Este documento introduce los números imaginarios como una solución para ecuaciones cuadráticas que no tienen solución en los números reales, como x^2 = -1. Explica que la unidad imaginaria i es la raíz cuadrada de -1 y que al multiplicar i por números reales se pueden crear otros números imaginarios puros como soluciones a ecuaciones. Muestra cómo simplificar números imaginarios puros y da ejemplos de potencias de i.

1. Introducción a los
números imaginarios
M.C. Fco. Eliezer Sánchez Galván

2. Introducción
En tu estudio de las matemáticas, puedes haber observado
que algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución en
los números reales.
Por ejemplo, por más que lo intentes, nunca encontrarás
un número real que sea solución de la ecuación x^2 = -1x.
Esto se debe a que es imposible elevar un número real al
cuadrado y ¡obtener un número negativo!.
Sin embargo, sí existe una solución de la ecuanción x^2=-
1x en un nuevo sistema de números, que se llama
el sistema de números complejos.

3. La unidad imaginaria
La columna vertebral de este nuevo sistema de números es la unidad
imaginaria, o sea el número i.
Las siguientes propiedades son verdaderas para el número i:
La segunda propiedad demuestra que el número i sí es una solución
de la ecuación x^2 = -1x.
La ecuación que previamente era insoluble, ¡ahora tiene una solución,
al agregar la unidad imaginaria!.

4. Números imaginarios puros
El número i ¡de ninguna manera está sólo! Al utilizar múltiplos de esta
unidad imaginaria, podemos crear una infinidad de otros números
imaginarios puros.
A saber, 3i, i√5, y -12i, son ejemplos de números imaginarios puros; o
sea, números de la forma bi, donde b es un número real diferente de
cero.
Elevar estos números al cuadrado ilustra cómo se relacionan con los
números reales.
Investiguemos esto al elevar el número 3i, al cuadrado. Las
propiedades de exponentes enteros son las mismas, así que podemos
elevar 3i, al cuadrado tal como podemos imaginarlo.

5. Por el hecho de que i^2= -1, podemos simplificar esto aún
más como sigue.
El hecho que (3i)^2= -9, significa que 3i, es una raíz
cuadrada de -9.
3i = √-9

6. Ejercicio
¿Qué es (4i)^2?
¿Cuál de los siguientes es raíz cuadrada de -16?
a) -4
b) 4i
De esta manera vemos que los números imaginarios puros
¡son raícces cuadradas de números negativos!

7. Simplificar raices de
números negativos
La siguiente tabla muestra ejemplos de números
imaginarios puros, en sus formas no simplificadas y
simplificadas.

8. ¿Pero cómo simplificamos estos números imaginarios
puros?
Veamos más de cerca el primer ejemplo, a ver si podemos
razonar la simplificación.
La siguiente propiedad explica el "razonamiento" anterior
en términos matemáticos.

11. Mas Ejemplos
-25
-10
-24
5 -54
Simplificar:

12. Tarea
-216, -180, -192,4 -27, -50,
3 -27, -125,3 -96,4 -40, -98
Simplificar:

13. Potencias de la unidad imaginaria

22. La respuesta es simple. La unidad imaginaria i nos
permite encontrar soluciones de muchas ecuaciones
que no tienen solución en los números reales.
Esto puede parecer extraño, pero de hecho es muy
común que haya ecuaciones insolubles en un sistema de
números que sean solubles en otro sistema más general
de números.
¿Para qué tenemos números
imaginarios?

23. Ejemplos
Con los números naturales únicamente, no podemos
resolver x+8=1, ¡necesitamos a los números enteros para ello!
Con los números enteros únicamente, no podemos
resolver 3x-1=0, ¡necesitamos los números racionales para ello!
Con los números racionales únicamente, no podemos
resolver x^2=2. ¡He ahí a los números irracionales y el sistema
de números reales!.
Así que, con los números reales únicamente, no podemos
resolver x^2= -1. ¡Necesitamos a los números imaginarios para
ello!
A medida que continúes con tu estudio de las matemáticas,
verás la importancia de estos números.