1. El documento introduce conceptos básicos sobre integrales definidas e integrales dobles. Explica que una integral definida calcula el área bajo una curva y que una integral doble calcula el volumen bajo una superficie. También define regiones tipo I y tipo II para evaluar integrales dobles y presenta fórmulas para calcular volúmenes usando integrales iteradas.

1. Integrales
MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
Sea f(x)≥0 una función continua definida en [a, b],
1.a. Exprese el área bajo la curva como una integral
El área A de la región S que está bajo el grafico de una función
las áreas de rectángulos aproximados
Para calcular el área entonces usamos la suma de todos esos rectángulos con la siguiente notación

2. Si el limite existe, decimos que f es integrable en [a, b]
f entre a y b, está dada por
1.b. Defina integral definida.
Si f es una función continua definida por
de igual amplitud

3. . Teniendo
CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA
INTEGRALS – BY GERARDO
≥definida.
continua f, es el límite de la suma de

4. y

5. denominada integral definida de

6. !, dividiendo el intervalo [a, b] en n sub

7. #
#
#$%#

8. ! como puntos extremos de estos
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sub-intervalos

9. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
sub-intervalos y seleccionamos puntos de estudio
está en el i-ésimo sub-intervalo
1.c. ¿Quién introdujo el símbolo
#
en estos sub-intervalos, por lo que
El símbolo fue introducido por Leibniz, del latín
integral, es una S alargada que fue elegida porque la integral es una suma de límites. En la notación

10. , f(x) es el integrando, y tanto a como b son llamados limites de integración, donde a es el
límite inferior y b el límite superior. El símbolo dx no tiene ningún significado oficial por si mismo
por lo que

11. es un solo numero, el proceso de calcular una integral
2. El problema del volumen bajo una superficie:
2.a. Defina mismo,
Sea f una función de dos variables, definida en un rectángulo R, si existe el limite siguiente
%' ' (
# )*
+ *
decimos que f es integrable en R. Además,
integral doble de f en R, esta dado por:
,

12. -
2.b. ¿Cómo interpreta ∫∫
R
f (x, y)dA
Cuando

13. # ) . / entonces f es una función positiva, el
volumen V del sólido que esta encima del rectángulo R y
por debajo de la superficie 0

14. 1 ,

15. # )
-
Dado que
) entonces
,

16. # )
-
,

17. -
2.c. Enuncie la condición necesaria y
# )*
Si f esta acotada en el rectángulo R y si es continua en ese entorno, excepto en un numero finito de
curvas suaves, entonces f es integrable en R. En particular, si f es continua en todo R, entonces es
integrable allí.
3. Integrales Iteradas:
3.a. Dada una función f(x, y) continua en un rectángulo R:
3.a.i. Indique el significado de
La integral iterada es una forma de expresar una integral doble, de tal forma que se pueda resolver
como dos integrales simples.
CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA
INTEGRALS – BY GERARDO
#$%#
#
. Entonces la integral definida de f entre a y b es

18. ∫ ?. ¿Cuál es su significado?.
233 que significa suma y es ahora llamado
se llama integración.
integral doble sobre un rectángulo
.
4

19. -

20. # )
%
(
+
*
para f (x, y) ≥ 0?