El documento presenta varios ejemplos para ilustrar conceptos matemáticos como razones, proporciones y la regla de tres. Define razones como el cociente entre dos números y proporciones como igualdades entre dos razones. Explica cómo resolver problemas de proporción directa utilizando la regla de tres, como calcular cuántos hot dogs puede preparar un vendedor en 45 minutos basado en que puede hacer 20 en 30 minutos.
1. Razones y Proporciones
Matem´aticas para Bachillerato I
Efra´ın Soto Apolinar
www.aprendematematicas.org
11 de octubre de 2008
Efra´ın Soto Apolinar Razones y Proporciones
2. Definici´on de Raz´on
Definici´on 1
RAZ ´ON
Considere los n´umeros a y b. La raz´on de ellos es el cociente
obtenido al dividirlos:
a
b
En otras palabras, la raz´on de dos n´umeros es igual al cociente
entre ellos.
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3. Ejemplo 1
Problema
En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4 875
votos a su favor, mientras que el candidato B obtuvo 1 625. ¿En qu´e
proporci´on est´an sus respectivas votaciones?
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4. Ejemplo 1
Problema
En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4 875
votos a su favor, mientras que el candidato B obtuvo 1 625. ¿En qu´e
proporci´on est´an sus respectivas votaciones?
Por definici´on, debemos dividir el n´umero de votos que obtuvo el
candidato A entre el n´umero de votos que obtuvo el candidato B.
Votos del candidato A
Votos del candidato B
=
4 875
1 625
= 3
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5. Ejemplo 1
Problema
En las pasadas elecciones de un pueblo el candidato A obtuvo 4 875
votos a su favor, mientras que el candidato B obtuvo 1 625. ¿En qu´e
proporci´on est´an sus respectivas votaciones?
Por definici´on, debemos dividir el n´umero de votos que obtuvo el
candidato A entre el n´umero de votos que obtuvo el candidato B.
Votos del candidato A
Votos del candidato B
=
4 875
1 625
= 3
Este resultado nos indica que el candidato A obtuvo 3 votos por
cada voto que obtuvo el candidato B.
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6. Continuaci´on...
Esta misma informaci´on obtenemos si encontramos la raz´on de
los votos del candidato B con respecto al candidato A:
Votos del candidato B
Votos del candidato A
=
1 625
4 875
=
1
3
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7. Continuaci´on...
Esta misma informaci´on obtenemos si encontramos la raz´on de
los votos del candidato B con respecto al candidato A:
Votos del candidato B
Votos del candidato A
=
1 625
4 875
=
1
3
La fracci´on 1/3 nos dice que por cada voto que obtuvo del
candidato B, el candidato A obtuvo 3.
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8. Proporci´on
Definici´on 2
PROPORCI ´ON
Es una igualdad entre dos razones. Por ejemplo,
a
b
=
c
d
Esta misma proporci´on tambi´en podemos escribirla como: a : b ::
c : d.
Definici´on 3
PROPORCI ´ON DIRECTA
Cuando dos cantidades est´an relacionadas de tal forma que
cuando una cantidad crece la otra tambi´en crece el mismo n´umero
de veces, entonces tenemos una proporci´on directa.
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9. Ejemplo 2
Problema
Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cu´anto
cuesta un litro de ese refresco?
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10. Ejemplo 2
Problema
Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cu´anto
cuesta un litro de ese refresco?
Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.
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11. Ejemplo 2
Problema
Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cu´anto
cuesta un litro de ese refresco?
Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.
La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00
pesos.
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12. Ejemplo 2
Problema
Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cu´anto
cuesta un litro de ese refresco?
Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.
La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00
pesos.
Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.
Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.
Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.
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13. Ejemplo 2
Problema
Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cu´anto
cuesta un litro de ese refresco?
Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.
La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00
pesos.
Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.
Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.
Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.
Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces m´as que
lo que cuestan 100 ml.
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14. Ejemplo 2
Problema
Un paquete con 600 ml de refresco cuesta $5.00 pesos. ¿Cu´anto
cuesta un litro de ese refresco?
Sabemos que 600 ml de refresco cuestan $5.00 pesos.
La sexta parte de 600 ml debe costar la sexta parte de $5.00
pesos.
Es decir, 100 ml de ese refresco deben costar $5.00/6 pesos.
Un litro de refresco equivalen a 1 000 ml.
Y 1 000 ml equivalen a 10 veces 100 ml.
Entonces, 1 litro de ese refresco debe costar 10 veces m´as que
lo que cuestan 100 ml.
Esto es, 1 litro de ese refresco cuesta: 10 × 5/6 = 50/6 = $9.33
pesos.
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15. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
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16. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.
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17. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.
Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble de
tiempo.
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18. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.
Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble de
tiempo.
Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.
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19. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.
Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble de
tiempo.
Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.
Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30
minutos, es decir, en 15 minutos.
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20. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.
Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble de
tiempo.
Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.
Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30
minutos, es decir, en 15 minutos.
Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos con
lo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puede
preparar en 45 minutos.
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21. Ejemplo 3
Problema
El vendedor de Hot Dogs puede preparar 20 Hot Dogs en 30
minutos. ¿Cu´antos puede preparar en 45 minutos?
Sabemos que puede preparar 20 hot dogs en 30 minutos.
Entonces, puede preparar el doble de hot dogs en el doble de
tiempo.
Y debe preparar la mitad de hot dogs en la mitad del tiempo.
Eso significa que puede preparar 10 hot dogs en la mitad de 30
minutos, es decir, en 15 minutos.
Entonces, si sumamos lo que puede preparar en 30 minutos con
lo que puede preparar en 15 minutos, obtenemos lo que puede
preparar en 45 minutos.
En conclusi´on, puede preparar 20 + 10 = 30 hot dogs en 45
minutos.
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22. Ejemplo 4
Problema
En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 d´ıas).
¿Cu´antos kilogramos de harina se consumen en 30 d´ıas?
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23. Ejemplo 4
Problema
En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 d´ıas).
¿Cu´antos kilogramos de harina se consumen en 30 d´ıas?
En la s´eptima parte del tiempo se consume la s´eptima parte de
kilogramos de harina.
Esto significa que en un d´ıa se consumen 2 kilogramos de
harina.
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24. Ejemplo 4
Problema
En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 d´ıas).
¿Cu´antos kilogramos de harina se consumen en 30 d´ıas?
En la s´eptima parte del tiempo se consume la s´eptima parte de
kilogramos de harina.
Esto significa que en un d´ıa se consumen 2 kilogramos de
harina.
En 30 d´ıas se consumen 30 veces m´as de harina que lo que se
consume en un d´ıa,
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25. Ejemplo 4
Problema
En un asilo se consumen 14 kg de harina por semana (7 d´ıas).
¿Cu´antos kilogramos de harina se consumen en 30 d´ıas?
En la s´eptima parte del tiempo se consume la s´eptima parte de
kilogramos de harina.
Esto significa que en un d´ıa se consumen 2 kilogramos de
harina.
En 30 d´ıas se consumen 30 veces m´as de harina que lo que se
consume en un d´ıa,
Esto indica que en 30 d´ıas se consumen 2 × 30 = 60 kilogramos
de harina.
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26. Regla de Tres Directa
Los problemas de proporci´on directa se resuelven de manera
m´as sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.
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27. Regla de Tres Directa
Los problemas de proporci´on directa se resuelven de manera
m´as sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.
Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una
columna el n´umero de Hot Dogs que puede preparar y en otra la
cantidad de minutos que requiere:
Hot Dogs ⇒ Minutos
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28. Regla de Tres Directa
Los problemas de proporci´on directa se resuelven de manera
m´as sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.
Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una
columna el n´umero de Hot Dogs que puede preparar y en otra la
cantidad de minutos que requiere:
Hot Dogs ⇒ Minutos
Datos conocidos: 20 ⇒ 30
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29. Regla de Tres Directa
Los problemas de proporci´on directa se resuelven de manera
m´as sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.
Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una
columna el n´umero de Hot Dogs que puede preparar y en otra la
cantidad de minutos que requiere:
Hot Dogs ⇒ Minutos
Datos conocidos: 20 ⇒ 30
Para calcular: x ⇒ 45
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30. Regla de Tres Directa
Los problemas de proporci´on directa se resuelven de manera
m´as sencilla si utilizamos la Regla de 3 directa.
Por ejemplo, en el caso de los Hot Dogs, escribimos en una
columna el n´umero de Hot Dogs que puede preparar y en otra la
cantidad de minutos que requiere:
Hot Dogs ⇒ Minutos
Datos conocidos: 20 ⇒ 30
Para calcular: x ⇒ 45
Para resolver este problema con la regla de tres directa observa
que si dividimos 20 (Hot Dogs) entre 30 (minutos) obtenemos la
proporci´on que indica cu´antos Hot Dogs prepara el vendedor en
un minuto.
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31. En realidad, esta proporci´on nos indica que el vendedor prepara
2 Hot Dogs en 3 minutos, o bien, dos tercios de Hot Dogs en un
minuto.
Si multiplicamos este resultado por 45 (minutos) obtenemos la
cantidad de Hot Dogs que prepara en esa cantidad de tiempo.
Entonces,
x = 45 ×
20
30
= ¡3 × 15 ×
2
¡3
= 30
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32. En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harina
en 7 d´ıas, la raz´on 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2
kilogramos de harina por d´ıa en ese asilo.
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33. En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harina
en 7 d´ıas, la raz´on 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2
kilogramos de harina por d´ıa en ese asilo.
En 30 d´ıas se deben utilizar 30 veces m´as, es decir, 30 × 2 = 60
kilogramos de harina.
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34. En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harina
en 7 d´ıas, la raz´on 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2
kilogramos de harina por d´ıa en ese asilo.
En 30 d´ıas se deben utilizar 30 veces m´as, es decir, 30 × 2 = 60
kilogramos de harina.
En forma de regla de tres directa, tenemos:
kg de harina ⇒ D´ıas
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35. En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harina
en 7 d´ıas, la raz´on 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2
kilogramos de harina por d´ıa en ese asilo.
En 30 d´ıas se deben utilizar 30 veces m´as, es decir, 30 × 2 = 60
kilogramos de harina.
En forma de regla de tres directa, tenemos:
kg de harina ⇒ D´ıas
Datos conocidos:
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36. En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harina
en 7 d´ıas, la raz´on 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2
kilogramos de harina por d´ıa en ese asilo.
En 30 d´ıas se deben utilizar 30 veces m´as, es decir, 30 × 2 = 60
kilogramos de harina.
En forma de regla de tres directa, tenemos:
kg de harina ⇒ D´ıas
Datos conocidos: 14 ⇒ 7
Para calcular:
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37. En el caso del asilo sabemos que se consumen 14 kg de harina
en 7 d´ıas, la raz´on 14 / 7 = 2 nos indica que se utilizan 2
kilogramos de harina por d´ıa en ese asilo.
En 30 d´ıas se deben utilizar 30 veces m´as, es decir, 30 × 2 = 60
kilogramos de harina.
En forma de regla de tres directa, tenemos:
kg de harina ⇒ D´ıas
Datos conocidos: 14 ⇒ 7
Para calcular: x ⇒ 30
Y al realizar las operaciones, obtenemos:
x = 30 ×
14
7
= 30 × 2 = 60
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38. Observa que debido a que la multiplicaci´on y la divisi´on tienen la
misma prioridad como operaciones, en realidad no importa qu´e
operaci´on realicemos primero.
Bien podemos primero dividir y despu´es multiplicar, bien
podemos primero multiplicar y despu´es dividir... en ambos casos
siempre obtendremos el mismo resultado.
Por esto, es una costumbre utilizar de la siguiente manera la
regla de tres directa. Por ejemplo en la ´ultima tabla que
escribimos:
kg de harina ⇒ D´ıas
Datos conocidos: 14 ⇒ 7
Para calcular: x ⇒ 30
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39. Empezamos multiplicando el ´unico n´umero que conocemos del
rengl´on donde se encuentra nuestra inc´ognita (30) por el n´umero
que se encuentra en el otro rengl´on y en la otra columna (14) y
este resultado lo dividimos por el ´ultimo n´umero conocido (7).
x =
30 × 14
7
= 30 × 2 = 60
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40. Porcentaje
Una proporci´on directa que es muy utilizada com´unmente es el
porcentaje.
Definici´on 4
PORCENTAJE
Es una proporci´on de algo a cien. La palabra porciento indica
cu´antos se tomar´an por cada cien.
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41. Ejemplo 5
Problema
Luisa compr´o un vestido. Como le hicieron un descuento del 25%,
solamente pag´o $180.00 pesos. ¿Cu´al es el precio original (sin
descuento) de ese vestido?
Para calcular el precio con descuento del vestido, debieron
quitar el 25%.
Definimos P al precio sin descuento del vestido,
Entonces, 0.25 P es el descuento que se le hizo,
Y el precio con descuento es:
P − 0.25 P = 0.75 P
Esto indica que pag´o solamente el 75% del precio original del
vestido.
Y este precio fue de $180.00 pesos.
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42. Continuaci´on...
Entonces,
0.75 P = 180 ⇒ P =
180
0.75
=
180
3
4
=
4 ר¨180
¡3
= 4 × 60 = 240
Esto nos dice que el precio sin descuento del vestido era de
$240.00 pesos.
En efecto, si calculamos el 25% de $240.00 pesos, entonces
debemos sacar la cuarta parte,
es decir, $60.00 pesos es el 25% de $240.00
A $240.00 le restamos $60.00 y obtenemos $180.00 que es el
precio con el 25% de descuento.
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43. Ejemplo 6
Problema
Un paquete de cereal contiene 15% m´as gratis. Si el envase
inicialmente conten´ıa 680 gr., ¿cu´antos gramos contiene ahora?
Efra´ın Soto Apolinar Razones y Proporciones
44. Ejemplo 6
Problema
Un paquete de cereal contiene 15% m´as gratis. Si el envase
inicialmente conten´ıa 680 gr., ¿cu´antos gramos contiene ahora?
Sabemos que originalmente el envase conten´ıa 680 gramos.
Efra´ın Soto Apolinar Razones y Proporciones
45. Ejemplo 6
Problema
Un paquete de cereal contiene 15% m´as gratis. Si el envase
inicialmente conten´ıa 680 gr., ¿cu´antos gramos contiene ahora?
Sabemos que originalmente el envase conten´ıa 680 gramos.
El 10% de esa cantidad es la d´ecima parte, porque 10 es la
d´ecima parte de 100
Y el porcentaje se refiere a la proporci´on por cada cien...
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46. Ejemplo 6
Problema
Un paquete de cereal contiene 15% m´as gratis. Si el envase
inicialmente conten´ıa 680 gr., ¿cu´antos gramos contiene ahora?
Sabemos que originalmente el envase conten´ıa 680 gramos.
El 10% de esa cantidad es la d´ecima parte, porque 10 es la
d´ecima parte de 100
Y el porcentaje se refiere a la proporci´on por cada cien...
La d´ecima parte de 680 gr., es 68 gr.
Entonces, el 10% de 680 es 68.
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47. Ejemplo 6
Problema
Un paquete de cereal contiene 15% m´as gratis. Si el envase
inicialmente conten´ıa 680 gr., ¿cu´antos gramos contiene ahora?
Sabemos que originalmente el envase conten´ıa 680 gramos.
El 10% de esa cantidad es la d´ecima parte, porque 10 es la
d´ecima parte de 100
Y el porcentaje se refiere a la proporci´on por cada cien...
La d´ecima parte de 680 gr., es 68 gr.
Entonces, el 10% de 680 es 68.
La mitad del 10% es el 5%.
Entonces, el 5% de 680 es la mitad de 68, es decir, 34.
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48. Continuaci´on...
Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15%
de 680.
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49. Continuaci´on...
Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15%
de 680.
Esto es, el 15% de 680 es 68 + 34 = 102
Entonces, el envase contiene 102 gramos de m´as...
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50. Continuaci´on...
Si sumamos el 10% de 680 y el 5% de 680 obtenemos el 15%
de 680.
Esto es, el 15% de 680 es 68 + 34 = 102
Entonces, el envase contiene 102 gramos de m´as...
Si originalmente conten´ıa 680 gramos,
junto con los 102 gramos gratis (el 15%)
obtenemos un nuevo total de 782 gramos.
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