Aspectos de algebra utiles en modelos lineales

1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES
IEAC
MODELOS LINEALES
LUIS NAVA PUENTE
MAYO 2018

2. ALGEBRA MATRICIAL
 𝐴 es una matriz simétrica si 𝐴 = 𝐴′.
 𝐴𝐵 ′
= 𝐵′𝐴′
 Dado un conjunto de vectores 𝒚1, 𝒚2, ⋯ , 𝒚 𝑘 , tal que
𝒚𝑖 𝜖ℝ 𝑛
, se dice que dicho conjunto es linealmente
independiente si para 𝜆𝑖 𝜖ℝ ∀𝑖, se verifica que:
𝑖=1
𝑘
𝜆𝑖 𝒚𝑖 = 0 ⟺ 𝜆𝑖 = 0, ∀𝑖
 Sea 𝐴 𝑛𝑥𝑝. Su rango, denotado por 𝑅 𝐴 , se define como el
número de filas (o columnas) linealmente independientes de 𝐴.

3. ALGEBRA MATRICIAL
 Si 𝐴 es cualquier matriz, entonces 𝐴′
𝐴 y 𝐴𝐴′ son simétricas.
 Si 𝐴 y 𝐵 son matrices de orden 𝑛𝑥𝑛, entonces
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝑑𝑒𝑡 𝐵
 Si 𝐴 es una matriz de orden 𝑚𝑥𝑛 y 𝑅 𝐴 = 𝑟, entonces existen matrices
no singulares, digamos, 𝑃 y 𝑄, tal que:
𝑃𝐴𝑄 =
𝐼, 𝑚 = 𝑛 = 𝑟; 𝐼 0 , 𝑚 = 𝑟 < 𝑛;
𝐼
0
, 𝑚 > 𝑟 = 𝑛;
𝐼 0
0 0
, 𝑚 > 𝑟 𝑦𝑛 > 𝑟
𝐼 matriz identidad de orden 𝑟𝑥𝑟

4. ALGEBRA MATRICIAL
 Sea 𝐴 𝑛𝑥𝑛. Si 𝑅 𝐴 = 𝑛, entonces 𝐴 es no singular (existe inversa y
es única. Se denota por 𝐴−1
).
 Sea 𝐴 𝑛𝑥𝑝. Si Si 𝑅 𝐴 = 𝑛, entonces 𝐵 = 𝐴′
𝐴 es no singular.
 Si 𝐴 y 𝐵 son matrices equidimensionales no singulares, entonces
𝐴𝐵 −1
= 𝐵−1
𝐴−1
.
 Una matriz 𝐴 𝑛𝑥𝑛, simétrica es:
1. Semidefinida positiva si 𝒚Á𝒚 ≥ 0, ∀𝒚 ∈ ℝ 𝑛
y 𝒚Á𝒚 = 0 para al menos
un 𝒚 ∈ ℝ 𝑛
. Se verifica que 𝑅 𝐴 < 𝑛 y 𝑎𝑖𝑖 ≥ 0, ∀𝑖.
2. Definida positiva si 𝒚Á𝒚 > 0, ∀𝒚 ∈ ℝ 𝑛
. Se verifica que 𝑅 𝐴 = 𝑛 y
𝑎𝑖𝑖 > 0, ∀𝑖.

5. ALGEBRA MATRICIAL
 Factorización full rango de 𝐴. Sea 𝐴 𝑚𝑥𝑛 y 𝑅 𝐴 = 𝑟 > 0, entonces
existen matrices 𝐴 𝐿 y 𝐴 𝑅 de tamaño 𝑚𝑥𝑟 y 𝑟𝑥𝑛, respectivamente, de
rango 𝑟 tal que 𝐴 = 𝐴 𝐿 𝐴 𝑅.
 Si 𝐴 es una matriz definida positiva o semidefinida positiva, entonces es
definida no negativa.
 Una matriz 𝑃 se dice ortogonal, si 𝑃−1
= 𝑃′
 Una matriz 𝐴 𝑛𝑥𝑛 se denomina idempotente si y sólo si 𝐴. 𝐴 = 𝐴.
 Las matrices 𝐴 y 𝐵 son ortogonales si y sólo si 𝐴. 𝐵 = 0.
 Los vectores 𝒙 y 𝒚 son ortogonales si y sólo si 𝒙. 𝒚 = 0.
 La traza de una matriz 𝐴 𝑛𝑥𝑛, es la suma de los elementos de su
diagonal principal, 𝑇𝑟 𝐴 = 𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖𝑖.

6. ALGEBRA MATRICIAL
 La traza de una matriz 𝐴 𝑛𝑥𝑛, es la suma de los elementos de su
diagonal principal, 𝑇𝑟 𝐴 = 𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖𝑖.
 𝑇𝑟 𝐴𝐵 = 𝑇𝑟 𝐵𝐴
 𝑇𝑟 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 = 𝑎𝑇𝑟 𝐴 + 𝑏𝑇𝑟(𝐵)
 𝑇𝑟 𝐴′ = 𝑇𝑟 𝐴
 𝑇𝑟 𝐴−
𝐴 = 𝑇𝑟 𝐴𝐴−
= 𝑅 𝐴
 Una matriz cuadrada, 𝐴 𝑛𝑥𝑛 , es considerada una matriz
triangular superior/inferior si todos los elementos por
debajo/encima de la diagonal principal son cero.

7. ALGEBRA MATRICIAL
 Una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos por fuera
de la diagonal principal son cero.
 Sea 𝐴 𝑚𝑥𝑛 , una matriz cualquiera. La matriz 𝐴 𝑛𝑥𝑚
−
, se
denomina la inversa generalizada de 𝐴 si satisface:
1. 𝐴𝐴−
es simétrica
2. 𝐴−
𝐴 es simétrica
3. 𝐴𝐴−
𝐴 = 𝐴
4. 𝐴−
𝐴𝐴−
=𝐴−

8. ALGEBRA MATRICIAL
 𝐴′ −
= 𝐴−
′
 𝐴− −
= 𝐴
 𝑅 𝐴−
= 𝑅 𝐴
 Si 𝐴 es simétrica e idempotente, entonces 𝐴−
= 𝐴.
 Si 𝐵 𝑚𝑥𝑟 y 𝐶𝑟𝑥𝑚 son tales que 𝑅 𝐵 = 𝑅 𝐶 = 𝑟 > 0, entonces
𝐵𝐶 −
= 𝐶−
𝐵−
 𝐴𝐴− −
= 𝐴𝐴−
y 𝐴−
𝐴 −
= 𝐴−
𝐴
 𝐴′
𝐴 −
= 𝐴−
𝐴′ −

9. ALGEBRA MATRICIAL
 Forma cuadrática. Sea 𝒙 un vector columna y 𝐴 una matriz de
números reales. La función 𝒙′
𝐴𝒙 se denomina forma
cuadrática.
 Sea 𝑓 𝒙 una función del vector 𝒙, entonces
𝜕𝑓
𝜕𝒙
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
⋮
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑛

10. ALGEBRA MATRICIAL
 Sea q 𝒙 = 𝒙′
𝐴𝒙 una forma cuadrática en las n variables independientes
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛. Entonces
𝜕q 𝒙
𝜕𝒙
= 2𝐴𝒙
donde 𝐴 es una matriz simétrica de orden 𝑛𝑥𝑛.
 Sea 𝑊 = 𝑊𝑖𝑗 una matriz aleatoria, entonces E 𝑊 = 𝐸 𝑊𝑖𝑗
 Sean A, B dos matrices reales apropiadas y V, W dos matrices
aleatorias, también apropiadas, entonces:
1. 𝐸 𝐴 = 𝐴
2. 𝐸 𝐴𝑉 = 𝐴𝐸 𝑉
3. 𝐸 𝑉𝐴 = 𝐸 𝑉 𝐴
4. 𝐸 𝐴𝑉𝐵 = 𝐴𝐸 𝑉 B
5. 𝐸 𝑉 + 𝑊 = 𝐸 𝑉 + 𝐸 𝑊

11. ALGEBRA MATRICIAL
 Sean 𝑌 y 𝑍 dos vectores aleatorios tales que 𝐸 𝑌 = 𝜇 𝑌 y 𝐸 𝑍 = 𝜇 𝑧,
entonces
𝐶𝑜𝑣 𝑌, 𝑍 = 𝐸 𝑌 − 𝜇 𝑦 𝑍 − 𝜇 𝑍 ′ = 𝜮
 Para 𝑌
𝐶𝑜𝑣 𝑌, 𝑌 = 𝑉 𝑌 = 𝐸 𝑌 − 𝜇 𝑦 𝑌 − 𝜇 𝑌 ′ = 𝜮 𝑛𝑥𝑛
𝜮 𝑛𝑥𝑛 =
𝜎11 … 𝜎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝜎 𝑛1 … 𝜎 𝑛𝑛
 Sean A, B dos matrices reales, 𝑌 y 𝑍 dos vectores aleatorios, y 𝒃 un
vector de escalares, entonces:
1. 𝐶𝑜𝑣 𝐴𝑌 + 𝑏 = 𝐴𝜮A’
2. 𝐶𝑜𝑣 𝐴𝑌, 𝐵𝑍 = 𝐴𝑪𝒐𝒗 𝒀, 𝒁 𝐵′
3. 𝐶𝑜𝑣 𝐴𝑦 + 𝐵𝑍 = 𝐴𝑉 𝑌 𝐴′
+ 𝐵𝑉 𝑍 𝐵′
+ 𝐴𝐶𝑜𝑣 𝑌, 𝑍 𝐵′
+ 𝐵𝐶𝑜𝑣 𝑍, 𝑌 𝐴′

12. ASIGNACIONES DE REPASO
Distribuciones:
1. Normal
2. Normal Estándar
3. Chi-Cuadrado
4. t-student
5. t no central
6. F de Snedecor
7. F no central

13. REPASO
Distribución normal multivariante: Sea 𝑌𝑛𝑥1 un
vector aleatorio. Sean 𝜇 𝑛𝑥1 y Σ 𝑛𝑥𝑛 , el vector de
medias y la matriz de covarianzas de 𝑌, donde 𝑅 Σ =
𝑛 . Se dice que 𝑌 sigue una distribución normal
multivariante, 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇, Σ), si su f.d.p. es:
𝑁 𝑌; 𝜇, Σ =
1
(2𝜋) 𝑛 2 Σ 1 2
𝑒−
1
2
𝑦−𝜇 ′Σ−1 𝑦−𝜇
; 𝑦𝜖ℝ 𝑛

14. REPASO
1. Si 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇, Σ), entonces:
 𝑊 = (𝐵𝑌 + 𝑏) ∼ 𝑁(𝐵𝜇 + 𝑏, 𝐵Σ𝐵′
) , donde 𝐵 es una
matriz de constantes y 𝑏 un vector de constantes.
 Cualquier sub-vector de 𝑌 sigue una distribución
normal.
 Si 𝑅 Σ = 𝑛 ⇒ 𝑌′Σ−1
𝑌 ∼ 𝜒 𝑛,𝜆
2
, con 𝜆 =
1
2
𝜇′Σ−1
𝜇
2. Si 𝑌𝑛 ∼ 𝑁(0, 𝐼) ⇒ 𝑌′
𝑌 ∼ 𝜒 𝑛
2
3. Si 𝑌𝑛 ∼ 𝑁(𝜇, 𝐼) ⇒ 𝑌′
𝑌 ∼ 𝜒 𝑛,𝜆
2
, con 𝜆 =
1
2
𝜇′𝜇
4. Si 𝑌𝑛 ∼ 𝑁 0, 𝐼 ⇒ 𝑌′
𝐴𝑌 ∼ 𝜒 𝑘
2
⟺ 𝐴 = 𝐴′
, 𝐴 = 𝐴2
, 𝑅 𝐴 = 𝑘

15. REPASO
5. Si 𝑌𝑛 ∼ 𝑁 𝜇, 𝐼 ⇒ 𝑌′ 𝐴𝑌 ∼ 𝜒 𝑘,𝜆
2
, ⟺ 𝐴 = 𝐴2, 𝑅 𝐴 = 𝑘
con 𝜆 =
1
2
𝜇′ 𝐴𝜇
6. Si 𝑌𝑛 ∼ 𝑁 𝜇, Σ y 𝑅 Σ = 𝑛, entonces 𝑌′ 𝐴𝑌 ∼ 𝜒 𝑘,𝜆
2
con 𝜆 =
1
2
𝜇′ 𝐴𝜇 sí y sólo sí se satisface cualquiera
de las siguientes condiciones:
 𝐴Σ es idempotente de rango k
 ΣA es idempotente de rango k
 Σ es una inversa condicional de A, con 𝑅 𝐴 = 𝑘.
7. Si 𝑌 es un vector aleatoria con 𝐸 𝑌 = 𝜇 y 𝑉 𝑌 =
Σ, entonces 𝐸 𝑌′ 𝐴𝑌 = 𝑇𝑟 𝐴Σ + 𝜇′𝐴𝜇

16. REPASO
8. Si 𝑈 ∼ 𝜒 𝑛
2
:
 𝐸 𝑈 = 𝑛
 𝐸 𝑈2
= 𝑛 𝑛 + 2
 𝐸 𝑈1 2 =
21 2Γ 𝑛+1 2
Γ 𝑛 2
 𝑉 𝑈 = 2𝑛
 𝐸 1
𝑈 =
1
𝑛−2
 𝐸 1
𝑈2 =
1
𝑛−2 𝑛−4
 𝐸 1
𝑈1 2 =
Γ 𝑛−1 2
2Γ 𝑛 2

17. REPASO
9. Sea 𝐴 𝑚𝑥𝑛, se cumple que:
 Si R 𝐴 = 𝑚 ⇒ 𝐴− = 𝐴′ 𝐴𝐴′ −1, 𝐴𝐴− = 𝐼
 Si R 𝐴 = 𝑛 ⇒ 𝐴− = 𝐴′𝐴 −1 𝐴′, 𝐴− 𝐴 = 𝐼
10. Sea 𝑌𝑛 ∼ 𝑁 𝜇, Σ y 𝑅 Σ = 𝑛. Si 𝐵Σ𝐴 = 0, entonces
la forma cuadrática 𝑌′
𝐴𝑌 y la forma lineal 𝐵𝑌 son
independientes.
11. Sea 𝑌𝑛 ∼ 𝑁 𝜇, Σ y 𝑅 Σ = 𝑛. Si 𝐴Σ𝐵 = 0, entonces
las forma cuadráticas Y′
𝐴𝑌 y Y′𝐵𝑌 son
independientes.

18. MODELO
MUNDO REAL FENÓMENOS
𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵Í𝑺𝑻𝑰𝑪𝑶𝑺
𝑨𝑳𝑬𝑨𝑻𝑶𝑹𝑰𝑶𝑺 𝑶 𝑬𝑺𝑻𝑶𝑪Á𝑺𝑻𝑰𝑪𝑶𝑺
Objetivo: describir y predecir fenómenos aleatorios (Describir
relaciones entre eventos, entre variables)

19. MODELO
Modelos
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔
𝟏 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝑮𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍
𝟐 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒆𝒈𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍
𝑪𝒖𝒂𝒍𝒊𝒕𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔
𝟑 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑫𝒊𝒔𝒆ñ𝒐
𝟒 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒂

20. MODELO
Los modelos (2), (3) y (4) son variaciones o casos
particulares del modelo lineal general.
Los modelos (1) y (2) se clasifican como cuantitativos,
mientras que los modelos (3) y (4) se clasifican como
cualitativos

21. MODELO
Los modelos lineales constituyen una de las metodologías
estadísticas más ampliamente utilizadas en la modelación
de fenómenos de la vida real donde está presente el azar,
la aleatoriedad, la variabilidad individual, las variables no
controladas, etc.
“observación” = “modelo” + “error aleatorio”

22. MODELO
Los modelos lineales tratan de explicar el comportamiento
de una variable aleatoria mediante su relación lineal con
los valores de otras que pueden influir en dicho
comportamiento.

23. MODELO
Modelo Lineal General. Sea 𝑌𝑛𝑥1 un vector observable de
variables aleatorias. Sea 𝑋 𝑛𝑥𝑝 (n>p) una matriz de números
conocidos fijos. Sea 𝛽 𝑝𝑥1 un vector de parámetros
desconocidos. Sea 𝜀 𝑛𝑥1 vector aleatorio no observable con
𝐸 𝜀 = 0 y 𝐶𝑜𝑣 𝜀 = Σ. Sea
𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝜺
Estas especificaciones definen un modelo lineal general

24. MODELO LINEAL
Casos: Se definen situaciones dependiendo:
1. Distribución de 𝜺
2. Estructura de 𝚺
3. Rango y estructura de 𝑿