El documento describe diferentes formas de representar una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua y general. También explica cómo determinar la posición relativa de dos rectas y calcular distancias entre puntos y un punto a una recta.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
1) El documento describe las superficies cónicas y secciones cónicas, incluyendo circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
2) Explica que una superficie cónica se obtiene al girar una recta alrededor de otra y cortarla con un plano, y define los tipos de secciones cónicas que resultan de cortes diferentes.
3) También cubre conceptos geométricos como lugares geométricos, potencia de un punto respecto a una circunferencia, eje radical de
El documento describe conceptos básicos de vectores en el plano R2. Define el conjunto R2 como pares ordenados de números reales y describe operaciones como suma y producto por escalares. Introduce conceptos como vectores linealmente independientes, base canónica y coordenadas cartesianas de vectores.
El documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial en el plano R2. Define el conjunto R2, sumas y productos de vectores, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y coordenadas cartesianas. Explica cómo representar y calcular vectores, incluido el módulo y punto medio de un segmento.
Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el espacio R3. Define R3 como el conjunto de todas las ternas de números reales y describe operaciones como suma y producto de vectores. Explica la diferencia entre vectores fijos y libres, y conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector. También cubre combinaciones lineales de vectores, bases y productos escalar y vectorial.
Este documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, orden, notación, igualdad, suma, producto por escalar, propiedades de las operaciones, producto, traspuesta, matriz identidad e inversa. Explica cómo representar elementos de una matriz, sumar y multiplicar matrices, y calcular la inversa de una matriz cuadrada utilizando un sistema de ecuaciones lineales.
Este documento describe expresiones algebraicas y polinomios. Explica que una expresión algebraica contiene números y letras relacionados por operaciones matemáticas, y que un polinomio está compuesto por la suma o resta de dos o más monomios. También define conceptos clave como coeficiente, parte literal, grado de un monomio y polinomio, y describe cómo realizar operaciones como suma, resta y producto con monomios y polinomios.
El documento define los números complejos, incluyendo su parte real e imaginaria. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos, así como expresarlos en forma polar usando el módulo y argumento. También cubre propiedades como el conjugado, opuesto y potencias de i.
1) El documento describe las superficies cónicas y secciones cónicas, incluyendo circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
2) Explica que una superficie cónica se obtiene al girar una recta alrededor de otra y cortarla con un plano, y define los tipos de secciones cónicas que resultan de cortes diferentes.
3) También cubre conceptos geométricos como lugares geométricos, potencia de un punto respecto a una circunferencia, eje radical de
El documento describe conceptos básicos de vectores en el plano R2. Define el conjunto R2 como pares ordenados de números reales y describe operaciones como suma y producto por escalares. Introduce conceptos como vectores linealmente independientes, base canónica y coordenadas cartesianas de vectores.
El documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial en el plano R2. Define el conjunto R2, sumas y productos de vectores, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y coordenadas cartesianas. Explica cómo representar y calcular vectores, incluido el módulo y punto medio de un segmento.
Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el espacio R3. Define R3 como el conjunto de todas las ternas de números reales y describe operaciones como suma y producto de vectores. Explica la diferencia entre vectores fijos y libres, y conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector. También cubre combinaciones lineales de vectores, bases y productos escalar y vectorial.
Este documento describe conceptos básicos sobre matrices, incluyendo su definición, orden, notación, igualdad, suma, producto por escalar, propiedades de las operaciones, producto, traspuesta, matriz identidad e inversa. Explica cómo representar elementos de una matriz, sumar y multiplicar matrices, y calcular la inversa de una matriz cuadrada utilizando un sistema de ecuaciones lineales.
Este documento describe expresiones algebraicas y polinomios. Explica que una expresión algebraica contiene números y letras relacionados por operaciones matemáticas, y que un polinomio está compuesto por la suma o resta de dos o más monomios. También define conceptos clave como coeficiente, parte literal, grado de un monomio y polinomio, y describe cómo realizar operaciones como suma, resta y producto con monomios y polinomios.
Este documento presenta un resumen sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales. Explica que este tipo de ecuaciones se pueden expresar como y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) y depende de dos constantes arbitrarias. También cubre ecuaciones de Cauchy-Euler, el método de solución, y el uso del Wronskiano para verificar la independencia lineal de soluciones.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
El documento introduce los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas como alternativas al sistema cartesiano. Explica cómo transformar entre los diferentes sistemas y cómo calcular integrales en cada uno de ellos. Proporciona ejemplos numéricos de conversiones entre sistemas de coordenadas.
El documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define cada tipo de progresión, sus elementos y propiedades. Explica la diferencia entre progresión aritmética, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante a la anterior, y progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. También cubre conceptos como término general, sumas, medios aritméticos y geométricos, e incluye ejemplos y ejercicios prácticos sobre
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Se describe el sistema de coordenadas cartesianas, el concepto de función, y algunas de las funciones básicas: lineal, afín, constante y de proporcionalidad directa
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
1) El documento presenta la solución a un problema que pide hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. 2) Para resolverlo, se establecen tres ecuaciones igualando la ecuación general de una circunferencia sustituyendo los valores de los tres puntos, formando un sistema de ecuaciones. 3) Luego, se resuelve el sistema utilizando el determinante de Cramer, obteniendo la ecuación de la circunferencia buscada.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones lineales, incluyendo: (1) la forma pendiente-intercepto y=mx+b para ecuaciones lineales, (2) cómo identificar la pendiente y el intercepto de una ecuación dada, y (3) cómo escribir una ecuación lineal dados la pendiente e intercepto o dos puntos en la recta. También cubre cómo representar gráficamente ecuaciones lineales y resolver problemas de velocidad constante usando ecuaciones lineales.
El documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consiste en obtener una matriz simplificada llamada forma escalonada por renglones. Esto se logra mediante operaciones como dividir renglones entre constantes, sumar o restar renglones, con el objetivo de obtener unos en posiciones específicas y ceros debajo de ellos. Proporciona un ejemplo para ilustrar los pasos del método.
Este documento describe las funciones y ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que una función de primer grado toma la forma f(x)=mx+b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. También cubre conceptos como la pendiente, el cero de la función, ecuaciones de rectas dadas un punto y una pendiente, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos para resolver dichos sistemas.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Describe que el método involucra calcular determinantes para determinar los valores de las incógnitas. Explica el procedimiento paso a paso usando un ejemplo de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m .teore...Enrique Ramon Acosta Ramos
1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.
El documento explica cómo generalizar el triángulo de Pascal mediante el uso de coeficientes multinomiales. Define multinomiales como el producto de coeficientes binomiales sucesivos y muestra cómo esto permite construir triángulos de coeficientes para trinomiales, tetranomiales y polinomiales más altos como análogos del triángulo de Pascal. También resume brevemente la historia y propiedades básicas del triángulo de Pascal.
Este documento presenta el proyecto final de estudiantes de álgebra lineal de la universidad de Mariano Gálvez de Guatemala. Explica conceptos básicos de álgebra lineal como suma, resta, multiplicación y determinantes de matrices, así como métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y ecuaciones de rectas en geometría analítica. Introduce vectores fijos y libres, y describe cómo realizar operaciones como suma y producto escalar de vectores. Explica cómo representar puntos, rectas y circunferencias mediante ecuaciones vectoriales, paramétricas, puntuales y de pendiente. El documento concluye describiendo cómo derivar diferentes formulaciones de la ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.
El documento describe las diferentes formas de representar una recta en el espacio tridimensional R3. Explica que dos puntos determinan una recta y cómo calcular su ecuación vectorial. Luego presenta las ecuaciones paramétricas y simétrica de una recta, y define cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. Por último, resuelve ejercicios aplicando estos conceptos.
Este documento presenta un resumen sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales. Explica que este tipo de ecuaciones se pueden expresar como y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) y depende de dos constantes arbitrarias. También cubre ecuaciones de Cauchy-Euler, el método de solución, y el uso del Wronskiano para verificar la independencia lineal de soluciones.
Este documento presenta la solución a un examen parcial de matemáticas II que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular los valores de a, b y c para que una matriz cumpla una relación y determinar la solución de un sistema homogéneo. El segundo problema pide hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, calcular la distancia entre un punto y la recta, y encontrar el punto simétrico de un punto con respecto a la recta. El tercer problema solicita graficar una función racional estudiando sus propiedades
El documento introduce los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas como alternativas al sistema cartesiano. Explica cómo transformar entre los diferentes sistemas y cómo calcular integrales en cada uno de ellos. Proporciona ejemplos numéricos de conversiones entre sistemas de coordenadas.
El documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define cada tipo de progresión, sus elementos y propiedades. Explica la diferencia entre progresión aritmética, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante a la anterior, y progresión geométrica, donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. También cubre conceptos como término general, sumas, medios aritméticos y geométricos, e incluye ejemplos y ejercicios prácticos sobre
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Se describe el sistema de coordenadas cartesianas, el concepto de función, y algunas de las funciones básicas: lineal, afín, constante y de proporcionalidad directa
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
1) El documento presenta la solución a un problema que pide hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. 2) Para resolverlo, se establecen tres ecuaciones igualando la ecuación general de una circunferencia sustituyendo los valores de los tres puntos, formando un sistema de ecuaciones. 3) Luego, se resuelve el sistema utilizando el determinante de Cramer, obteniendo la ecuación de la circunferencia buscada.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones lineales, incluyendo: (1) la forma pendiente-intercepto y=mx+b para ecuaciones lineales, (2) cómo identificar la pendiente y el intercepto de una ecuación dada, y (3) cómo escribir una ecuación lineal dados la pendiente e intercepto o dos puntos en la recta. También cubre cómo representar gráficamente ecuaciones lineales y resolver problemas de velocidad constante usando ecuaciones lineales.
El documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consiste en obtener una matriz simplificada llamada forma escalonada por renglones. Esto se logra mediante operaciones como dividir renglones entre constantes, sumar o restar renglones, con el objetivo de obtener unos en posiciones específicas y ceros debajo de ellos. Proporciona un ejemplo para ilustrar los pasos del método.
Este documento describe las funciones y ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que una función de primer grado toma la forma f(x)=mx+b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. También cubre conceptos como la pendiente, el cero de la función, ecuaciones de rectas dadas un punto y una pendiente, sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y métodos para resolver dichos sistemas.
Este documento presenta objetivos y conceptos básicos sobre inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales. Explica cómo resolver inecuaciones de diferentes tipos aplicando métodos como factorización, puntos críticos e intervalos. Incluye ejemplos resueltos de inecuaciones polinomiales, fraccionarias e irracionales para ilustrar los métodos. Finalmente, propone algunos ejercicios prácticos sobre resolución de inecuaciones para que los estudiantes apliquen los conocimientos.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento explica el método de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Describe que el método involucra calcular determinantes para determinar los valores de las incógnitas. Explica el procedimiento paso a paso usando un ejemplo de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Coeficientes multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m .teore...Enrique Ramon Acosta Ramos
1) El documento describe el teorema multinomial y cómo se pueden calcular los coeficientes multinomiales para expandir un polinomio elevado a la potencia m. 2) Presenta una nueva versión del teorema multinomial que especifica los valores que toman las variables ni de manera explícita. 3) Muestra un ejemplo numérico para r=4 y m=6.
El documento explica cómo generalizar el triángulo de Pascal mediante el uso de coeficientes multinomiales. Define multinomiales como el producto de coeficientes binomiales sucesivos y muestra cómo esto permite construir triángulos de coeficientes para trinomiales, tetranomiales y polinomiales más altos como análogos del triángulo de Pascal. También resume brevemente la historia y propiedades básicas del triángulo de Pascal.
Este documento presenta el proyecto final de estudiantes de álgebra lineal de la universidad de Mariano Gálvez de Guatemala. Explica conceptos básicos de álgebra lineal como suma, resta, multiplicación y determinantes de matrices, así como métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los conceptos básicos de vectores y ecuaciones de rectas en geometría analítica. Introduce vectores fijos y libres, y describe cómo realizar operaciones como suma y producto escalar de vectores. Explica cómo representar puntos, rectas y circunferencias mediante ecuaciones vectoriales, paramétricas, puntuales y de pendiente. El documento concluye describiendo cómo derivar diferentes formulaciones de la ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.
El documento describe las diferentes formas de representar una recta en el espacio tridimensional R3. Explica que dos puntos determinan una recta y cómo calcular su ecuación vectorial. Luego presenta las ecuaciones paramétricas y simétrica de una recta, y define cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. Por último, resuelve ejercicios aplicando estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos básicos de sistemas de coordenadas, incluyendo el eje numérico, plano cartesiano, recta y circunferencia. Explica cómo usar coordenadas para representar puntos y calcular distancias entre puntos. También describe cómo encontrar ecuaciones para rectas y circunferencias usando puntos, pendientes y radios.
Este documento describe las propiedades fundamentales de las rectas y funciones lineales. Explica que una función lineal es una función polinómica de primer grado cuya gráfica es una línea recta, y que una recta puede definirse como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección. También cubre conceptos como la pendiente, las diferentes formas de escribir la ecuación de una recta, y cómo calcular distancias y ángulos entre rectas. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento presenta las definiciones y propiedades fundamentales de las rectas y circunferencias en un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional. Explica conceptos como puntos, distancias, pendientes, ecuaciones de rectas, bisectrices, áreas de triángulos y polígonos regulares. También introduce la noción de circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un centro fijo, y define términos como radio, diámetro y cuerda.
Este documento describe conceptos geométricos en el espacio tridimensional como sistemas de coordenadas, puntos, rectas y planos. Define sistemas de referencia, coordenadas de puntos y vectores. Explica cómo calcular coordenadas de puntos medios, simétricos y baricentros. También describe posiciones relativas de rectas y planos, y cómo representarlos mediante ecuaciones.
Este documento presenta diferentes formas de escribir la ecuación de una recta en el plano cartesiano, incluyendo: 1) la ecuación punto-pendiente, 2) la ecuación dada su pendiente y ordenada al origen, 3) la ecuación por dos puntos, 4) la forma simétrica, y 5) la forma general. También discute las condiciones para que una ecuación represente una recta y cómo determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares basado en sus pendientes.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3 como parte de una sesión introductoria de matemática básica para ingeniería. Explica cómo representar puntos y vectores en R3, calcular la magnitud de un vector, y realizar operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También introduce ecuaciones para representar rectas y planos en R3.
El documento explica las ecuaciones paramétricas y su relación con el álgebra vectorial. Las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían a lo largo de un parámetro. El álgebra vectorial estudia sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales. Ambos campos están relacionados a través de las ecuaciones de rectas, donde las ecuaciones paramétricas y vectoriales pueden representar una misma recta.
El documento explica conceptos básicos sobre la línea recta en geometría analítica, incluyendo: ejes de coordenadas, puntos, distancia entre puntos, representación gráfica de ecuaciones lineales, pendiente, ecuaciones de rectas, rectas paralelas y perpendiculares. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta una introducción a la geometría analítica. Se definen conceptos como valor absoluto, coordenadas rectangulares y polares, distancia entre puntos, división de segmentos en una razón dada y área de polígonos. Incluye ejemplos, ejercicios y tareas para aplicar estos conceptos. El objetivo es que los estudiantes reconozcan la relación entre álgebra y geometría para resolver problemas de distancias.
Este documento describe las elipses y parábolas. Explica que una elipse es la intersección de un cono circular recto y un plano no paralelo a su base, y provee la ecuación general de una elipse. También explica que una parábola es la curva de puntos equidistantes de un foco y una recta directriz, y provee la ecuación general de una parábola. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar cómo determinar los elementos de estas cónicas a partir de sus ecuaciones.
Ecuación de la circunferencia con centro (h,k) para bachillerato con ejercicios propuestos, en un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación. (x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio. En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) distinto del origen y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.
(x-h)² + (y-k)² =r², donde (h,k) es el centro y r es el radio.
Para determinar la ecuación ordinaria de a circunferencia se necesita las coordenadas del centro y la medida del radio.
El documento describe el uso del plano cartesiano para analizar figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse. Explica cómo el plano cartesiano utiliza dos rectas perpendiculares para describir la posición de un punto mediante coordenadas. También presenta fórmulas para calcular la distancia entre puntos y ecuaciones que definen varias curvas como la recta, la circunferencia, la elipse y la hipérbole.
Este documento presenta los conceptos fundamentales relacionados con la ecuación de la recta en matemáticas, incluyendo la pendiente, las diferentes formas de la ecuación de la recta, y las posiciones relativas que pueden tener dos rectas. Explica cómo determinar la pendiente, ecuación y gráfica de una recta, así como identificar si dos rectas son paralelas o perpendiculares. Proporciona varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Aplicación de powerpoint a problemas resueltos de parábolas t4 parábola egv1 ...Pascual Sardella
Este documento presenta 4 problemas relacionados con parábolas. El primero pide hallar la ecuación de una parábola con vértice (3,2) y foco (5,2). El segundo pide hallar la ecuación de una parábola con foco (6,-2) y directriz x=2. El tercero pide hallar la ecuación de una parábola con eje paralelo a x que pase por 3 puntos dados. El cuarto pide determinar los elementos de una parábola dada por su ecuación.
Este documento presenta varios conceptos clave de la combinatoria, incluyendo permutaciones, variaciones, combinaciones y sus fórmulas para calcular el número de agrupaciones posibles. También explica el principio de la multiplicación y la suma, diagramas de árbol y el binomio de Newton como herramientas para resolver problemas combinatorios.
Este documento define conceptos básicos sobre funciones, incluyendo: 1) la definición de función, 2) la representación gráfica de funciones, 3) el dominio y recorrido de funciones, y 4) transformaciones y operaciones con funciones como suma, producto, composición e inversa. Explica estos conceptos a través de ejemplos matemáticos.
El documento explica las razones trigonométricas y cómo se calculan. Define las medidas de ángulos en grados y radianes, y establece la equivalencia entre ellos. Explica cómo calcular las razones trigonométricas del seno, coseno y tangente para ángulos de 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos. También amplía el concepto de ángulo a cualquier valor y explica el cálculo de razones trigonométricas para cualquier ángulo usando la circunferencia unitaria.
Este documento define conceptos básicos de probabilidad como espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos como unión e intersección, y presenta ejemplos para ilustrarlos. También introduce la regla de Laplace para calcular probabilidades cuando el espacio muestral es equiprobable, y los axiomas de la definición probabilística.
Este documento describe diferentes cuerpos geométricos, incluyendo poliedros (limitados por polígonos), la fórmula de Euler, poliedros regulares, prisma, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y esferas. Explica sus características, cómo calcular su área y volumen, y proporciona ejemplos numéricos.
Este documento define la semejanza de polígonos y triángulos, y explica que dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. También describe el teorema de Tales y cómo se puede usar para calcular longitudes desconocidas. Además, establece las razones entre los perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las medidas de ángulos en grados y radianes, y establece su equivalencia. Luego introduce las razones trigonométricas en triángulos rectángulos, y cómo calcularlas para ángulos de 30°, 45° y 60°. Finalmente, amplía el concepto de ángulo y razón trigonométrica a cualquier ángulo, y presenta la circunferencia goniométrica y la relación fundamental entre el seno y coseno de un ángulo.
Este documento trata sobre inecuaciones y programación lineal. Explica que una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas y cómo resolver inecuaciones de primer grado, segundo grado y sistemas de inecuaciones. También describe cómo representar geométricamente inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de estas inecuaciones.
Un conjunto es una colección de objetos. Puede definirse por extensión, indicando sus elementos, o por comprensión, indicando las propiedades de los elementos. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Las operaciones básicas con conjuntos incluyen la unión, que contiene los elementos de ambos conjuntos, e intersección, que contiene los elementos comunes a ambos conjuntos.
Este documento define la semejanza de polígonos y triángulos, y explica que dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. También describe el teorema de Tales y cómo se pueden usar escalas para representar distancias reales en mapas y planos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de estadística. Explica que la estadística se ocupa de recopilar, organizar y analizar datos. Distingue entre estadística descriptiva, que describe conjuntos de datos, y estadística inferencial, que elabora conclusiones sobre poblaciones a partir de muestras. También define conceptos como población, muestra, variable estadística, y métodos gráficos como diagramas de barras y sectores para describir datos.
El documento describe elementos geométricos básicos como puntos, rectas, planos y sólidos. Explica conceptos como segmentos, semirrectas, ángulos, circunferencias y sus medidas. También cubre construcciones geométricas usando regla y compás, incluyendo mediatriz de segmentos, bisectriz de ángulos y circunferencias tangentes.
El documento define y clasifica diferentes figuras planas como polígonos, triángulos, cuadriláteros y la circunferencia. Explica cómo calcular el área de estas figuras, incluyendo fórmulas para el rectángulo, cuadrado, rombo, trapecio y más. Además, describe elementos como vértices, lados, diagonales y ángulos, y propiedades como la suma de los ángulos interiores de un polígono.
Este documento define progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Se explican fórmulas para calcular cualquier término, la suma de términos y más propiedades de ambos tipos de progresiones.
Este documento explica conceptos relacionados con las proporciones y los porcentajes. Define la razón, la proporción y la constante de proporcionalidad. Explica cómo calcular aumentos y disminuciones porcentuales. También presenta ejemplos resueltos de problemas que involucran estas nociones matemáticas.
Este documento explica los números decimales y las operaciones con ellos. Los números decimales tienen una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. Se pueden representar usando potencias de 10. Las operaciones con números decimales siguen reglas similares a los enteros, alineando la coma en sumas y multiplicaciones, y aproximando resultados.
Este documento define ecuaciones y describe cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Explica que una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para valores específicos de las variables, y que resolver una ecuación implica calcular esos valores. También cubre conceptos como incógnitas, miembros de la ecuación y soluciones.
Los números enteros incluyen los números naturales y sus opuestos. Cada número entero tiene un signo positivo o negativo. Las operaciones con números enteros siguen reglas similares a los naturales pero considerando los signos para determinar el signo del resultado.
El documento trata sobre conceptos básicos de divisibilidad y números primos. Explica que un número es múltiplo de otro si es divisible entre él, y divisor si divide al otro número. Define números primos como aquellos que solo tienen como divisores el 1 y el propio número, y el resto como compuestos. Presenta métodos para determinar si un número es primo, como la criba de Erastótenes.
Este documento trata sobre potencias, radicales y notación científica. Explica qué son las potencias y cómo se calculan, así como las reglas para operar con potencias. También define los radicales, sus propiedades y cómo simplificar y racionalizar expresiones con ellos. Por último, introduce la notación científica para expresar números muy grandes o pequeños de forma compacta.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
3. Ecuación vectorial de la recta
Una recta queda determinada por dos puntos. Si formamos el vector que tiene
de extremo los dos puntos de la recta, obtendremos un vector director y
podremos calcular cualquier punto de la recta haciendo variar el módulo y
sentido de dicho vector.
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 = 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐 + 𝒌· 𝒒 𝟏 − 𝒑 𝟏, 𝒒 𝟐 − 𝒑 𝟐 , ∀𝒌 ∈ ℝ
𝑂𝑋 = 𝑂𝑃 + 𝑘 · 𝑃𝑄 , ∀𝒌 ∈ ℝ
𝑶
𝑷 (𝑝1, 𝑝2)
𝑸 (𝑞1, 𝑞2)
𝑂𝑃
𝑿 (𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐)
OQ
𝑂𝑋𝒓
𝑘 · 𝑃𝑄
Ecuación vectorial
de la recta
4. Ejemplo
Calculemos la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
A (1,2) y B(-2,3)
Solución
Calculamos en primer lugar el vector director de la recta:
A continuación, expresamos cualquier punto de la recta como suma del
vector de posición de los puntos A o B (es indiferente) y la variación en
módulo o sentido del vector director, quedando:
AB = −2 − 1,3 − 2 = (−3,1)
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 = 𝟏, 𝟐 + 𝒌· −𝟑, 𝟏 , ∀𝒌 ∈ ℝ
Vector de posición del punto A
Vector director de la recta
5. Ejemplo
Calculemos la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-1,6) y
tiene como vector director 𝒗 = (3, -1). ¿Pertenece el punto (1,1) a
la recta?
Solución
Utilizando la fórmula de la ecuación vectorial de la recta, queda:
𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐 = −𝟏, 𝟔 + 𝒌· 𝟑, −𝟏 , ∀𝒌 ∈ ℝ
Para saber si (1,1) pertenece a la recta sustituiremos en la ecuación:
𝟏, 𝟏 = −𝟏, 𝟔 + 𝒌· 𝟑, −𝟏 = (−1 + 3k, 6 − k)
Se obtienen dos ecuaciones:
1 = −1 + 3𝑘 ⇒ 𝑘 =
2
3
1 = 6 − 𝑘 ⇒ 𝑘 = 5
Al obtener dos soluciones distintas para k el punto no
pertenece a la recta
6. Ecuación paramétrica de la recta
Si tomamos la ecuación vectorial de la recta e igualamos cada una
de las dos componentes de los vectores, obtendremos las
ecuaciones paramétricas de la recta.
𝒙, 𝒚 = 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐 + 𝒌· 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 , ∀𝒌 ∈ ℝ
∀𝒌 ∈ ℝ
𝒙 = 𝒑 𝟏 + 𝑘𝒗 𝟏
𝒚 = 𝒑 𝟐 + 𝑘𝒗 𝟐
OP = 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐 vector de posición del punto P
v = 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 vector director de la recta
𝒙, 𝒚 punto genérico de la recta
𝒌 parámetro real
Ecuación paramétrica
de la recta
7. Ejemplo
Calculemos la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los
punto A (2,-1) y B (-4,3)
Solución
Formamos el vector director de la recta a partir de los dos puntos
por los que pasa:
A𝐵 = −𝟒 − 𝟐, 𝟑 − (−𝟏) = (−𝟔, 𝟒)
𝒙, 𝒚 = 𝟐, −𝟏 + 𝒌· −𝟔, 𝟒 , ∀𝒌 ∈ ℝ
∀𝒌 ∈ ℝ
𝒙 = 𝟐 − 6𝑘
𝒚 = −𝟏 + 4𝑘
Recordando la expresión de la ecuación paramétrica de la recta:
8. Ecuación continua de la recta
Si despejamos el parámetro en ambas ecuaciones de la forma
paramétrica de la recta, obtendremos la ecuación en forma
continua de la recta.
∀𝒌 ∈ ℝ
𝒙 = 𝒑 𝟏 + 𝑘𝒗 𝟏 ⇒ 𝑘 =
𝑥 − 𝒑 𝟏
𝒗 𝟏
𝒚 = 𝒑 𝟐 + 𝑘𝒗 𝟐 ⇒ 𝑘 =
𝑦 − 𝒑 𝟐
𝒗 𝟐
𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑥 − 𝒑 𝟏
𝒗 𝟏
=
𝑦 − 𝒑 𝟐
𝒗 𝟐
OP = 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐 vector de posición del punto P
v = 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 vector director de la recta
𝒙, 𝒚 punto genérico de la recta
𝒌 parámetro real
Ecuación continua de la recta
9. Ejemplo
Calculemos la ecuación continua de la recta que pasa por los punto
A (2,-1) y B (-4,3)
Solución
Formamos el vector director de la recta a partir de los dos puntos
por los que pasa:
A𝐵 = −𝟒 − 𝟐, 𝟑 − (−𝟏) = (−𝟔, 𝟒)
Recordando la expresión de la ecuación continua de la recta:
𝑥 − 𝟐
−𝟔
=
𝑦 + 1
𝟒
10. Ecuación general de la recta
Si operamos y transponemos todos los términos de la ecuación
continua de la recta, obtendremos la ecuación general de la recta,
que tiene la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎.
𝑥 − 𝒑 𝟏
𝒗 𝟏
=
𝑦 − 𝒑 𝟐
𝒗 𝟐
⇒ 𝒗 𝟐 𝑥 − 𝒑 𝟏 = 𝒗 𝟏 𝑦 − 𝒑 𝟐
𝒗 𝟐 𝒙 − 𝒗 𝟐 𝒑 𝟏 = 𝒗 𝟏 𝒚 − 𝒗 𝟏 𝒑 𝟐 ⇒ 𝒗 𝟐 𝒙 − 𝒗 𝟏 𝒚 − 𝒗 𝟐 𝒑 𝟏 + 𝒗 𝟏 𝒑 𝟐 = 𝟎
𝒂 = 𝒗 𝟐
b= −𝒗 𝟏
c= −𝒗 𝟐 𝒑 𝟏 + 𝒗 𝟏 𝒑 𝟐
Tomando los siguientes valores, obtenemos
la ecuación general 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
11. Ejemplo
Calculemos todas formas de ecuación la recta que pasa por el
punto A (3,1) y tiene por vector director 𝑢 (4,-2)
Solución
Ecuación vectorial 𝒙, 𝒚 = 𝟑, 𝟏 + 𝒌· 𝟒, −𝟐 , ∀𝒌 ∈ ℝ
Ecuación paramétrica ∀𝒌 ∈ ℝ
𝒙 = 𝟑 + 4𝑘
𝒚 = 𝟏 − 2𝑘
𝑥 − 𝟑
𝟒
=
𝑦 − 𝟏
−𝟐
Ecuación continua
Ecuación general -2𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎
12. Ecuación de la recta punto pendiente
La ecuación continua de la recta que pasa por el punto 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐 y
tiene por vector director v = 𝒗 𝟏, 𝒗 𝟐 tiene la forma:
𝑥 − 𝒑 𝟏
𝒗 𝟏
=
𝑦 − 𝒑 𝟐
𝒗 𝟐
Si despejamos transponemos el valor de 𝒗 𝟐 y
supuesto que 𝒗 𝟏 ≠ 𝟎. Podemos expresar la
ecuación de la forma:
𝑦 − 𝒑 𝟐 =
𝒗 𝟐
𝒗 𝟏
𝑥 − 𝒑 𝟏
A la expresión
𝒗 𝟐
𝒗 𝟏
se le denomina pendiente de
la recta y coincide con la tangente del ángulo
que forma la parte positiva del eje de abscisas
con la recta.
𝑟
𝑶
𝑷(𝑝1, 𝑝2)
v = (𝑣1, 𝑣2)
𝑣1
𝑣2
αα
13. Ejemplo
Calculemos la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,3) y
forma un ángulo de 300 con el eje de abscisas.
Solución
Recordando que 𝑡𝑔300
=
3
3
y utilizando la ecuación de la recta
punto pendiente, la ecuación quedaría:
𝑦 − 𝟑 =
3
3
𝑥 − 𝟐
14. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Dos rectas en el plano pueden ser:
Secantes: tienen un punto en común
Paralelas: no tienen ningún punto en común
Coincidentes: tienen todos los puntos en común
r1
r1
r1r2
r2
r2
15. Posición relativa y ecuaciones
Podemos saber la posición relativa de dos rectas en el plano resolviendo el sistema lineal
formado por sus ecuaciones, de tal forma que:
Si el sistema tiene una única solución la rectas son secantes, la solución del sistema
son las coordenadas del punto donde se cortan
Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas
Si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas serán coincidentes.
Ejemplo
Calculamos la posición relativa de las rectas
2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0
4𝑥 + 6𝑦 + 2 = 0
Resolviendo el sistema (multiplicando por -2 la primera ecuación y sumando a la
segunda ecuación:
0 = 0
−4𝑥 − 6𝑦 − 2 = 0
4𝑥 + 6𝑦 + 2 = 0
Esta identidad siempre se verifica, por
tanto, las rectas son coincidentes
16. Posición relativa: pendiente y ordenadas en el
origenEs posible conocer la posición relativa de dos rectas sin resolver el sistema lineal
de ecuaciones que forman sus ecuaciones.
Supongamos que las dos rectas tienen por ecuaciones generales las siguientes:
𝒓 ≡ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
𝒓′
≡ 𝒂′𝒙 + 𝒃′𝒚 + 𝒄′ = 𝟎
Las pendientes de ambas rectas
tendrán la forma:
𝒎 = −
𝒂
𝒃
𝒎′ = −
𝒂′
𝒃′
Las ordenadas en el origen de las
rectas tendrán la forma:
𝒏 = −
𝒄
𝒃
𝒏′ = −
𝒄′
𝒃′
Por tanto, si las pendientes son distintas las rectas serán secantes
Si las pendientes son iguales:
Si las ordenadas en el origen son iguales, las rectas son coincidentes
Si las ordenadas en el origen son distintas, las rectas serán paralelas
17. Haz de rectas secantes
Dado un punto P 𝒑 𝟏, 𝒑 𝟐 definimos el haz de rectas como el conjunto de todas las rectas
que pasan por P. Su ecuación es (el parámetro m representa cualquier pendiente):
𝒚 − 𝒑 𝟐 = 𝒎(𝒙 − 𝒑 𝟏) para cualquier 𝒎 ∈ ℝ
Ejemplo
Calculamos el haz de rectas que pasa por el punto (1,-2)
𝒚 + 𝟐 = 𝒎(𝒙 − 𝟏) para cualquier 𝒎 ∈ ℝ
18. Haz de rectas paralelas
Dada la recta 𝒓 ≡ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 definimos el haz de rectas paralelas a r como el
conjunto de las rectas del plano que son paralelas a aquella. Su ecuación es:
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒌 = 𝟎 para cualquier 𝒌 ∈ ℝ
Ejemplo
Calculamos el haz de rectas paralela a la recta 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟏 = 𝟎
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒌 = 𝟎 para cualquier 𝒌 ∈ ℝ
19. Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos 𝑃 𝑝1, 𝑝2 y 𝑄 𝑞1, 𝑞2 del plano coincide con el módulo del
vector 𝑃𝑄.
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑞1 − 𝑝1
2 + 𝑞2 − 𝑝2
2
Ejemplo
Calculamos la distancia de los puntos P(1,-2) y Q(-1,-1)
𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑞1 − 𝑝1
2 + 𝑞2 − 𝑝2
2
= −1 − 1 2 + −1 − −2
2
= 4 + 1 = 5
20. Distancia de un punto a una recta
Dados un punto P y una recta r, se define la distancia del punto a la recta como la mínima
distancia del punto a cualquiera de los puntos de la recta.
Esta distancia coincide con la distancia del punto P al punto de la recta que se obtiene al
trazar la recta perpendicular a la recta y que pasa por el punto P.
21. Distancia entre dos rectas
La distancia de dos rectas en el plano es la menor distancia a la que se encuentran dichas rectas, por lo que
únicamente tiene sentido si se trata de rectas paralelas. En el resto de casos es cero.
Seleccionando un punto P de una de las rectas, podemos calcular la distancia de dicho punto a la otra
recta. Sea 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 y 𝑠: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐′ = 0, sea 𝑃 𝑝1, 𝑝2 un punto que pertenezca a s,
entonces:
𝑎𝑝1 + 𝑏𝑝2 + 𝑐′ = 0
𝑑 𝑟, 𝑠 = 𝑑 𝑃, 𝑟 =
𝑎 · 𝑝1 + 𝑏 · 𝑝2 + 𝑐
𝑎2 + 𝑏2
=
−𝑐′ + 𝑐
𝑎2 + 𝑏2
=
𝑐 − 𝑐′
𝑎2 + 𝑏2
22. Ejemplo
Calculamos la distancia del punto 𝑃 −1,3 a la recta 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0.
𝑑 𝑃, 𝑟 =
𝑎 · 𝑝1 + 𝑏 · 𝑝2 + 𝑐
𝑎2 + 𝑏2
=
2 · −1 − 3 + 4
22 + (−1)2
=
−1
5
=
1
5
=
5
5
Calculamos la distancia de la recta 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 y la recta 𝑠: 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0
𝑑 𝑟, 𝑠 =
𝑐 − 𝑐′
𝑎2 + 𝑏2
=
4 − 5
22 + (−1)2
=
−1
5
=
5
5
Nota.- Ambas distancias son idénticas pues la recta s es la recta paralela a la recta r que pasa por el punto P.
23. Ángulo que forman dos rectas I
Dos rectas secantes forman cuatro ángulos iguales dos a dos siendo cada dos ángulos distintos suplementarios.
El ángulo formado por dos rectas será el menor de ellos.
Conocidos los vectores directores o los vectores normales
Sean las rectas 𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 y 𝑠: 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′ = 0. Dos vectores normales son: 𝑢 = 𝑎, 𝑏 y 𝑣 = 𝑎′, 𝑏′
sea α el ángulo que forman las dos rectas:
cos ∝=
𝑢 · 𝑣
𝑢 𝑣
=
𝑎 · 𝑎′
+ 𝑏 · 𝑏′
𝑎2 + 𝑏2 · 𝑎′2
+ 𝑏′2
0 ≤∝≤ 90 𝑜
Nota.- El cálculo con los vectores directores es idéntico.
α
Vectores normales
24. Ángulo que forman dos rectas II
Conocidas las pendientes
Sean las rectas 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 y 𝑠: 𝑦 = 𝑚′ 𝑥 + 𝑛′ 𝑥.
Las pendientes verifican que: 𝑡𝑔 ∝1= 𝑚 y 𝑡𝑔 ∝2= 𝑚′ donde ∝1 y ∝2 son
los ángulos correspondientes que forman las rectas con el eje de abscisas.
El ángulo que forman ambas rectas entre sí puede ser expresado como:
∝=∝1 −∝2 o bien ∝= 180 𝑜
− ( ∝1 −∝2).
En ambos casos, utilizando la fórmula trigonométrica de la tangente para
la diferencia de ángulos queda:
𝑡𝑔 ∝=
𝑡𝑔 ∝1 −𝑡𝑔 ∝2
1 + tg ∝1· tg ∝2
=
𝑚 − 𝑚′
1 + 𝑚 · 𝑚′ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤∝≤ 90 𝑜
∝1 ∝2
∝1-∝2
26. Puntos y rectas simétricos
Siendo M un punto fijo del plano, los puntos S y S’ serán simétricos en la simetría central con centro M, cuando
el punto M es el punto medio del segmento 𝑆𝑆′.
Simetría central
Sea r una recta fija que llamaremos eje de simetría. Los puntos S y S’ serán simétricos en la simetría axial
definida por el eje r cuando:
El segmento 𝑆𝑆′ sea perpendicular a la recta r
El punto de corte del segmento 𝑆𝑆′ con la recta r es a su vez el punto medio del segmento.
Simetría axial
27. Punto simétrico respecto de una recta
Cálculo del punto simétrico a 𝐴 = (−2,2) respecto de la recta r ≡ 2𝑥 + 𝑦 = 3
Solución:
Calcularemos la recta, s, que pasa por A y es
perpendicular a r. El vector director será (2,1) y un
punto de la misma será 𝐴 = (−2,2) . Por tanto, la
ecuación será:
𝑥 + 2
2
=
𝑦 − 2
1
; 𝑠 ≡ 𝑥 − 2𝑦 = −6
Calculamos la intersección de ambas rectas, éste será el
punto medio (M) del segmento que forman los dos puntos
simétricos.
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 2𝑦 = −6
; 𝑀 = 0,3
Aplicamos la condición para calcular A
𝐴 = −2,2
𝐴′
= 𝑥, 𝑦
𝑀 = 0,3
, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜,
−2 + 𝑥
2
= 0; 𝑥 = 2
2 + 𝑦
2
= 3; 𝑦 = 4
28. Cálculo de la mediatriz de un segmento
Dados los puntos 𝐴 = −3,0 𝑦 𝐵 = 5,4 , calcularemos la mediatriz.
Solución:
Calcularemos el punto medio del segmento de extremos A y B. Después, calcularemos la recta que pasa por
el punto medio y la recta perpendicular al segmento de extremos A y B.
𝑚1 =
−3 + 5
2
= 1
𝑚2 =
4 + 0
2
= 2
; 𝑀 = 1,2
El vector perpendicular a la mediatriz es: 𝐴𝐵 = 5 − −3 , 4 − 0 = 8,4 ≈ (2,1).
Por tanto, la mediatriz viene dada por la ecuación:
2 𝑥 − 1 + 𝑦 − 2 = 0 ; 2𝑥 + 𝑦 = 4