Los números complejos son números de la forma a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Todos los números reales pueden escribirse como números complejos de la forma a + 0i. Por lo tanto, todos los números reales son números complejos, pero no todos los números complejos son reales. El documento explica cómo sumar, multiplicar y calcular potencias de números complejos, así como determinar sus opuestos y conjugados. También incluye ejemplos y actividades de evaluación.

1. NÚMEROS COMPLEJOS

2. INTRODUCCIÓN Cuando hablamos con amigos de la matemática, de inmediato, suele surgir que es muy difícil, sin embargo, ella es una herramienta sin la cual las ciencias aplicadas dejarían de ser ciencias. Podemos ubicarnos en el plano del hombre común, del ciudadanos que todos los días cumple con su trabajo, se levanta, asume sus responsabilidades, cuida de sus seres queridos y finalmente reclama un pedazo del día para él; pues entonces a ese nos dirigimos, porque nos atrevemos a dividir la matemática en dos grandes grupos: por un lado, la matemática de los expertos, de aquellos que hacen uso profesional de la misma y por otro, la matemática útil en sí misma, ese juego de conocimiento que facilita el desarrollo intelectual y permite ampliar nuestro espectro lógico pensante. La aparición de nuevos problemas que no tienen solución en conjuntos numéricos conocidos, ha obligado a los matemáticos a ampliar dichos conjuntos, agregándoles, a los conocidos, nuevos números tales que el conjunto así ampliado sirva como base de solución para estos nuevos problemas.

3. COMPETENCIA Identificar correctamente los números reales y los números complejos y explicar, ¿Por qué? Todo real es un complejo, pero no todo complejo es un real. INDICADORES Reconocer las definiciones básicas de matemática. Resolver diferentes problemas con relación al tema a estudiar. Establecer relaciones entre los números existentes. CONTENIDO Conceptual: Definición de números complejos. Igualdad de números complejos. Suma y producto de números complejos. Potencias de ¡ . Opuesto y conjugado de un complejo. Procedimental: Operar con números complejos. Aplicar la resolución de ejercicios y problemas.

4. DESARROLLO DEL CONTENIDO Definición: Números Complejos:Son números de la forma, a+b¡ donde a, b Є IR. Donde a se le llama parte real y b parte imaginaria del complejo. Todo número real puede ser escrito como un numero complejo de la forma a+0¡=a. por lo tanto, todo número real es un numero complejo. C= { a + b¡ ⁄ a,b Є IR e ¡= } Igualdad de números complejos: Dos números complejos(a, b) y ( a’, b’) son iguales y se denotan: Ejemplo: Los números complejos ( , 3) y (0.5, ), son iguales? Solución: ( , 3) = (0.5, ) ya que tenemos que = 0.5 y 3 =

5. Suma y producto de números complejos: Si ( a, b) y (c, d) son números complejos, entonces: La suma de los mismos se definen: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) El producto de los mismos se definen: (a, b) · (c, d) = (ac – bd , ad + bc) Ejemplo: calcular la adición o suma de los siguientes números complejos (3 +5¡) + (7¡). Solución: ( 3 + 5¡) + (7¡) = ( 3 + 5¡) + ( 0 + 7¡) = ( 3 + 0) + ( 5¡ + 7¡) = 3 + 12¡ Potencia de i o unidad imaginaria: Observemos con detenimiento las siguientes potencias, de ¡0 hasta ¡8: ¡0 = 0 ¡1 = ¡ ¡2 = -1

6. ¡3 = ¡2 . ¡= (-1). ¡=-1 ¡4 = ¡2 . ¡2 = (-1). (-1)= 1 ¡5 = ¡4 . ¡= 1. ¡ = ¡ ¡6 = ¡4 . ¡2= 1 . (-1) =-1 ¡7 = ¡6 . ¡= (-1) . ¡ =-¡ ¡8 = ¡6 . ¡2= (-1) . (-1) = 1 Se observa, que los valores de la potencia de ¡, se repiten periódicamente al aumentar el exponente en 4. Las cuatros primeras potencias de ¡ son diferentes. Cada cuatro potencias sucesivas se repiten los valores 1, ¡, -1, -¡. En general, para obtener una potencia de ¡, se divide el exponente de ¡ entre 4 y usamos como nuevo exponente el resto de la división. Calculo de ¡n aplicando la reglas. n 4 r c ¡n = ¡r

7. Ejemplo: calcular las siguientes potencias de ¡. ¡11 = ¡4 . 2 + 3 pues 11= 4.2+3 = ¡4 . 2 . ¡3 propiedad de an. am = a n+m = (¡4)2 . ¡3 propiedad (an)m = an . m = (1)2 . (-¡) = -¡ Opuesto y conjugado de un complejo Se llama opuesto de un número complejo: Ejemplo: Dado el número complejo tenemos que el opuesto es Se llama conjugado de un numero complejo: Ejemplo: Dado el número complejo tenemos que el conjugado es

8. Actividades de evaluación: Evaluación formativa: Técnica de la pregunta: Analizar el cuadro y completarlo, con las definiciones ya dadas:

9. Razonamiento: Marcar con una x el numero al cual pertenece cada numero.

11. Serie Matemática Progresiva: Algebra y Geometría.