Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones de dos variables, incluyendo: (1) sus gráficas y cómo representan superficies tridimensionales; (2) curvas de nivel obtenidas al cortar la gráfica con planos horizontales; y (3) secciones con planos verticales. También incluye ejemplos ilustrativos como funciones polinómicas, exponenciales y la "silla de montar". El objetivo es desarrollar habilidades para visualizar y describir características geométricas de gráficas de func

1. Univ. de Alcal´ de Henares
a Ingenier´ de Telecomunicaci´n
ıa o
C´lculo. Segundo parcial.
a Curso 2004-2005
Funciones de dos variables. Gr´ficas y superficies.
a
Puede ser conveniente la visualizaci´n en pantalla o el uso de una impresora en color para
o
algunas figuras
1. Funciones de dos variables. Gr´ficas
a
La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de las funciones de una variable,
f :R→R
El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R2 → R Estas
funciones se representan a menudo mediante el s´ ımbolo:
z = f (x, y)
(esta mezcla de notaci´n z y f es com´n).
o u
Es posible representar gr´ficamente una de estas funciones f : R2 → R mediante su gr´fica:
a a
graf(f ) = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f (x, y)
Esta gr´fica es, hablando informalmente, una superficie en R3 : sobre cada punto (x, y) del plano
a
xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las im´genes
a
de todos los puntos (x, y) de U es la gr´fica de f .
a
Ejemplo 1.1. El ejemplo m´s sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un
a
polinomio de grado 1, de la forma:
z = f (x, y) = ax + by + c, con a, b, c constantes
Esta funci´n tan sencilla tiene, naturalmente una gr´fica sencilla. La gr´fica est´ formada por
o a a a
los puntos del plano
z = ax + by + c
1

2. Naturalmente, si se consideran funciones m´s complicadas sus gr´ficas se corresponden con
a a
superficies m´s complejas que el plano.
a
Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci´n
o
1 1 1 1
f (x, y) = (3/2)e 1+(x−1)2 +(y−1)2 −(5/2)e 1+(1/4)(x+1/2)2 +(1/36)(y−1)2 +2e 1+(x−2)2 +(y−2)2 +2e 1+(x−1)2 +(y+1)2
tiene una gr´fica con este aspecto:
a
Como puede verse en este ejemplo, en general una gr´fica se corresponde a una superficie con
a
un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etc´tera. Uno de nuestros objetivos es
e
ser capaces de identificar y describir esas caracter´ısticas de la gr´fica, al igual que hemos hecho
a
en el caso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la
gr´fica se corresponden con los m´ximos locales de la funci´n z = f (x, y), y en las aplicaciones
a a o
resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos m´ximos con
a
tanta precisi´n como se desee.
o
2. Curvas de nivel
Hemos comparado la gr´fica de una funci´n z = f (x, y) con un paisaje con un cierto re-
a o
lieve. En cartograf´ se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna
ıa
informaci´n tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se
o
muestra una parte de un mapa cartogr´fico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en
a
el que se aprecian con claridad esas curvas de nivel.
2

3. En la esquina superior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaci´n
o
geol´gica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo expl´
o ıcito la idea de
curvas de nivel. He aqu´ una foto de ese pico:
ı
Las curvas de nivel se obtienen cortando la gr´fica con planos horizontales situados a distintas
a
alturas. En la siguiente figura se muestra una gr´fica (la del ejemplo previo) cortada con dos
a
planos horizontales a distintas alturas.
3

4. Si cortamos la gr´fica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvas
a
situadas sobre la gr´fica:
a
Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la gr´fica, el
a
paisaje, desde arriba, a vista de p´jaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvas
a
de nivel de esta gr´fica:
a
Con algo de entrenamiento resulta sencillo aprender a interpretar estas familias de curvas para
deducir a partir de ellas los accidentes del terreno que representa el mapa.
4

5. 2.0.1. Ecuaci´n de las curvas de nivel
o
Un plano horizontal tiene por ecuaci´n: z = c con c constante La intersecci´n de la gr´fica
o o a
de f con el plano horizontal son por tanto los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) = c. Para
entender como es la gr´fica de f , sin embargo, lo que nos interesa es la proyecci´n de este
a o
conjunto sobre el plano (x, y). Es decir, el conjunto formado por todos los puntos (x, y) del
plano en los que f toma el valor c.
Definici´n 2.1. La curva de nivel c de la funci´n z = f (x, y) es el conjunto de puntos (x, y)
o o
del plano que cumplen
f (x, y) = c
Es decir, es el conjunto de puntos en los que f vale c. Iremos viendo a lo largo del curso
algunas propiedades de las curvas (en general conjuntos) de nivel que los hacen interesantes
en s´ mismos. Adem´s, las curvas de nivel pueden servir, como dec´
ı a ıamos, para ayudarnos a
visualizar la gr´fica de una funci´n z : R2 → R. Porque, como hemos dicho, el c-conjunto de
a o
nivel es la proyecci´n en el plano xy de la intersecci´n de la gr´fica de f con el plano horizontal
o o a
z = c.
Puesto que en los puntos del conjunto nivel fc la funci´n vale c, podemos imaginar que
o
tomamos el conjunto de nivel y lo situamos a altura z = c. De esa forma obtenemos una parte
de la gr´fica de la funci´n. Repitiendo esto para muchos valores de c se obtiene una aproximaci´n
a o o
a la gr´fica de f . Veamos un ejemplo:
a
Ejemplo 2.2. Dada la funci´n z = f (x, y) = x2 + y 2 , ¿cu´les son sus curvas de nivel?
o a
Se trata de estudiar los conjuntos:
zc = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 = c}
√
Y como puede verse, son circunferencias centradas en el origen, de radio c.
5

6. En este ejemplo, si subimos cada curva de nivel a la correspondiente altura c se obtiene esta
figura:
De hecho la gr´fica de f , representada en un ordenador, es as´
a ı:
6

7. Se trata de una superficie que se denomina paraboloide circular, de la que hablaremos m´s
a
adelante.
3. Secciones con planos verticales
La informaci´n que se obtiene a partir de las curvas de nivel de una funci´n f se puede
o o
complementar mediante el estudio de las secciones de dicha gr´fica con planos verticales. La
a
ecuaci´n de un plano vertical cualquiera que pasa por el punto (x0 , y0 ) es:
o
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0, (∗)
donde a, b son dos coeficientes que deciden la direcci´n del plano.
o
7

8. Podemos estudiar estas secciones, por ejemplo, usando la ecuaci´n (∗) para despejar y =
o
b + mx. Entonces, un punto que est´ a la vez en la gr´fica de f y en el plano vertical tiene que
e a
cumplir esta relaci´n:
o
z = f (x, y) = f (x, b + mx)
La cual permite expresar la coordenada z de esos puntos como funci´n s´lo de la coordenada
o o
x. Esta funci´n de una variable es como las que hemos estudiado en el primer curso de c´lculo,
o a
y podemos aplicarle todos los m´todos que all´ se aprenden; en particular la idea de derivada,
e ı
aplicada a estas funciones, nos va a conducir en un cap´ ıtulo posterior a las derivadas parciales
y direccionales.
Para entender algunas gr´ficas sencillas, son especialmente utiles las secciones con los planos
a ´
paralelos a los dos planos coordenados verticales: el plano xz (de ecuaci´n y = 0) y el plano yz
o
(de ecuaci´n x = 0.) En el siguiente ejemplo ilustramos la utilidad de estas secciones.
o
Ejemplo 3.1. Vamos a tratar de entender la gr´fica de la funci´n
a o
g(x, y) = x2 + y 2
Para estudiar sus curvas de nivel plantemos la ecuaci´n:
o
x2 + y 2 = c
y descubrimos que (para c > 0) la curva de nivel c es una circunferencia de radio c (para c < 0
es vac´ Eso significa que el conjunto de curvas de nivel en este ejemplo coincide con el de la
ıa).
funci´n
o
f (x, y) = x2 + y 2
ejemplo 2.2. ¡Pero eso no significa que las dos gr´ficas sean iguales! De hecho la misma circun-
a
ferencia corresponde a valores distintos de c en cada uno de los dos casos. La diferencia entre
8

9. las dos gr´ficas queda de manifiesto si se estudian sus cortes con el plano vertical x = 0. En el
a
caso de f se obtiene
z = f (0, y) = y 2
que representa una par´bola en el plano yz. Esto encaja con nuestros anteriores descubrimientos,
a
ya que el corte del paraboloide con el plano yz es precisamente una parabola, como se muestra
en la figura:
Sin embargo en la funci´n g el corte con el plano yz produce
o
z = f (0, y) = y 2 = |y|
Por lo tanto el p´rfil de la gr´fica es ´ste:
e a e
Y un minuto de reflexi´n, combinando esta informaci´n con la forma de las curvas de nivel,
o o
convencer´ al lector de que la gr´fica de g es un cono invertido con v´rtice en el origen:
a a e
9

10. 4. Un ejemplo importante: la silla de montar
No queremos cerrar este tema sin presentar un ejemplo que ser´ muy importante m´s adelante
a a
en el curso. Se trata de la funci´n
o
z = f (x, y) = x2 − y 2
Sus curvas de nivel son la familia de hip´rbolas
e
x2 − y 2 = c
Es decir:
Situando cada una de esas hip´rbolas a la altura correspondiente al valor de c se concluye que
e
la gr´fica es ´sta:
a e
Esta superficie se conoce como paraboloide hiperb´lico o silla de montar.
o
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