El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio y construcción. También presenta ejemplos de funciones que modelan costos en función de parámetros, y graficación de superficies tridimensionales mediante curvas de nivel.

1. CLASE NUMERO UNO 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2. Funciones de dos variables Definición: Sea D  R 2 . Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado ( x,y ) en D f , un único número real z denotado por z= f ( x,y ). D es el dominio de f . f : D  R 2  R ( x,y )  z = f ( x,y ) Dominio de f = { ( x,y )  R 2 | f está definida } D . ( x,y ) f y x x y z ( x,y , f ( x,y ))

3. Construcción de una función de varias variables Una lata de refresco se construye con una envolvente lateral de hojalata, y con tapa de aluminio. Dado que el costo de la tapa es de $20 por unidad cuadrada, $10 por unidad cuadrada para la base, y de $30 por unidad cuadrada del envolvente. Construya la función de costo en función del radio r y la altura h. Solución. KIPKE GRAPHICS BOB 2001 KIPKE GRAPHICS BOB 2000 Cola

4. Calcular un salario.. David Katz propuso la siguiente función para representar el salario de un profesor con 10 años de experiencia docente en una gran universidad: S ( x , y, z ) = 13005+230 x +18 y +12 z donde S es el salario de 1969 a 1970, en dólares por año, x es la cantidad de libros que ha publicado, y es la cantidad de artículos publicados y z es la cantidad de artículos excelentes.¿Qué salario cabe esperar para un profesor de 10 años de experiencia, cumplidos de 1969 a 1970, si ha publicado 2 libros, 20 artículos y 3 artículos excelentes?

5. … Resuelve un problema de costo Un fabricante puede producir máquinas de escribir eléctricas a un costo de $80 cada una, y máquinas de escribir manuales a un costo de $20 cada una. a) Exprese el costo total mensual de producción como función del número de maquinas eléctricas y manuales producidas b) Calcule el costo mensual si se producen 500 máquinas eléctricas y 800 máquinas manuales c) Si el fabricante desea aumentar la producción de maquinas eléctricas en 50 al mes, que cambio debe hacer en la producción de maquinas manuales para que el costo total mensual no cambie.

6. Dominio de una función Para funciones de dos variables z = f ( x,y ), el dominio puede representarse en forma geométrica por medio de una región en el plano. La función se representa en un sistema de coordenada tridimensional x y x y Dominio de f = { ( x,y )  R 2 | f está definida }

7. Dominio de una función Detemina el dominio de las siguientes funciones El dominio de f se representa mediante la región achurada

8. Superficies en el espacio tridimensional La gráfica de una ecuación en tres variables es por lo general una superficie. La graficación de superficies puede resultar muy complicada, Puede realizarse mejor encontrando las intersecciones de la superficie con los planos coordenados. Estas intersecciones se conocen como trazas. La figura observada se conoce como elipsoide

9. Curvas de nivel Las secciones transversales en los planos paralelos al sistema de referencia pueden resultan muy útil en el instante de graficar. Estas secciones se conocen como curvas de nivel. En rigor, una curva de nivel es la intersección entre la superficie z = f ( x,y ) y el plano z= k . es decir; C nivel = { ( x,y )  R 2 | f ( x,y ) = k } Para la figura dada, están señaladas las curvas de nivel f = 2, f = 3. x z y z = 3 z = 2

10. Ejercicio Sea la superficie, z = x 2 + y 2 . Trazar las curvas de nivel para, k = 1; k = 4; k = 9. Con ayuda de las trazas dibuje la superficie. (trazas, curvas intersección de f con algún plano coordenado) k =1 k =4 k =9

11. Halle el dominio de f ( x,y ), con ayuda de las trazas dibuje la superficie. Identifique la superficie. Ejercicio

12. Superficies Cilíndricas Sea C una curva como en la figura y L una recta que corte a C, pero que no esté en el plano de C. El conjunto de todos los puntos sobre la rectas que son paralelas a L y que corten a C se llama cilindro. x x y y z C L En el espacio las ecuaciones con dos variables generan cilindros, como en la figura ( x,y ) ( x,y,z )

13. Superficies Cilíndricas