Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones de dos variables, incluyendo: (1) sus gráficas y cómo representan superficies tridimensionales; (2) curvas de nivel obtenidas al cortar la gráfica con planos horizontales; y (3) secciones con planos verticales. También incluye ejemplos ilustrativos como funciones polinómicas, exponenciales y la "silla de montar". El objetivo es desarrollar habilidades para visualizar y describir características geométricas de gráficas de func
El trabajo de campo consiste en ejecutar todos los métodos y procedimientos topográficos necesarios de acuerdo al plan de trabajo definido con anterioridad. Cuya finalidad es de obtener o recolectar datos de campo, mediante el empleo de instrumentos topográficos. Esta recopilación fundamentalmente consiste en medir ángulos horizontales y/o verticales, distancias horizontales o verticales, desniveles, obtención de coordenadas, etc
El trabajo de campo consiste en ejecutar todos los métodos y procedimientos topográficos necesarios de acuerdo al plan de trabajo definido con anterioridad. Cuya finalidad es de obtener o recolectar datos de campo, mediante el empleo de instrumentos topográficos. Esta recopilación fundamentalmente consiste en medir ángulos horizontales y/o verticales, distancias horizontales o verticales, desniveles, obtención de coordenadas, etc
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
1. Univ. de Alcal´ de Henares
a Ingenier´ de Telecomunicaci´n
ıa o
C´lculo. Segundo parcial.
a Curso 2004-2005
Funciones de dos variables. Gr´ficas y superficies.
a
Puede ser conveniente la visualizaci´n en pantalla o el uso de una impresora en color para
o
algunas figuras
1. Funciones de dos variables. Gr´ficas
a
La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,
f :R→R
El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R2 → R Estas
funciones se representan a menudo mediante el s´ ımbolo:
z = f (x, y)
(esta mezcla de notaci´n z y f es com´n).
o u
Es posible representar gr´ficamente una de estas funciones f : R2 → R mediante su gr´fica:
a a
graf(f ) = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f (x, y)
Esta gr´fica es, hablando informalmente, una superficie en R3 : sobre cada punto (x, y) del plano
a
xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las im´genes
a
de todos los puntos (x, y) de U es la gr´fica de f .
a
Ejemplo 1.1. El ejemplo m´s sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un
a
polinomio de grado 1, de la forma:
z = f (x, y) = ax + by + c, con a, b, c constantes
Esta funci´n tan sencilla tiene, naturalmente una gr´fica sencilla. La gr´fica est´ formada por
o a a a
los puntos del plano
z = ax + by + c
1
2. Naturalmente, si se consideran funciones m´s complicadas sus gr´ficas se corresponden con
a a
superficies m´s complejas que el plano.
a
Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci´n
o
1 1 1 1
f (x, y) = (3/2)e 1+(x−1)2 +(y−1)2 −(5/2)e 1+(1/4)(x+1/2)2 +(1/36)(y−1)2 +2e 1+(x−2)2 +(y−2)2 +2e 1+(x−1)2 +(y+1)2
tiene una gr´fica con este aspecto:
a
Como puede verse en este ejemplo, en general una gr´fica se corresponde a una superficie con
a
un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etc´tera. Uno de nuestros objetivos es
e
ser capaces de identificar y describir esas caracter´ısticas de la gr´fica, al igual que hemos hecho
a
en el caso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la
gr´fica se corresponden con los m´ximos locales de la funci´n z = f (x, y), y en las aplicaciones
a a o
resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos m´ximos con
a
tanta precisi´n como se desee.
o
2. Curvas de nivel
Hemos comparado la gr´fica de una funci´n z = f (x, y) con un paisaje con un cierto re-
a o
lieve. En cartograf´ se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna
ıa
informaci´n tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se
o
muestra una parte de un mapa cartogr´fico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en
a
el que se aprecian con claridad esas curvas de nivel.
2
3. En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaci´n
o
geol´gica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo expl´
o ıcito la idea de
curvas de nivel. He aqu´ una foto de ese pico:
ı
Las curvas de nivel se obtienen cortando la gr´fica con planos horizontales situados a distintas
a
alturas. En la siguiente figura se muestra una gr´fica (la del ejemplo previo) cortada con dos
a
planos horizontales a distintas alturas.
3
4. Si cortamos la gr´fica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvas
a
situadas sobre la gr´fica:
a
Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la gr´fica, el
a
paisaje, desde arriba, a vista de p´jaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvas
a
de nivel de esta gr´fica:
a
Con algo de entrenamiento resulta sencillo aprender a interpretar estas familias de curvas para
deducir a partir de ellas los accidentes del terreno que representa el mapa.
4
5. 2.0.1. Ecuaci´n de las curvas de nivel
o
Un plano horizontal tiene por ecuaci´n: z = c con c constante La intersecci´n de la gr´fica
o o a
de f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) = c. Para
entender como es la gr´fica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyecci´n de este
a o
conjunto sobre el plano (x, y). Es decir, el conjunto formado por todos los puntos (x, y) del
plano en los que f toma el valor c.
Definici´n 2.1. La curva de nivel c de la funci´n z = f (x, y) es el conjunto de puntos (x, y)
o o
del plano que cumplen
f (x, y) = c
Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c. Iremos viendo a lo largo del curso
algunas propiedades de las curvas (en general conjuntos) de nivel que los hacen interesantes
en s´ mismos. Adem´s, las curvas de nivel pueden servir, como dec´
ı a ıamos, para ayudarnos a
visualizar la gr´fica de una funci´n z : R2 → R. Porque, como hemos dicho, el c-conjunto de
a o
nivel es la proyecci´n en el plano xy de la intersecci´n de la gr´fica de f con el plano horizontal
o o a
z = c.
Puesto que en los puntos del conjunto nivel fc la funci´n vale c, podemos imaginar que
o
tomamos el conjunto de nivel y lo situamos a altura z = c. De esa forma obtenemos una parte
de la gr´fica de la funci´n. Repitiendo esto para muchos valores de c se obtiene una aproximaci´n
a o o
a la gr´fica de f . Veamos un ejemplo:
a
Ejemplo 2.2. Dada la funci´n z = f (x, y) = x2 + y 2 , ¿cu´les son sus curvas de nivel?
o a
Se trata de estudiar los conjuntos:
zc = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = c}
√
Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio c.
5
6. En este ejemplo, si subimos cada curva de nivel a la correspondiente altura c se obtiene esta
figura:
De hecho la gr´fica de f , representada en un ordenador, es as´
a ı:
6
7. Se trata de una superficie que se denomina paraboloide circular, de la que hablaremos m´s
a
adelante.
3. Secciones con planos verticales
La informaci´n que se obtiene a partir de las curvas de nivel de una funci´n f se puede
o o
complementar mediante el estudio de las secciones de dicha gr´fica con planos verticales. La
a
ecuaci´n de un plano vertical cualquiera que pasa por el punto (x0 , y0 ) es:
o
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0, (∗)
donde a, b son dos coeficientes que deciden la direcci´n del plano.
o
7
8. Podemos estudiar estas secciones, por ejemplo, usando la ecuaci´n (∗) para despejar y =
o
b + mx. Entonces, un punto que est´ a la vez en la gr´fica de f y en el plano vertical tiene que
e a
cumplir esta relaci´n:
o
z = f (x, y) = f (x, b + mx)
La cual permite expresar la coordenada z de esos puntos como funci´n s´lo de la coordenada
o o
x. Esta funci´n de una variable es como las que hemos estudiado en el primer curso de c´lculo,
o a
y podemos aplicarle todos los m´todos que all´ se aprenden; en particular la idea de derivada,
e ı
aplicada a estas funciones, nos va a conducir en un cap´ ıtulo posterior a las derivadas parciales
y direccionales.
Para entender algunas gr´ficas sencillas, son especialmente utiles las secciones con los planos
a ´
paralelos a los dos planos coordenados verticales: el plano xz (de ecuaci´n y = 0) y el plano yz
o
(de ecuaci´n x = 0.) En el siguiente ejemplo ilustramos la utilidad de estas secciones.
o
Ejemplo 3.1. Vamos a tratar de entender la gr´fica de la funci´n
a o
g(x, y) = x2 + y 2
Para estudiar sus curvas de nivel plantemos la ecuaci´n:
o
x2 + y 2 = c
y descubrimos que (para c > 0) la curva de nivel c es una circunferencia de radio c (para c < 0
es vac´ Eso significa que el conjunto de curvas de nivel en este ejemplo coincide con el de la
ıa).
funci´n
o
f (x, y) = x2 + y 2
ejemplo 2.2. ¡Pero eso no significa que las dos gr´ficas sean iguales! De hecho la misma circun-
a
ferencia corresponde a valores distintos de c en cada uno de los dos casos. La diferencia entre
8
9. las dos gr´ficas queda de manifiesto si se estudian sus cortes con el plano vertical x = 0. En el
a
caso de f se obtiene
z = f (0, y) = y 2
que representa una par´bola en el plano yz. Esto encaja con nuestros anteriores descubrimientos,
a
ya que el corte del paraboloide con el plano yz es precisamente una parabola, como se muestra
en la figura:
Sin embargo en la funci´n g el corte con el plano yz produce
o
z = f (0, y) = y 2 = |y|
Por lo tanto el p´rfil de la gr´fica es ´ste:
e a e
Y un minuto de reflexi´n, combinando esta informaci´n con la forma de las curvas de nivel,
o o
convencer´ al lector de que la gr´fica de g es un cono invertido con v´rtice en el origen:
a a e
9
10. 4. Un ejemplo importante: la silla de montar
No queremos cerrar este tema sin presentar un ejemplo que ser´ muy importante m´s adelante
a a
en el curso. Se trata de la funci´n
o
z = f (x, y) = x2 − y 2
Sus curvas de nivel son la familia de hip´rbolas
e
x2 − y 2 = c
Es decir:
Situando cada una de esas hip´rbolas a la altura correspondiente al valor de c se concluye que
e
la gr´fica es ´sta:
a e
Esta superficie se conoce como paraboloide hiperb´lico o silla de montar.
o
10