisis estadístico de acumulación de tolerancias.bryansk7
Este documento resume diferentes métodos para el análisis de acumulación de tolerancias como el método Montecarlo y el método RSS. Explica cómo calcular las tolerancias de los componentes dados los requerimientos de tolerancia del ensamblaje final usando fórmulas como la fórmula RSS de asignación de parte. También describe el método Montecarlo y diferencia entre sujetadores flotantes y fijos.
Este documento discute los modelos matemáticos utilizados en el diseño de sistemas de control. Explica que los modelos capturan el comportamiento de un sistema y permiten predecir el impacto de diferentes diseños sin comprometer el sistema real. Luego describe cómo construir modelos a través del razonamiento físico y datos experimentales, y cómo linearizar modelos no lineales alrededor de puntos de equilibrio para obtener modelos más simples pero adecuados para el diseño de control. Finalmente, presenta un ejemplo de obtención de un modelo linealizado
Este documento describe el modelado por elementos finitos de procesos de manufactura por deformación plástica. Explica cómo se pueden usar herramientas computacionales como Ansys y SolidWorks para modelar el comportamiento mecánico de materiales sometidos a procesos de deformación plástica. También resume las leyes y ecuaciones matemáticas utilizadas para modelar el comportamiento elástico y plástico de los materiales, así como las consideraciones para el análisis de grandes desplazamientos. Finalmente, presenta los resultados de simul
(1) El documento describe diferentes tipos de transmisiones mecánicas con movimiento de rotación, dividiéndolas en transmisiones por rozamiento y por engrane. (2) Explica que las transmisiones por rozamiento usan superficies circulares y las de engrane usan dientes para transmitir el par de torsión de manera precisa. (3) Señala que las transmisiones pueden ser reductoras o multiplicadoras dependiendo de si reducen o aumentan la velocidad angular, respectivamente.
DISEÑO DE PAVIMENTOS FLEXIBLES METODO SHELL..pdfLuisSosa281895
Este documento proporciona instrucciones para el diseño de pavimentos flexibles utilizando el método Shell. Explica los parámetros que deben considerarse como el tránsito, la temperatura, las propiedades de los materiales y las características de la mezcla asfáltica. Además, proporciona ejemplos numéricos para calcular el tránsito acumulado, la temperatura promedio ponderada y determinar el tipo y rigidez de la mezcla asfáltica requerida.
El documento describe un modelo para simular la dinámica estructural de líneas de alta tensión. El modelo utiliza elementos de barra de dos nodos y considera las no linealidades geométricas y de material. Se presenta un software desarrollado para implementar el modelo y simular escenarios de colapso. El modelo se validó mediante comparaciones con software de elementos finitos. El modelo se utilizó para simular el colapso de una línea en Argentina, coincidiendo los resultados con la evidencia encontrada.
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1) El proyecto describe el modelado y simulación de un banco de pruebas para generadores síncronos que incluye un módulo de excitación dinámica (DEM) para mejorar la capacidad de soportar huecos de tensión. 2) El objetivo principal es desarrollar un modelo de simulación preciso del banco de pruebas para entender su comportamiento dinámico durante huecos de tensión. 3) Los resultados de simulación muestran que el DEM puede aumentar el par electromagnético durante una falta y así aumentar el tiempo crítico
Cálculo de estructuras vigas de hormigón armadoGabsPolo
Este documento presenta una aplicación de Excel para dimensionar y comprobar vigas de hormigón armado de manera rápida y fácil. La aplicación incluye pestañas para seleccionar el tipo de viga, calcular las solicitaciones máximas y dimensionar la sección transversal. También permite comprobar que se cumplen los requisitos de resistencia y deformación, y dimensionar las armaduras longitudinales y transversales. El documento explica paso a paso cómo utilizar la aplicación para analizar completamente una viga dividiéndola en diferentes tramos.
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Este documento describe el proceso de desarrollar un programa computacional para obtener la curva de capacidad pushover de una estructura mediante un análisis estático no lineal. Explica los conceptos básicos del análisis de capacidad, demanda y desempeño, y los pasos para modelar la estructura, iterar el análisis considerando la pérdida de rigidez de los elementos, y detener el análisis cuando la estructura colapse o la matriz de rigidez sea singular. El programa permite evaluar el desempeño sísm
Se diseñará un banco de pruebas para un motor diésel, el cual soportará el peso del motor y tendrá un sistema de freno de Prony para medir el par del motor. El freno consistirá en una palanca que soportará pesas y frenará el motor. Se calculará la palanca, la flecha de transmisión y el banco donde se montará el motor. El banco se analizará para determinar las fuerzas de reacción en los apoyos y soportar las cargas del motor y sistema de frenado durante las pruebas.
Los problemas de ingeniería se estudian con modelos matemáticos representados por ecuaciones diferenciales. El método de los elementos finitos discretiza el dominio en elementos para aproximar numéricamente la solución, generando un sistema de ecuaciones algebraicas. Este método permite analizar problemas complejos como la interacción dinámica entre una presa y un embalse, considerando simultáneamente la mecánica del sólido y del fluido.
1) El documento describe un sistema de suspensión automática para un autobús modelado como un sistema masa-resorte-amortiguador unidimensional. 2) Se calculan las funciones de transferencia del sistema G1(s) y G2(s) para analizar la respuesta a las entradas de fuerza de suspensión u(s) y perturbación de la carretera w(s). 3) La respuesta a un escalón muestra oscilaciones iniciales demasiado grandes que deberían reducirse usando controladores P, PI, PD o PID.
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Este documento describe los pasos para modelar y simular un convertidor Buck. Incluye las ecuaciones dinámicas del sistema y los parámetros del convertidor. También explica el uso del método de Euler para integrar numéricamente las ecuaciones y simular el convertidor en el software PSIM.
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Con el fín de analizar el sistema acoplado, y dadas las consideraciones anteriores, su grupo debería:
En todos los casos de estudio, y donde corresponda, su grupo deberá presentar coherente y claramente los
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Deben incluirse los códigos fuente de cualquier modelo computacional elaborado (independiente del lenguaje)
Los informes impresos deberán tener como portada la presente hoja. (SIN ESTA HOJA DE PORTADA NO
SE CALIFICARÁ EL TALLER)
La calidad de la presentación de los informes escritos será especialmente considerada en la calificación.
Esto incluye la calidad, resolución y claridad de los gráficos, así como de las conclusiones que se extraigan de
ellos.
Los casos de estudio del presente taller, y sus respectivas ponderaciones de calificación son:
Caso de estudio Ponderación
Sección Caso 1 33 %
Sección Caso 2 33 %
Sección Caso 3 34 %
Fecha de entrega: Lunes 16 de Abril de 2018
Fecha de entrega extendida: Viernes 20 de Abril de 2018 (Reducción 20 % en la calificación final) Entrega debe
incluir:
Reporte escrito
Impresión corta de códigos fuente
Envío por correo electrónico de archivos con Códigos Fuente, Makefiles o scripts de compilación
Envío por correo electrónico de instructivos de compilación y ejecución y cualquier otro anexo que considere
pertinente
Los archivos deberán enviarse en UN SOLO ARCHIVO COMPRIMIDO, cuyo nombre deberá cumplir el siguiente
formato: <Nombre>_<Apellido>_Taller01.zip
ES IMPORTANTE QUE OBSERVE ESTAS CONDICIONES DE ENTREGA. EN CASO QUE NO SE
CUMPLAN, SE CONSIDERARÁ QUE EL TALLER NO SE ENTREGÓ.
Modelación Matemática Página 1 de 8
2. Taller 01 - Modelación con EDO’s
Caso 1. Sistema de enrollamiento.
El enrollamiento de cintas magnéticas, cables, fibras textiles y tiras de papel o plástico de un carrete a otro se realiza a
menudo empleando un par de motores eléctricos en cuyos ejes se encuentran dos carretes (uno en cada eje) acoplados por
el cinturón de material que se está enrollando.
Usualmente en este tipo de sistemas se necesita regular la velocidad de enrollado y la tensión del rollo de material. Para
lograr este fin, se puede incorporar una polea de resorte al sistema de carretes. Así, la deflexión del resorte indica la tensión
del cinturón de material, mientras que la velocidad de la polea está relacionada con la velocidad del cinturón entre los dos
carretes. Una representación esquemática del sistema indicado se muestra en la Figura 1.
Figura 1: Esquema del sistema de enrollado de un material flexible.
Considere que el sistema tiene las siguientes características:
Cada carrete está controlado por dos motores de corriente eléctrica que generan dos torques τ1 y τ2
El rollo de material se enrolla en el carrete 2 por el torque τ2.
El torque τ1 es un torque inverso que tensiona el rollo de material y se enrolla al carrete 1.
Además de lo anterior, considere que:
Ambos carretes poseen coeficientes de fricción rotacional β1, para el carrete 1; y β2, para el carrete 2. Los carretes
poseen momentos de inercia constantes I1 e I2.
Los ángulos de inclinación θ1 y θ2 son iguales.
Cada sección de material se considera como la combinación de un resorte con comportamiento lineal (constante ki)
y un disipador (coeficiente bi).
Como punto de partida, el sistema opera con las siguientes características:
El momento de inercia de los motores es de 8 × 10−4
kg · m2
Radio de los carretes: 0.03 m
La constante elástica del resorte de la polea es de 200 Nm−1
La constante elástica de las secciones del material enrollado es: 50Nm−1
La constante de disipación de las secciones del material enrollado es: 0.2 Nsm−1
Los torques de los motores tienen un valor de: 32 Kgcm
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 2 de 8
3. Taller 01 - Modelación con EDO’s
Los motores están girando a una velocidad angular de: 3000 rpm
Los motores pesan 50kg
Alcance y objetivos:
De acuerdo a la descripción anterior del modelo, su grupo de trabajo debe
Construir el modelo matemático del sistema.
Implementar el(los) modelo(s) computacional(es) para el caso planteado y realizar la validación apropiada de
los componentes del modelo. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema
completo y puede ser tipo script.
Suponga que, por fallas operativas, el motor 1 fue reemplazado por uno que opera al 80 % de las condiciones
del original (asuma que son el torque, la velocidad angular y el momento de inercia), pero que es 1.5 veces
más pesado que el motor original. Con base en esta información, describa el efecto de dicho cambio sobre el
comportamiento dinámico del sistema, y compare sus resultados con el modelo original.
Adicionalmente ustedes deben realizar una simplificación del modelo, considerando que el material enrollado
se comporta como un resorte de comportamiento lineal, esto es; despreciando el término del disipador. Con
esta simplificación deben reformular el modelo, descríbirlo en detalle y comparar resultados de este modelo
simplificado con el modelo original. ¿Qué descripción física podría representar esta última suposición?
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 3 de 8
4. Taller 01 - Modelación con EDO’s
Caso 2. Análisis de vibraciones en un automóvil.
La suspensión de cierto automóvil está conformada por amortiguadores de gas. Estos tienen la función de transmitir las
vibraciones, reduciendo las amplitudes de oscilación de los neumáticos hacia los asientos, generando mayor confort a
los usuarios. Con el fin de determinar, las vibraciones a las cuales están sometidos los asientos que hacen parte de este
vehículo; se muestra un esquema en la figura 1 que representa el comportamiento mecánico de la suspensión.
Figura 2: Esquema. Suspensión del automóvil.
Las vibraciones son transmitidas de la masa 1 a la masa 3, en donde la primera representa los neumáticos del automóvil
y la última los asientos del mismo. Lo que es el conjunto de la masa 2 con sus resortes y amortiguadores acoplados,
representa el amortiguador de gas. En este caso de estudio, las vibraciones se propagan a través de resortes, que ejercen
una fuerza F1 directamente proporcional a su deformación; siguiendo la ley de Hooke:
F1 = −kx
Donde k es la constante de elasticidad del resorte y x es la deformación de elongación o compresión del mismo. El signo
negativo indica que si el resorte se estira (x > 0), la fuerza será de compresión (F < 0).
Por otro lado, el movimiento de cada masa es frenado por amortiguadores; en donde la fuerza de frenado F2 es proporcional
a la velocidad relativa V entre sus dos extremos:
F2 = bV
En donde b es la constante de amortiguación del amortiguador.
A continuación se muestra en la tabla 1 los valores de las masas, de las constantes de elasticidad y amortiguación para el
esquema mostrado en la figura 1.
Basándose en que el automóvil de este caso de estudio, debe hacer un recorrido en una superficie irregular, la cual puede
llegar a tener baches de 10 cm de profundidad; suponga que inicialmente la masa 1 está desplazada 10 cm de su posición
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 4 de 8
5. Taller 01 - Modelación con EDO’s
Parámetro Cantidad
m1 1kg
m2 0.5kg
m3 2kg
k1 500N/m
k2 100N/m
k3 200N/m
k4 1000N/m
b1 1Ns/m
b2 3Ns/m
Tabla 1: Parámetros del modelo.
de equilibrio (elongando el resorte k1); y que el sistema se encuentra en reposo. Desprecie el peso de cada masa y la
fricción que pueda generar en las vibraciones.
Alcance y objetivos:
Dadas las consideraciones anteriores, su grupo de trabajo debe:
Presentar un modelo matemático lineal como un problema de valor inicial. Comente los principios de
conservación utilizados y las simplificaciones que tuvo en cuenta para su modelo.
Calcular la solución analítica del modelo propuesto. Presente gráficas dinámicas de la posición y la velocidad
de cada masa, hasta un tiempo de 5 segundos.
Solucionar el modelo matemático, utilizando un método de marcha en el tiempo deseado; y presente los
errores absolutos de posición y velocidad, con respecto a la solución analítica. Comente el comportamiento
de los errores para cada caso (si es constante, oscila, converge o diverge).
Responder: Según su modelo, ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del asiento, después de 1 segundo de
que el automóvil haya pasado un bache de 10 cm de profundidad?
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 5 de 8
6. Taller 01 - Modelación con EDO’s
Caso 3. Contaminación en un sistema de reservorios acuiferos.
Modelos basados en arreglos o sistemas de tanques interconectados son frecuentemente encontrados en aplicaciones de
ingeniería, particularmente en plantas piloto químicas, así como en aplicaciones industriales de mezclado o para el estudio
de condiciones de contaminación en sistemas de flujos interconectados.
En particular, en el presente caso de estudio, se deben examinar las condiciones de avance en el tiempo de los niveles
de contaminación en un sistema de lagos, o reservorios acuíferos, que están interconectados, y en los cuales se está
descargando un contaminante x a través de dos puntos. El sistema de reservorios se presenta de forma esquemática en la
Figura 3.
Figura 3: Esquema de un sistema de reservorios acuíferos interconectados. Las corrientes q1 y q8 presentan niveles de
contaminación intermitentes. Todas las demás corrientes de entrada se pueden considerar totalmente limpias.
Se conoce que debido a condiciones de uso no reglamentario, la corriente de alimentación del reservorio 1 (q1) y una de
las del reservorio 5 (q8) presentan niveles de contaminación, intermitentes en el tiempo, y las cuales causan que todos los
reservorios tengan algún nivel de contaminación en cualquier momento. Las demás corrientes de alimentación se pueden
considerar, en general, limpias o carentes del contaminante en estudio x (es decir la concentración de contaminante se
puede asumir nula en las corrientes de entrada q2, q3 y q5). En las corrientes de entrada q1 y q8 se adicionan cantidades
de reactivo x, con concentraciones c1, y c8, respectivamente.
Algunas características específicas del sistema son:
El valor de concentración de contaminante en la corriente de alimentación del reservorio 1 ha sido medido en función
del tiempo experimentalmente. Este se puede aproximar de acuerdo a la siguiente expresión analítica,
c1(t) = a0 +
3
i=1
ai cos(ωit) + bi sin(ωit) (1)
donde
i ωi, [rad s−1
] ai, [Kg/m3
] bi, [Kg/m3
]
0 NA 0.12 NA
1 0.26 0.09 0.06
2 0.48 0.15 0.03
3 0.25 0.03 0.005
Por mediciones diarias, se sabe que el valor de concentración de contaminante en la corriente q8 describe un
comprotamiento semi-periódico cada hora (periodo de 3600s), y el cuál se puede aproximar como:
c8(t) =
0.00Kg/m3
, 0 < t < 100s
0.15Kg/m3
, 100s ≤ t < 1000s
0.28Kg/m3
, 1000s ≤ t < 2500s
0.01Kg/m3
, 2500s ≤ t < 3600s
(2)
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7. Taller 01 - Modelación con EDO’s
Los valores de caudales de operación conocidos son:
q1 = 0.52 m3
s−1
, q2 = 0.38 m3
s−1
, q3 = 0.18 m3
s−1
,
q5 = 0.05 m3
s−1
, q8 = 0.93 m3
s−1
, q10 = 0.48 m3
s−1
Los valores de las capacidades volumétricas de cada reservorio son:
V1 = 130 m3
, V2 = 115 m3
, V3 = 87.5 m3
, V4 = 53.3 m3
, V5 = 185 m3
, V6 = 232.5 m3
¿Para qué se necesita el modelo? ¿Qué se debe entregar?
Sabiendo que, en las condiciones de operación actual, los niveles de contaminación del reservorio 4 son dos veces y
media (2.5) mayores que los permitidos por legislación, construya un modelo matemático que permita analizar el
sistema y dar sugerencias para solucionar el problema de contaminación.
En particular, dadas los datos anteriores, su grupo debe:
Construir el modelos matemáticos para simular los flujos volumétricos (Caudales) y la evolución de la
concentración de x en cada uno de los reservorios y a la descarga del sistema (c6).
Construir un modelo computacional parametrizado de manera que se puedan evaluar diferentes condiciones
de operación. El modelo computacional debe servir como herramienta de diseño del sistema completo y
debería ser una aplicación ejecutable hecha en algún lenguaje compilable. Se desea tener un programa
ejecutable independiente!
Usar el modelo computacional para sacar conclusiones acerca de la respuesta dinámica del sistema de
reservorios y estimar nuevas condiciones de operación que permitan tener aportes de contaminante en los
puntos de alimentación originales, sin sobrepasar los límites legales. SU GRUPO DEBE PROPONER UNA
SOLUCIÓN (diferente a la trivial!!!)
Presentar curvas de operación del sistema (perfiles temporales o retratos de fase).
Sugerencias
Construya el modelo de forma paramétrica, de forma que sea fácil cambiar valores numéricos.
Si su modelo presenta problemas de estabilidad, utilice valores diferetes de caudal q1.
Por simplicidad, considere que los valores de concentración son nulos en TODOS los reservorios en un
instante inicial de análisis (t = 0).
En caso de requerirlo, su grupo puede adoptar suposiciones adicionales, siempre y cuando sean justificadas.
Referencias
[1] Chalupa, P. and Novák, J. and Jarmar, M. (2016), Model of Coupled Drives Apparatus – Static and Dynamic
Characteristics. MATEC Web Conf, 2016, 76, 02011.
[2] Dowds, P. and O’Dwyer, A., Modelling and control of a suspension system forvehicle applications. Proceedings of the
4th Wismarer Automatisierungssymposium, Wismar, Germany, September 22-23.
[3] Orlob, GT (1983). Mathematical Modeling of Water Quality: Streams, Lakes and Reservoirs. John Wiley & Sons.
ISBN 978-0471100317
[4] Finney, G. A. (2000), Analysis of a water-propelled rocket: A problem in honors physics. American Journal of Physics,
2000, 68(3), 223-227.
Modelación Matemática Versión 01 - Actualización: Marzo/2018 Página 7 de 8
8. TALLER I Modelaci´on Matem´atica
Berthing Guti´errez1
, Robinson Munevar1
, Alberto Preciado1
1
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica y Mecatr´onica
Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogot´a
{bgutierrezb@unal.edu.co,rsmunevarp@unal.edu.co,dapreciador@unal.edu.co}
1. CASO I. SISTEMA DE ENROLLAMIENTO DE MATERIAL
FLEXIBLE
1.1. Enunciado
El enrollamiento de cintas magn´eticas, cables, fibras textiles y tiras de papel o
pl´astico de un carrete a otro se realiza a menudo empleando un par de motores el´ectricos
en cuyos ejes se encuentran dos carretes (uno en cada eje) acoplados por el cintur´on de
material que se est´a enrollando.
Usualmente en este tipo de sistemas se necesita regular la velocidad de enrollado
y la tensi´on del rollo de material. Para lograr este fin, se puede incorporar una polea de
resorte al sistema de carretes. As´ı, la deflexi´on del resorte indica la tensi´on del cintur´on
de material, mientras que la velocidad de la polea est´a relacionada con la velocidad del
cintur´on entre los dos carretes. Una representaci´on esquem´atica del sistema indicado se
muestra en la Figura 1.
Figura 1. sistema enrollamiento de material flexible
1.2. Consideraciones
cada carrete esta controlado por dos motores de corriente el´ectrica que generan
dos torques τ1 y τ2.
El rollo de material se enrolla en el carrete 2 por el torque τ2
El torque τ1 es un torque inverso que tensiona el rollo de material y se enrolla al
carrete 1.
9. ademas de lo anterior considere.
Ambos carretes poseen coeficientes de fricci´on rotacional β1, para el carrete 1; y
β2, para el carrete 2. Los carretes poseen momentos de inercia constantes I1 e I2
Los ´angulos de inclinaci´on θ1 y θ2 son iguales.
Cada seccion de material se considera como la combinacion de un resorte con un
comportamiento lineal (considere ki) y un disipador (coeficiente bi).
como punto de partida el sistema opera con las siguientes caracter´ısticas
El momento de inercia de los motores es de 0.0008 kg · m2
.
Radio de los carretes: 0.03 m.
La constante el´astica del resorte de la polea es de 200 N · m−1
.
La constante de disipaci´on de las secciones del material enrollado es: 0.2 N·sm−1
.
Los torques de los motores tienen un valor de: 32 kgcm.
Los motores est´an girando a una velocidad angular de: 3000 rpm.
Los motores pesan 50 kg.
adicional a los plateamientos originales del problema planteado se asume de ma-
nera arbitraria que la polea superior tiene una masa de 2 kg.
1.3. Modelo Matem´atico del sistema
Para la construcci´on del modelo matem´atico se emplearon los principios de con-
servaci´on de la cantidad de movimiento para el momento lineal y angular, de igual manera
en la aplicaci´on de la segunda ley de newton como se muestra a continuaci´on.
lo primero que se realizamos es la descomposici´on del sistema en peque˜nos sub-
sistemas utilizando como herramienta de an´alisis los diagrama de cuerpo libre (DCL) para
cada uno de los elementos que componen el mismo
Figura 2. diagrama de cuerpo libre sistema de enrollamientos material flexible
10. para el desarrollo del modelo se emplearon las siguientes relaciones para momento
lineal, momento angular, velocidad y aceleraci´on tangencial.
hi = Iωi pi = mvi vi = ωiri ai = αiri
En la polea superior tenemos que por el principio de conservaci´on de la energ´ıa:
Fc ˙xc = F(v1 − v2)
2Fcos(θ) ˙xc = F(v1 − v2)
2cos(θ) ˙xc = (ω1r1 − ω2r2)
ahora para el DCL de la polea sujeta al motor 1 tendremos que:
τ = I · α
F1r1 − βω1 − τ1 = I ˙ω1
F1r1 − β h1
I
− τ1 = ˙h1
de manera similar tendremos para DCL en la polea en el motor 2 tenemos:
−F2r2 − βω2 + τ2 = I ˙ω2
−F2r2 − β h2
I
+ τ2 = ˙h2
ahora parea las secciones 1 y 2 de material el´astico con termino disipativo tendre-
mos que :
F = ma
F1,2 + b ˙x1,2 + kx1,2 = ma1,2
kcxc
2cos(θ)
+ bap1,2 + kaxa = ˙p1,2
realizando las sustituciones correspondientes tendremos el siguiente sistema de
ecuaciones.
˙ω1 =
kcxc
2cos(θ)
r1 − β
ω1
I
−
τ1
I
(1)
˙ω2 = −
kcxc
2cos(θ)
r2 − β
ω2
I
+
τ2
I
(2)
˙xc =
ω1r1
2cos(θ)
−
ω2r2
2cos(θ)
(3)
˙xa =
p
ma
(4)
˙p =
kcxc
2cos(θ)
+ ba
p
ma
+ kaxa (5)
11. ahora Suponemos que, por fallas operativas, el motor 1 fue reemplazado por uno
que opera al 80 % de las condiciones del originales (asumiendo que son el torque, la
velocidad angular y el momento de inercia), pero que es 1.5 veces m´as pesado que el
motor original.con lo cual ajustamos nuestro modelo
as´ı que primero debemos hacer una nueva relaci´on de las fuerzas presentes en al
polea con lo cual
F = ma
Fc = F1cos(θ) + F2cos(θ)
kcxc = F1cos(θ) + F2cos(θ)
kcxc
cos(θ)
− F2 = F1
recordando que:
ω1 = ω2 τ1 = τ2 I1 = I2
replanteamos nuestro modelo de la siguiente forma:
˙ω1 =
kcxc
cos(θ)
r1 − F2r1 − β
ω1
I1
−
τ1
I1
(6)
˙ω2 = −F2r2 − β
ω2
I2
+
τ2
I2
(7)
˙xc =
ω1r1
2cos(θ)
−
ω2r2
2cos(θ)
(8)
˙xa =
pa
mb · 1,5
(9)
˙pa =
kcxc
2cos(θ)
+ ba
pa
mb · 1,5
+ kaxa (10)
˙xb =
pb
mb
(11)
˙pb =
kcxc
2cos(θ)
+ bb
pb
mb
+ kbxb (12)
Realizando la simplificaci´on del modelo considerando que el material enrollado
se comporta como un resorte de comportamiento lineal, esto es; despreciando el t´ermino
del disipador. Con esta simplificaci´on se re formular el modelo, describirlo en detalle y
comparar resultados de este modelo simplificado con el modelo original.
nuevamente con el principio de conservaci´on de la energ´ıa en la polea superior
podemos decir que:
Fc ˙xc = F(v1 − v2)
12. 2Fcos(θ) ˙xc = F(v1 − v2)
2cos(θ) ˙xc = (ω1r1 − ω2r2)
ahora para el DCL de la polea sujeta al motor 1 tendremos que:
τ = I · α
F1r1 − βω1 − τ1 = I ˙ω1
kcxc
2cos(θ)
r1 − β ω1
I
− τ1
I
= ˙ω1
de manera similar tendremos para DCL en la polea en el motor 2 tenemos:
−F2r2 − βω1 + τ1 = I ˙ω1
− kcxc
2cos(θ)
r2 − β ω2
I
+ τ2
I
= ˙ω1
ahora parea las secciones 1 y 2 de material el´astico sin el termino disipativo ten-
dremos que :
F = ma
F1,2 − kx1,2 = ma1,2
kcxc
2cos(θ)
− kaxa = ˙p1,2
finalmente tendr´ıamos el siguiente sistema
˙ω1 =
kcxc
2cos(θ)
r1 − β
ω1
I
−
τ1
I
(13)
˙ω2 = −
kcxc
2cos(θ)
r2 − β
ω2
I
+
τ2
I
(14)
˙xc =
ω1r1
2cos(θ)
−
ω2r2
2cos(θ)
(15)
˙xa =
p
ma
(16)
˙p =
kcxc
2cos(θ)
− kaxa (17)
13. 1.4. Analisis de Resultados
Realizando la simulaci´on num´erica encontramos la respuesta del sistema al
desplazamiento de la polea de la parte superior xc y la elongaci´on del material el´astico
xa = xb considerando que este material tiene un termino disipativo en la secci´on de
inter´es, as´ı mismo un modelo en el cual no se considera dicho termino.
para esto se formulo los diferentes sistemas de ecuaciones segun fuese el caso y
se solucionaron por el m´etodo de euler
par´ametros del sistema
Figura 3. codigo en julia parametros del sistema
Figura 4. codigo en julia sistema con termino disipativo
14. Figura 5. codigo en julia sistema sin termino disipativo
Figura 6. codigo en julia metodo numerico de euler
Figura 7. desplazamientos en (c) y (a) en sistema de material flexible con termino
disipativo
se observa que se obtiene como respuesta un movimiento ondulatorio amortiguado
en la elongaci´on del material flexible que se esta enrollando, lo que se espera en un sistema
15. masa resorte amortiguador, donde claramente se observa la acci´on ondulatoria del resorte
y como esta es disipada por el efecto del amortiguamiento para finalmente tener una
elongaci´on que tiende a estabilizarse en valores cercanos a 0.3 m.
as´ı mismo vemos como al asumir un desplazamiento inicial, esto por efecto elon-
gaci´on del resorte superior a causa de la masa de la polea, donde la posici´on inicial de
la polea sera 0.098 m por debajo del punto inicial, as´ı mismo vemos como esta continua
desplaz´andose por efecto de la fuerzas inducidas por la tensi´on del material el´astico que
se esta enrollando
Figura 8. desplazamientos en (c) y (a) sistema de material flexible sin termino
disipativo
Ahora podemos ver que al igual que en el caso anterior para sistema con amorti-
guamiento en el material flexible que se esta enrollando, la posici´on inicial para la polea
de la parte superior es 0.098 m y esta crece por efecto de la tensi´on generada en el material
que se esta enrollando, pero para la elongaci´on en el material el´astico vemos como esta
tiene un comportamiento oscilatorio en su elongaci´on, en la cual se deforma y contrae
pero no hasta su estado original sino con un remanente de la deformaci´on anterior tenien-
do este comportamiento una tendencia de crecimiento general con lo cual el material en
t´erminos absolutos se deforma peque˜nas cantidades de manera creciente depues de cada
oscilaci´on ,esto por efecto de como se modelo la constitucional interna del material solo
con el la constante el´astica sin termino disipativo, siendo consistente con lo que se espera
en teor´ıa para un movimiento arm´onico simple con vibraci´on libre.
16. Figura 9. velocidad en los motores en sistema de material flexible con termino
disipativo
El prop´osito del desarrollo del modelo matem´atico en este sistema de enrollamien-
to del material flexible es establecer la velocidades de operaci´on de los motores 1 y 2 para
tener una tensi´on constante en el material considerando la deformaci´on del interna del
mismo enrollando el material en uno de los carretes entendiendo que estos deben tener
el sentido del torque generado en sentidos opuesto como se muestra en la figura 1, as´ı
pues, vemos como las velocidades delos motores convergen a valores concretos hasta te-
ner un comportamiento estable, esta velocidad con una magnitud de 29.024 m/s para su
operaci´on con sentidos de giro contrario en los motores 1 y 2.
Figura 10. velocidad en los motores en sistema de material flexible sin termino
disipativo
para el caso en el cual no se considera el termino disipativo en la constituci´on
interna del material, podemos ver como de igual manera la magnitud de la velocidad de
operaci´on no cambia teniendo esta un valor de 29.024 m/s con direcciones opuestas en
los sentidos de giro para los motores 1 y 2
17. Figura 11. retrato de fase en (a) en sistema de material flexible con termino disi-
pativo
En este retrato de fase es para evaluar el comportamiento general del sistema
din´amico que para la velocidad y el desplazamiento producto de la elongaci´on del material
en una secci´on con los par´ametros definidos podemos ver como esta tiene una tendencia
a estabilizarse por acci´on del amortiguamiento cuando la deformaci´on en el material es
cercana a los 0.28 m
Figura 12. retrato de fase en en (a) sistema de material flexible sin termino disi-
pativo
para este caso podemos ver como la trayectoria tiene un comportamiento c´ıclico
del modelo masa resorte en el material, siendo consistente con el diagrama de fase de un
oscilador
18. 2. CASO II AN ´ALISIS DE VIBRACIONES EN UN AUTOM ´OVIL
2.1. Enunciado
La suspensi´on de cierto autom´ovil est´a conformada por amortiguadores de gas.
Estos tienen la funci´on de transmitir las vibraciones, reduciendo las amplitudes de oscila-
ci´on de los neum´aticos hacia los asientos, generando mayor confort a los usuarios. Con el
fin de determinar, las vibraciones a las cuales est´an sometidos los asientos que hacen parte
de este veh´ıculo; se muestra un esquema en la figura ?? que representa el comportamiento
mec´anico de la suspensi´on.
Figura 13. Esquema de suspensi´on de autom´ovil
Las vibraciones son transmitidas de la masa 1 a la masa 3, en donde la primera
representa los neum´aticos del autom´ovil y la ´ultima los asientos del mismo. Lo que es el
conjunto de la masa 2 con sus resortes y amortiguadores acoplados, representa el amorti-
guador de gas. En este caso de estudio, las vibraciones se propagan a trav´es de resortes,
que ejercen una fuerza F1 directamente proporcional a su deformaci´on; siguiendo la ley
de Hooke:
F1 = −kx
Donde k es la constante de elasticidad del resorte y x es la deformaci´on de elongaci´on
o compresi´on del mismo. El signo negativo indica que si el resorte se estira (x > 0), la
fuerza ser´a de compresi´on (F < 0). Por otro lado, el movimiento de cada masa es frenado
por amortiguadores; en donde la fuerza de frenado F2 es proporcional a la velocidad
relativa V entre sus dos extremos:
F2 = −bV
En donde b es la constante de amortiguaci´on del amortiguador, la fuerza es negativa por
oponerse al movimiento. A continuaci´on se muestra en el cuadro 1 los valores de las
masas, de las constantes de elasticidad y amortiguaci´on para el esquema mostrado en la
figura ??.
19. Par´ametro Cantidad
m1 1 kg
m2 0.5 kg
m3 2 kg
k1 500 N/m
k2 100 N/m
k3 200 N/m
k4 1000 N/m
b1 1 Ns/m
b2 3 Ns/m
Cuadro 1. Par´ametros del modelo
Bas´andose en que el autom´ovil de este caso de estudio, debe hacer un recorrido
en una superficie irregular, la cual puede llegar a tener baches de 10 cm de profundidad;
suponga que inicialmente la masa 1 est´a desplazada 10 cm de su posici´on de equilibrio
(elongando el resorte k1 ); y que el sistema se encuentra en reposo. Desprecie el peso de
cada masa y la fricci´on que pueda generar en las vibraciones.
2.2. Modelo matem´atico
De acuerdo a la figura ??, de acuerdo a un Diagrama de cuerpo libre sobre ca-
da masa, y aplicando conservaci´on de momemtum lineal, con la consideraci´on que las
fuerzas de resortes y amortiguadores se oponen al movimiento
−k1x1 + k2(x2 − x1) + b1( ˙x2 − ˙x1) = m1 ¨x1
−k2(x2 − x1) − b1( ˙x2 − ˙x1) + k3(x3 − x2) + b2( ˙x3 − ˙x2) = m2 ¨x2
−k3(x3 − x2) − b2( ˙x3 − ˙x2) − k4x3 = m3 ¨x3
reagrupando en funci´on de t´erminos semejantes con variables dependientes,
m1 ¨x1 = −(k1 + k2)x1 − b1 ˙x1 + k2x2 + b1 ˙x2
m2 ¨x2 = k2x1 + b1 ˙x1 − (k2 + k3)x2 − (b1 + b2) ˙x2 + k3x3 + b2 ˙x3
m3 ¨x3 = k3x2 + b2 ˙x2 − (k3 + k4)x3 − b2 ˙x3
Asignando la siguiente transformaci´on de variables
y1 = x1
y2 = ˙y1 = ˙x1
y3 = ˙y2 = ¨x1
y4 = x2
y5 = ˙y4 = ˙x2
y6 = ˙y5 = ¨x2
y7 = x3
y8 = ˙y7 = ˙x3
y9 = ˙y8 = ¨x3
20. Con la asignaci´on de variables se vuelve a escribir el sistema de ecuaciones
˙y1 = y2
m1 ˙y2 = −(k1 + k2)y1 − b1y2 + k2y4 + b1y5
˙y4 = y5
m2 ˙y5 = k2y1 + b1y2 − (k2 + k3)y4 − (b1 + b2)y5 + k3y7 + b2y8
˙y7 = y8
m3 ˙y8 = k3y4 + b2y5 − (k3 + k4)y7 − b2y8
Expresado en forma matricial
d
dt
y1
y2
y4
y5
y7
y8
=
0 1 0 0 0 0
−k1+k2
m1
− b1
m1
k2
m1
b1
m1
0 0
0 0 0 1 0 0
k2
m2
b1
m2
−k2+k3
m2
−b1+b2
m2
k3
m2
b2
m2
0 0 0 0 0 1
0 0 k3
m3
b2
m3
−k3+k4
m3
− b2
m3
y1
y2
y4
y5
y7
y8
resulta conveniente expresarlo en esta forma por que se busca la soluci´on por el camino
de los valores y vectores propios; los valores propios son
se aprecia que estos tienen son complejos (aparecen conjugados), se espera el
mismo comportamiento en los vectores propios de manera que la soluci´on tiene la forma
y = c1.eat
(vcr.cos(bt) − vci.sen(bt)) + c2.eat
(vci.cos(bt) + vcr.sen(bt))
donde a+bi es el valor propio complejo y vcr es el la componente real del vector propio
y vci es la componente imaginaria del vector propio que es complejo, visualizar que vcr
y vci intercambian de posici´on entre el primer y segundo sumando. para nuestro caso en
concreto como hay 6 valores propios (3 valores complejos conjugados) la soluci´on tiene
22. graficando estos resultados se obtiene
Figura 14. Desplazamiento vs tiempo en los tres cuerpos
resultado esperado al tratarse de un movimiento amortiguado, se observa que para
la segunda oscilaci´on el cuerpo 1 reduce su amplitud a la mitad, 5 segundos es un tiempo
suficiente, donde se aten´ua la oscilaci´on.
23. Figura 15. velocidad vs tiempo en los tres cuerpos
el primer y segundo cuerpo alcanzan velocidades en el primer ciclo de hasta 1.0
m/s, se aten´ua r´apidamente a hasta los 3 segundos, reduciendo hasta 5 segundos, donde
”desaparece ”la oscilaci´on en velocidad.
2.2.1. Programa Julia
el siguiente programa nos colabor´o en la b´usqueda de los valores propios y vecto-
res propios para determinar la soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales as´ı como
el sistema de ecuaciones lineales necesario para determinar el valor de las constantes con
las condiciones iniciales dadas, definiendo previamente los par´ametros del sistema as´ı
como el n´umero de iteraciones definido por el punto inicial,final y el paso.
A=[0 1 0 0 0 0;
(-k1-k2)/m1 -b1/m1 k2/m1 b1/m1 0 0;
0 0 0 1 0 0;
k2/m2 b1/m2 (-k2-k3)/m2 (-b1-b2)/m2 k3/m2 b2/m2;
0 0 0 0 0 1;
0 0 k3/m3 b2/m3 (-k3-k4)/m3 -b2/m3]
eival=eigvals(A);
vlpr=real(eival)
vlpi=imag(eival)
eivec=eigvecs(A)
vcpr=real(eivec[:,1:2:size(eivec,1)])
vcpi=imag(eivec[:,1:2:size(eivec,1)])
t0=0
mak1=exp(vlpr[1]*t0)*(vcpr[:,1]*cos(vlpi[1]*t0)-vcpi[:,1]
*sin(vlpi[1]*t0))
25. 2.3. Soluci´on del modelo matem´atico
se utilizo Runge-Kutta de 4 grado presentando los siguientes resultados
Figura 16. Desplazamiento vs tiempo en los tres cuerpos RUNGE-KUTTA
y para las velocidades
Figura 17. Error en posici´on vs tiempo en los tres cuerpos RUNGE-KUTTA
los errores para la posici´on son
26. Figura 18. Errores en velocidad para los 3 cuerpos. RUNGE KUTTA
los errores son muy peque˜nos esto es debido al tambi´en peque˜no paso que se
tomo de 1 mil´esima de segundo (0.001 s), en ambos casos el comportamiento del error
es oscilatorio con una tendencia a reducirse en el tiempo, seg´un observaci´on del ´ultimo
tramo.
2.3.1. Julia para Runge-Kutta de 4 grado
#Soluci´on por Runge Kutta
xrg=Array(Float64,trunc(nc)+1,6)
#cada columna guardar´a la soluci´on sea de posici´on o velocidad
x1rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 1 paso de Runge Kutta
x2rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 2 paso de Runge Kutta
x3rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 3 paso de Runge Kutta
x4rg=Array(Float64,trunc(nc),6)
# columna que almacenar´a el 4 paso de Runge Kutta
trg=Array(Float64,trunc(nc)+1,1)
# vector columna de la variable independiente tiempo
trg[1,1]=t_0
# valor inicial en el la variable independiente tiempo
xrg[1,:]=[x1_0,v1_0,x2_0,v2_0,x3_0,v3_0]
#valores iniciales de las varibles dependientes
#xih[1,:]=xh[1,:]+derivadas(xh[1,:])*dth
#soluci´on por Runge Kutta
27. for i=1:nc
x1rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:])*dt;
#es delta de la ordenada el primer paso (paso completo)
x2rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+1/2*x1rg[i,:])*dt;
x3rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+1/2*x2rg[i,:])*dt;
x4rg[i,:]=derivadas(xrg[i,:]+x3rg[i,:])*dt;
xrg[i+1,:]=xrg[i,:]+1/6*(x1rg[i,:]+2*x2rg[i,:]
+2*x3rg[i,:]+x4rg[i,:])
trg[i+1,1]=trg[i]+dt
end
2.4. Responder
Seg´un su modelo, ¿Cu´al es la magnitud de la velocidad del asiento, despu´es de 1
segundo de que el autom´ovil haya pasado un bache de 10 cm de profundidad?
Figura 19. posiciones y velocidades despu´es de 1 segundo. RUNGE KUTTA
se considera que la velocidad del asiento es igual a la de la masa 3, la m´as distante
al suelo, el asiento para un an´alisis inicial est´a inamovible, para este caso extraemos dicha
restricci´on de movimiento igualando su velocidad a a m3, que es la ´ultima columna de la
figura mostrada, se aprecia que su velocidad es de 0.3764 m/s, dirigido hacia abajo.
3. CASO III CONTAMINACI ´ON EN UN SISTEMA DE RESERVORIOS
ACUIFEROS
3.1. Enunciado
Modelos basados en arreglos o sistemas de tanques interconectados son frecuente-
mente encontrados en aplicaciones de ingenier´ıa, particularmente en plantas piloto qu´ımi-
cas, as´ı como en aplicaciones industriales de mezclado o para el estudio de condiciones
de contaminaci´on en sistemas de flujos interconectados. En particular, en el presente caso
de estudio, se deben examinar las condiciones de avance en el tiempo de los niveles de
contaminaci´on en un sistema de lagos, o reservorios acu´ıferos, que est´an interconectados,
y en los cuales se est´a descargando un contaminante x a trav´es de dos puntos. El sistema
de reservorios se presenta de forma esquem´atica en la siguiente figura.
28. Figura 20. Distribuci´on del sistema de reservorios acu´ıferos
Las corrientes q1 y q8 presentan niveles de contaminaci´on intermitentes. Todas
las dem´as corrientes de entrada se pueden considerar totalmente limpias. Se conoce que
debido a condiciones de uso no reglamentario, la corriente de alimentaci´on del reservorio
1 (q1) y una de las del reservorio 5 (q8) presentan niveles de contaminaci´on, intermi-
tentes en el tiempo, y las cuales causan que todos los reservorios tengan alg´un nivel de
contaminaci´on en cualquier momento. Las dem´as corrientes de alimentaci´on se pueden
considerar, en general, limpias o carentes del contaminante en estudio x (es decir la con-
centraci´on de contaminante se puede asumir nula en las corrientes de entrada q2, q3 y
q5). En las corrientes de entrada q1 y q8 se adicionan cantidades de reactivo x, con con-
centraciones c1, y c8, respectivamente.
3.2. Objetivos
Como objetivos en este tercer caso de estudio se tiene el identificar los caudales y
la concentraci´on de contaminante en cada uno de los reservorios y en la descarga del sis-
tema, ademas de esto tambi´en se desea realizar, por medio del lenguaje de programaci´on
de Julia, un programa en el cual se puede analizar el problema y de ser preciso realizar
cambios en los datos de entrada y por ´ultimo tener las condiciones para que la red de
reservorios este dentro de los limites de contaminaci´on permitidos.
3.3. Marco Te´orico
Modelos compartimentales: este tipo de modelos se caracterizan porque dividen
el sistema en varias partes y estos a su vez interaccionan entre ellos intercambiando sus-
tancias, tal como se observa en nuestro caso de estudio, el cual tiene 6 compartimientos
que intercaran entre ellos por medio de canales.
Este tipo de modelo tambi´en es conocido como deterministas, y se basa en el
conocimiento del futuro con base en entradas del presente.Los sistemas compartimentales
se consideran cerrados si no existe ninguna interacci´on entre el sistema y el entrono, esto
quiere decir que no existe intercambio de masa, en la siguiente figura se puede observar
un sistema compartimental cerrado con un ingreso ´unico de materia X1 e interacci´on entre
los dos compartimentos.
29. Figura 21. Sistema bicompartimental cerrado
Este tipo de modelos es muy usado en la farmacolog´ıa, ya que ayuda a predecir
el resultado que genera el consumo de f´armacos en el organismo, ademas que el cuerpo
trabaja de manera compartimental intercambiado ´acidos y flujos importantes para el buen
funcionamiento del metabolismos y otras partes, tal como se observa en la siguiente fi-
gura donde se observa un modelo cin´etico del metabolismo del colesterol en el humano,
representado por un sistema multicompartimental.
Figura 22. Modelo cin´etico del metabolismo del colesterol en el humano
30. 3.4. Datos de entrada
El valor de los caudales iniciales es:
q1 = 0,52m3
/s
q2 = 0,38m3
/s
q3 = 0,18m3
/s
q5 = 0,05m3
/s
q8 = 0,93m3
/s
q10 = 0,48m3
/s
Y las capacidades de cada uno de los reservorios es:
V 1 = 130m3
V 2 = 115m3
V 3 = 87,5m3
V 4 = 53,3m3
V 5 = 185m3
V 6 = 232,5m3
Como se observa algunos caudales no est´an definidos, pero se pueden obtener
mediante las siguientes ecuaciones, que tambi´en est´an programadas en el programa reali-
zado.
q6 = q1 − q4 + q2
q4 = q10 − q3
q9 = q6 + q7
q7 = q5 + q8
q11 = q10 − q9
Consideraciones para el desarrollo del caso.
∗ Se considera los recipientes adiab´aticos y sin transferencia de masa.
∗ No se consideran procesos de difusi´on en ning´un reservorio.
∗ Las mezclas son homog´eneas e instant´aneas.
∗ las corrientes q2, q3 y q5 son carentes de contaminantes.
∗ Las corrientes de los caudales q1 y q8 contienen niveles de contaminaci´on.
∗ La concentraci´on del contaminante x varia con el tiempo en todos los lagos.
31. Planteamiento
Partiendo de la ley de conservaci´on de masas y atacando el problema como
un problema compartimental tenemos que para cada uno de los lagos se obtienen una
ecuaci´on diferencial como sigue:
dx1
dt
= q1c1(t) − q1
x1
v1
(18)
dx2
dt
= q1
x1
v1
− q6
x2
v2
− q4
x2
v2
(19)
dx3
dt
= q4
x2
v2
− q10
x3
v3
(20)
dx4
dt
= q6
x2
v2
+ q7
x5
v5
− q9
x4
v4
(21)
dx5
dt
= q8c8(t) − q7
x5
v5
(22)
dx6
dt
= q10
x3
v3
+ q9
x4
v4
− q11
x6
v6
(23)
Debemos tener en cuenta que de acuerdo a las condiciones planteadas en este
caso la concentraci´on C1(t) tiene un comportamiento de acuerdo a la siguiente ecuaci´on:
c1(t) = a0 +
3
i=1
aicos(wit) + bisin(wit)
Los valores de cada una de las constantes est´an dados por la siguiente tabla:
32. Figura 23. Datos experimentales para la expresi´on anal´ıtica del valor de la con-
centraci´on c1(t) de la corriente q1.
De igual manera seg´un datos iniciales el caudal q8 tiene un comportamiento pe-
ri´odico tal como se observa:
0,00 kg
m3 ; 0 < t < 100s
0,15 kg
m3 ; 100s ≤ t < 1000s
0,28 kg
m3 ; 1000s ≤ t < 2500s
0,01 kg
m3 ; 2500s ≤ t < 3600s
3.5. Programa
El programa para la soluci´on del este caso se realizo en la plataforma de Julia box.
se inicio planteando los datos de ingreso y hallando los caudales faltantes.
Figura 24. Par´ametros de entrada
Luego se defini´o las condiciones iniciales para cada lago en cuanto a concentra-
ci´on y se estableci´o la funci´on del caudal 1 y sus variaciones en el tiempo.
33. Figura 25. condiciones iniciales y variaciones
el siguiente paso es la definici´on de las EDO y la definici´on del paso y el tiempo
de simulaci´on:
Figura 26. Definici´on de las EDO
Finalmente se solucionan el sistema de ecuaciones diferenciales por medio del
m´etodo de Runge Kutta.
34. Figura 27. Soluci´on por Runge Kutta
3.6. Resultados y an´alisis de resultados
En los resultados arrojados por el programa podemos ver la gr´afica de las con-
centraciones versus el tiempo transcurrido de cada uno de los reservorios, en la siguiente
figura se observa la concentraci´on para el reservorio 1:
Figura 28. Concentraci´on de contaminante reservorio 1 VS tiempo
De la gr´afica podemos decir que para el reservorio 1 la concentraci´on aumenta
r´apidamente entre de 0 a 1000 segundos tomando un valor de alrededor de 15 kilogramos
por metro cubico estabiliz´andose en este valor hasta un tiempo infinito.
35. Pasamos al reservorio 2 el cual tiene el comportamiento mostrado en la siguiente
gr´afica:
Figura 29. Concentraci´on de contaminante reservorio 3 VS tiempo
Este reservorio tambi´en tiene un comportamiento constantes desde 1200 segundos
con un valor de 7 kilogramos por metro cubico de contaminante.
Para el reservorio 3 se tiene de igual manera un comportamiento constante a partir
del trascurso de 2000 segundos con un valor de 4 kilogramos por metro cubico tal como
se observa en la siguiente figura.
Figura 30. Concentraci´on de contaminante reservorio 3 VS tiempo
Pasamos ahora al reservorio 4 el cual toma el siguiente comportamiento:
36. Figura 31. Concentraci´on de contaminante reservorio 4 VS tiempo
para el reservorio 5 tenemos que:
Figura 32. Concentraci´on de contaminante reservorio 5 VS tiempo
y finalmente el reservorio 6:
37. Figura 33. Concentraci´on de contaminante reservorio 6 VS tiempo
Los caudales de las salidas de q4 y q6 se pueden controlar de tal manera que para
que la cantidad de contaminante que entra a los reservorios 4 y 3 sea mas apropiada esto
ayudara a que el reservorio 4 no tenga la cantidad de contaminante indeseado.
El reservorio 5 es el que mayor cantidad de contaminante presenta ya que el caudal
q8 esta directamente conectado en entrada a este reservorio por tal razon es el que presenta
una mayor cantidad del agente X, este caudal q8 ademas de influir en el reservorio 5
tambi´en tiene una gran influencia en los reservorios 4 y 6.
Para disminuir la cantidad de contaminante en los reservorios con mayor influen-
cia (reservorioa 4, 5 y 6) realizando analisi por medio del programa se observa que si el
valor del caudal 8 (q8) se disminuye considerablemente se podria empezar a tener unos
niveles de contaminante aceptables dentro del marco legal.
otra forma de mejorar los niveles de contaminante es aumentando los caudales de
los que no insertan contaminante a los reservorios, para nuestro caso seria el aumento de
los caudales q2, q3 y q5 y de esta manera se tendr´a una mejor´ıa aun mayor en el sistema
de reservorios.
Referencias
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