El documento describe las integrales dobles, que representan el volumen bajo una superficie y sobre una región del plano xy. Explica que se calculan como dos integrales iteradas, manteniendo fija una variable e integrando respecto a la otra. También describe que los límites de integración pueden definirse por funciones que delimitan la región horizontal o verticalmente.

1. Integrales dobles

2. Repaso de la situación en una variable Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud  x. Si x j es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define: Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b] a b x j x j+1

3. La integral doble Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área  A. Sea (x j ,y j ) un pto del j-esimo rectángulo, entonces l a integral doble de f sobre R es: ( x J , x j+1 )

4. Interpretación gráfica La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy. Región R z = f(x,y)

5. Cálculo de integrales dobles La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas . Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R. Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.

6. Propiedades

7. Límites de integración Secciones transversales verticales : La región R está limitada por las gráficas de g 1 y g 2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por R: a  x  b , g 1 (x)  y  g 2 (x) y = g 1 (x) y = g 2 (x) a b R

8. Límites de integración Secciones transversales horizontales : La región R está limitada por las gráficas de h 1 y h 2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por R: c  y  d , h 1 (y)  x  h 2 (y) x = h 1 (x) x = h 2 (x) c d R