Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida. Explica que la integral representa el área bajo una curva y que se puede calcular dividiendo el intervalo en subintervalos para construir rectángulos de base Δx y altura f(x). También introduce las sumas inferior y superior como límites del área y la definición formal de integral definida como el límite de dichas sumas cuando la partición tiende a cero.
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales.
Este texto es INFORMATIVO y no utiliza el lenguaje matemático formal.
Definición de integral definida, propiedades,regla de Barrow,teorema fundamental del cálculo integral, cálculo de áreas, ejercicios de aplicación. Nivel: 2º Bachillerato
En esta sección, repasamos el concepto integral definida, motivada por áreas bajo curvas y algunas de las propiedades. Definimos de manera rigurosa la integra como el límite de una suma de Riemann.
Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales.
Este texto es INFORMATIVO y no utiliza el lenguaje matemático formal.
Definición de integral definida, propiedades,regla de Barrow,teorema fundamental del cálculo integral, cálculo de áreas, ejercicios de aplicación. Nivel: 2º Bachillerato
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposible su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables.
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
2. Derivada Recta tangente
Integral Área
Entendemos:
Área de una función f : región comprendida entre
la función y el eje X, entre dos líneas verticales.
2
3. Pensemos en como obtener el
área bajo la función f
f(x)
Sabemos calcular el área de
polígonos…
3
5. En realidad…
Este es un problema muy
antiguo (Arquimedes se
plantea esto, pero son
Newton y Leibniz los que
lo resuelven).
Idea: Construir
rectangulos “bajo” la
curva f(x), encontrar el
área de todos estos
rectangulos.
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6. Sea [a,b] un intervalo
cerrado.
Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos
entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma
que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de
[a,b]
6
7. Denotemos por Δxi la longitud de
cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0
Δx2 = x2 – x1
…
Δxi = xi – xi-1
…
Δxn-1 = xn-1 – xn-2
Δxn = xn – xn-1
Notar que Δxi corresponderá a la
base de cada rectangulo.
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8. A la longitud del sub-intervalo (o sub-
intervalos) más largo de la partición P se
llama norma de la partición y se le denota
||P||.
Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}
8
10. Pensar en una partición para
[a,b]
Geométrica:
a, ar, ar2,… arm, donde r 0
Aritmética:
a, a+d, a+2d, … a+md
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11. PARTICIÓN GEOMÉTRICA
Se define r como la raíz n-ésima del
cuociente: b/a
Se tiene: xi= x0*rn
Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi NO es constante .
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12. PARTICIÓN ARITMÉTICA
Se define d=(b-a)/n
Se tiene: xi= x0+id
Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.
Por esto, denotamos Δx=d.
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13. Pensemos en la altura de
cada rectángulo…
Sea f : [a,b] una función acotada
P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b]
Para i = 1, . . . ,n denotamos:
mi = inf { f (x) : x [xi-1 , xi ] }
Mi = sup { f (x) : x [xi-1 , xi ] }
Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el
conjunto { f (x) : x [xi-1 , xi ] } es no vacío y
acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.
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14. DEF:
SUMA INFERIOR de f asociada a P
n f
s( f , P) m i Δx i
i 1
a=x0 x1 x2 … xn-1 b=xn
14
15. DEF:
SUMA SUPERIOR de f asociada a P
n f
S ( f , P) M i Δx i
i 1
a=x0 x1 x2 … xn-1 b=xn
15
16. Ejemplo:
Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3],
para la función f(x)=x2+2
Usando una partición con n=4.
16
17. Proposición:
Para cada partición, se verifica:
s(f,P) ≤ S(f,P)
Dem:
m i ≤ Mi mi Δxi ≤ Mi Δxi
mi Δxi ≤ Mi Δxi
s(f,P) ≤ S(f,P)
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18. Proposición:
P1 P2 s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)
Dem:
Pensar en agregar puntos (de a uno a la
partición P1).
18
19. Corolario:
Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de
[a,b]. Entonces:
m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)
Además, si P= P1 P2 , entonces:
s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)
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25. Ejemplo:
Calcular la integral de Riemann para f(x)=x en
[a,b].
Considerando las particiones aritméticas:
Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n}
Se tiene que:
2 2 2
b a (b a)
s( f , Pn )
2 2n
2 2 2
b a (b a)
S ( f , Pn )
2 2n 25
27. Teorema
Si la norma de la partición Pn se aproxime a
cero, la suma inferior y superior coinciden.
Esto es
lim s( f , Pn ) lim S ( f , Pn )
||Pn || 0 ||Pn || 0
Notar que es equivalente a decir:
lim s( f , Pn ) lim S ( f , Pn )
|n |n
27
28. OBS:
Si hacemos que la norma de la partición Pn se
aproxime a cero.
Entonces, la suma de Riemann se aproximará a
un valor A que corresponde a la suma algebraica
de las áreas comprendidas entre la gráfica de la
función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.
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35. Interpretación …
La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
b
Área f ( x) dx
a
36. Teorema
Considere una sucesión de particiones Pn de
un intervalo [a,b] tales que:
lim || Pn || 0
n
y,
lim {S ( f , Pn) s( f , Pn)} 0
n
Entonces, f es Riemann integrable,
b
lim S ( f , Pn) lim s( f , Pn) f ( x)dx
n n
a
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37. Ejercicios:
1. Construir 10 sub-intervalos para [0,1]
usando la partición:
2. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del
intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo
largo. Encontrar las sumas de riemann.
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38. Definición:
Sea f : [a,b] una función acotada
P una partición de [a,b]
Una SUMA DE RIEMANN para la función f
respecto a la partición P es una suma finita de
la forma:
n
S ( f , P, i ) f ( i )Δx i ; i [ xi 1 , xi ]
i 1
38
39. En la grafica hemos considerado el
punto medio de cada sub-intervalo.
f
a=x0 x1 x2 … xn-1 b=xn
39
40. Otra grafica…
y
•
•
• y = f(x)
•
• •
•
w1 w2 wi wn-1 wn
x0=a• x1 • x2 •0 •x• x • • • • x • x =b x
i-1 i • n-1 n
•
Δ1x Δ2x … Δix … • Δn-1x Δnx
41. Ejemplo:
Calcular la suma de riemann en el intervalo
[1,3], para la función f(x)=x2+2
Usando una partición con n=4.
41
42. OBS:
Cuando la función considerada es continua la
suma superior e inferior corresponde a la
suma de Riemann.
Escribimos:
lim S ( f , P, i ) L
n
Para denotar que:
0, 0, t.q. || P || | S ( f , P, i ) L |
42
43. Propiedades:
Sean f,g : [a,b] acotadas e integrables.
Se cumple:
b b b
( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx
a a a
b b
f ( x)dx f ( x)dx
a a
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44. b b
f ( x)dx f ( x)dx, R
a a
b
f ( x) 0 f ( x)dx 0
a
b b
f ( x) g ( x), x [a, b] f ( x)dx g ( x)dx
a a
Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.
b b
f ( x)dx | f ( x) | dx
a a 44
45. Proposición(Aditividad):
Si f : [a,b] es acotada e integrable, y para
todo c [a , b] .
Se cumple:
f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b].
Además se verifica el reciproco.
b c b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
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46. Ejercicio
Sea f una función continua en 1, 5 , si:
3 5
f ( x) dx 4 y f ( x) dx 7
1 1
Determine el valor de:
5
f ( x ) dx
3
47. Definición:
Sea f : [a,b] acotada e integrable.
Definimos:
a
f ( x)dx 0
a
b a
f ( x)dx f ( x)dx
a b
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48. Teorema:
S f : [a,b] es monótona entonces f es
integrable.
48
49. Observación
Muchas de las funciones con las cuales se
trabaja en cálculo son monótonas por
intervalos.
Por la propiedad de aditividad y este teorema
podemos argumentar la integrabilidad de
prácticamente todas las funciones
elementales como por ejemplo ex ,
lnx,arctanx,etc.
49
50. Teorema:
S f : [a,b] es continua entonces f es
integrable.
50
51. Teorema:
Si f : [a,b] es continua en [a , b] excepto
en x0 , x1 , x2 , …, xn
Entonces, f es integrable en [a,b].
Además, se verifica:
b xo x1 b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ... f ( x)dx
a a xo xn
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