2 lineas largas pi equivalente

LINEA DE TRANSMISION LARGA
SISTEMAS DE POTENCIA ING. LILIO A. VILLARREAL

La caída de voltaje y la variación de corriente a través de
las medias y cortas se suponen estos efectos concentrados
con una buena aproximación.
En LÍNEAS LARGAS (mayores de 240 Km o 150 mi) esta
aproximación conduce a un error significativo.
El método apropiado consiste en suponer la línea
como una combinación de elementos
infinitesimales de impedancia serie y admitancia
en derivación SISTEMAS DE POTENCIA ING. LILIO A. VILLARREAL

Se considera el elemento diferencial de
longitud “dx“ en la línea a una distancia “x”
del extremo receptor de la línea
Extremo
RECEPTOR
Extremo
TRANSMISOR

Entonces la Impedancias serie y las
Admitancia paralelo de la sección elemental de
la línea son “zdx” y “ydx” respectivamente.
V e I son los factores que varían con “x”
“
Sección
elemental
de la línea

Las dos ecuaciones diferenciales encontradas mezclan la
variable dependiente V y la variable dependiente I. Para
solucionar esto derivamos y reemplazamos.
La ecuación diferencial esta planteada en términos de fasores V e
I suponiendo estado estable en el tiempo así que nuestra variable
independiente será solamente la distancia “x”
Variables “V “y “x”
Variables “I “y “x”

Estas son ecuaciones diferenciales
lineales, homogéneas, ordinarias,
de segundo orden.
Si suponemos una respuesta exponencial para el voltaje, tendríamos:

Por Comparación
Posible expresión para el voltaje en función de la distancia

Debemos encontrar una expresión para la corriente
Tenemos ahora expresiones para voltaje y
corriente con funciones exponenciales

Solo nos queda evaluar K1 y K2
Condiciones Iniciales:
Utilizaremos el extremo de carga como origen X = 0
V(x=0) = VR y I(x=0)=IR
VR = k1 + k2
cuando x=0

VR = k1 + k2
Resolviendo estas dos ecuaciones con dos incógnitas:
-

Vamos a definir dos constantes que repetidamente aparecen en las
soluciones
IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE LA LÍNEA (OHMS)
CONSTANTE DE PROPAGACIÓN de I y V (1/m)
Son números complejos que dependen de Z e Y por unidad de longitud

Ubicando las variables definidas en las expresiones de
voltaje y corriente tenemos:
La constante de propagación recibe su
nombre debido a que incide directamente en la variación
tanto de la magnitud como la de fase de V y de I a lo largo
de la línea

Estas ecuaciones nos dan los valores RMS de V y de I, así
como sus ángulos de fase en cualquier punto específico a lo
largo de la línea a una distancia “x” desde el extremo
receptor al punto específico siempre y cuando sean
conocidos :
VR , IR y los parámetros de la línea

SISTEMAS DE POTENCIA ING.
LILIO A. VILLARREAL
INTERPRETACION DE LAS
ECUACIONES
Grupo N°1

Reemplazando : γ = α +j β
SISTEMAS DE POTENCIA ING.
LILIO A. VILLARREAL

(Forma Hiperbólica de las ecuaciones)
Factorizando
y
reemplazando

D
A
C
B

En líneas trifásicas balanceadas las
corrientes en estas ecuaciones son de línea
y los voltajes de línea a neutro
Como γ l es un número complejo, las
funciones hiperbólicas también son
complejas y se pueden evaluar con
una computadora
γ = α +j β

Para resolver el problema sin ayuda de una
computadora se puede hacer de dos maneras:
βl esta en radianes
1
2

Resumen de los parámetros ABCD
en líneas de transmisión

EL CIRCUITO
EQUIVALENTE DE UNA
LINEA LARGA

Circuito pi equivalente
Circuito
Nominal Pi
Línea media
Circuito
Equivalente PI
Línea LARGA

𝑽𝒔 =
𝒁′𝒀′
𝟐
+ 𝟏 𝑽𝑹 + 𝒁′𝑰𝑹 𝑽𝒔 = 𝑽𝑹𝒄𝒐𝒔𝒉𝜸𝒍 + 𝑰𝑹𝒁𝑪𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝑰𝒔 = 𝑰𝑹𝒄𝒐𝒔𝒉𝜸𝒍 +
𝑽𝑹
𝒁𝑪
𝒁𝑪𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝒁′ = 𝒁𝑪 𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝒁′
=
𝒛
𝒚
𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍 = 𝒛𝒍
𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝒛𝒚 𝒍
= 𝐙
𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝜸 𝒍
Factor por el cual se multiplica la impedancia del
circuito pi nominal para convertirlo en pi equivalente

𝑉
𝑠 =
𝑍′𝑌′
2
+ 1 𝑉𝑅 + 𝑍′𝐼𝑅 𝑽𝒔 = 𝑽𝑹𝒄𝒐𝒔𝒉𝜸𝒍 + 𝑰𝑹𝒁𝑪𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝑰𝒔 = 𝑰𝑹𝒄𝒐𝒔𝒉𝜸𝒍 +
𝑽𝑹
𝒁𝑪
𝒁𝑪𝒔𝒆𝒏𝒉𝜸𝒍
𝑍′𝑌′
2
+ 1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝛾𝑙
𝑍′
= 𝑍𝐶 𝑠𝑒𝑛ℎ𝛾𝑙
𝑌′𝑍𝐶𝑠𝑒𝑛ℎ𝛾𝑙
2
+ 1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝛾𝑙
𝑌′
2
=
1
𝑍𝐶
𝑐𝑜𝑠ℎ𝛾𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ𝛾𝑙
=
𝟏
𝒁𝑪
𝒕𝒂𝒏𝒉
𝜸𝒍
𝟐
𝑡𝑎𝑛ℎ
𝛾𝑙
2
=
𝑐𝑜𝑠ℎ𝛾𝑙 − 1
𝑠𝑒𝑛ℎ𝛾𝑙

𝒀′
𝟐
=
𝟏
𝒁𝑪
𝒕𝒂𝒏𝒉
𝜸𝒍
𝟐
𝒀′
𝟐
=
𝟏
𝒍 𝒛𝒚
𝒍 𝒚𝒚
𝒕𝒂𝒏𝒉
𝜸𝒍
𝟐
=
𝒍𝒚
𝒍 𝒛𝒚
𝒕𝒂𝒏𝒉
𝜸𝒍
𝟐
𝒁𝑪 =
𝒛
𝒚
𝒚 𝜸 = 𝒛𝒚
𝒀′
𝟐
=
𝒀
𝟐
𝒕𝒂𝒏𝒉
𝜸𝒍
𝟐
𝜸𝒍/𝟐
Factor por el cual se
multiplica la admitancia
del circuito pi nominal
para convertirlo en pi
equivalente

1.- Calcule los parámetros ABCD exactos de la línea

𝜸𝓵 = 𝒛𝒚 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟏∠𝟖𝟕. 𝟏𝟒 ∗ 𝟒. 𝟔𝟕𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟔∠𝟗𝟎 ∗ 𝟑𝟎𝟎
𝜸𝓵 = 𝒛𝒚 = 𝟏. 𝟓𝟒𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟔∠𝟏𝟕𝟕. 𝟏𝟒 ∗ 𝟑𝟎𝟎
𝜸𝓵 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟑𝟏∠𝟖𝟖. 𝟓𝟕 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏 + 𝒋𝟎. 𝟑𝟕𝟑
Impedancia
Característica
Constante de
Propagación

𝜸𝓵 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟑𝟏∠𝟖𝟖. 𝟓𝟕 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏 + 𝒋𝟎. 𝟑𝟕𝟑
𝒆𝜸ℓ = 𝒆𝜶ℓ∠𝜷ℓ
𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏+𝒋𝟎.𝟑𝟕𝟑 = 𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏∠0.3730
𝒆𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏+𝒋𝟎.𝟑𝟕𝟑
= 1.009353∠0.3730
= 0.9400+j0.3638
𝒆−𝜸ℓ = 𝒆−𝜶ℓ∠ − 𝜷ℓ
𝒆−𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏−𝒋𝟎.𝟑𝟕𝟑 = 𝒆−𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏∠-0.3730
=𝒆−𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟑𝟏−𝒋𝟎.𝟑𝟕𝟑
= 𝟎. 𝟗𝟗𝟎𝟕𝟑𝟑∠ − 0.3730
= 0.9226 - j0.3610
¡Angulo en
radianes!!

𝒆𝜸ℓ = 0.9400+j0.3638 = 1.009353∠0.3730
𝒆−𝜸ℓ = 0.9226 + j0.3610 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟎𝟕𝟑𝟑∠−0.3730
𝐜𝐨𝐬 𝜸ℓ =
𝒆𝜸ℓ+𝒆−𝜸ℓ
𝟐
=
𝟏
𝟐
(𝒆𝜶ℓ∠𝜷ℓ + 𝒆−𝜶ℓ)=
𝟏
𝟐
(𝟏. 𝟎𝟎𝟗𝟒∠𝟎. 𝟑𝟕𝟑 + 𝟎. 𝟗𝟗𝟎𝟕∠ − 𝟎. 𝟑𝟕𝟑)
¡Angulo en
radianes!! ¡Angulo en
radianes!!
cos 𝛾ℓ = 0.9313∠ 3.6586 𝑟𝑎𝑑
ó 0.9313∠ 0.209°

𝒆𝜸ℓ = 0.9400+j0.3638 = 1.009353∠0.3730
𝒆−𝜸ℓ = 0.9226 + j0.3610 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟎𝟕𝟑𝟑∠−0.3730
𝒔𝒆𝒏 𝜸ℓ =
𝒆𝜸ℓ−𝒆−𝜸ℓ
𝟐
=
𝟏
𝟐
(𝒆𝜶ℓ
∠𝜷ℓ − 𝒆−𝜶ℓ
)=
𝟏
𝟐
(𝟏. 𝟎𝟎𝟗𝟒∠𝟎. 𝟑𝟕𝟑 − 𝟎. 𝟗𝟗𝟎𝟕∠ − 𝟎. 𝟑𝟕𝟑)
¡Angulo en
radianes!! ¡Angulo en
radianes!!
cos 𝛾ℓ = 0.3645∠ 1.5469 𝑟𝑎𝑑
ó 0.9313∠ 88.63°

𝐀 = 𝑫 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝜸ℓ = 𝟎. 𝟗𝟑𝟏𝟑∠𝟎. 𝟐𝟎𝟗° p.u
B= 𝒁𝑪𝐬𝐞𝐧𝐡 𝜸ℓ = 𝟐𝟔𝟔. 𝟏∠ − 𝟏. 𝟒𝟑° ∗ 𝟎. 𝟑𝟔𝟒𝟓∠𝟖𝟖. 𝟔𝟑° = 𝟗𝟕∠𝟖𝟕. 𝟐 𝜴
𝐂 =
1
𝑍𝐶
senh 𝛾ℓ =
1
266.1∠ − 1.43°
0.3645∠88.63 = 1.37𝑥10−3∠90.06° 𝑆

2.- Compare el parámetro B exacto con el del
circuito nominal pi
ES 2.3 % MAYOR QUE EL EXACTO
Para metro B para el circuito nominal PI:
El parámetro B correspondiente a una línea media:
B = Z = zl = (0.3310∟87.14)*300 = 99.3∟87.14 Ω
Para metro B para el circuito equivalente PI:
El parámetro B correspondiente a una línea larga:
B= 𝒁𝑪𝐬𝐞𝐧𝐡 𝜸ℓ = 𝟐𝟔𝟔. 𝟏∠ − 𝟏. 𝟒𝟑° ∗ 𝟎. 𝟑𝟔𝟒𝟓∠𝟖𝟖. 𝟔𝟑° = 𝟗𝟕∠𝟖𝟕. 𝟐 𝜴

3.- Compare LOS CIRCUITOS PI EQUIVALENTE Y PI NOMINAL
PI NOMINAL (LINEA MEDIA)
𝐘
𝟐
=
𝐲ℓ
𝟐
= (
𝐣𝟒. 𝟔𝟕𝟒𝐱𝟏𝟎−𝟔
𝟐
) ∗ 𝟑𝟎𝟎 = 𝟕. 𝟏𝟏𝐱𝟏𝟎−𝟒∠𝟗𝟎° 𝐒
Z = zl = (0.3310∟87.14)*300 = 99.3∟87.14 Ω

Circuito PI
EQUIVALENTE
3.- Compare LOS CIRCUITOS PI EQUIVALENTE Y PI NOMINAL
PI NOMINAL (LINEA LARGA)
Z’= 𝒁𝑪𝐬𝐞𝐧𝐡 𝜸ℓ = 𝟐𝟔𝟔. 𝟏∠ − 𝟏. 𝟒𝟑° ∗ 𝟎. 𝟑𝟔𝟒𝟓∠𝟖𝟖. 𝟔𝟑° = 𝟗𝟕∠𝟖𝟕. 𝟐 𝜴
𝐘′
𝟐
=
𝒀
𝟐
∗
𝐜𝐨𝐬𝐡 𝜸𝓵 − 𝟏
𝜸𝓵
𝟐
∗ 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝜸𝓵)
𝐒
𝐘´
𝟐
= 𝟕. 𝟏𝟏𝐱𝟏𝟎−𝟒
∠𝟗𝟎° ∗ 𝟏. 𝟎𝟏𝟐∠ − 𝟎. 𝟎𝟑° = 𝟕. 𝟎𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟒
∠𝟖𝟗. 𝟗𝟕° 𝐒
𝟕. 𝟎𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟒∠𝟖𝟗. 𝟗𝟕° 𝐒
𝟗𝟕∠𝟖𝟕.𝟐 𝜴

POTENCIA MAXIMA TEORICA ENTREGADA : LINEA LARGA
Determina la potencia máxima teórica en MW y por unidad de la carga SIL que esta línea
puede entregar. Asuma Vs = VR = 765 kV
𝑷𝑹𝒎𝒂𝒙 =
𝟕𝟔𝟓𝟐
𝟗𝟕
−
𝟎. 𝟗𝟑𝟏𝟑 𝟕𝟔𝟓 𝟐
𝟗𝟕
𝐜𝐨𝐬(𝟖𝟕. 𝟐 − 𝟎. 𝟐𝟎𝟗)
𝑷𝑹𝒎𝒂𝒙 = 𝟔𝟎𝟑𝟑 − 𝟐𝟗𝟓 = 𝟓𝟕𝟑𝟖 𝑴𝑾
𝑺𝑰𝑳 =
𝑽𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍
𝟐
𝒁𝑪
=
𝟕𝟔𝟓𝟐
𝟐𝟔𝟔. 𝟏
= 𝟐𝟏𝟗𝟗 𝑴𝑾 )

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