1. Matrices II
Matrices iguales:dos matricessonigualessi sondel mismotamañoy suselementoscorrespondientessoniguales.
Por lotanto, 𝑨 = 𝒃 𝒔𝒊 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋
Operaciones
Adición de matrices
SeanA y B matricesdel mismotamaño.La sumade 𝑨 + 𝑩 es lamatriz que se obtiene al sumarelementos
correspondientes de A yB. Esta matriz 𝑨 + 𝑩 será del mismotamañoque lasmatricesA y B. Si A y B no sondel
mismotamaño,nose puedensumar,yse dice que la sumano existe.
𝑠𝑖 𝑐 = 𝐴 + 𝐵, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
Por ejemplo:
𝑠𝑒𝑎𝑛 𝐴 = (
1 4 7
0 −2 3
) , 𝐵 = (
2 5 −6
−3 1 8
) , 𝐶 = (
−5 4
2 7
) . 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝐴 + 𝐵 𝑦 𝐴 + 𝐶, 𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎.
 𝐴 + 𝐵 = (
1 4 7
0 −2 3
) + (
2 5 −6
−3 1 8
) = (
1 + 2 4 + 5 7 − 6
0 − 3 −2 + 1 3 + 8
) = (
3 9 1
−3 −1 11
) existe lasumay el
tamañoes igual al de lasmatricesoriginales.
 A esuna matrizde 2 x 3, mientrasque C esuna matrizde 2 x 2, A y C no sondel mismotamaño,por lotanto
A + C noexiste.
Multiplicación de una matriz porun escalar
SeaA una matrizy c unescalar.El múltiplo escalar de A por c, que se denotacA,es lamatriz que se obtiene al
multiplicarcadaunode loselementosde Aporc. lamatriz cAserá del mismotamañosque lamatriz A.
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒔𝒊 𝑩 = 𝒄 ∙ 𝑨, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒃𝒊𝒋 = 𝒄𝒂𝒊𝒋.
Por ejemplo:
𝑠𝑒𝑎 𝐴 = (
1 −2 4
7 −3 0
) . 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 3 ∙ 𝐴.
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3𝐴 = 3 ∙ (
1 −2 4
7 −3 0
) = (
3 ∙ 1 3 ∙ (−2) 3 ∙ 4
3 ∙ 7 3 ∙ (−3) 3 ∙ 0
) = (
3 −6 12
21 −9 0
)observe que A y 3A son matrices de 2x3
Negación y sustracción de matrices
Se define –𝑪 comola matriz (−𝟏) ∙ 𝑪. Esto significaque paranegar una matriz,se multiplicapor(-1).
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝐶 = (
1 0 −7
−3 6 2
), − 𝐶 = (
−1 0 7
3 −6 −2
)

2. Ahoradefinimoslasustracción de matricesde maneraque sea compatible conlaadición,lamultiplicaciónescalary
la negación.
𝑠𝑒𝑎 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 + (−𝟏) 𝑩
Esta definición implica que la sustracción se lleva a cabo entre matrices del mismo tamaño, sustrayendo
elementos correspondientes.
𝒂𝒔í, 𝒔𝒊 𝑪 = 𝑨− 𝑩, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒄 𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝒋 − 𝒃𝒊𝒋
Por ejemplo:
𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = (
5 0 −2
3 6 −5
) 𝑦 𝐵 = (
2 8 −1
0 4 6
). 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐴 − 𝐵.
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 − 𝐵 = (
5 0 −2
3 6 −5
) − (
2 8 −1
0 4 6
) = (
5 − 2 0 − 8 (−2) − (−1)
3 − 0 6 − 4 (−5) − 6
) = (
3 −8 −1
3 2 −11
)
Multiplicación de matrices
Consiste enmultiplicar,de manerasistemática,lasfilasde laprmeramatriz A por lascolumnasde la segundamatriz
B. Obteniendolamatriz producto 𝑨 ∙ 𝑩.
Seael númerode columnasenla matriz A, el mismoque el númerode filasde unamatriz B. Entoncesexiste el
Producto 𝑨 ∙ 𝑩. Si el númerode columnasde A no esigual al númerode filasde B, se dice que el producto no
existe.
El elementoenlafilaiy la columnaj de 𝑨 ∙ 𝑩 se obtiene al multiplicarelementoscorrespondientesde lafila ide A y
de la columnaj de B, ysumandolosproductos.
𝑠𝑒𝑎 𝑨 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝒏 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂𝒔 𝑦 𝑩 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝒏 𝒇𝒊𝒍𝒂𝒔.𝐿𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝒊 𝑑𝑒 𝑨 𝑒𝑠 ( 𝒂𝒊𝟏 𝒂𝒊𝟐 … 𝒂𝒊𝒏) 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
𝒋 𝑑𝑒 𝐵 𝑒𝑠
(
𝒃 𝟏𝒋
𝒃 𝟐𝒋
⋮
𝒃 𝒏𝒋)
. 𝑠𝑖 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒄 𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝟏 ∙ 𝒃 𝟏𝒋 + 𝒂𝒊𝟐 ∙ 𝒃 𝟐𝒋 + ⋯+ 𝒂𝒊𝒏 ∙ 𝒃 𝒏𝒋.
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 =
(
𝑎11 … 𝑎1𝑗
⋮
𝑎 𝑖1 … 𝑎 𝑖 𝑗
…
…
𝑎1𝑛
⋮
𝑎 𝑖𝑛
𝑎 𝑚1 … 𝑎 𝑚𝑗 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛)
, 𝑚 𝑥 𝑛 𝑦 𝐵 =
(
𝑏11 … 𝑏1𝑗
⋮
𝑏𝑖1 … 𝑏𝑖𝑗
…
…
𝑏1𝑝
⋮
𝑏𝑖𝑝
𝑏 𝑛1 … 𝑏 𝑛𝑗 ⋯ 𝑏 𝑛𝑝 )
, 𝑛 𝑥 𝑝
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐶 =
(
𝑐11 … 𝑐1𝑗
⋮
𝑐𝑖1 … 𝑐𝑖𝑗
…
…
𝑐1𝑝
⋮
𝑐𝑖𝑝
𝑐 𝑚1 … 𝑐 𝑚𝑗 ⋯ 𝑐 𝑚𝑝)
, 𝑚 𝑥 𝑝
Entoncesel producto 𝑨 ∙ 𝑩 resultaráde multiplicarlafila i de la primeramatriz, porla columnaj de la segunda
matrizpara cada elemento 𝒄𝒊𝒋 de lamatriz 𝑪.
Tamaño de la matriz producto
Si 𝑨 esuna matrizde 𝒎 𝒙 𝒏 y B esuna matrizde 𝒏 𝒙 𝒑, entonces 𝑨 ∙ 𝑩 seráuna matrizde 𝒎 𝒙 𝒑

3. Por ejemplo:
𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝐴 = (
1 3
2 0
) 𝑦 𝐵 = (
5 0 1
3 −2 6
)
𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 3
2 0
) ∙ (
5 0 1
3 −2 6
)
= (
(1 3) (
5
3
) (1 3)(
0
−2
) (1 3) (
1
6
)
(2 0) (
5
3
) (2 0)(
0
−2
) (2 0) (
1
6
)
)
1 𝑒𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵
2 𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐴 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐵
= (
(1 ∙ 5) + (3 ∙ 3) (1 ∙ 0) + (3 ∙ (−2)) (1 ∙ 1) + (3 ∙ 6)
(2 ∙ 5) + (0 ∙ 3) (2 ∙ 0) + (0 ∙ (−2)) (2 ∙ 1) + (0 ∙ 6)
) = (
𝟏𝟒 −𝟔 𝟏𝟗
𝟏𝟎 𝟎 𝟐
)
A diferenciade lamultiplicaciónde númerosreales,lamultiplicaciónde matrices no es conmutativa.
En general,parados matricesA y B, 𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨. Algunasvecesexistentanto 𝑨 ∙ 𝑩 como 𝑩 ∙ 𝑨,pero soloen
raros casos soniguales.
Matriz nula:
Es una matrizen laque todoslos elementossonceros. 0 𝑚𝑥𝑛 = (
0
0
⋮
0
0
0
⋮
0
…
……
…
0
0
⋮
0
)
Matriz diagonal:
Es la matrizen laque todoslos elementos.Fuerade ladiagonal principal,sonceros.
𝐴 = (
𝑎11
0
⋮
0
0
𝑎12
⋮
0
…
……
…
0
0
⋮
𝑎 𝑛𝑛
)
En la teoría de matrices,lasmatricescerojueganunpapel semejante al del ceroenlosnúmeros reales,ylas
matricesidentidadjueganunpapel semejanteal del 1.
Teorema
SeaA unamatriz de m x n y 0mn la matrizcerode m x n.Sea B una matrizcuadrada de n x n, 0n e In las matricescero
e identidadde n x n. Entonces:
𝑨 + 𝟎 𝒎𝒏 = 𝟎 𝒎𝒏 + 𝑨 = 𝑨
𝑩 ∙ 𝟎 𝒏 = 𝟎 𝒏 ∙ 𝑩 = 𝟎 𝒏
𝑩 ∙ 𝑰 𝒏 = 𝑰 𝒏 ∙ 𝑩 = 𝑩

4. Notación matricial y sistemas de ecuaciones
La notaciónmatricial esadecuadaparaexpresar sistemasde ecuaciones.
𝑎11 ∙ 𝑥1 +⋯+ 𝑎1𝑛 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑏1
⋮ + ⋯+ ⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 ∙ 𝑥1 +⋯+ 𝑎 𝑚𝑛 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
𝐴 = (
𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ … ⋮
𝑎 𝑚1 … 𝑎 𝑚𝑛
), 𝑋 = (
𝑥1
⋮
𝑥 𝑛
) 𝑦 𝐵 = (
𝑏1
⋮
𝑏 𝑛
)
Al hacer la multiplicación de matrices, el sistemade ecuacionesse escribe enlaformamatricial:
𝑨𝑿 = 𝑩
Por ejemplo:
Propiedades de las operaciones con matrices:
SeanA, B y C matricesy a, b y c escalares.Supongamosque lasmatricessonde tamañostalesque se puedanrealizar
lasoperaciones(se dicenque lasmatricessonconformes).
 Propiedadesdela adición de matrices y dela multiplicación por un escalar
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 propiedadconmutativade laadición.
2. 𝐴 + ( 𝐵 + 𝐶) = ( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶 propiedadasociativade laadición.
3. 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 (donde 0 esla matrizcero de tamañoadecuado)
4. 𝑐 ∙ ( 𝐴 + 𝐵) = 𝑐 ∙ 𝐴 + 𝑐 ∙ 𝐵 propiedaddistributivade laadición.
5. ( 𝑎 + 𝑏) ∙ 𝐶 = 𝑎 ∙ 𝐶 + 𝑏 ∙ 𝐶 propiedaddistributivade laadición.
6. ( 𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝐶 = 𝑎 ∙ ( 𝑏 ∙ 𝐶) propiedad asociativadel productoporescalares.
 Propiedad dela multiplicación de matrices
1. 𝐴 ∙ ( 𝐵 ∙ 𝐶) = ( 𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 propiedadasociativade lamultiplicación.
2. 𝐴 ∙ ( 𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 propiedaddistributivade lamultiplicación.
3. ( 𝐵 + 𝐶)∙ 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐴 + 𝐶 ∙ 𝐴 propiedaddistributivade lamultiplicación.
4. 𝐴 ∙ 𝐼 𝑛 = 𝐼 𝑛 ∙ 𝐴 = 𝐴 (donde In esla matrizidentidadadecuada).
5. 𝑐 ∙ ( 𝐴 ∙ 𝐵) = ( 𝑐 ∙ 𝐴)∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ ( 𝑐 ∙ 𝐵) propiedadasociativadel productoporescalares.
𝑛𝑜𝑡𝑎: 𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴, 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎.
Potencia de una matriz

5. La notaciónusadapara potenciasde matricesessemejantealausada para potencias de númerosreales.Si 𝑨 esuna
matrizcuadrada, entonces 𝑨 multiplicadaporsi misma 𝒌 vecesse escribe 𝑨 𝒌
.
𝑨 𝒌
= 𝑨 ∙ 𝑨 ∙ 𝑨 … … …. 𝑨⏟
𝒌 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
Teorema
Si A es unamatriz cuadradade 𝑛 𝑥 𝑛 y r ys sonenterosnonegativos,entonces:
1) 𝐴 𝑟 ∙ 𝐴 𝑠 = 𝐴 𝑟+𝑠 2) ( 𝐴 𝑟) 𝑠 = 𝐴 𝑟∙𝑠 3) 𝐴0 = 𝐼 𝑛 por definición.
Matriz traspuesta
La traspuestade unamatriz 𝑨, denotadapor 𝑨 𝒕, esla matrizcuyas columnassonlasfilasde la matriz 𝑨 dada.
La primerafilade 𝑨 se convierte enlaprimeracolumnade 𝑨 𝒕,la segundafilade 𝑨 se convierte enlasegunda
columnade 𝑨 𝒕 y así sucesivamente.El elemento(𝒊, 𝒋) de 𝑨 se convierte enel elemento (𝒋, 𝒊) de 𝑨 𝒕.Si 𝑨 es una
matrizde 𝒎 𝒙 𝒏, 𝑨 𝒕 esuna matrizde 𝒏 𝒙 𝒎.
Por ejemplo:
𝑠𝑖 𝐴 = (
2 7
−8 0
) 𝐵 = (
1 2 −7
4 5 6
) 𝐶 = (−1 3 4)
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 𝑡 = (
2 −8
7 0
) 𝐵 𝑡 = (
1 4
2 5
−7 6
) 𝐶 𝑡 = (
−1
3
4
)
 Propiedadesdela matriztraspuesta
1. ( 𝐴 + 𝐵) 𝑡 = 𝐴 𝑡 + 𝐵 𝑡 traspuestade una suma.
2. ( 𝑐 ∙ 𝐴) 𝑡 = 𝑐 ∙ 𝐴 𝑡 traspuestade un múltiploescalar.
3. ( 𝐴 ∙ 𝐵) 𝑡 = 𝐵 𝑡 ∙ 𝐴 𝑡 traspuestade un producto.
4. ( 𝐴 𝑡)𝑡 = 𝐴 traspuestade unatraspuesta.
Matriz simétrica
Una matriz simétricaesunamatrizque es igual a sutraspuesta.
Las matricessiguienetessonejemplosde matricessimétricas.Observelasimetríade lasmatrices respectoala
diagonal principal.Todosloselementosnodiagonalesse presentanenparessituadossimétricamente respectoala
diagonal principal.
Matriz Inversa
Sea 𝑨 unamatriz de 𝒏 𝒙 𝒏. Si se puede encontrarunamatriz 𝑩 tal que 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑰 𝒏, entoncesse dice que 𝑨
esinvertible,y a 𝑩 se la llamainversade 𝑨. si no existe estamatriz 𝑩,entonces 𝑨 notiene inversa.

6. 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 = (
1 2
3 4
) 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑎 𝐵 = (
−2 1
3
2⁄ − 1
2⁄
)
Teorema
La inversade unamatrizinvertibleesúnica.
Demostración:sean 𝑩 y 𝑪 inversade 𝑨. Entonces 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑰 𝒏 𝒚 𝑨 ∙ 𝑪 = 𝑪 ∙ 𝑨 = 𝑰 𝒏
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼 𝑛
𝐶 ∙ ( 𝐴 ∙ 𝐵) = 𝐶 ∙ 𝐼 𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐶
( 𝐶 ∙ 𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐶
𝐼 𝑛 ∙ 𝐵 = 𝐶 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝐶 𝑦 𝐴 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑠
𝐵 = 𝐶
Notación
𝑠𝑒𝑎 𝑨 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑠𝑢 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑨−𝟏.
𝐷𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑨 ∙ 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 ∙ 𝑨 = 𝑰 𝒏
Teorema
Sea 𝑨 ∙ 𝑿 = 𝑩 un sistema de 𝒏 ecuaciones con 𝒏 variables. Si existe 𝑨−𝟏
, la solución es única y está dada por:
𝑿 = 𝑨−𝟏
∙ 𝑩
Demostración:
Primerodemostraremosque 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵 essolución:
Se tiene 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵, entoncesreemplazamos 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵,quedando:
𝐴 ∙ ( 𝐴−1 ∙ 𝐵) = 𝐵
( 𝐴 ∙ 𝐴−1)∙ 𝐵 = 𝐵
𝐼 𝑛 ∙ 𝐵 = 𝐵
𝐵 = 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵 Satisface laecuación,porlo que essoluciónde lamisma.
Ahoraprobaremosque lasoluciónesúnica,sea 𝑋1solucióndel sistema,entonces 𝐴 ∙ 𝑋1 = 𝐵,multiplicandoambos
ladode la ecuaciónpor 𝐴−1 se obtiene:
𝐴−1 ∙ 𝐴 ∙ 𝑋1 = 𝐴−1 ∙ 𝐵
𝐼 𝑛 ∙ 𝑋1 = 𝐴−1 ∙ 𝐵
𝑋1 = 𝐴−1 ∙ 𝐵

7. De maneraque hay unaúnica soluciónyes 𝑿 𝟏 = 𝑨−𝟏
∙ 𝑩
 Propiedadesdela matrizinversa
Sean 𝐴 𝑦 𝐵 matricesinvertibles,y 𝑐 unescalardistintode cero.Entonces
1. ( 𝐴−1)−1 = 𝐴
2. ( 𝑐 ∙ 𝐴)−1 =
1
𝑐
∙ 𝐴−1
3. ( 𝐴 ∙ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ∙ 𝐴−1
4. ( 𝐴 𝑛)−1 = ( 𝐴−1) 𝑛
5. ( 𝐴 𝑡)−1 = ( 𝐴 𝑡)−1
Faltael cálculode lainversaantesde laspropiedadesestáenlapágina98.
Guía de actividades

10. Matriz traspuestay simétrica:
Matriz inversa:

12. 10
11
12
13
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15
16