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PERIODO
202035-71H
MATEMATICA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ESFERICA
MAYORGA IBARRA ANDREA MISHELLE 05 – ABRIL- 2020
ESSUNA
ESCUELA SUPERIOR NAVAL
CMDTE. RAFAEL MORAN VALVERDE
Vectores en el plano y el espacio
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z , perpendicular
en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P ( X *Y*Z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: X Y , Y Z e Y Z.. Estos
planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer
octante las tres coordenadas son positivas.
𝑢⃑ = (𝑢1∗ 𝑢2∗ 𝑢3) , 𝑣 = (𝑣1∗ 𝑣2∗ 𝑣3)
o Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y
su extremo en el otro.
𝑣 = (3 ,1 ,2)
o Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A = (𝑥1∗ 𝑦1∗ 𝑧1) y B = (𝑥2∗ 𝑦2∗ 𝑧2). Las coordenadas o
componentes del vector 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del
origen.

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𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐵⃑⃑⃑ - 𝐴⃑⃑⃑ = (𝑥2− 𝑥1 , 𝑦2 - 𝑦2− 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ,)
Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices y .
A (-3 , 4 , 0) , B ( 3 ,6 , 3 ) y C ( -1 , 2 , 1)
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular
en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P ( X , Y, Z )
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: X Y, X Z e Y Z. Estos planos
coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante
las tres coordenadas son positivas
𝑢⃑ = (𝑢1∗ 𝑢2∗ 𝑢3) , 𝑣 = (𝑣1∗ 𝑣2∗ 𝑣3)
o Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y
su extremo en el otro.
𝑣 = (3 ,1 ,2)

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Si las coordenadas de A y B son: A = (𝑥1∗ 𝑦2∗ 𝑧3) , y A = (𝑥1∗ 𝑦2∗ 𝑧3) Las coordenadas o
componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del
origen.
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝐵⃑⃑⃑ - 𝐴⃑⃑⃑ = (𝑥2− 𝑥1 , 𝑦2 - 𝑦2− 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 ,)
Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices A ( - 3 , 4 , 0 ), B ( 3 , 6 , 3 ) y C ( -1 , 2 , 1 ).
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ = ( 3 + 3 , 6 – 4,3 – 0 ) = ( 6 , 2 , 3)
𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ = ( 3 + 3 , 6 – 4,3 – 0 ) = ( 6 , 2 , 3)
𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ = ( 3 + 3 , 4 – 6,0 – 3 ) = ( -6 , -2 , -3)
𝐴𝑉⃑⃑⃑⃑⃑ = ( - 1 + 3 , 2 – 4,1 – 0 ) = ( 2 , -2 , -1)
𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ = ( 3 + 1,4 – 2,0 – 1 ) = ( -2, 2 , -1)
o Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene
módulo cero.

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Cálculo del módulo conociendo sus componentes
El módulo de un vector 𝑢⃑ = (𝑢1∗ 𝑢2∗ 𝑢3) ,es
| 𝑢⃑ | = √𝑢1
2
+ 𝑢2
2
+ 𝑢3
2
Ejemplo:
Dados los vectores 𝑢⃑ = ( 3 , 1 , - 1) 𝑣 = ( 2 , 3 , 4) , hallar los módulos de 𝑢⃑ y 𝑣·
| 𝑢⃑ | = √32 + 12 + (−1)2 = = √11
| 𝑢⃑ | = √22 + 32 + 42 = = √29
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
El módulo de un vector 𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ con extremos y 𝐴 (𝑥1− 𝑌1 , 𝑍2 ) y 𝐵 (𝑥2 𝑌2, 𝑍2 ) es.
|𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ |= √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
o Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos
puntos.
Ejemplo:
Hallar la distancia entre los puntos A ( 1, 2 , 3) y B ( -1 , 2 ,0 )
|𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ |= √( −1 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
o Vector unitario
Un vector unitario tiene módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma
dirección y sentido que el vector dado, el cual se obtiene dividiendo cada componente del
vector por su módulo.
𝑢
| 𝑢|⃑⃑⃑⃑⃑
= (
𝑢1
| 𝑢|⃑⃑⃑⃑⃑
+
𝑢2
| 𝑢|⃑⃑⃑⃑⃑
+
𝑢3
| 𝑢|⃑⃑⃑⃑⃑
)

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o Suma de vectores
Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo
10 w más 20 w son 30 w de potencia. Por el contrario, para sumar dos magnitudes
vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.
Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá
como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.
Si queremos sumar dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del
vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería:
𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘⃑
𝑏⃑ = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘⃑
𝑐 = 𝑐 𝑥 𝑖 + 𝑐 𝑦 𝑗 + 𝑐 𝑧 𝑘⃑
Por ejemplo:
Vamos a sumar dos vectores en tres dimensiones de los que sabemos sus coordenadas
cartesianas:
𝑎 = (2,3,4)
𝑏⃑ = (3,4,−2)
𝑎 + 𝑏⃑ + 𝑐 = ( 2 + 3,3 + 4,4 + 2) = ( 5 , 1 ,2)

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(5, 1, 2) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.
El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.
Otro procedimiento para la suma de vectores es el método del paralelogramo. El método
del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos
vectores.
1. Primero se dibujan ambos vectores a escala, con el punto de aplicación común.
2. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a
ellos.
3. El vector suma resultante (𝐴 + 𝐵⃑ ) será la diagonal del paralelogramo con origen
común a los dos vectores originales.

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|𝑎 + 𝑏⃑ | = √| 𝑎|2 + |𝑏⃑ |
2
− 2 ∗ | 𝑎|2 ∗ |𝑏⃑ |
2
∗ cos ∝
El método del triángulo o método cabeza-cola es una variante del método del paralelogramo.
Se desplaza el vector 𝑏⃑ paralelamente hasta el extremo del vector 𝑎. El lado que completa
el triángulo es el vector suma (𝑎 + 𝑏⃑ ), cuyo inicio está en el extremo del primer vector 𝑎 y
su fin en el final del segundo vector sumando 𝑏⃑ .
|𝑎 + 𝑏⃑ | = √| 𝑎|2 + |𝑏⃑|
2
− 2 ∗ | 𝑎|2 ∗ |𝑏⃑ |
2
∗ ( 180° − 𝛼)
Mediante las dos fórmulas equivalentes anteriores, derivadas del teorema del
coseno obtenemos el módulo del vector suma.
Se aplica sobre el ángulo (180° – α), opuesto al lado (𝑎 + 𝑏⃑ ), del triángulo. Como en
los ángulos suplementarios se cumple que:
∝ 𝑦 ( 180 ° − 𝛼 )
Se verifica
cos 𝛼 = - cos ( 180 ° − 𝛼 )
Por ejemplo:

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Sean dos vectores en un plano de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60° ¿Cuál es el
vector suma?
El vector suma será la diagonal del paralelogramo con origen en el punto de aplicación de
ambos vectores, o, lo que es lo mismo, el lado que completa el triángulo con el método
cabeza-cola. El módulo del vector suma será:
|𝑎 + 𝑏⃑ | = √| 𝑎|2 + |𝑏⃑|
2
− 2 ∗ | 𝑎|2 ∗ |𝑏⃑ |
2
∗ cos ( 180° − 𝛼)
= √22 + 32 − 2 ∗ 2 ∗ 3 𝑐𝑜𝑠120°
= √4 + 9 − 12 ∗ (0,5) - 4,36
o Resta de vectores
Se procede igual que en la suma, bien operando con las componentes cartesianas, o bien
mediante el método del paralelogramo.
Sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos los componentes
cartesianos del segundo vector de los del primero:
𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘⃑

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𝑏⃑ = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘⃑
𝑎 − 𝑏⃑ = ( 𝑎 𝑥 − 𝑏𝑥) 𝑖 + ( 𝑎 𝑦 − 𝑏 𝑦)) 𝑗 + ( 𝑎 𝑍 − 𝑏𝑍 ) 𝑘⃑
Por ejemplo:
Sean los vectores 𝑎 = (2,-3,4) y el vector 𝑏⃑ = (3,4,-2):
𝑎 = (2 ,−3 , 4)
𝑏⃑ = ( 3 ,4 , −2)
𝑎 − 𝑏⃑ = 𝑐 = {2 ,−3 , −3 ,−4 ,4 − ( −2 )}= (-1, - 7, 6)
(-1, -7, 6) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector resta.
El mismo procedimiento serviría para restar dos vectores en el plano, de
ejes x e y.
Otro procedimiento para la resta de vectores es el método gráfico. Ahora, con el método del
paralelogramo tendremos que poner en el punto de aplicación del primer vector el punto de
aplicación del vector opuesto. En otras palabras, la resta de dos vectores equivale a sumarle
al primero el opuesto del segundo:
𝑎 − 𝑏⃑ = 𝑎 + (−𝑏⃑ )
Gráficamente, y tomando la resta de los mismos vectores que los del caso de la suma
por el método gráfico del ejemplo anterior:

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Paralelogramo
|𝑎 + 𝑏⃑ | = √| 𝑎|2 + |−𝑏⃑|
2
+ 2 ∗ | 𝑎| ∗ |𝑏⃑| ∗ 𝑐𝑜𝑠( 180° − °60)
√22 + 32 − 2 ∗ 2 ∗ 3 𝑐𝑜𝑠120°
√ 4 + 9 + 12 ∗ (−0,5) = 2,65
Vemos que la fórmula para hallar el módulo del vector resta es la misma que la del vector
suma, teniendo en cuenta que ahora el ángulo que forman los vectores es el suplementario
(ver ángulos suplementarios) del tomado en la suma.
En este ejemplo concreto, el módulo del vector resta seria 2,65. (Ver el teorema del coseno)
Al igual que en la suma de vectores, en la resta tenemos los procedimientos gráficos del
paralelogramo y el del triángulo o cabeza-cola.
Vemos en las figuras cómo cambia el sentido cuando se invierte el orden de los términos de
la resta.
En las figuras se han superpuesto el método del paralelogramo en la suma con el de cabeza-
cola para la resta.

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o Propiedades de la suma y resta de vectores
La suma de vectores tiene las propiedades:
 Asociativa:
| 𝑎| + (𝑏⃑ + 𝑐⃑⃑⃑ ) = (𝑎⃑⃑⃑⃑ + 𝑏⃑⃑⃑ ) + 𝑐⃑⃑
 Conmutativa:
𝑎 + 𝑏⃑⃑⃑ = 𝑏⃑ + 𝑎⃑⃑⃑
 Elemento opuesto :
𝑎 + 𝑏⃑⃑⃑ = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 = − 𝑏⃑⃑⃑
 Elementoneutro :
𝑎⃑⃑⃑ + 0 = 𝑎⃑⃑⃑
La resta de vectores no cumple la propiedad conmutativa. Ya que:
𝑎 − 𝑏⃑ = 𝑏⃑ − 𝑎
o Multiplicación de vectores
Producto de un vector por un escalar
La multiplicación de un vector 𝑣 por un escalar n es otro vector 𝑛𝑣⃑⃑⃑⃑ cuyo módulo será
|n| · | 𝑣|.
Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector
producto tendrá el sentido opuesto.

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Lo mismo diremos de la división de un vector por un escalar.
Producto escalar
Diferente a lo anterior es el producto escalar de dos vectores. Llamamos producto
escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número
escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por
el coseno del ángulo α que forman.
𝑎 ∗ 𝑏⃑ = | 𝑎| ∗ |𝑏⃑ |* cos a
También podemos decir que el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de
un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:
𝑎 − 𝑏⃑ = | 𝑎| ∗ |𝑏⃑|* cos a
Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el
producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el
producto escalar sería igual a:

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𝑎 ∗ 𝑏⃑ = | 𝑎| ∗ |𝑏⃑| 𝑎 ∗ 𝑏⃑ = | 𝑎|2
Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto escalar
será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).
= - | 𝑎| ∗ |𝑏⃑|

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Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo (cos 90° = 0).
a⃑ ∗ b⃑ = 0
El producto escalar de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver
mediante matrices o determinantes
𝑎 = 𝑎 𝑥 𝑖 + 𝑎 𝑦 𝑗 + 𝑎 𝑧 𝑘⃑ 𝑦 𝑏⃑ = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏 𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘⃑
lo podemos expresar como el producto de una matriz fila por otra
columna:
𝑎 ∗ 𝑏⃑ = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 * |
𝑏⃑ 𝑥
𝑏⃑ 𝑦
𝑏⃑ 𝑧
| = 𝑎 𝑥 ∗ 𝑏⃑ 𝑥 + 𝑎 𝑦 * 𝑏⃑ 𝑦 + 𝑎 𝑧 * 𝑏⃑ 𝑧
Ejemplo:
𝑎 = 𝑖 + 𝑗 − 3𝑘⃑ y 𝑏⃑ = 2𝑖 + 3𝑗 − 3𝑘⃑
𝑎 ∗ 𝑏⃑ = ( −1,1,−3) ∗ ( 2,3,1) = (-1) *2+ 1*3 + (-3) *1 = -2
En este ejemplo, el producto escalar es -2.

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Un caso de producto escalar sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza,
cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la
proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.
o Producto vectorial
Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores 𝑎 𝑦 𝑏⃑ a otro vector 𝑐 cuyo
módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que
forman.
Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación 𝑎 𝑥 𝑏⃑ como 𝑎 < 𝑏⃑ . Aquí
utilizaremos la notación 𝑎 ∆ 𝑏⃑
a⃑ ∆ b⃑ = |a⃑ | ∗ |b⃑ | * sen ∝
Referencias Bibliográficas
https://es.slideshare.net/JonathanVillarroel3/trabajo-vectores-en-el-plano-y-el-espacio-54242581
https://www.magnaplus.org/articulo/-/articulo/RT142/vectores-en-el-plano-y-en-el-espacio
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/vectores-en-el-
espacio.html
https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/operaciones-vectores/
https://ekuatio.com/operaciones-con-vectores-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/
https://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica-
1/1.1.Operaciones_basicas_vectores.pdf

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