El documento describe diferentes métodos para sumar y restar vectores en tres dimensiones, incluyendo el método del polígono, triángulo, paralelogramo y descomposición en componentes cartesianas. Explica cómo calcular el módulo, dirección y sentido de un vector resultante usando estas técnicas gráficas y analíticas.

1. VECTORES EN TRES DIMENSIONES 1º- Tamaño del vector : Se resta las coordenadas de la cabeza con las coordenadas del origen 2º- Para el módulo del vector, llamado también norma, intensidad o tamaño. X i y j Z k 3 5 4 (x , y , z) (3i,5j,4k) A

2. ADICIÓN DE VECTORES MÉTODO DEL POLÍGONO 1º- Módulo de la Resultante: Consiste en construir un polígono con los vectores respetando las reglas para sumar, siempre conservando sus características. a) Se coloca el primer vector con su módulo, dirección y sentido . b) En la cabeza del primero se coloca el segundo vector con su módulo dirección y sentido, y así hasta terminar el último vector. c) La resultante es el vector que una el origen del primer vector con la cabeza del último vector. Y se mide con la regla el tamaño 2º-La dirección: Para hallar la dirección del vector resultante se mide el ángulo que forma la resultante con el eje de las abscisas “X” CARACTERÍSTICA Si al colocar los polígonos resulta una figura cerrada , entonces la resultante total de la suma es CERO. EJEMPLO: Dado los vectores hallar el módulo de la resultante máxima y su dirección. a b c d 45º 135º a b c d 135º 45º R O

3. SUSTRACCIÓN DE VECTORES MÉTODO DEL TRIÁNGULO 1º-Recordando: la sustracción en N 7 Minuendo -5 Sustraendo 2 Diferencia D = M – S Regla para restar Vectores Gráficamente 1º- Se coloca el primer vector con su módulo, dirección y sentido. 2º- En el ORIGEN del 1er vector se coloca el 2do vector con su módulo dirección y sentido. 3º- LA RESULTANTE es el vector que une la cabeza del vector sustraendo a la cabeza del vector minuendo. Ejemplos: Dados los vectores , hallar el módulo del la resultante mínima de los vectores. R = a – b R = b – a a b 30º b a b a R R

4. ADICIÓN DE VECTORES POR DESCOMPOSICIÓN RECTÁNGULAR Para resolver operaciones : 1º- se descompone cada vector en sus componentes rectangulares (x ,y ) 2º-Se suman estos valores . A = ( 3 , -3 ) B = ( -1, 2 ) C = ( -2, -1 ) D = ( 2, 0 ) R = ( 2, -2 ) 3º.- Para el Módulo se aplica la fórmula. 4º- Para la dirección se usa la fórmula: 5º Para el sentido: EJEMPLO: Dado el conjunto de vectores hallar el módulo de la resultante , dirección y sentido., si cada lado del cuadradito mide 1 A B C D Ax -Ay -Cx -Cy By -Bx

5. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES , MÉTODO DEL PARALELOGRAMO LEY DE LOS COSENOS Para sumar o restar vectores por el método del PARALELOGRAMO 1º- se coloca el 1er vector con su módulo, dirección y sentido, en su cabeza el 2do vector con su módulo, dirección y sentido. 2º- Se traza las PARALELAS de cada vector, formando un PARALELOGRAMO 3º- La resultante MÁXIMA es unir el origen de los dos vectores con la cabeza de estos. 4º- La resultante MÍNIMA es unir lasa cabezas de estos dos vectores. LEY DE LOS COSENOS EJEMPLO : Dados los vectores : halla le resultante máxima y mínima, gráfica y analíticamente A = 4 u , B = 6 u y = 60º GRAFICAMENTE: A = 4u B = 6u R= A +B R = B-A B A

6. CASOS ESPECIALES EN EL MÉTODO DEL PARALELOGRAMO PARA LA RESULTANTE MÁXIMA 60º R A A A A R A A R 120º A B R Bn An R A A R

7. ADICIÓN DE VECTORES POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS COORDENADAS CARTESIANAS 1º- Si los vectores se encuentran sobre en los ejes no se descomponen Componente en X = 3 u Componenete en Y= 0u 2º- Se descomponen los vectores que forman ángulo con las coordenadas cartesianas Componente en X = A cos Componente en Y = A sen A 3 A A cos A sen x y y -x -x -y x B C D Y = B cos X = -B sen X = -C sen Y = -C cos -y X = D cos Y = -D sen

8. EJEMPLO Calcular el módulo, la dirección y sentido del vector resultante , del siguiente sistema de vectores SOLUCIÓN: 1º- Se descompone cada vector . 2º- Se suman los valores de todas las componentes en “X” 3º- Se suman los valores de todas las componentes en “Y” 4º- Para hallar el Módulo se usa la fórmula: 5º- Para hallar la dirección se usa la fórmula. 6º- Para el sentido Se traza el sistema de coordenadas y se ubican los valores de x , y , luego se traza la resultante . A= 5 B=6 C=4 x y -x -y A cos 45º 45º A sen 45º 60º Bcos60º -Bsen60º Rx = Acos 45º - Bsen60º Ry = Asen45º+Bcos60º - C