Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística aplicados al análisis químico. Introduce conceptos como población, muestra, variable y distribución de probabilidad. Explica la importancia de la distribución normal y cómo transformaciones matemáticas pueden lograr la normalización de datos. También describe el Teorema Central del Límite y cómo muestras representativas mayores o iguales a 30 individuos permiten extrapolar conclusiones a la población total.
2011 tortosa g. manual práctico de quimiometríaGermán Tortosa
Este documento presenta un manual práctico de quimiometría en español. El manual introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística descriptiva e inferencial, con énfasis en su aplicación al análisis químico. Incluye ejemplos y recursos en línea para facilitar el aprendizaje de estas herramientas estadísticas fundamentales en química analítica.
Este documento presenta un manual práctico de quimiometría. Define la quimiometría como la aplicación de la estadística a problemas químicos y analíticos. Explica conceptos básicos como probabilidad, distribuciones de probabilidad, muestras representativas, errores y precisión de mediciones. También cubre técnicas estadísticas como límites de confianza, inferencia estadística y pruebas de hipótesis usando estadísticos de contraste y valores p.
Quimiometria para principiantes, personas que conocen poco del tema y necesitan conocer lo básico para el trabajo.
Especialmente enfocado a la industria, donde el uso de quimiometría ha ido en aumento y donde se observan las mayores ventajas de la quimiometría.
1. El documento describe los conceptos básicos de muestreo probabilístico y no probabilístico para la recolección de datos representativos de una población. Explica que el tamaño de la muestra debe determinarse considerando factores como los objetivos del estudio, el parámetro a estimar, el error muestral admisible y el nivel de confianza.
2. Se definen conceptos como población, muestra, parámetro, estadístico, variable aleatoria y error de estimación. Además, explica diferentes métodos para calcular el
El documento describe diferentes tipos de muestreo estadístico, incluyendo muestreo aleatorio, no aleatorio, sistemático y estratificado. Explica la diferencia entre parámetros de población y estadísticas de muestra, y los usos y limitaciones de diferentes métodos de muestreo.
Este documento describe los conceptos básicos del muestreo probabilístico y no probabilístico. Explica que el muestreo probabilístico permite generalizar los resultados a toda la población mientras que el no probabilístico no. Además, detalla diferentes métodos para calcular el tamaño de la muestra dependiendo de si la población es finita o infinita, y ofrece ejemplos numéricos.
Este documento introduce los conceptos básicos de muestreo, incluyendo los tipos de muestreo probabilístico como el muestreo aleatorio simple, el muestreo sistemático, el muestreo aleatorio estratificado y el muestreo por conglomerados. También explica cómo calcular el tamaño de la muestra para auditorías de historias clínicas usando fórmulas estadísticas y una hoja de cálculo adjunta. El objetivo general es ofrecer una herramienta para apoyar la evaluación de indicadores de calidad mediante el m
El documento presenta cuatro problemas relacionados con el muestreo. El primer problema describe una encuesta a empresas para determinar la demanda de una nueva prensa mecánica, discutiendo la población, marco de muestreo y posibles técnicas de muestreo como estratificado o por conglomerados. El segundo problema trata sobre determinar el gasto promedio mensual de hogares en restaurantes, calculando el tamaño de muestra necesario. El tercer problema estima el porcentaje de hogares con conocimiento de una nueva marca, calculando también el tamaño de
2011 tortosa g. manual práctico de quimiometríaGermán Tortosa
Este documento presenta un manual práctico de quimiometría en español. El manual introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística descriptiva e inferencial, con énfasis en su aplicación al análisis químico. Incluye ejemplos y recursos en línea para facilitar el aprendizaje de estas herramientas estadísticas fundamentales en química analítica.
Este documento presenta un manual práctico de quimiometría. Define la quimiometría como la aplicación de la estadística a problemas químicos y analíticos. Explica conceptos básicos como probabilidad, distribuciones de probabilidad, muestras representativas, errores y precisión de mediciones. También cubre técnicas estadísticas como límites de confianza, inferencia estadística y pruebas de hipótesis usando estadísticos de contraste y valores p.
Quimiometria para principiantes, personas que conocen poco del tema y necesitan conocer lo básico para el trabajo.
Especialmente enfocado a la industria, donde el uso de quimiometría ha ido en aumento y donde se observan las mayores ventajas de la quimiometría.
1. El documento describe los conceptos básicos de muestreo probabilístico y no probabilístico para la recolección de datos representativos de una población. Explica que el tamaño de la muestra debe determinarse considerando factores como los objetivos del estudio, el parámetro a estimar, el error muestral admisible y el nivel de confianza.
2. Se definen conceptos como población, muestra, parámetro, estadístico, variable aleatoria y error de estimación. Además, explica diferentes métodos para calcular el
El documento describe diferentes tipos de muestreo estadístico, incluyendo muestreo aleatorio, no aleatorio, sistemático y estratificado. Explica la diferencia entre parámetros de población y estadísticas de muestra, y los usos y limitaciones de diferentes métodos de muestreo.
Este documento describe los conceptos básicos del muestreo probabilístico y no probabilístico. Explica que el muestreo probabilístico permite generalizar los resultados a toda la población mientras que el no probabilístico no. Además, detalla diferentes métodos para calcular el tamaño de la muestra dependiendo de si la población es finita o infinita, y ofrece ejemplos numéricos.
Este documento introduce los conceptos básicos de muestreo, incluyendo los tipos de muestreo probabilístico como el muestreo aleatorio simple, el muestreo sistemático, el muestreo aleatorio estratificado y el muestreo por conglomerados. También explica cómo calcular el tamaño de la muestra para auditorías de historias clínicas usando fórmulas estadísticas y una hoja de cálculo adjunta. El objetivo general es ofrecer una herramienta para apoyar la evaluación de indicadores de calidad mediante el m
El documento presenta cuatro problemas relacionados con el muestreo. El primer problema describe una encuesta a empresas para determinar la demanda de una nueva prensa mecánica, discutiendo la población, marco de muestreo y posibles técnicas de muestreo como estratificado o por conglomerados. El segundo problema trata sobre determinar el gasto promedio mensual de hogares en restaurantes, calculando el tamaño de muestra necesario. El tercer problema estima el porcentaje de hogares con conocimiento de una nueva marca, calculando también el tamaño de
El documento describe diferentes métodos de muestreo y estimación estadística. Explica que el muestreo implica seleccionar una muestra representativa de una población para estudiarla en lugar de estudiar la población completa. Luego describe métodos de muestreo probabilísticos como el aleatorio simple, estratificado y sistemático, así como métodos no probabilísticos. También explica conceptos como estimación puntual, por intervalos, nivel de confianza e error de estimación.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de la quimiometría. Explica que la quimiometría aplica estadísticas a problemas químicos para estudiar fenómenos aleatorios. Describe distribuciones de probabilidad como la normal y conceptos como muestra representativa. También cubre estimación de errores, intervalos de confianza, pruebas de hipótesis e inferencia estadística.
El documento describe diferentes tipos de muestreo utilizados en la investigación científica. Explica conceptos como población, parámetro, estadístico y error muestral. Luego describe cuatro tipos principales de muestreo: muestreo simple, muestreo doble, muestreo múltiple y muestreo de juicio. También explica diferentes métodos de muestreo aleatorio como muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y muestreo por conglomerados.
Bioestadística muestreo y diseño de experimentosExplorer BioGen
Este documento describe diferentes conceptos relacionados con el muestreo y diseño de experimentos. Define población, muestra, parámetro y estadístico. Explica que el tamaño de muestra debe ser suficientemente grande para ser representativo pero no demasiado grande. También cubre cómo estimar el tamaño de muestra necesario y diferentes tipos de muestreo como aleatorio simple, sistemático, estratificado y de grupo.
Este documento presenta información sobre un curso de Estadística I impartido en el Instituto Tecnológico de Veracruz. Contiene los nombres de tres alumnos y del catedrático a cargo, así como el semestre en que se impartió el curso. Además, incluye el índice de los temas que se abordaron en la unidad 2 sobre distribuciones muéstrales y en la unidad 3 sobre estimación de parámetros.
El documento describe diferentes métodos para calcular el tamaño de la muestra en estudios estadísticos, incluyendo fórmulas para muestras conocidas y desconocidas, estudios comparativos, y un ejemplo numérico para calcular el tamaño de muestra definitivo basado en datos piloto. También resume los procedimientos comunes para recopilar información primaria y secundaria, como cuestionarios, observación y entrevistas, así como el análisis estadístico e interpretación de resultados.
Teoria de muestreo y prueba de hipotesisZully Vèlez
Este documento presenta una introducción a la teoría del muestreo. Explica conceptos clave como muestras aleatorias, errores en el muestreo, y diferentes tipos de técnicas de muestreo como el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. También describe el error muestral y cómo se puede pensar en una media muestral como la suma de la media poblacional y el error muestral. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos te
Este documento presenta un resumen de los métodos estadísticos. Explica que la estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para sacar conclusiones. Se dividen los métodos en descriptivos e inferenciales. También incluye definiciones de conceptos clave como variable, dato, población, muestra, hipótesis y frecuencias. Finalmente, concluye que la estadística es una herramienta útil en muchas áreas como la investigación, medicina y negocios.
Este documento trata sobre diferentes técnicas de estimación estadística como la estimación puntual, por intervalo, con muestras grandes y pequeñas. Explica conceptos como insesgabilidad, consistencia, eficiencia y suficiencia de un estimador, así como el cálculo de intervalos de confianza. El objetivo es dar valores aproximados de parámetros poblacionales a partir de muestras de datos.
El documento presenta información sobre conceptos básicos de muestreo estadístico. Explica que una muestra es un subconjunto de la población que se estudia para inferir propiedades de la población completa. Luego describe diferentes tipos de muestreo como muestreo aleatorio simple, estratificado, sistemático y por conglomerados. También define conceptos como estimador, estimación, distribución de muestra e intervalo de confianza para la media.
Este documento trata sobre conceptos básicos de muestreo. Explica que una vez definido el problema de investigación y los objetivos, es necesario determinar la población de estudio y cómo seleccionar una muestra representativa de ella. Luego describe diferentes tipos de muestreo como el aleatorio simple, estratificado y por grupos, y los factores que influyen en el tamaño de la muestra como la heterogeneidad poblacional, el margen de error y el nivel de confianza.
Este documento describe diferentes tipos y métodos de muestreo para estimar parámetros poblacionales, como la media y la proporción. Explica el muestreo probabilístico, estratificado y por conglomerados, así como la estimación puntual y por intervalos. También resume el teorema del límite central, el cual establece que la suma de variables aleatorias independientes tenderá a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.
Este documento describe los conceptos básicos de la inferencia estadística, incluyendo el cálculo de parámetros de distribuciones de medias y proporciones muestrales, la estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras, y el uso de diferentes tamaños muestrales y métodos para controlar la confianza y el error. También explica conceptos como estadísticos muestrales, distribuciones de muestreo, estimación puntual e intervalos, y métodos como momentos, máxima verosimilitud y
El documento describe los conceptos de población, muestra, tipos de muestreo, error y tamaño de muestra. Define población como el conjunto total de unidades y muestra como un subgrupo representativo de la población. Explica los tipos de muestreo probabilístico y no probabilístico, y cómo calcular el tamaño de muestra para estimar parámetros como la media y proporción de una población con un nivel de confianza y error dado. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular el tamaño de muestra en diferentes contextos.
Este documento describe la inferencia estadística, que involucra deducir las características de una población a partir de una muestra. Explica que la inferencia estadística permite generalizar los resultados de una muestra limitada a un conjunto más grande. También cubre temas como la teoría de probabilidad, distribuciones de probabilidad, muestreo estadístico y aplicaciones de la inferencia estadística en campos como control de calidad y investigación de mercados.
El documento presenta una introducción a conceptos estadísticos básicos como muestras, gráficas, porcentajes y métodos de muestreo. Advierte sobre los riesgos de manipular datos para demostrar conclusiones predeterminadas y la importancia de realizar un análisis crítico de la información. También destaca posibles sesgos como preguntas predispuestas, el orden de las preguntas y correlaciones erróneas.
COMPRENDER EL USO APROPIADO DE LAS HERRAMIENTAS QUE PRPORCIONA LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL ES UNO DE LOS GRANDES RETOS DE LOS ASPIRANTES A PARTICIPAR EN LA CREACION DE PROYECTOS DE INVESTIGACION FACTUAL Y FORMAL.
La estadística inferencial permite obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra. Incluye conceptos como probabilidad, que mide numéricamente la posibilidad de que ocurra un evento, y métodos de muestreo, que seleccionan una parte representativa de una población para hacer inferencias. Existen tres tipos de probabilidad - clásica, frecuencial y subjetiva - y dos tipos de muestras - probabilísticas y no probabilísticas. La estadística inferencial proporciona herramientas para estudiar datos
Este documento describe diferentes tipos de muestreo probabilístico como el muestreo aleatorio simple, el muestreo aleatorio sistemático y el muestreo aleatorio estratificado. También explica conceptos como estimadores, estimación puntual y por intervalos, y el teorema del límite central, el cual establece que la suma de variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal cuando la suma es suficientemente grande.
Este documento contiene información técnica detallada sobre una grúa, incluyendo sus especificaciones, controles, operación y seguridad. Se proporcionan detalles sobre el chasis, la cabina del conductor, el motor, los desplazamientos y más. El documento está organizado en secciones con subsecciones que cubren cada aspecto de la grúa.
Este documento trata sobre los fundamentos de la tribología y la lubricación. Explica que la tribología estudia los fenómenos de fricción, desgaste y lubricación y cómo esto afecta la vida útil de los equipos. También describe los análisis de aceites usados como una forma de diagnosticar las condiciones de la maquinaria y predecir fallas a través de la detección de partículas metálicas y contaminantes en los lubricantes. Finalmente, resume los diferentes tipos de análisis como espectrométricos, de partí
El documento proporciona información sobre los detergentes y el jabón. Explica que los detergentes son sustancias químicas anfipáticas que disuelven la suciedad sin corroer los objetos, y que el jabón generalmente son sales resultantes de una reacción química. Además, traza brevemente la historia del jabón desde su uso en culturas antiguas hasta el desarrollo de nuevos detergentes en los siglos posteriores.
El documento describe diferentes métodos de muestreo y estimación estadística. Explica que el muestreo implica seleccionar una muestra representativa de una población para estudiarla en lugar de estudiar la población completa. Luego describe métodos de muestreo probabilísticos como el aleatorio simple, estratificado y sistemático, así como métodos no probabilísticos. También explica conceptos como estimación puntual, por intervalos, nivel de confianza e error de estimación.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de la quimiometría. Explica que la quimiometría aplica estadísticas a problemas químicos para estudiar fenómenos aleatorios. Describe distribuciones de probabilidad como la normal y conceptos como muestra representativa. También cubre estimación de errores, intervalos de confianza, pruebas de hipótesis e inferencia estadística.
El documento describe diferentes tipos de muestreo utilizados en la investigación científica. Explica conceptos como población, parámetro, estadístico y error muestral. Luego describe cuatro tipos principales de muestreo: muestreo simple, muestreo doble, muestreo múltiple y muestreo de juicio. También explica diferentes métodos de muestreo aleatorio como muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratificado y muestreo por conglomerados.
Bioestadística muestreo y diseño de experimentosExplorer BioGen
Este documento describe diferentes conceptos relacionados con el muestreo y diseño de experimentos. Define población, muestra, parámetro y estadístico. Explica que el tamaño de muestra debe ser suficientemente grande para ser representativo pero no demasiado grande. También cubre cómo estimar el tamaño de muestra necesario y diferentes tipos de muestreo como aleatorio simple, sistemático, estratificado y de grupo.
Este documento presenta información sobre un curso de Estadística I impartido en el Instituto Tecnológico de Veracruz. Contiene los nombres de tres alumnos y del catedrático a cargo, así como el semestre en que se impartió el curso. Además, incluye el índice de los temas que se abordaron en la unidad 2 sobre distribuciones muéstrales y en la unidad 3 sobre estimación de parámetros.
El documento describe diferentes métodos para calcular el tamaño de la muestra en estudios estadísticos, incluyendo fórmulas para muestras conocidas y desconocidas, estudios comparativos, y un ejemplo numérico para calcular el tamaño de muestra definitivo basado en datos piloto. También resume los procedimientos comunes para recopilar información primaria y secundaria, como cuestionarios, observación y entrevistas, así como el análisis estadístico e interpretación de resultados.
Teoria de muestreo y prueba de hipotesisZully Vèlez
Este documento presenta una introducción a la teoría del muestreo. Explica conceptos clave como muestras aleatorias, errores en el muestreo, y diferentes tipos de técnicas de muestreo como el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por conglomerados y el muestreo sistemático. También describe el error muestral y cómo se puede pensar en una media muestral como la suma de la media poblacional y el error muestral. Proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos te
Este documento presenta un resumen de los métodos estadísticos. Explica que la estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para sacar conclusiones. Se dividen los métodos en descriptivos e inferenciales. También incluye definiciones de conceptos clave como variable, dato, población, muestra, hipótesis y frecuencias. Finalmente, concluye que la estadística es una herramienta útil en muchas áreas como la investigación, medicina y negocios.
Este documento trata sobre diferentes técnicas de estimación estadística como la estimación puntual, por intervalo, con muestras grandes y pequeñas. Explica conceptos como insesgabilidad, consistencia, eficiencia y suficiencia de un estimador, así como el cálculo de intervalos de confianza. El objetivo es dar valores aproximados de parámetros poblacionales a partir de muestras de datos.
El documento presenta información sobre conceptos básicos de muestreo estadístico. Explica que una muestra es un subconjunto de la población que se estudia para inferir propiedades de la población completa. Luego describe diferentes tipos de muestreo como muestreo aleatorio simple, estratificado, sistemático y por conglomerados. También define conceptos como estimador, estimación, distribución de muestra e intervalo de confianza para la media.
Este documento trata sobre conceptos básicos de muestreo. Explica que una vez definido el problema de investigación y los objetivos, es necesario determinar la población de estudio y cómo seleccionar una muestra representativa de ella. Luego describe diferentes tipos de muestreo como el aleatorio simple, estratificado y por grupos, y los factores que influyen en el tamaño de la muestra como la heterogeneidad poblacional, el margen de error y el nivel de confianza.
Este documento describe diferentes tipos y métodos de muestreo para estimar parámetros poblacionales, como la media y la proporción. Explica el muestreo probabilístico, estratificado y por conglomerados, así como la estimación puntual y por intervalos. También resume el teorema del límite central, el cual establece que la suma de variables aleatorias independientes tenderá a una distribución normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.
Este documento describe los conceptos básicos de la inferencia estadística, incluyendo el cálculo de parámetros de distribuciones de medias y proporciones muestrales, la estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras, y el uso de diferentes tamaños muestrales y métodos para controlar la confianza y el error. También explica conceptos como estadísticos muestrales, distribuciones de muestreo, estimación puntual e intervalos, y métodos como momentos, máxima verosimilitud y
El documento describe los conceptos de población, muestra, tipos de muestreo, error y tamaño de muestra. Define población como el conjunto total de unidades y muestra como un subgrupo representativo de la población. Explica los tipos de muestreo probabilístico y no probabilístico, y cómo calcular el tamaño de muestra para estimar parámetros como la media y proporción de una población con un nivel de confianza y error dado. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular el tamaño de muestra en diferentes contextos.
Este documento describe la inferencia estadística, que involucra deducir las características de una población a partir de una muestra. Explica que la inferencia estadística permite generalizar los resultados de una muestra limitada a un conjunto más grande. También cubre temas como la teoría de probabilidad, distribuciones de probabilidad, muestreo estadístico y aplicaciones de la inferencia estadística en campos como control de calidad y investigación de mercados.
El documento presenta una introducción a conceptos estadísticos básicos como muestras, gráficas, porcentajes y métodos de muestreo. Advierte sobre los riesgos de manipular datos para demostrar conclusiones predeterminadas y la importancia de realizar un análisis crítico de la información. También destaca posibles sesgos como preguntas predispuestas, el orden de las preguntas y correlaciones erróneas.
COMPRENDER EL USO APROPIADO DE LAS HERRAMIENTAS QUE PRPORCIONA LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL ES UNO DE LOS GRANDES RETOS DE LOS ASPIRANTES A PARTICIPAR EN LA CREACION DE PROYECTOS DE INVESTIGACION FACTUAL Y FORMAL.
La estadística inferencial permite obtener conclusiones sobre una población a partir de una muestra. Incluye conceptos como probabilidad, que mide numéricamente la posibilidad de que ocurra un evento, y métodos de muestreo, que seleccionan una parte representativa de una población para hacer inferencias. Existen tres tipos de probabilidad - clásica, frecuencial y subjetiva - y dos tipos de muestras - probabilísticas y no probabilísticas. La estadística inferencial proporciona herramientas para estudiar datos
Este documento describe diferentes tipos de muestreo probabilístico como el muestreo aleatorio simple, el muestreo aleatorio sistemático y el muestreo aleatorio estratificado. También explica conceptos como estimadores, estimación puntual y por intervalos, y el teorema del límite central, el cual establece que la suma de variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal cuando la suma es suficientemente grande.
Este documento contiene información técnica detallada sobre una grúa, incluyendo sus especificaciones, controles, operación y seguridad. Se proporcionan detalles sobre el chasis, la cabina del conductor, el motor, los desplazamientos y más. El documento está organizado en secciones con subsecciones que cubren cada aspecto de la grúa.
Este documento trata sobre los fundamentos de la tribología y la lubricación. Explica que la tribología estudia los fenómenos de fricción, desgaste y lubricación y cómo esto afecta la vida útil de los equipos. También describe los análisis de aceites usados como una forma de diagnosticar las condiciones de la maquinaria y predecir fallas a través de la detección de partículas metálicas y contaminantes en los lubricantes. Finalmente, resume los diferentes tipos de análisis como espectrométricos, de partí
El documento proporciona información sobre los detergentes y el jabón. Explica que los detergentes son sustancias químicas anfipáticas que disuelven la suciedad sin corroer los objetos, y que el jabón generalmente son sales resultantes de una reacción química. Además, traza brevemente la historia del jabón desde su uso en culturas antiguas hasta el desarrollo de nuevos detergentes en los siglos posteriores.
Tim O'Reilly acuñó el término "Web 2.0" en 2004 para referirse a una segunda generación de la Web basada en comunidades de usuarios y servicios como redes sociales, blogs, wikis y folksonomías que fomentan la colaboración y el intercambio de información entre usuarios. Según Christian Van Der Henst, la Web 2.0 representa la evolución de aplicaciones tradicionales a aplicaciones web enfocadas en el usuario final que generan colaboración y reemplazan aplicaciones de escritorio.
Este documento describe el mantenimiento predictivo por vibraciones mecánicas como una alternativa al tradicional mantenimiento preventivo planificado. El mantenimiento predictivo permite evaluar el estado interno de las máquinas mediante el análisis de vibraciones externas, evitando desmontajes costosos. Esto hace que el mantenimiento sea más preciso y seguro, identificando máquinas con riesgo de falla y evitando reparar máquinas en buen estado. El documento explica los principios del mantenimiento predictivo y compara sus ventajas
Este documento describe diferentes mecanismos de transmisión de potencia mecánica, incluyendo poleas, correas, cadenas, engranajes y bombas de infusión. Explica cómo se calcula la potencia mecánica y la eficiencia, y proporciona fórmulas y ejemplos de diferentes tipos de mecanismos de transmisión como poleas, correas, cadenas y engranajes, destacando sus ventajas y desventajas.
Este documento habla sobre diferentes tipos de correas y cadenas para transmisión de fuerza. Describe varios tipos de correas como correas planas, correas trapeciales, correas acanaladas y correas hexagonales. También explica los materiales comunes para correas como poliamidas, algodón y caprón. Además, cubre temas relacionados con cadenas como sus componentes, sprockets, elementos de tensión y materiales de construcción para cadenas.
La estructura organizacional geográfica permite a las empresas operar en diferentes mercados geográficos mediante la definición de un sistema de reportes y funciones a través de múltiples ubicaciones, lo que permite a las oficinas operar de manera independiente mientras se adhieren a las políticas corporativas. Esta estructura delega la responsabilidad de beneficios y pérdidas a niveles locales y mejora la coordinación dentro de cada mercado, obteniendo beneficios de las economías de escala de las operaciones locales.
Las levas son elementos mecánicos con un contorno especial que se conectan a un eje en rotación. Al girar el eje, el perfil de la leva toca o mueve una pieza llamada seguidor, generando un movimiento determinado. Existen diferentes tipos de levas clasificadas por su forma, como levas de traslación, de disco, de tambor o cilíndrica, conjugadas y de cara, las cuales producen diferentes tipos de movimiento. Las levas presentan ventajas como ser más sencillas de diseñar, fáciles
El documento presenta diferentes tipos de medidores de caudal, describiendo sus ventajas y desventajas. Incluye caudalímetros ultrasónicos, de efecto Coriolis, de disco oscilante, electromagnéticos, de ruedas ovaladas y rotámetros. Cada uno es adecuado para diferentes aplicaciones dependiendo del rango de caudales, precisión requerida, tipo de fluido y condiciones ambientales. El documento proporciona detalles técnicos y precios de varios modelos para ayudar a seleccionar el medidor de caud
Este documento describe diferentes tipos de correas y cadenas, sus características y usos. Las correas se usan comúnmente para transmitir movimiento en automóviles y tienen forma rectangular o trapezoidal. Las cadenas también transmiten movimiento y se componen de eslabones, siendo usadas típicamente para accionar los pedales o cambios en motocicletas debido a su elasticidad.
Este documento describe diferentes tipos de chavetas y pasadores, sus usos y clasificaciones. Las chavetas se usan para unir partes de maquinaria para evitar movimiento relativo y se clasifican por su posición y forma. Los pasadores se usan para conectar barras articuladas, garantizar posición de piezas y limitar sobrecargas, existiendo varios tipos como cilíndricos, cónicos o de aletas.
El documento presenta la memoria anual 2008 de Enaex S.A., la empresa productora y comercializadora líder de nitrato de amonio y explosivos en Chile y Latinoamérica. Durante 2008, Enaex vendió 504,207 toneladas de productos generando ingresos de USD 392 millones e EBITDA de USD 81 millones. La compañía continuó expandiendo su presencia internacional y avanzó en importantes proyectos como la ampliación de su planta de nitrato de amonio en Mejillones y un nuevo proyecto petroquímico
El documento describe las diferentes escalas de medición (nominal, ordinal, de intervalo y de razón) y provee ejemplos de cada una. También explica conceptos estadísticos básicos como media, mediana, moda, desviación estándar y representaciones gráficas de distribuciones de frecuencias.
El documento describe brevemente la historia de las levas militares, desde su uso en la Inglaterra anglosajona hasta la Revolución Francesa. También explica el concepto de leva en ingeniería mecánica como un elemento que transmite movimiento de rotación a translación. Por último, menciona ejemplos históricos del tamaño de ejércitos en diferentes imperios y naciones.
El documento describe diferentes tipos de lubricantes como lubricantes sólidos, pastas, grasas y revestimientos, y explica sus usos en condiciones extremas o donde se necesitan propiedades como resistencia al vacío o alta temperatura. También discute los requisitos crecientes para lubricantes de alto rendimiento y el uso de aditivos y aceites de base para lograr mayores vidas útiles. Finalmente, clasifica los aceites lubricantes por su origen y discute estándares como SAE para clasificar la viscosidad de los aceites.
The cam and follower is a device that converts rotary motion into linear motion. A cam has lobes or bumps that push against a follower, causing it to move up and down or back and forth. Cams can have different shapes, called profiles, including pear, heart, circular, and drop shapes. Followers can be flat feet, knife edges, rollers, or offset designs. Rotary cams are used to control engine valves and pumps, while linear cams move back and forth to drive reciprocating motions.
El documento habla sobre los fundamentos y principios del control en la industria. Explica que el control planificado de la actividad es una característica básica de la industria moderna. Define los sistemas de control abiertos y cerrados, y señala que los sistemas cerrados son más estables porque usan retroalimentación. También describe los elementos básicos de un buen sistema de control como tener un plan, registrar el rendimiento actual, hacer comparaciones con retroalimentación y establecer medidas correctivas.
El documento describe el sistema financiero en Colombia. Explica qué es un sistema financiero y enumera los entes reguladores del sistema financiero colombiano como la Autoridad Monetaria, la Superintendencia Bancaria y el Banco de la República. También cubre los diferentes tipos de establecimientos de crédito y sociedades de servicios financieros que componen el sistema financiero colombiano.
La Autoridad Nacional de Licencias Ambientales (ANLA) tiene como misión garantizar que la evaluación, seguimiento y control de proyectos sujetos a licencias ambientales se realicen de manera transparente, objetiva y oportuna para contribuir al desarrollo sostenible del país. Su visión es ser un referente internacional en la calidad de la evaluación y seguimiento de licencias ambientales mediante instrumentos que garanticen el desarrollo sostenible. Sus funciones incluyen otorgar o negar licencias ambientales, realizar su seguimiento, administrar sistem
El documento presenta una introducción al tema de simulación Monte Carlo con Excel. Explica conceptos básicos de probabilidad como variables aleatorias y distribuciones de probabilidad, así como técnicas para generar números aleatorios en Excel. También describe las etapas de una simulación Monte Carlo e introduce diferentes distribuciones de probabilidad que pueden usarse en una simulación, incluyendo distribuciones discretas y continuas.
Este documento discute cuatro distribuciones de probabilidad continuas comunes (normal, binomial, exponencial y gamma) y sus propiedades. Explica que la distribución normal se utiliza con frecuencia debido a que muchas variables naturales la siguen. También describe las distribuciones binomial, exponencial y gamma, y sus usos. Concluye que analizar la distribución de datos es importante para describir el comportamiento de variables aleatorias continuas.
Este documento introduce conceptos clave de la inferencia estadística, incluyendo estadística descriptiva, probabilidad, distribuciones de probabilidad e inferencia paramétrica. Explica la importancia de definir la población, unidades elementales y variables antes de realizar un muestreo, y que existen métodos de muestreo probabilísticos y no probabilísticos. Finalmente, describe estimadores como la media muestral y varianza muestral y cómo se usan para estimar parámetros poblacionales desconocidos.
Este documento presenta una introducción a la inferencia estadística paramétrica. Explica conceptos clave como muestreo, muestras aleatorias simples, y estimación puntual e intervalos de confianza. Cubre técnicas para estimar parámetros poblacionales como la media, varianza y proporción, basándose en resultados muestrales y asumiendo modelos de distribución paramétricos como la normal. El objetivo final es obtener información sobre la población a partir de una muestra representativa.
1) El documento trata sobre los pilares de la estadística inferencial que son la estadística descriptiva y la teoría de probabilidad. 2) Explica los métodos básicos de la estadística inferencial como la estimación y el contraste de hipótesis. 3) Detalla las distribuciones muéstrales y cómo a partir de una muestra se pueden hacer inferencias sobre la población.
El documento define la simulación como el uso de modelos para investigar hipótesis sobre sistemas complejos. Explica que la simulación implica crear un modelo matemático del sistema, realizar experimentos con el modelo en una computadora, y analizar los resultados para comprender el comportamiento del sistema real. También describe las etapas típicas de un estudio de simulación, como definir el sistema, formular el modelo, validar los resultados, y experimentar e interpretar los datos generados.
El documento define la simulación como el uso de modelos para investigar hipótesis sobre sistemas complejos. Explica que la simulación implica crear un modelo matemático del sistema, implementarlo en una computadora para realizar experimentos, y validar que los resultados del modelo coinciden con el comportamiento real del sistema. También describe las etapas típicas de un estudio de simulación, incluyendo la definición del sistema, formulación del modelo, recolección de datos, implementación, verificación, validación, experimentación e interpretación de resultados.
Métodos estadísticos y distribución de frecuenciaslaurasepulveda22
Este documento habla sobre los métodos estadísticos y la distribución de frecuencias. Explica la estadística descriptiva, inferencial, paramétrica y no paramétrica. Luego describe algunas aplicaciones de la estadística en campos como la educación, contaduría, administración, gerontología y deportes. Finalmente, define conceptos como variable, población, muestra, escalas de medición y distribución de frecuencias.
Este documento discute los diferentes tipos de muestreo y cómo determinar el tamaño de muestra. Explica que existen dos tipos de diseños de investigación: diseños no experimentales y diseños experimentales. También describe los tres principales tipos de muestreo probabilístico - muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio proporcional y muestreo aleatorio estratificado - y las fórmulas para calcular el tamaño de muestra en cada caso. El objetivo es orientar a los investigadores sobre qué muestreo usar y cómo calcular el tamaño de muestra
Este documento describe las variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad para la creación de modelos de simulación. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas y deben cumplir con reglas de distribución. También describe distribuciones comunes como la binomial, Poisson, normal y cómo determinar la distribución de datos históricos usando pruebas estadísticas.
Este documento presenta una introducción a las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas, incluyendo la binomial, hipergeométrica y de Poisson. Explica las características y fórmulas de cada distribución, y proporciona ejemplos para ilustrar su uso en diferentes contextos como la fabricación, los negocios y la educación.
El documento resume tres distribuciones de probabilidad discretas comúnmente utilizadas: binomial, hipergeométrica y de Poisson. Explica que la binomial se usa para procesos de Bernoulli con dos resultados posibles, la hipergeométrica cuando se seleccionan muestras de una población finita, y la de Poisson cuando los eventos ocurren en intervalos de tiempo cortos de forma aleatoria e independiente.
Blog, conceptos de programación, métodos estadísticos (1)Juanda Mosquera
Este documento presenta información sobre métodos estadísticos, incluyendo estadística descriptiva e inferencial. También explica conceptos como distribución de frecuencias, frecuencia absoluta y frecuencia relativa porcentual. Incluye ejemplos de programas en Pseint para calcular áreas, perímetros y conversiones de temperatura.
Este documento trata sobre la historia y aplicaciones de la probabilidad. Explica que la probabilidad surgió del deseo humano de predecir eventos futuros y fue estudiada inicialmente por Pascal y Fermat en los juegos de azar. También resume las contribuciones de pioneros como Pascal, Fermat y Laplace al desarrollo de la teoría de probabilidad. Finalmente, destaca que la probabilidad se aplica en muchos campos profesionales y personales para tomar decisiones informadas a pesar de la incertidumbre.
El documento describe conceptos estadísticos como la inferencia estadística, distribuciones de probabilidad, distribuciones discretas y continuas, la importancia de la distribución normal, propiedades de la distribución normal, contraste de hipótesis de normalidad, muestreo y diferentes métodos de muestreo como el estratificado, por conglomerados y sistemático, error estándar, teorema del límite central y la regla empírica de las tres desviaciones estándar.
Este documento presenta información sobre métodos estadísticos y conceptos de programación. Explica conceptos básicos de estadística como población, muestra e individuo. También describe métodos como distribución de frecuencias y diferentes aplicaciones de la estadística. Finalmente, incluye un taller práctico sobre conceptos de programación en Pseint y un mapa conceptual que resume los temas principales.
Este documento describe las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad que se pueden usar para modelar el comportamiento probabilístico de variables en una simulación. Explica que las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas y cubren distribuciones como la binomial, Poisson, normal y exponencial. También describe cómo determinar la distribución que mejor se ajusta a un conjunto de datos usando pruebas estadísticas como la prueba chi-cuadrada.
El documento describe el uso de la estadística en la investigación científica y técnica. La estadística aplica el cálculo de probabilidad para obtener conclusiones a partir de datos empíricos mediante modelos matemáticos. Resuelve problemas como la descripción de datos, el análisis de muestras, el contraste de hipótesis, la medición de relaciones y la predicción. También describe conceptos como variables, medidas de tendencia central y dispersión, y distribuciones de probabilidad.
Este documento trata sobre la historia y conceptos básicos de la estadística. Brevemente describe los orígenes de la estadística en el antiguo Egipto y China, y cómo se desarrolló formalmente en el siglo XVII. Luego define conceptos clave como población, muestra, variables cualitativas y cuantitativas, y los pasos para formar distribuciones de frecuencia a partir de datos primarios.
Este documento describe conceptos básicos de estadística descriptiva como variables, poblaciones, muestras, escalas y distribución de frecuencias. Explica que la estadística descriptiva se utiliza para resumir y describir conjuntos de datos, mientras que la estadística inferencial proporciona métodos para analizar la información recopilada. También define términos como variable, población, muestra, escalas nominal, ordinal, de intervalo y de proporción, y describe cómo se agrupan y resumen los datos en distribuc
Similar a 2011tortosag manualprcticodequimiometra-111109145953-phpapp02 (20)
El documento describe el desarrollo de esquemas de control robusto para tres tipos de reactores tubulares: un biorreactor tubular de cama empacada con flujo pistón, un reactor tubular de cama empacada con dispersión axial, y un reactor tubular con reciclo con flujo pistón. Se transforman las ecuaciones diferenciales parciales que describen la dinámica de cada sistema en ecuaciones diferenciales ordinarias usando diferencias finitas. Los esquemas de control propuestos se basan en modelos de bajo orden con un término que
El documento presenta información sobre dos leyes y decretos relacionados con la seguridad y salud laboral en Chile. La Ley 20.691 crea la Intendencia de Seguridad y Salud en el Trabajo para fiscalizar la seguridad social y proponer normas uniformes. El Decreto 10 establece requisitos de seguridad para calderas, autoclaves y equipos que utilizan vapor de agua.
Este documento proporciona información sobre los sistemas de aprendizaje y servicios de Festo Didactic para la formación técnica en neumática e hidráulica. Incluye detalles sobre los equipos didácticos, componentes y servicios que ofrece la compañía para la definición, planificación y equipamiento de laboratorios de formación. También presenta su concepto de espacio flexible para laboratorios y aulas, que permite un uso versátil y rentable de los espacios.
This document is a quotation from Shanghai Shanjian Steel Modular Housing Co., Ltd for building materials and components for a shipping container house. It lists the various items available such as outer wall panels, inner wall panels, roof panels, flooring, windows, doors, and includes the unit prices and total amount. It also provides specifications and remarks about payment terms, delivery time, installation services, and contact information for the supplier.
This document is a quotation from Shanghai Shanjian Steel Modular Housing Co., Ltd for building materials and components for a shipping container house. It lists the various items available such as outer wall panels, inner wall panels, roof panels, flooring, windows, doors, and other items. It provides the specifications and pricing for each item, and includes terms of payment, delivery time, and installation options. The total amount due is USD 6,300.
Este documento trata sobre la definición y clasificación de residuos peligrosos. Se define residuo peligroso y se explica que provienen de diversas industrias y actividades. Se clasifican los residuos peligrosos y se analiza su toxicidad. Finalmente, se discute la importancia de tener una legislación y un sistema de control de residuos peligrosos a nivel nacional que incluya su gestión, almacenamiento, transporte y tratamiento.
This document discusses requirements for the proper disposal of COPs (persistent organic pollutants) and hazardous waste. It begins by discussing international conventions for restricting COPs. It then provides examples of pesticides that are considered COPs. Next, it discusses the requirements proposed for adequate COP disposal, including achieving destruction and removal efficiencies of 99.9999%. Finally, it summarizes tests conducted demonstrating cement kilns can meet these requirements when incinerating organic hazardous waste, with temperatures and retention times sufficient to destroy COPs.
Este documento presenta las normas de seguridad para el uso, manejo y disposición de sustancias y residuos peligrosos en laboratorios. Describe los principales peligros como quemaduras, cortes e intoxicaciones. Explica procedimientos para la manipulación segura de sustancias químicas, armado de equipos, vidrio y calor. También cubre la segregación y disposición de residuos, así como las acciones a seguir en caso de emergencias como incendios, quemaduras, cortes o derrames.
El documento proporciona una breve historia de los orígenes de las diferentes empresas que actualmente forman parte de ITT Corporation. Comienza describiendo las raíces de Goulds Pumps en 1848 y cómo ha evolucionado para convertirse en un proveedor líder de bombas industriales. Luego resume brevemente los orígenes de otras empresas como Cannon (1915), Enidine (1966) y Friction Technologies (1950) que inicialmente se dedicaban a la electrónica, amortiguadores y almohadillas de freno respectivamente. Finalmente, explica cómo a través de adquisic
El documento proporciona una historia de los orígenes de las diferentes empresas que eventualmente se convirtieron en parte de ITT Corporation. Comienza describiendo cómo Goulds Pumps fue fundada en 1848 para fabricar las primeras bombas totalmente de hierro, y cómo otras empresas como KONI, Cannon, y Enidine fueron fundadas en las décadas de 1850-1960 para desarrollar amortiguadores, conectores eléctricos, y dispositivos de control de movimiento, respectivamente. Luego resume cómo estas empresas se unieron a ITT a través de fusiones y adquis
Este documento proporciona información técnica sobre explosivos y agentes de voladura, incluyendo sus propiedades físicas y químicas. Se detallan las características de diferentes tipos de explosivos como dinamitas, emulsiones y agentes de voladura como ANFO. También incluye tablas con especificaciones de productos como pesos, medidas y resistencia. El documento sirve como guía para profesionales de la industria de la voladura.
Este documento proporciona información sobre el nitrato de amonio Prillex LR. Contiene instrucciones sobre el almacenamiento, manipulación, exposición, primeros auxilios y riesgos para la salud y el medio ambiente. El nitrato de amonio es un sólido blanco soluble en agua que puede causar irritación por inhalación o contacto. Se recomienda almacenarlo alejado de combustibles, ácidos y metales en un área bien ventilada. En caso de derrame, barrer y disolver cualquier residuo en ag
Este documento describe diferentes tipos de redes de comunicación industriales. Explica que las redes de campo deben resistir ambientes hostiles y transmitir datos en tiempo real. Luego describe varios tipos de redes industriales como redes de factoría, planta, célula y campo. Finalmente, se centra en describir dos sistemas de comunicación comunes a nivel de célula y campo: el bus ASi y los buses CAN y LONworks orientados a dispositivos.
Este documento describe un ensayo de tensión realizado en una probeta de acero. Explica los pasos del procedimiento, incluyendo las mediciones iniciales de la probeta, su colocación en la máquina de ensayo y la aplicación gradual de carga hasta la fractura. También incluye consideraciones teóricas sobre el comportamiento de los materiales en este tipo de ensayos, así como cálculos, tablas y gráficas de los resultados obtenidos.
Este documento trata sobre poleas y correas para transmisiones mecánicas. Explica los diferentes tipos de poleas y correas, incluyendo las medidas estándar y fórmulas para calcular sus dimensiones. También describe las ventajas de las correas trapeciales sobre las corrientes y proporciona tablas con especificaciones técnicas para la selección de correas y poleas.
Este documento describe los principales componentes y tipos de máquinas. Explica que una máquina típicamente consiste en un elemento motriz, un mecanismo y un elemento receptor. Describe los diferentes tipos de mecanismos, incluidos los mecanismos de transmisión que transmiten movimiento sin transformarlo y los mecanismos de transformación que cambian el tipo de movimiento. También explica las máquinas simples como palancas y poleas, que utilizan mecanismos de transmisión lineal para transmitir fuerza y movimiento.
Este documento describe los principales tipos de mecanismos de máquinas. Explica que una máquina típica está compuesta por un elemento motriz, un mecanismo y un elemento receptor. Los mecanismos pueden ser de transmisión, que transmiten el movimiento sin cambiarlo, o de transformación, que cambian el tipo de movimiento. También describe varios tipos comunes de mecanismos de transmisión como palancas, poleas y engranajes.
Este documento describe diferentes mecanismos de transmisión de potencia mecánica, incluyendo poleas, correas, cadenas, engranajes y bombas de infusión. Explica cómo se calcula la potencia mecánica y la eficiencia, y proporciona fórmulas y ejemplos de aplicaciones como sistemas de transmisión y bombas.
TIA portal Bloques PLC Siemens______.pdfArmandoSarco
Bloques con Tia Portal, El sistema de automatización proporciona distintos tipos de bloques donde se guardarán tanto el programa como los datos
correspondientes. Dependiendo de la exigencia del proceso el programa estará estructurado en diferentes bloques.
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorGerardoBracho3
Las aletas de transferencia de calor, también conocidas como superficies extendidas, son prolongaciones metálicas que se adhieren a una superficie sólida para aumentar su área superficial y, en consecuencia, mejorar la tasa de transferencia de calor entre la superficie y el fluido circundante.
Estilo Arquitectónico Ecléctico e Histórico, Roberto de la Roche.pdfElisaLen4
Un pequeño resumen de lo que fue el estilo arquitectónico Ecléctico, así como el estilo arquitectónico histórico, sus características, arquitectos reconocidos y edificaciones referenciales de dichas épocas.
1. 1
Manual práctico de
Quimiometría
1ª Edición (2011)
Germán Tortosa Muñoz
Departamento de Microbiología del Suelo y Sistemas Simbióticos
Estación Experimental del Zaidín (EEZ-CSIC)
http://www.compostandociencia.com
Diponible en
Por favor, use este identificador para citar o enlazar este ítem: http://hdl.handle.net/10261/42131
2. 2
ÍNDICE
Capítulo 1. Introducción
Capítulo 2. Conceptos básicos y Probabilidad.
2.1. El concepto de Probabilidad.
2.2. Distribución de datos aleatorios.
2.3. El caso de la distribución normalizada.
2.4. Muestras representativas y Teorema Central del Límite
Capítulo 3. Estadística descriptiva.
3.1. El concepto de Estadístico
3.2. El sentido de un valor analítico.
3.3. Incertidumbre de un valor analítico.
3.4. Presentación de resultados y propagación de errores.
Capítulo 4. Estadística inferencial.
4.1. Contraste de hipótesis
4.2. Estadístico de contraste y concepto de p-valor.
4.3. Tipos de variables y clasificación de los tests estadísticos.
Capítulo 5. Tests estadísticos básicos en análisis químico.
5.1. Análisis para una muestra poblacional
5.1.1. Análisis descriptivos
5.1.2. Test de Normalidad
5.1.3. Contraste de la media de una población con un valor de referencia
5.1.3.1. Prueba de la t de Student (paramétrico)
5.1.3.2. Prueba de Signos (no paramétrico)
5.2. Análisis para dos muestras poblacionales
5.2.1. Prueba de la t de Student (paramétrico)
5.2.2. Prueba de la U de Mann-Whitney para muestras independientes
(no paramétrico)
5.2.3. Prueba de Wilcoxon para muestras dependientes (no paramétrico)
5.3. Análisis para más de dos muestras poblacionales
5.3.1. Análisis de la varianza (ANOVA, paramétrico)
5.3.2. Análisis de Krustal-Wallis (no paramétrico)
5.4. Análisis de la correlación.
5.4.1. Regresión lineal
5.5. Cuadro resumen
Capítulo 6. Bibliografía recomendada y recursos disponibles en internet.
3. 3
Capítulo 1. Introducción
La Química Analítica tiene en la Estadística una de sus herramientas
fundamentales. Esta imprescindible relación ha dado lugar en los últimos años al
desarrollo de la Quimiometría, una disciplina que aplica las técnicas matemáticas de la
estadística a los problemas analíticos de la identificación y cuantificación de las
sustancias químicas, siendo habitual el uso de la quimiometría en cualquier análisis
químico. En la actualidad, esta disciplina ha ganado importancia debido sobre todo por
cantidad de información que obtenemos a través de los equipos instrumentales (los
cuales generan una gran cantidad de datos numéricos) y por el incremento en la
capacidad de cálculo de los ordenadores actuales.
La Estadística describe el comportamiento aleatorio de las variables analíticas
que usamos en el laboratorio. Así, se puede usar para deducir las leyes de la
probabilidad que rigen dichos comportamientos, con el fin de hacer previsiones sobre
los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones. Por lo tanto, podemos clasificar a
la estadística como descriptiva, la cual nos dará solo información detallada de un
conjunto de datos, e inferencial, cuando el objetivo del estudio se centra en derivar las
conclusiones obtenidas de nuestro estudio a un conjunto de datos más amplio, es decir,
hacer predicciones de los comportamientos de las variables analíticas.
Así, el siguiente manual describe conceptos básicos de probabilidad, de
estadística descriptiva e inferencial, siempre desde un punto de vista práctico y
aplicado al análisis químico. Fruto de ese enfoque práctico, se ofrecen alternativas para
el desarrollo de los estudios estadísticos a través de numerosos recursos gratuitos
disponibles actualmente en internet. Es importante constar que para una mayor
profundización en los conceptos teóricos aquí comentados, se recomienda consultar los
textos didácticos referenciados que se han seguido para elaborar este texto, así como
las diversas fuentes de información comentadas en el último capítulo de este manual.
Este trabajo está dedicado al Dr. Ignacio F. López García (Universidad de
Murcia) por sus enseñanzas universitarias en quimiometría, al Dr. Félix Belzunce
Torregrosa (Universidad de Murcia) por trasmitirme sus conocimientos matemáticos
de estadística y a la Dra. Diana Marco (Universidad Nacional de Córdoba), por sus
importantes comentarios en la aplicación de la estadística en ecología.
Nota: Muchos de los ejemplos comentados en este Manual están disponibles en internet a través
de Applets desarrollados en Javascrip, por lo que se recomienda instalar un software para ello
(http://java.com/es/).
4. 4
Capítulo 2. Conceptos básicos y Probabilidad.
Antes de profundizar en técnicas estadísticas, es conveniente aclarar algunos
conceptos básicos de probabilidad, los cuales nos ayudarán a entender mejor los
principios matemáticos usados en quimiometría.
El primero de ellos es el Fenómeno aleatorio, el cual se puede definir como
aquel en que los resultados son inciertos, imprevisibles o impredecibles (ejemplo: la
medición de la concentración de nitratos en agua de un rio de cauce natural). El caso
contrario sería el Fenómeno determinista, en el cual si podemos saber los resultados al
estar descritos por modelos matemáticos (ejemplo: el tiempo que tardará un coche en
llegar a su destino a una velocidad constante).
Otro concepto importante es el de Población, que conjunto global del sistema
que queremos estudiar (ejemplo: una encuesta sobre intención de voto de un país de 40
millones de habitantes). Normalmente es imposible optar a su totalidad, por lo en estos
casos se suele coger una muestra representativa de la misma. El subconjunto de la
población al cual si tenemos acceso para estudiar el comportamiento de la misma se
denomina Muestra poblacional. Esta debe ser representativa de la población y cogida
de la forma más imparcial posible (totalmente al azar), a la cual se le estudia una
Variable, que se define como aquella propiedad que es observable y medible (ejemplo:
la masa de una persona después de una cena medida en un peso).
Veamos una representación gráfica de estos conceptos:
5. 5
2.1. El concepto de Probabilidad.
Para entender este concepto realizaremos un sencillo experimento que se basará
en el lanzamiento de una moneda repetidas veces. Como sabemos, los resultados
posibles de cada lanzamiento se resumen en dos: cara o cruz. El lanzamiento de la
moneda en un Fenómeno aleatorio ya que no sabemos con exactitud el resultado que
saldrá cada vez que tiramos la moneda.
Imaginemos que lanzamos una moneda al aire 40 veces. Con los resultados
obtenidos calculamos la Frecuencia relativa, decir, el cociente entre el número de veces
que se obtiene un resultado deseado (las veces que ha salido cara o cruz) con respecto
al total de veces que se realiza. Finalmente, el resultado lo representamos gráficamente
y obtenemos lo siguiente:
Sacado de http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/Probability.html
Como podemos observar, la frecuencia relativa tiende a 0,5 conforme el número
de tiradas es mayor, o lo que es lo mismo, la probabilidad de tirar una moneda y sea
cara o cruz es del 50%.
Nota: si no tienes paciencia de tirar monedas, en la siguiente web puedes obtener los
resultados de este experimento (http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php).
También puedes verlo en esta web (está en inglés):
http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/Probability.html
Así, podemos definir la probabilidad del suceso (en nuestro caso el lanzamiento
de monedas) como el valor al cual tiende la frecuencia relativa en un experimento. Por
lo tanto, con la probabilidad podemos conocer el comportamiento que rigen los
fenómenos aleatorios que estudiamos y estimar su resultado.
2.2. Distribución de datos aleatorios.
6. 6
Al estudiar un fenómenos aleatorio, concretamente una variable de una
muestra de una población (ejemplo: altura de un destacamento de soldados de un
ejército), los resultados podemos representar en forma de histogramas, es decir,
representando la frecuencia de los resultados obtenidos.
Nota: no se conoce la fuente exacta de esta imagen.
En este caso vemos que la distribución de los datos aleatorios obtenidos puede
presentar comportamientos definidos. En este caso, la altura de los soldados presenta
una distribución de campana de Laplace-Gauss y se denomina distribución
normalizada. Existen muchos ejemplos de distribuciones, como las distribuciones
binomiales, Chi-cuadrado, F de Fisher-Snedecor, etc.
7. 7
Ejemplos sacados de http://sebbm.bq.ub.es/BioROM/contenido/UIB/bioinfo/index.htm
)
2.3. El caso de la distribución normalizada
Como comentan Miller y Miller (2009), la distribución normalizada es común en
los análisis cuantitativos que requieren muestras repetidas. De hecho,
aproximadamente el 90% de los métodos estadísticos se basan en que los datos
aleatorios se rigen por una distribución normalizada, siendo esta distribución es muy
importante en análisis químico. La distribución normalizada se caracteriza por ser
simétrica con respecto a un valor central denominado μ, siendo la ecuación matemática
que la describe la siguiente:
donde σ es un parámetro que nos da información de la dispersión de los datos,
es decir, sobre la anchura de la campana de Gauss.
8. 8
Nota: con el fin de calcular la probabilidad, a esta ecuación se le aplica una transformación
matemática para estandarizarla, es decir, para que el área de la campana sea 1 (o el 100%).
Veamos un ejemplo de química analítica, un análisis cuantitativo de la
concentración de nitrato en una muestra de agua:
Resultados de la concentración de nitratos en agua (μg L-1)
0,51 0,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0,52 0,50 0,47
0,51 0,52 0,53 0,48 0,49 0,50 0,52 0,49 0,50
0,49 0,48 0,46 0,49 0,49 0,48 0,49 0,51 0,47
0,50 0,51 0,51 0,48 0,48 0,47 0,50 0,49 0,48
0,50 0,50 0,50 0,53 0,53 0,52 0,50 0,51 0,51
Ejemplo sacado de Miller y Miller (2009).
Estos son los resultados obtenidos de una misma muestra de agua en un
laboratorio de análisis. Si representamos en forma de histograma observamos que se
rigen mediante una distribución normal o Gausiana.
Como hemos comentado antes, la curva normalizada o campana de Gauss es
una curva simétrica respecto a un valor central µ (que si no existe error sistemático en
el equipo de medida coincide con la media aritmética de las muestras) y con el
parámetro σ como medida de la dispersión de los datos (siendo esta la desviación
estándar). Cuanto mayor sea esta, la campana de Gauss será más grande como puede
verse en la siguiente figura.
Nota: Los conceptos de media y desviación estándar se verán más adelante y están relacionados
con la exactitud y precisión respectivamente.
9. 9
Ejemplo sacado de Miller y Miller (2009).
Una de las características más importantes de esta distribución la podemos
observar en la siguiente Figura:
Ejemplo sacado de Miller y Miller (2009).
Al ser simétrica con respecto al valor medio μ, podemos estimar la cantidad de
muestras que están en la campana de Gauss con ayuda del parámetro σ, el cual nos da
información de la dispersión de datos, Así, y tal y como se puede leer en la leyenda de
10. 10
esta Figura, podemos saber que el 68% de los datos que se distribuyen normalmente
están comprendido en el intervalo μ ± σ, el 95% en el intervalo μ ± 2σ y finalmente, el
99,7% en el intervalo μ ± 3σ.
Como ya hemos comentado, este tipo de distribución es muy importante siendo
referencia para muchas pruebas estadísticas. Cuando nuestros datos no siguen esta
distribución, una alternativa es transformarlos matemáticamente mediante el cálculo
del logaritmo, tal y como podemos ver en el siguiente ejemplo.
Ejemplo sacado de Miller y Miller (2009). Se muestra la concentración de anticuerpos de
inmunoglobulina M en suero de varones y su transformación logarítmica para conseguir la
normalización de los datos.
2.4. Muestras representativas y Teorema Central del límite.
Como ya hemos comentado anteriormente, cuando analizamos un fenómeno
aleatorio es imposible acceder a la totalidad de la población por lo que accedemos a
una muestra de la misma. Dicha muestra debe ser lo suficientemente representativa
como para poder extrapolar las conclusiones obtenidas con este subconjunto a la
totalidad de la población.
¿Cómo podemos saber si una muestra es representativa o no?, ¿qué criterios
debemos seguir para obtener una muestra representativa?
11. 11
Veamos el Teorema Central del Límite. Este nos dice que cuando analizamos
una población de datos mediante varios subgrupos de muestras representativas
(ejemplo: queremos saber la población media de los hombres de un país y se cogen
varios grupos de individuos correspondientes a las principales ciudades del mismo),
cada una de ellas puede obtener una distribución distinta entre ellas (Los hombres de
las ciudades del norte son más bajos, y los del sur son más variables, etc.). Si
aumentamos el número de ciudades que estudiamos (como por ejemplo a 30), la
distribución de las medias de las alturas de todas las ciudades tenderá a una
distribución normalizada. Este ejemplo lo podemos visualizar en la siguiente figura:
Ejemplo sacado de
http://terra.es/personal2/jpb00000/test
imaciondelamedia.htm
Nota: para una visualización
más explicativa, consultar
http://terra.es/personal2/jpb00
000/ttcentrallimite.htm
La principal conclusión práctica de este ejemplo es que el número de muestras
debe ser siempre mayor o igual a 30 para que el tamaño de la muestra poblacional sea
lo suficientemente representativo de la totalidad de la población.
Nota: Existen fórmulas para calcular exactamente este número
dependiendo de varios criterios como el nivel de confianza que queremos.
Aunque las teorías estadísticas nos indiquen el tamaño muestral necesario para
nuestros experimentos, muchas veces esos valores están en contraposición con la
viabilidad técnica y económica de quien hace los estudios. Realizar un experimento con
una carga analítica de más de 30 muestras por cada tratamiento puede ser inviable en
muchos casos.
La solución a este problema no es fácil, y se tiene que llegar a una relación de
compromiso teniendo en cuenta la siguiente premisa: cuanto mayor sea el número de
repeticiones, más potencia tendrá nuestro estudio estadístico, y por tanto, las
conclusiones que saquemos.
12. 12
Capítulo 3. Estadística descriptiva.
Como comentábamos en el Capítulo 1, al aplicar la estadística podremos
obtener información de un conjunto de datos utilizando su totalidad (estadística
descriptiva) o a partir de una parte de este conjunto de datos (inferencia estadística).
Es decir, la primera de ellas se utiliza para un análisis descriptivo del conjunto de datos
y la otra para poder hacer predicciones de las características de una población de datos,
de los cuales solo podemos acceder a un subconjunto.
Algunas de las preguntas que podemos resolver usando la inferencia estadística
serían las siguientes:
- Ante un fenómeno aleatorio, ¿Cuál es el modelo probabilística que describe dicho
fenómeno?, y conocido dicho modelo, ¿cuáles son los parámetros que lo caracterizan?
Para resolver este tipo de preguntas, primero tenemos que profundizar en la
estadística descriptiva, ya que la inferencial se basa en esta última (como verenos en el
siguiente capítulo).
3.1. El concepto de Estadístico.
Usando la terminología matemática de la estadística, podemos definir como
estadístico a cualquier transformación matemática de una muestra aleatoria simple.
Para ilustrar este concepto, podemos ver las definiciones de los siguientes
estadísticos:
Media aritmética:
Desviación estándar (DE):
Varianza:
Coeficiente de variación (CV):
Existen muchos más ejemplos de estadísticos como la moda, la mediana, la
media geométrica, etc., aunque los anteriores son los fundamentales.
13. 13
Nota: Para tener una idea de otros conceptos, visitar
http://es.wikipedia.org/wiki/Parametro_estadistico
Para realizar este tipo de cálculos, pinchar aquí:
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/otherapplets/Descriptive.htm
http://graphpad.com/quickcalcs/CImean1.cfm
Veámoslo con el ejemplo anterior de la concentración de nitratos:
Resultados de la concentración de nitratos en agua (μg L-1)
0,51 0,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0,52 0,50 0,47
0,51 0,52 0,53 0,48 0,49 0,50 0,52 0,49 0,50
0,49 0,48 0,46 0,49 0,49 0,48 0,49 0,51 0,47
0,50 0,51 0,51 0,48 0,48 0,47 0,50 0,49 0,48
0,50 0,50 0,50 0,53 0,53 0,52 0,50 0,51 0,51
Ejemplo sacado de Miller y Miller (2009).
Media: 0,50
Desviación estándar: 0,02
Varianza: 0,0003
Coeficiente de variación (%): 3,36%
3.2. El sentido de un valor analítico.
En un laboratorio de análisis, el analista puede enfrentarse a dos tipos de
preguntas al trabajar con una muestra desconocida. Una es de carácter cualitativo
(¿qué compuestos existen en esta muestra?) y otra cuantitativa (¿qué concentración
tienen estos compuestos?). El segundo tipo de preguntas suele ser la más demandada e
importante y lleva implícita un resultado numérico.
Este resultado (el resultado de la medida cuantitativa) suele llevar asociado un
error. Como dicen Miller y Miller (2009), “no existen resultados cuantitativos de interés si
no van acompañados de alguna estimación de los errores inherentes a los mismos”.
Por lo tanto, los errores analíticos se pueden clasificar en tres grandes grupos:
o Groseros o accidentales
o Aleatorios
o Sistemáticos
El primero de ellos es fácilmente identificable (ejemplo: cuando se rompe algún
instrumento, se pierde alguna disolución, etc.). Los otros dos, los aleatorios y
sistemáticos, se diferencian en que los últimos muestran cierta tendencia o
comportamiento repetido (ejemplos: una pipeta que siempre alícuota de menos, un
analista que siempre pesa por exceso, etc.) y los aleatorios no.
Además de estos, existen otros conceptos importantes que un analista tiene que
tener en cuenta:
14. 14
- Precisión: describe los errores aleatorios. Hace mención a la dispersión de
los datos con respecto al valor real. En el caso de las distribuciones
normalizadas de datos, haría referencia a la anchura de la campana
gaussiana siendo más ancha cuanto más dispersos están los datos y
viceversa.
- Exactitud: es la proximidad al verdadero valor de una medida individual o
un valor promedio (ejemplo: una pipeta mide teóricamente 50 ml y
experimentalmente como media mide 49,9 ml, por lo que sería bastante
exacta). Está afectada por los errores aleatorios y sistemáticos.
- Reproducibilidad: es la capacidad de obtener los mismos resultados en un
análisis independientemente de las condiciones usadas (laboratorio,
analista, fecha, material, etc.).
- Repetibilidad: capacidad de obtener los mismos resultados en un análisis en
las mismas condiciones usadas (laboratorio, analista, fecha, material, etc.).
- Incertidumbre: intervalo dentro del cual es razonablemente verosímil que se
encuentre el verdadero valor de la magnitud. Hace referencia a la expresión
de un resultado analítico con su error inherente (aleatorio y sistemático).
A continuación se muestra una figura aclaratoria de la relación entre precisión y
exactitud de un análisis cuantitativo:
Nota: el verdadero valor está situado en el centro de cada circunferencia y las cruces
corresponden a cada repetición del análisis
15. 15
3.3. Incertidumbre de un valor analítico.
En ausencia de error sistemático, la media aritmética debería coincidir con el
verdadero valor que se espera encontrar (si tenemos en cuenta que los datos siguen
una distribución normalizada, la media coincidirá con μ y la desviación estándar σ).
Aún así, el error aleatorio inherente en la medida hará improbable que la media de la
muestra sea exactamente igual al valor verdadero. Por lo tanto es recomendable hablar
de un intervalo de valores que sea probable encontrar el valor verdadero que
buscamos.
La amplitud de este intervalo depende de dos factores:
o La precisión de las medidas, que a su vez depende de la desviación
estándar.
o El número de medidas que se realice.
Puede concluirse que cuantas más medidas se hagan, más fiable será la
estimación de que la media aritmética ya que el intervalo de confianza será menor.
¿Cuál es el intervalo dentro del cual se puede suponer de forma razonable que
se encuentra el valor verdadero de la medida? Para eso primero debemos calcular el
error estándar de la media, que se define de la siguiente manera:
Error estándar de la media: Desviación estándar/√n,
donde n es el número de medidas.
A continuación, se define el Intervalo de Confianza de la Media, que es el
intervalo de valores dentro del cual podemos afirmar con cierta probabilidad que el
valor verdadero se encuentra. Dependerá de la certeza que queramos: cuanto mayor
sea, mayor la certeza de acertar.
Intervalo de confianza:
donde s es la desviación estándar,
Z depende del grado de confianza requerido:
95%, z = 1,96
99%, z = 2,58
99,7%, z = 2,97,
y n es el número de muestras
Cuando el tamaño de muestra es más pequeño, se utiliza esta ecuación:
16. 16
donde tn-1 es un valor tabulado que dependerá del valor de confianza
son los grados de libertad,
donde s es la desviación estándar,
y n es el número de muestras
Valores de t para intervalos
de confianza de
Grados de libertad 95 % 99%
2 4,30 9,92
5 2,57 4,03
10 2,23 3,17
20 2,09 2,85
50 2,01 2,68
100 1,98 2,63
Tabla sacada de Miller y Miller (2009)
En una distribución normalizada, los datos se distribuyen de la siguiente
manera alrededor de μ, el valor promedio de la población, y σ, (la desviación estándar).
Sacado de http://es.wikipedia.org/wiki/Distribucion_normal
Utilizando los valores comentados anteriormente, el 95% de los datos de este
ejemplo estarían dentro del intervalo μ ± 1,96σ/√n.
17. 17
Ejemplo sacado de Miller y Miller (2009)
3.4. Presentación de resultados y propagación de errores
Lo más común para presentar los resultados de un análisis es utilizar la media y
la desviación estándar como estimación de la exactitud de la cantidad medida y
precisión respectivamente. Menos frecuente es usar el error estándar de la media en
vez de la desviación estándar o incluso, presentar el intervalo de confianza, ya que no
existe unanimidad, tal y como observa en algunos trabajos científicos:
Nota: el intervalo de confianza tiene sentido cuando tenemos muchas repeticiones. Cuando son
pocas, (n ≤ 10) no tiene mucho sentido
18. 18
A la hora de expresar los resultados de un análisis, las cifras significativas de un
resultado (decimales que suelen llevar) no pueden exceder a la precisión usada, es
decir, no tiene sentido dar un resultado de 0,0234234 g cuando la balanza que usamos
tiene de precisión 0,001 g.
Además, para eso debemos tener en cuenta que los errores se propagan con las
operaciones aritméticas que hagamos a los descriptivos (o combinación de cantidades
observables). Para eso es necesario conocer la precisión de cada observación.
Veamos cómo podemos calcular la propagación de errores:
Nota: información y ejemplos asacados de http://www.uv.es/zuniga/tefg.htm
Propagación de errores en sumas y diferencias:
Si queremos saber el error de una variable (q) calculada de forma indirecta
mediante la suma o resta de dos mediciones previas (x e y) y conocido su error:
Veámoslo con un ejemplo: En un experimento se introducen dos líquidos en un
matraz y se quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen:
M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g
m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g
M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g
m2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g
La masa de líquido será:
M = M1 −m1 +M2 −m2 =1311 g
Su error:
δ M =δ M1 +δ m1 +δ M2 +δ m2 = 32 g
El resultado se expresará:
M =1310 ± 30 g
Propagación de errores en productos y cocientes:
19. 19
Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la
altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3. Por semejanza:
L= L1 (L2 /L3)
Realizadas las medidas resultan:
L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100,0 ± 0,4 cm, L3 = 10,3 ± 0,2 cm
Por tanto
L= 200 × (100/10) = 2000 cm
Su error será
= (1+ 0,4 + 2)% = 3,4%
δ L = (3,4/100) x 2000 = 68
L = 2000 ± 70 cm
Propagación de errores en producto por una constante y una potencia:
Para calcular la propagación de errores, consultar la siguiente web:
http://graphpad.com/quickcalcs/ErrorProp1.cfm?Format=SD
20. 20
Capítulo 4. Estadística inferencial.
Como ya hemos visto, la estadística la podemos utilizar de forma descriptiva
(nos dará toda la información posible sobre un grupo de datos) o de forma inferencial
(estudiando el comportamiento de los datos de una muestra, podremos obtener
conclusiones y predicciones sobre la población).
Cuando estudiamos un parámetro o variable de la muestra, existen tres formas
de estimación:
Puntual
Por intervalos
Por contraste de hipótesis
La primera se correspondería con el valor obtenido de diversas mediciones
expresado como la media aritmética y su error asociado.
La segunda se correspondería con el Intervalo de confianza, un rango de
valores entre los que se encuentra el valor verdadero del parámetro estudiado
afirmándolo con una determinada probabilidad.
4.1. Contraste de hipótesis.
Los dos ejemplos anteriores ya los hemos visto en el capítulo anterior. La
tercera opción corresponde a una herramienta fundamental en la inferencia estadística,
el Contraste de Hipótesis. Se basa en estudiar la probabilidad de formular una
afirmación (o hipótesis) sobre un caso concreto y que estemos en lo cierto.
Nota: Este tipo de estimaciones se usan en los casos de distribución normalizada.
Veámoslo con el siguiente ejemplo: queremos estudiar si hay un problema de
contaminación y nos preguntamos ¿es mayor de 50 mg L-1 la concentración de nitratos
en un rio que pasa cerca de una granja agrícola? Si es mayor, habrá contaminación y si
es menor, no.
Para estudiar este caso, hemos ido a río y hemos recogido muestras de agua
para analizarlas en el laboratorio. Tenemos dos posibles hipótesis antagónicas a
contrastar:
- La hipótesis nula (H0), correspondería a la afirmación que queremos
contrastar (ejemplo: la concentración de nitratos es menor o igual de 50 mg L-1).
- La hipótesis alternativa (H1) o la contraria a H0 (ejemplo: la
concentración es mayor de 50 mg L-1).
21. 21
A obtener los resultados de los análisis, vemos las siguientes posibilidades:
Nuestra elección Realidad
H0 es cierta H1 es cierta
Escogemos H0 como
cierta
Decisión correcta de Tipo A
(p = 1-α)
Error de tipo II (p= β)
Escogemos H1 como
cierta
Error de tipo I (p = α)
Decisión correcta de Tipo B
(p= 1-β)
Como podemos observar, tenemos cuatro posibilidades. Dos de ellas en las que
no cometemos error en la formulación de nuestra hipótesis.
- Decisión correcta de Tipo A: Suponemos que los nitratos son menores de 50
mg L-1 y lo confirmamos con los análisis. Podemos afirmar que NO HAY
contaminación.
- Decisión correcta de Tipo B: Suponemos que los nitratos son mayores de 50
mg L-1 y lo confirmamos con los análisis. Podemos afirmar que HAY
contaminación.
Las otras dos nos informan del error que hemos cometido en nuestra hipótesis:
- Error de Tipo I (o de tipo α): Suponemos que la concentración de nitratos
era mayor de 50 mg L-1 y no lo era.
- Error de Tipo II (de tipo β): Suponemos que la concentración de nitratos era
menor de 50 mg L-1 y no lo era.
Nota: Para hacer un contraste de hipótesis, debemos definir muy bien cual es la hipótesis
nula (H0) y alternativa (H1), ya que todas las conclusiones se harán en base a esto.
A la hora de descartar una u otra hipótesis, no podremos afirmar exactamente
cual es la decisión correcta debido a que solo tenemos acceso a una parte de la
población (una muestra de ella). Por lo tanto, es lógico que hablemos en términos
probabilísticos, ya que así podremos evaluar el error que cometemos al equivocarnos.
Así, en términos de probabilidad tendríamos lo siguiente:
Probabilidad de escoger H0 siendo H0 cierta = 1-α
Probabilidad de escoger H0 siendo H1 cierta = β
Probabilidad de escoger H1 siendo H0 cierta = α
Probabilidad de escoger H1 siendo H1 cierta = 1-β
Nota: Es usual utilizar el Error de tipo I, es decir, el error que comentemos al afirmar
que la hipótesis nula no es la correcta ya que es más fácil de controlar.
22. 22
Veámoslo gráficamente:
Ejemplo de gráfica de una cola sacado de
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttesthipotesis.htm
μ se corresponde con el valor de la concentración de nitratos de las muestras de
agua y μ0 con 50 mg L-1. Aquí vemos que el nivel de significancia o probabilidad de
cometer el error de tipo I es α.
Nota: si hubiésemos definido las hipótesis como H0 fuese la concentración de nitratos en
agua 50 mg L-1 y H1, una concentración distinta a esta (independientemente que fuese mayor o
menor), tendríamos una gráfica de “dos colas”.
Ejemplo de gráfica de dos colas sacado de
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttesthipotesis.htm
23. 23
4.2. Estadístico de contraste y concepto de p-valor.
Una vez vistas todas las posibilidades, ¿cuál es el criterio que debemos seguir
para poder afirmar u descartar una hipótesis? Para eso debemos calcular el estadístico
de contraste, que a su vez nos dará el p-valor.
Este es un parámetro que se calcula teniendo en cuenta que los datos cumplen
la distribución normalizada y se relaciona con el área de la curva la cual se
correspondería con la región de rechazo, es decir, que si nuestra muestra está en esa
zona podríamos descartar la hipótesis nula (H0).
La región de rechazo sería la sombreada en azul en un ejemplo de gráfica de
una cola sacado de http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ttesthipotesis.htm
Si ese valor fuese menor que el nivel de significación (α) que hemos prefijado,
podríamos rechazar la hipótesis nula.
Nota: los valores más usados para α son 0,05, 0,01 y 0,001, es decir, que la probabilidad de
acertar en nuestra afirmación sería del 95%, 99% y 99,9% respectivamente.
Para el caso de que conozcamos la desviación estándar (σ), el estadístico de
contraste tendría esta expresión:
Si no lo conociéramos, sería esta:
24. 24
En este último caso, para obtener el p-valor, deberíamos consultar las tablas
para la distribución estandarizada de la t-Student, en la cual deberemos saber los
grados de libertad (n-1), siendo n el número de muestras.
Nota: En cualquier manual de estadística podemos encontrar estas tablas y cualquier software
de estadística las lleva incorporadas en sus análisis dándote directamente el p-valor. Si no, se
pueden consultar en internet aquí:
http://es.wikibooks.org/wiki/Tablas_estadisticas/Distribucion_t_de_Student
En resumen, descartaremos H0 si p-valor ≤ α,
siendo α = 0,05, (también puede ser 0,01 y
0,001).
Veámoslo con nuestro ejemplo de la concentración de nitratos anteriormente
descrito en el apartado de contraste de hipótesis.
Nota: usaremos la aplicación gratuita disponible en
http://bcs.whfreeman.com/ips4e/cat_010/applets/pvalue_ips.html.
Imaginemos que hemos analizado las muestras de agua del río que pasa por al
lado de una granja. Hemos obtenido un valor de 54,3 ± 5,2 mg L-1 al medir 20 muestras.
Vemos que los resultados siguen una distribución normalizada, tal y como vemos en el
siguiente gráfico:
Queremos saber si hay contaminación en estas aguas. ¿El valor obtenido de
nuestras muestras es distinto significativamente de 50 mg L-1, valor que según el cual la
legislación te dice que tienes contaminación por nitratos? Al hacer el contraste de
hipótesis, definimos H0 y H1:
H0: El valor de nuestros análisis es igual a 50 mg L-1
H1: El valor de nuestros análisis es mayor a 50 mg L-1
25. 25
Como podemos observar, nos ha salido un p-valor = 0.0001 (p-valor ≤ 0,05). Por
lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula y confirmar que la concentración de
nitratos obtenida en las muestras analizadas es mayor que 50 significativamente (con
un 95% de probabilidad).
4.3. Tipos de variables y clasificación de los tests estadísticos.
Como ya se ha comentado, para el estudio estadístico de las poblaciones
utilizamos las variables, las cuales definen alguna propiedad de las muestras elegidas
que podemos medir experimentalmente. Es importante conocer las distintas formas
que pueden tener las variables, ya que su naturaleza condicionará el tipo de test
estadístico que aplicaremos.
Existen varias clasificaciones para las variables siendo la más importante la
siguiente:
- Cualitativas. Son aquellas que expresan una propiedad de las muestras que
no se puede expresar numéricamente (ejemplo: el color de los ojos). A su
vez, podemos clasificarlas en dos grupos:
o Ordinal o cuasicuantitativa, en la cual puede adoptar varios regidos
por un cierto orden (ejemplo: leve, moderado o grave).
o Nominal, en la cual no existe ningún tipo de orden (ejemplo: tipo de
medio de locomoción, coche, motocicleta, etc.).
- Cuantitativas o numéricas, las cuales se pueden expresar mediante un valor
numérico (ejemplo: la concentración de nitratos de 50 mg L-1). A su vez, se
pueden clasificar en dos grupos:
26. 26
o Discretas, en las cuales solo pueden adoptar valores enteros
(ejemplo: número de hijos, días, etc.).
o Continuas, en las cuales pueden adoptar todos los valores posibles
reales (ejemplo: la altura de un jugador de baloncesto es de 2,15
metros, hace -2ºC en la calle, etc.).
También es importante la siguiente clasificación:
- Variable independiente. Es aquella que no depende de ningún factor
concreto y que a su vez, puede provocar una modificación en otras
variables.
- Variable dependiente. Es aquella que puede ser modificada por otra variable
(independiente). Un ejemplo es aquella propiedad que se mide en una
muestra a lo largo del tiempo.
Para aclarar estos conceptos, vemos el siguiente ejemplo. Imaginemos que
ponemos un experimento en el cual vamos a medir el contenido en nitrógeno de una
determinada planta al añadirle distintas concentraciones de nitrato. Para eso,
montamos varios grupos de macetas (tendremos 10 repeticiones en cada caso) a las que
regaremos con 0, 10, 20 y 30 mg L-1 de nitrato. Observamos que al añadir más
concentración de nitrato, la planta crece más y tiene un mayor contenido en nitrógeno.
Este último será la variable dependiente (la que vamos a medir en nuestro
experimento) y la concentración de nitratos será la independiente (modifica la anterior
y es la que nosotros manipulamos).
En este manual nos centraremos en las técnicas estadísticas de las variables
cuantitativas continuas, que son las más comunes en un laboratorio de análisis. Para
este tipo de variables, existen dos grandes grupos de técnicas estadísticas que
dependerán fundamentalmente de la distribución de sus probabilidades (como vimos
en el Capítulo 1). Así, encontramos estos dos grandes grupos:
- Técnicas paramétricas. Se utilizan cuando las variables siguen una
distribución normalizada y se basan en la media y la varianza.
- Técnicas no paramétricas o “robustas”. Se utilizan cuando no siguen un
tipo de distribución conocida. Están basadas en el empleo de la mediana.
Nota: en general, estos tests presentan la misma filosofía. Calculan estadísticos de contraste que
nos permitirán obtener un p-valor, el cual utilizaremos para afirmar la validez de nuestra
hipótesis nula H0 planteadas al compararlo con el valor de significancia α (0,05, 0,01 y 0,001
según convengamos).
A continuación, en el siguiente apartado veremos algunos tests estadísticos
básicos que nos podremos encontrar en cualquier análisis de muestras de interés
biológico. Estas se centrarán en tres grandes grupos: análisis para una muestra
poblacional, análisis para varias muestras poblacionales y análisis de regresión y
correlación.
27. 27
Capítulo 5. Tests estadísticos básicos de interés en análisis
químico.
En este capítulo veremos una descripción breve de
algunos de los ejemplos más comunes de tests que un analista
necesitar realizar de forma rutinaria.
Nota: Para profundizar en los fundamentos teóricos de dichas
pruebas, se recomienda la visita a la excelente web de estadística
http://statpages.org. En ella, se encuentran una amplia selección de
tests estadísticos que se pueden realizar online.
5.1. Análisis para una muestra poblacional.
5.1.1. Análisis descriptivos
Son fundamentales en cualquier medida analítica,
dándote bastante información sobre la naturaleza de las
muestras y suelen incluir los estadísticos básicos que hemos
comentado en el Capítulo 2 (media, desviación estándar, error
relativo u coeficiente de variación y la varianza), aunque hay
bastantes más. Algunos interesantes son los siguientes:
Sacado de
http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm
Moda: Es el valor más frecuente.
Mediana: Al ordenar los datos, es el valor que
ocupa la posición central.
Cuartiles: Son los tres valores que dividen el
conjunto de datos en cuatro partes iguales.
Son muy útiles para representar gráficamente
y cualquier hoja de cálculo lleva incorporada la posibilidad de realizar este tipo de
cálculos.
28. 28
En las siguientes páginas se pueden calcular:
- http://graphpad.com/quickcalcs/CImean1.cfm
- http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-
stat/otherapplets/Descriptive.htm
- http://www.openepi.com/OE2.3/Menu/OpenEpiMenu.htm
5.1.2. Test de Normalidad
Evaluar la distribución de los datos aleatorios en una muestra poblacional es el
primer paso que debemos seguir antes de elegir el test estadístico a aplicar.
Ejemplo sacado de http://www.graphpad.com/articles/AnalyzingData.pdf
Existen varios tests para evaluar la distribución como la prueba de
Kolmogórov-Smirnov, el test de Shapiro–Wilk o la prueba de Anderson-Darling. Estas
pruebas evalúan si los datos están normalmente distribuidos y se basan en cálculos de
parámetros tales como el Skewness y el Curtosis, ambos relacionados con la forma de
la campana de Gauss de la distribución normalizada.
Sacado de http://en.wikipedia.org/wiki/Skewness
29. 29
Sacado de http://www.uv.es/ceaces/base/descriptiva/curtosis.htm
Existen numerosas webs donde se pueden realizar este tipo de tests, cuyos
resultados suelen ser de este tipo:
Evidencia fuerte en contra de la normalidad
Evidencia suficiente en contra de la normalidad
Evidencia subjetiva en contra de la normalidad
Poca evidencia en contra de la normalidad
Ninguna evidencia en contra de la normalidad
Evidencia fuerte en contra de la normalidad
En este enlace se puede realizar un test de normalidad de datos aleatorios:
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/otherapplets/Normality.htm
Nota: cuando tengamos pocas repeticiones, este tipo de tests saldrán siempre normalizados. Si
los datos están normalizados, deberemos usar los tests paramétricos y si no, los no paramétricos.
Contrastes de la media de una población con un valor de referencia.
Prueba de la t de Student (paramétrico)
Este test se basa en el contraste de hipótesis y cálculo del estadístico t, tal y
como comentamos en el Capítulo 3. La condición fundamental es que los datos sigan
una distribución normalizada. Al final obtendremos un valor de p con el que podremos
30. 30
saber si la media de nuestros datos es diferente significativamente o no a un valor de
referencia que nosotros queremos comparar (hipótesis nula).
p >0,05, no significativo, (NS)
p entre 0,01 y 0,05, significativo, (*)
p entre 0,001 y 0,01, muy significativo, (**)
p < 0,001, extremadamente significativo, (***)
Sacado de http://www.aiaccess.net/English/Glossaries/GlosMod/e_gm_t_test.htm
En estas páginas se pueden realizar este tets:
http://www.graphpad.com/quickcalcs/OneSampleT1.cfm?Format=SD
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/otherapplets/MeanTest.htm
http://www1.assumption.edu/users/avadum/applets/applets.html
5.1.3. Prueba de los signos (no paramétrico)
Este test es la versión no paramétrica de la t de Student. Se basa obtener la
diferencia de cada uno de los valores experimentales con respecto al valor referencia
teniendo solo en cuenta el signo (negativo si es menor y positivo si es mayor). Estos se
distribuirán siguiendo la ley binomial, con la cual calcularemos un p-valor que
contrastaremos con nuestro valor de significancia
http://www.fon.hum.uva.nl/Service/Statistics/Sign_Test.html
5.2. Análisis para dos muestras poblacionales.
Cuando empezamos a analizar y a comparara dos muestras poblacionales, toma
mucha importancia la naturaleza de las mismas, es decir, si son independientes (no
pareadas) o dependientes (pareadas) unas de otras.
5.2.1 Prueba de la t de Student (paramétrico)
31. 31
Al igual que hemos visto anteriormente, se hará un contraste de hipótesis y se
calculará el valor del estadístico t, para obtener finalmente, un valor de p con el que
decidiremos si rechazamos o no la hipótesis nula. Para utilizar esta prueba tenemos
que tener en cuenta que las dos muestras deben seguir una distribución normalizada
En las siguientes páginas se pueden realizar este test con la posibilidad de elegir
si las muestras son independientes o dependientes:
http://graphpad.com/quickcalcs/ttest1.cfm
http://faculty.vassar.edu/lowry/tu_esp.html
Nota: Para profundizar sobre esta prueba, consultar esta web:
http://www.fisterra.com/mbe/investiga/t_student/t_student.asp#dependientes
Sacado de http://personales.upv.es/jcanizar/modulo_3/diferenciales_4.html
5.2.2. Prueba de U de Mann-Whitney para muestras independientes (no
paramétrico)
Este test es la versión no paramétrica de la t de Student para muestras
independientes. Las alternativas paramétricas son menos robustas que las paramétricas
ya que se basan en la mediana (valor que está situado en el centro al ordenar los datos).
Análogo a la t de Student, este test se basa en el cálculo del estadístico U:
El cual contrastaremos con los valores de significancia (0,05, 0,01 y 0,001) para
así saber si existe diferencia estadísticamente significativa entre ambas poblaciones de
muestras.
Para realizar esta prueba, se pueden consultar las siguientes webs:
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/otherapplets/Ustat.htm
http://faculty.vassar.edu/lowry/utest.html
32. 32
Nota: Pata más información, consultar esta web:
http://members.fortunecity.com/bucker4/estadistica/pruebaumw2mi.htm
5.2.3. Prueba de Wilcoxon para muestras dependientes (no paramétrico)
Se basa en calcular el estadístico W que contrastaremos con el p-valor.
En las siguientes webs se puede realizar esta prueba:
http://faculty.vassar.edu/lowry/wilcoxon.html
http://www.fon.hum.uva.nl/Service/Statistics/Signed_Rank_Test.html
5.3. Análisis para más de dos muestras poblacionales.
5.3.1. Análisis de la varianza (ANOVA, paramétrico)
Esta prueba estadística es de las más utilizadas para poder comparar más de
dos muestras poblacionales, las cuales deben cumplir los siguientes requisitos:
- Que las variables sean independientes
- Que tengan una distribución normalizada
- Que sus varianzas no difieran significativamente.
Sacado de http://www.bexcellence.org/Anova.html
Se basa en el contraste de las medias de las muestras y su varianza. Para saber
más sobre los cálculos aritméticos que incluyen, consultar las siguientes páginas:
http://www.seh-lelha.org/anova.htm
33. 33
http://e-stadistica.bio.ucm.es/cont_mod_1.html#Anova
Finalmente, se calculará un estadístico de contraste F y que dará un valor de p
que compararemos según nuestro nivel de significación (0,05, 0,01 y 0,001). Este test
nos dirá si las muestras poblacionales son distintas significativamente pero no entre si,
es decir, por parejas de muestras poblacionales. Para eso se realizan los tests “post-hoc”,
como los tests de Duncan, Tukey o Fisher (mínima diferencia significativa o LSD),
todos ellos basados en la t de Student.
Para calcular este test, se puede consultar las siguientes webs:
http://www.amstat.org/publications/jse/v18n2/ANOVAExercise.xls
http://www.physics.csbsju.edu/stats/anova.html
http://e-stadistica.bio.ucm.es/mod_anova/anova_applet.html
http://faculty.vassar.edu/lowry/ank3.html
Para las pruebas “post-hoc”:
http://graphpad.com/quickcalcs/posttest1.cfm
5.3.2. Análisis de Kruskal-Wallis (no paramétrico)
Es similar al ANOVA pero cuando se cuentan con datos que nos siguen una
distribución normalizada.
En esta página se puede realizar dicha prueba:
http://department.obg.cuhk.edu.hk/researchsupport/KruskallWallis.asp
5.4. Análisis de la correlación.
Hasta ahora, hemos comparado grupos de muestras poblacionales entre si con
la intención de si cumplían o no determinadas características. Los ejemplos vistos se
centraban en discernir si esas muestras diferían significativamente de un valor
prefijado o incluso, si diferían entre dos o más grupos de muestras poblacionales.
Una vez descritos los procedimientos estadísticos más básicos para poder
evaluar estas cuestiones, el siguiente paso en el análisis inferencial nos lleva a estudiar
la relación entre dichas muestras poblacionales, para observar y describirlas
matemáticamente con el fin de poder hacer predicciones. El estudio de estas relaciones
nos lo da correlación entre variables.
En este manual solo veremos un tipo de correlación ya que es la más importante
para un analista, la regresión lineal
5.4.1 Regresión lineal
34. 34
Imaginemos que tenemos datos de dos variables, una dependiente y otra
independiente, y al contrastar dichas variables, la relación matemática que las relaciona
tiene forma de una recta de este tipo:
Y = a + bX,
donde a sería la ordenada en el origen y b la pendiente.
Nota: La recta suele ser de primer orden aunque puede ser mayor
Ejemplo sacado de http://es.wikipedia.org/wiki/Regresion_lineal
Ejemplo sacado de http://graphpad.com/curvefit/linear_regression.htm
El método para calcular experimentalmente la ecuación de la recta se realiza
mediante el Método de Mínimos Cuadrados. Para saber más sobre la aritmética de este
método, consular la siguiente página web:
35. 35
http://www.uv.es/jbosch/PDF/RectaMinimosCuadrados.pdf
Aparte de calcular los coeficientes de la recta (a, ordenada en el origen o el valor
donde corta con el eje de las X, y b, que nos da información sobre la pendiente de la
recta), también calcula un coeficiente que nos informa de la bondad de la regresión.
Este se denomina R ó su cuadrado R2, siendo mejor el ajuste cuanto más cerca sea de la
unidad (lo ideal es 0,999 o mejor).
Para hacer la regresión lineal, consultar estos enlaces:
http://department.obg.cuhk.edu.hk/researchsupport/regressionFit.asp
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/regresion1/regresion1.htm
http://faculty.vassar.edu/lowry/corr_stats.html
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/otherapplets/Regression.htm
5.5. Cuadro resumen.
A continuación, se muestra un esquema de actuación de lo comentado
anteriormente:
36. 36
Capítulo 6. Bibliografía recomendada y recursos
disponibles en internet.
A continuación recopilamos algunos libros importantes para profundizar en los
fundamentos y aplicaciones de la quimiometría, así como recursos disponibles en
internet interesantes y que han ayudado a la elaboración de este manual. También se
recomiendan algunas herramientas de software libre interesantes para el estudio
estadístico.
Libros de texto fundamentales
- Estadística y Quimiometría para Química Analítica. Miller y Miller. ISBN: 84-205-
3514-1
- Quimiometría. Carlos Mongay Fernández. ISBN: 9788437059235
- Quimiometría. Guillermo Ramis Ramos y Mª Cecilia García Álvarez-Coque. ISBN:
8477389047
- Edición digital:
o The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and
Prediction. Second Edition. February 2009. Trevor Hastie, Robert Tibshirani
and Jerome Friedman. Disponible en:
(http://www-stat.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/)
o Bioestadística: métodos y aplicaciones. Autores: Francisca Ríus Díaz,
Francisco Javier Barón Lopez, Elisa Sánchez Font y Luis Parras Guijosa.
Disponible en: http://www.bioestadistica.uma.es/libro/
Webs:
- Web Pages that Perform Statistical Calculations!
(http://statpages.org)
- STAT-ATTIC STATistics Applets for Teaching Topics in Introductory Courses.
(http://sapphire.indstate.edu/~stat-attic/index.php)
- Apuntes sobre Bioestadística, Universidad de Málaga
(http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/).
- Aula Virtual de Bioestadística. http://e-stadistica.bio.ucm.es/index.html
- Dr Arsham´s Statistic site (http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-
stat/opre504.htm)
- Material de clase de la asignatura Estadística 2
(http://augusta.uao.edu.co/moodle/course/view.php?id=284)
- Estadística aplicada a la Bioinformática
(http://sebbm.bq.ub.es/BioROM/contenido/UIB/bioinfo/index.htm)
- Bioestadística, Universidad de Granada (http://www.ugr.es/~bioestad/)
- Department of Obstetrics and Gynaecology. The Chinese University of Hong Kong.
(http://department.obg.cuhk.edu.hk/researchsupport/statstesthome.asp)
Applets y software gratuito:
- Recopilación muy completa sobre software estadístico libre y de pago
(http://statpages.org/javasta2.html)
- Recopilación muy completa sobre Applets (aplicaciones en Java) para hacer cálculos
estadísticos online (http://statpages.org/index.html)