Este documento presenta varios conceptos y ejemplos relacionados con el conteo y la probabilidad. Introduce principios como la suma, la multiplicación y las permutaciones para resolver problemas que involucran contar las posibles formas de organizar u ordenar objetos. También explica conceptos como las combinaciones y la probabilidad condicional para determinar el número de subconjuntos posibles o la probabilidad de que ocurran ciertos eventos.

1. 2.2 Principio de la suma

2. 2.2 Principio de la suma
EJEMPLO 1. María tiene 4 centros escolares para realizar sus horas sociales, en el primer centro escolar tiene 2 opciones,
en el segundo tiene 3 opciones, en el tercero tiene 4 opciones y en el cuarto solamente una opción para realizar las horas
sociales. Determina cuántas opciones tiene en total María para realizar sus horas sociales.
2 + 3 + 4 + 1 = 10.
2.2 Aplica el principio de la suma para resolver problemas sobre conteo.

3. EJEMPLO 2. Determina cuántas maneras hay para que al lanzar 2 dados al mismo tiempo, la suma de los puntos sea
7 o 4.
al lanzar 2 dados caiga 7 o 4 es: 6 + 3 = 9.

4. 2.3 Principio de la multiplicación

5. EJEMPLO: Determina de cuántas maneras se pueden repartir una pera y un mango entre 3 personas
diferentes. Considera que no se pueden dar ambas frutas a una sola persona.
3 × 2 = 6.
2.3 Aplica el principio de la multiplicación para resolver problemas sobre conteo.

6. 2.3 Principio de la multiplicación
EJEMPLO . María tiene 4 calzonetas y 3 camisetas para baloncesto, y tiene 5 calzonetas y 4 camisetas
para fútbol. ¿De cuántas maneras puede vestirse María para jugar baloncesto o fútbol?
(4 × 3)= 12
2.3 Aplica el principio de la multiplicación para resolver problemas sobre conteo.
+ = 12 + 20 = 32.
(5 × 4) = 20

7. 2.4 Factorial de un número

8. 2.4 Factorial de un número
2.4 Calcula el resultado de expresiones con factoriales.
𝒏!
5! = 𝟓𝒙𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏 = 𝟏𝟐𝟎
4! =4x3x2x1= 24
4! + 𝟑! = 24 + 6 = 30
4x3x2x1= 24
3x2x1= 6
𝟕!
(𝟕 − 𝟐 )!
𝟕!
(𝟓)!
=
𝟕𝒙𝟔𝒙𝟓!
(𝟓)!
= 42

9. 2.5 Permutaciones

10. 2.5 Permutaciones
nCr =
𝒏!
𝒓! (𝒏 −𝒓 )!
Combinación
nPr =
𝒏!
(𝒏 −𝒓 )!
ORDEN
NO IMPORTA EL ORDEN

11. EJEMPLO. Calcula la cantidad de maneras en que se puede elegir un presidente, un vicepresidente y un
tesorero de un grupo de 6 personas..
EJEMPLO Determina la cantidad de maneras que hay para sentar 5 personas en 3 asientos
EJEMPLO: ¿De cuántas maneras se pueden arreglar 5 personas en una fila, si una persona específica de ellas debe
estar al inicio?
2.5 Permutaciones
2.5 Utiliza las permutaciones para resolver problemas sobre conteo.
PRESIDENTE
Una secuencia ordenada de objetos donde el orden importa se conoce como permutación.
nPr =
𝒏!
(𝒏 −𝒓 )!
VICEPRESIDENTE = 120
TESORERO
6 5 4
LUGAR 1 LUGAR 2 LUGAR 3 LUGAR 4 LUGAR 5
1 3
4 2 1
×
× × ×
ASIENTO1
5 3
4 ×
×
ASIENTO2 ASIENTO3
= 24
= 60
× × 6P3 =
𝟔!
(𝟔−𝟑 )!
5P3 =
𝟓!
(𝟓−𝟑 )!

12. 2.6 Permutaciones y métodos de conteo

13. 2.6 Permutaciones y métodos de conteo
Se tiene 9 libros de historia y 6 de matemática (todos distintos),
¿cuántas formas hay para ordenar 5 libros en un estante si se debe cumplir
que estos 5 libros son de una misma materia?
¿De cuántas maneras se pueden ordenar en una fila 4 hombres y 4 mujeres,
si estos deben ir intercalados?
2.6 Integra las permutaciones con los principios de la suma y la multiplicación para resolver problemas sobre conteo.
+ 6P5 =.
(4! × 4!) + (4! × 4!) =
15 120 + 720 = 15 840
H M H M H
4 3
4 3 2
×
× × ×
M ×
= 576
H
M
H
1
2
M
1
× × ×
= 576
= 1152
9P5
2(4! × 4!) = 2(24 × 24) = 1 152

14. 2.7 Permutaciones con repetición

15. 2.7 Permutaciones con repetición
2. El código binario es una forma de representación numérica alternativa al sistema decimal,
y es muy utilizado en el ambiente computacional porque solo utiliza dos dígitos o caracteres,
el 0 y el 1 que se conocen como bits y resultan fáciles de almacenar en una computadora.
Determina cuántos números de 7 cifras se pueden representar en código binario.
2.7 Resuelve problemas sobre conteo aplicando permutaciones con repetición
CIFRA 1 CIFRA 2 CIFRA 3 CIFRA 4 CIFRA5
2 2
2 2 2
×
× × × = 27
CIFRA 7
CIFRA 6
2
2
× × ×

16. 2.8 Permutaciones circulares

17. 2.8 Permutaciones circulares
2. En una mesa redonda hay 5 sillas y 7 personas (2 quedan paradas), determina de cuántas maneras se
pueden sentar.
2.8 Usa las permutaciones circulares para resolver problemas sobre conteo.
5
7
6
4
3
=
𝒏𝑷𝒓
𝒓
=
𝟕𝑷𝟓
𝟓
=
𝟕×𝟔×𝟓×𝟒×𝟑
𝟓
= 502

18. 2.9 Permutaciones circulares

19. Para contar las maneras en que se pueden ordenar objetos de forma circular puedes considerar 2 estrategias:
1) Ordenar los objetos en fila y determinar cuántas rotaciones se estarían contando de más.
2) 2) Colocar un elemento que sirva de referencia y arreglar los demás en torno a él.
2.9 Permutaciones circulares
1. Para discutir sobre “La mejora de los aprendizajes de matemática en El Salvador” se reúnen 12 personas en una
mesa redonda, 3 japoneses, el Ministro de Educación de El Salvador y el Director Nacional de Educación Media,
el resto son especialistas en Educación matemática. Determina de cuántas maneras se pueden sentar si:
a) No importa el orden.
(12-1)! = 11! = 39 916 800.

20. 2.9 Permutaciones circulares
1. Para discutir sobre “La mejora de los aprendizajes de matemática en El Salvador” se reúnen 12 personas en una
mesa redonda, 3 japoneses, el Ministro de Educación de El Salvador y el Director Nacional de Educación Media,
el resto son especialistas en Educación matemática. Determina de cuántas maneras se pueden sentar si:
=
b) Los 3 japoneses siempre están juntos, y el Director Nacional siempre está a la izquierda del Ministro.
3! 9!
=
𝟗! ×𝟑!
𝟗
=
𝟗×𝟖! ×𝟑!
𝟗
40 320 × 6
= 241 920.

21. 2.10 Permutaciones con objetos idénticos*

22. 2.10 Permutaciones con objetos idénticos*
Para formar una comisión de jóvenes que participará en un evento organizado por el Centro de Capa-citación
y Promoción de la Democracia (CECADE) se deben elegir 1 jefe representante, 2 suplentes y 4 delegados
acompañantes. Determina de cuántas maneras se puede escoger la comisión de un grupo de 10 jóvenes
2. Un barco manda señales utilizando banderas de
colores. Si el barco tiene 3 banderas amarillas, 2 blancas
y se colocan todas las banderas en fila para realizar una
señal, ¿cuántas señales diferentes se pueden hacer?

23. 3.1 Combinaciones

25. 3.1 Combinaciones
2. Se tienen 5 puntos en el plano
cartesiano de modo que no hay 3 de
ellos alineados. Determina cuántos
segmentos de recta que unan 2 de
dichos puntos se pueden trazar.
3. Se tiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
¿Cuántos de sus subconjuntos tienen solo
un número?
5C2 = 5!
2! (5-2)!
5C1 = 5 5C3 = 10, 5C4 = 5 y 5C5 = 1
3.1 Utiliza las combinaciones para resolver problemas sobre
conteo.

26. 3.1 Combinaciones
3. Se tiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
¿Cuántos dos números?
¿Cuántos tres números?
¿Cuántos cuatro números?
5C2 = 10
5C5 = 1
3.1 Utiliza las combinaciones para resolver problemas sobre
conteo.
5C3 = 10,
5C4 = 5
¿Cinco
números?

27. 3.2 Combinaciones y principios de conteo

28. 2. De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se desea
formar una comisión de tres personas, determina cuán-
tas comisiones distintas se pueden formar si:
a) No hay restricciones.
3.2 Combinaciones y principios de conteo
3.2 Integra las combinaciones con los principios de la suma y la
multiplicación para resolver problemas sobre conteo.
10C3 = 120 maneras.

29. 2. De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se desea
formar una comisión de tres personas, determina cuán-
tas comisiones distintas se pueden formar si:
3.2 Combinaciones y principios de conteo
3.2 Integra las combinaciones con los principios de la suma y la
multiplicación para resolver problemas sobre conteo.
b) Debe haber solo hombres o solo
mujeres.
6C3 + 4C3 = 20 + 4 = 24.

30. 2. De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se desea
formar una comisión de tres personas, determina cuán-
tas comisiones distintas se pueden formar si:
3.2 Combinaciones y principios de conteo
3.2 Integra las combinaciones con los principios de la suma y la
multiplicación para resolver problemas sobre conteo.
c) Debe haber dos hombres y una mujer
. d) Debe haber al menos una mu
6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60.
Otra forma: 10C3 – 6C3 = 120 – 20 = 100.
4C1 × 6C2= 60
4C2 × 6C1= 36
4C3 × 6C0= 4

31. COMBINACIONES.
1. Un niño desea regalarle a un amiguito
4 chibolas de entre las 12 distintas que
tiene. ¿De cuántas formas puede
hacerlo? R/ 495
2) Se quiere elegir una comisión de 4
personas. Si hay 9 candidatos, ¿De
cuántas maneras distintas se puede
elegir dicha comisión? R/126
3) Si hay 10 personas elegibles, ¿De cuántas
maneras se puede formar un comité de 5
personas? R/ 252
4) ¿Cuántos grupos de 2 alumnos se pueden
formar en un grado de 40 alumnos? R/ 780
5) De entre 8 recién graduados se van a
escoger 3 para emplearlos en un despacho,
¿De cuántas maneras puede hacerse la
escogitación? R/ 56

32. 18C11=
18!
11! 18−11 !

33. 22C8 x
consonates
5C2
Vocales

34. 12C2
27C3=
27!
3!(27−3)!

35. 4C2
niños
6 C3 x
niñas

36. 15C2= 105

37. 12C2 = 66 – 12 = 54

38. 4C2 = 6- nº de lados
4C2 = 6- 4 = 2 diagonales

39. A B C
15C5 10C5 5C5

40. 10C4 8C5 9C3

42. A B T
50C20 30C20 10C10

43. 8C3 5C5
8C4 4C4
8C5 3C3

45. 18C2 =

46. 3.3 Conteo de caminos
3.6 Triángulo de Pascal
3.7 Binomio de Newton*
3.8 Técnica de los separadores*

47. 1.2 Probabilidad
1.3 Intersección y regla de adición para probabilidad
1.5 Axiomas de probabilidad (teórica)
1.6 Probabilidad del complemento

48. 2.1 Probabilidad condicional
2.2 Variantes de la probabilidad condicional
2.3 Aplicación de la probabilidad condicional
2.4 Problemas con probabilidad condicional

55. 1. Determina cuántas formas hay para ordenar 4 hombres y 3 mujeres, si los 4
hombres deben estar juntos siempre.
1) 4!×3! X 4 = 576
3. ¿Cuántas cadenas de 6 letras diferentes se pueden formar si las primeras 2
deben ser vocales y las últimas 4 consonantes utilizando las letras de la “a” a
la “j”?

56. 5. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 estudiantes en 6 sillas colocadas en
una fila, si dos específicos de ellos siempre se sientan juntos (sin dejar sillas
vacías de por medio)?

57. 2.7 Permutaciones con repetición
Determina cuántas formas hay para colocar 3 letras en una fila utilizando a, b, c y d; considera que las
letras se pueden repetir
4 4 4

58. 3. Determina cuántos subconjuntos de A = {a, b, c, d, e, f} se pueden formar.
2 2 2 2 2 2

59. 2.8 Permutaciones circulares
1. ¿De cuántas maneras se pueden subir 7 niños a un carrusel con 7 caballitos todos idénticos?

60. 5. Determina de cuántas formas pueden sentarse 4 parejas de novios si la pareja de cada persona
debe estar justo en la posición de enfrente de la que se ubique
=
=
𝟒! ×𝟐! 𝒙 𝟐! 𝒙 𝟐! 𝒙 𝟐!
𝟖

61. 2.9 Configuraciones circulares*
2. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en 9 sillas de una mesa redonda?
=
𝟗𝑷𝟔
𝟗

62. 1. Determina la probabilidad que al formar un grupo de 5 personas
entre 4 mujeres y 4 hombres si:
Casos posibles. 8C5 = 56
a) está integrado por 2 hombres y 3 mujeres;
a) b) está integrado por al menos un hombre o por al menos una
mujer; c) está integrado por 3 o por 4 mujeres.

63. 1. Determina la probabilidad que al formar un grupo de 5 personas
entre 4 mujeres y 4 hombres si:
Casos posibles. 8C5 = 56
b) está integrado por al menos un hombre o por al menos una
mujer;
c) está integrado por 3 o por 4 mujeres.

64. Determina la probabilidad de que al tirar una
moneda 10 veces se obtenga al menos una cara.

65. 3. En un juego de dados se lanzan 6 dados, y un jugador gana si en
la tirada se obtiene al menos un “1” en alguno de los dados.
Determina la probabilidad de ganar en este juego de dados.

66. Considerando el evento A en el espacio muestral (S), analiza el diagrama
de Venn y determina:
a) P(Ac ) =
b) 1 – P(A ) = 1-
𝟔
𝟕
=
𝟏
𝟕
C) P(A⋂A c) = NO existe
c ) d) P(A⋃Ac ) =
𝟕
𝟕
= 𝟏

67. 2.1 Probabilidad condicional
1. Considerando la tabla del Problema inicial, determina:
a) La probabilidad de escoger un hombre dado que se ocupa de los oficios del
hogar.
b) La probabilidad de escoger un matemático dado que es hombre.
c) La probabilidad de escoger una mujer dado que es matemático.

68. 2. Determina la probabilidad de que al lanzar un dado el resultado
es impar dado que es mayor que 3.
En una empresa de carros hay 3 máquinas que ensamblan la misma
cantidad de carros, y al escoger un carro al azar, la probabilidad de que sea
defectuoso y que sea de la máquina 1 es 1 / 120. Determina la probabilidad
de que un carro producido por la máquina 1 sea defectuos0

69. 2.2 Variantes de la probabilidad condicional