Este documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante la ley de los senos y la ley de los cosenos. La ley de los senos establece la relación entre los senos de los ángulos y los lados opuestos. La ley de los cosenos relaciona los lados mediante las medidas de los ángulos y los cosenos. Se requieren tres datos conocidos para aplicar cualquiera de estas leyes y resolver por completo el triángulo. El documento incluye ejemplos y enlaces a más información.

2. Los triángulos oblicuángulos.
Para resolver los triángulos oblicuángulos se
aplican, principalmente, dos herramientas:
Ley de los cosenos
Ley de los senos

3. Los triángulos oblicuángulos.

4. Los triángulos oblicuángulos.
En esta presentación exploraremos esta pregunta,
y veremos cómo darle respuesta.

5. La fórmula de la ley de los senos es:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Los lados y ángulos se
identifican como se
muestra en la figura.

6. Para aplicar la ley de los senos, debe disponerse de
tres datos.
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪

7. Para aplicar la ley de los senos, debe disponerse de
tres datos.
Sin embargo, no pueden ser tres datos cualesquiera,
debe conocerse, al menos, un ángulo, su lado opuesto
y cualquier otro ángulo o lado.

8. Para aplicar la ley de los senos, debe disponerse de
tres datos.
Ejemplos en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles.html

9. La ley de los cosenos se expresa mediante tres
fórmulas:
𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒔𝑪

10. Para aplicar la ley de los cosenos, también debe
disponerse de tres datos.
𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒔𝑪

11. Para aplicar la ley de los cosenos, también debe
disponerse de tres datos.
¿Pueden ser tres datos cualesquiera?
¿O existe alguna limitación, como en la ley de los senos?

12. Para aplicar la ley de los cosenos, también debe
disponerse de tres datos.
Ejemplos en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles_29.html

13. Ejemplos de resolución de triángulos
oblicuángulos.
Se encuentran ejemplos de estas dos leyes en los
enlaces señalados.
Ley de los cosenos
Ley de los senos
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles.html
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles_29.html

14. Aplicaciones de triángulos
oblicuángulos.
Se encuentran ejercicios de aplicación de estas dos
leyes en el enlace señalado.
Ley de los cosenos
Ley de los senos
http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles_30.html

16. Para aplicar la ley de los cosenos, también debe
disponerse de tres datos.
¿Pueden ser tres datos cualesquiera?
¿O existe alguna limitación, como en la ley de los senos?
En los enlaces previamente mencionados se encuentran
ejemplos de algunos casos en los que es posible aplicar la ley
de los cosenos.

17. ¿Pueden ser tres datos cualesquiera?
En esta presentación se analizará un caso un poco más
complejo: Cuando se conocen dos ángulos y un lado del
triángulo.

18. ¿Pueden ser tres datos cualesquiera?
Es conveniente mencionar
que, evidentemente,
existen otras formas de
resolver este problema,
pero el objetivo es
determinar si es posible
resolverlo aplicando la ley
de los cosenos.

19. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°

20. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
Un primer paso muy
simple consiste en
obtener la medida del
ángulo C

21. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
Obtener la medida del
ángulo C
La suma de los ángulos
interiores de un triángulo
es igual a 180°

22. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
Obtener la medida del
ángulo C
La suma de los ángulos
interiores de un triángulo es
igual a 180°
𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟕𝟐° + 𝟒𝟓° ∴
𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟏𝟕° →
𝑪 = 𝟔𝟑°

23. Después de efectuar el primer paso, conocemos las
medidas de los tres ángulos del triángulo.
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°

24. Después de efectuar el primer paso, conocemos las
medidas de los tres ángulos del triángulo. Pero sólo un
lado, falta determinar las medidas de los otros dos
lados.

25. Se pueden aplicar diferentes estrategias para la
resolución de este problema, en este caso, el proceso
que se seguirá es:
Vamos a numerar las ecuaciones de la ley de cosenos.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑: 𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒔𝑪

26. Se sustituirán los datos disponibles en las ecuaciones 1
y 3, luego emplearemos el método de reducción para
eliminar los términos de segundo grado y
obtendremos una ecuación de primer grado con dos
incógnitas.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑: 𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒔𝑪

27. Se sustituirán los datos disponibles en las ecuaciones 1 y 3,
luego emplearemos el método de reducción para eliminar los
términos de segundo grado y obtendremos una ecuación de
primer grado con dos incógnitas.

28. Se sustituirán los datos disponibles en las ecuaciones 1 y 3,
luego emplearemos el método de reducción para eliminar los
términos de segundo grado y obtendremos una ecuación de
primer grado con dos incógnitas.
Reducción

29. Se sustituirán los datos disponibles en las ecuaciones 1 y 3,
luego emplearemos el método de reducción para eliminar los
términos de segundo grado y obtendremos una ecuación de
primer grado con dos incógnitas.
Esta ecuación sólo contendrá las
incógnitas a y c con exponente
igual a uno.

30. Se sustituirán los datos disponibles en la ecuación 2, la
cuál contendrá términos de segundo grado. Se
empleará el método de sustitución, despejando a de la
ecuación 4 y sustituyéndola en la ecuación 2.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩

31. Se sustituirán los datos disponibles en la ecuación 2, la
cuál contendrá términos de segundo grado. Se
empleará el método de sustitución, despejando a de la
ecuación 4 y sustituyéndola en la ecuación 2.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟒: 𝑫𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒅𝒂

32. Se sustituirán los datos disponibles en la ecuación 2, la
cuál contendrá términos de segundo grado. Se
empleará el método de sustitución, despejando a de la
ecuación 4 y sustituyéndola en la ecuación 2.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟒: 𝑫𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒅𝒂
Sustitución

33. Se sustituirán los datos disponibles en la ecuación 2, la
cuál contendrá términos de segundo grado. Se
empleará el método de sustitución, despejando a de la
ecuación 4 y sustituyéndola en la ecuación 2.
Con la sustitución se obtendrá
una ecuación de segundo grado,
con una incógnita, que será
resuelta mediante la fórmula
general.

34. Después de efectuar el primer paso, conocemos las
medidas de los tres ángulos del triángulo. Pero sólo un
lado, falta determinar las medidas de los otros dos
lados.
En las siguientes diapositivas se
realizarán las operaciones, paso
a paso.
*Nota importante: En las diapositivas siguientes sólo se muestran algunos decimales, sin
embargo, se están empleando todos los dígitos que se obtienen con Excel.

35. Sustitución de datos en las ecuaciones 1 y 3.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑: 𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒔𝑪 𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°
𝒂 𝟐
= 𝟑𝟔 + 𝒄 𝟐
− 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄
𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝟑𝟔 − 𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂

36. Sustitución de datos en las ecuaciones 1 y 3.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑: 𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
− 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒔𝑪 𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°
𝒂 𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝒄 𝟐 − 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 → 𝒂 𝟐 − 𝒄 𝟐 + 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
𝒄 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝟑𝟔 − 𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 → 𝒄 𝟐
− 𝒂 𝟐
+ 𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 − 𝟑𝟔 = 𝟎

37. Aplicación del método de reducción en las ecuaciones 1
y 3
𝒂 𝟐
− 𝒄 𝟐
+ 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
−𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
+ 𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 − 𝟑𝟔 = 𝟎

38. Aplicación del método de reducción en las ecuaciones 1
y 3
𝒂 𝟐
− 𝒄 𝟐
+ 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
−𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
+ 𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 − 𝟑𝟔 = 𝟎
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 + 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 − 𝟕𝟐 = 𝟎

39. Aplicación del método de reducción en las ecuaciones 1
y 3
Al reducir los términos de
segundo grado, se obtiene una
ecuación de primer grado con
dos incógnitas:
ay c.
En esta ecuación de primer grado con dos incógnitas
se despejará la incógnita a

40. Despejando la incógnita a
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 + 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 − 𝟕𝟐 = 𝟎
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 = −𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 + 𝟕𝟐
𝒂 =
−𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 + 𝟕𝟐
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖
𝒂 = −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟑𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏

41. Despejando la incógnita a
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 + 𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 − 𝟕𝟐 = 𝟎
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖𝒂 = −𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 + 𝟕𝟐
𝒂 =
−𝟖. 𝟒𝟖𝟓𝟐𝒄 + 𝟕𝟐
𝟓. 𝟒𝟒𝟕𝟖
𝒂 = −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏
El resultado del despeje se va
a sustituir en la ecuación2,
después de que se hayan
tomado los datos.

42. Sustitución de datos en la ecuación 2.
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝒃 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝑩
𝟔 𝟐
= 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄𝑪𝒐𝒔𝟕𝟐°
𝟑𝟔 = 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒂𝒄(𝟎. 𝟑𝟎𝟗𝟎)
𝟑𝟔 = 𝒂 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒂𝒄

43. Aplicación del método de sustitución de la ecuación 4
en la ecuación 2.
𝟑𝟔 = 𝒂 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒂𝒄
𝒂 = −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏

44. Aplicación del método de sustitución de la ecuación 4
en la ecuación 2.
𝟑𝟔 = (−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏) 𝟐
+𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖(−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏)𝒄
𝒂 = −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏

45. Operaciones algebraicas después de la sustitución.
𝟑𝟔 = (−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏) 𝟐+𝒄 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟏𝟖(−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏)𝒄
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒄 −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏 = 𝟑𝟔
Se eleva el binomio al cuadrado: El cuadrado del
primer término, más el doble producto del
primero por el segundo término, más el cuadrado
del segundo término.

46. Operaciones algebraicas después de la sustitución.
𝟑𝟔 = (−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏) 𝟐+𝒄 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟏𝟖(−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏)𝒄
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒄 −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏 = 𝟑𝟔
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐 − 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐 + 𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟔𝒄 𝟐 − 𝟖. 𝟏𝟔𝟖𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
El término c2 se pasa igual, y el monomio
0.618c se multiplica por cada término del
binomio -1.5575c+13.2161

47. Operaciones algebraicas después de la sustitución.
𝟑𝟔 = (−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏) 𝟐+𝒄 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟏𝟖(−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏)𝒄
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒄 −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏 = 𝟑𝟔
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
+ 𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟔𝒄 𝟐
− 𝟖. 𝟏𝟔𝟖𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
El 36 estaba del lado derecho del signo de igual “sumando”,
pasa del lado izquierdo “restando”

48. Operaciones algebraicas después de la sustitución.
𝟑𝟔 = (−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏) 𝟐+𝒄 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟏𝟖(−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏)𝒄
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒄 −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏 = 𝟑𝟔
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
+ 𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟔𝒄 𝟐
− 𝟖. 𝟏𝟔𝟖𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
𝟒. 𝟑𝟖𝟖𝟓𝒄 𝟐 − 𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐𝒄 + 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟎
Se reducen términos semejantes: primero los que tienen c2, luego los
que tienen c, y finalmente los términos independientes

49. Operaciones algebraicas después de la sustitución.
𝟑𝟔 = (−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏) 𝟐+𝒄 𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟏𝟖(−𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏)𝒄
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
− 𝟎. 𝟔𝟏𝟖𝒄 −𝟏. 𝟓𝟓𝟕𝟓𝒄 + 𝟏𝟑. 𝟐𝟏𝟔𝟏 = 𝟑𝟔
𝟐. 𝟒𝟐𝟓𝟗𝒄 𝟐
− 𝟒𝟏. 𝟏𝟔𝟗𝟐𝒄 + 𝟏𝟕𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟐 + 𝒄 𝟐
+ 𝟎. 𝟗𝟔𝟐𝟔𝒄 𝟐
− 𝟖. 𝟏𝟔𝟖𝒄 − 𝟑𝟔 = 𝟎
𝟒. 𝟑𝟖𝟖𝟓𝒄 𝟐
− 𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐𝒄 + 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟎

50. El resultado de la aplicación del método de sustitución
y la simplificación, es una ecuación de segundo grado
con una incógnita, que puede ser resuelta mediante la
fórmula general.
𝟒. 𝟑𝟖𝟖𝟓𝒄 𝟐
− 𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐𝒄 + 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟎
𝟒. 𝟑𝟖𝟖𝟓𝒙 𝟐
− 𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐𝒙 + 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟎

51. Aplicar fórmula general.
𝒂 𝒃 𝒄
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝟒. 𝟑𝟖𝟖𝟓𝒙 𝟐
− 𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐𝒙 + 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟎

52. Aplicar fórmula general.
𝒂 𝒃 𝒄
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(−49.3372) ± (−49.3372)2−4(4.3885)(138.6662)
2(4.3885)
𝟒. 𝟑𝟖𝟖𝟓𝒙 𝟐
− 𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐𝒙 + 𝟏𝟑𝟖. 𝟔𝟔𝟔𝟐 = 𝟎

53. Efectuar operaciones en la fórmula general.
𝑥 =
+49.3372 ± 2434.16409−2434.16409
8.777061
𝑥 =
−(−49.3372) ± (−49.3372)2−4(4.3885)(138.6662)
2(4.3885)

54. Efectuar operaciones en la fórmula general.
𝑥 =
+49.3372 ± 2434.16409−2434.16409
8.777061
𝑥 =
+49.3372 ± 0
8.777061
𝑥 =
−(−49.3372) ± (−49.3372)2−4(4.3885)(138.6662)
2(4.3885)
𝒙 =
+𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐 ± 𝟎
8.777061

55. Se obtienen dos valores de equis.
𝑥1 =
49.3372 + 0
8.777061
𝑥1 =
49.3372
8.777061
𝒙 𝟏 = 5.6211
𝑥2 =
49.3372 − 0
8.777061
𝑥2 =
49.3372
8.777061
𝒙 𝟐 = 5.6211
𝒙 =
+𝟒𝟗. 𝟑𝟑𝟕𝟐 ± 𝟎
8.777061

56. Los dos valores de x, son iguales porque el
discriminante es igual a cero, eso significa que el
problema sólo tiene una solución.
𝒙 𝟏 = 5.6211 𝒙 𝟐 = 5.6211
𝒙 = 5.6211

57. Los dos valores de x, son iguales porque el
discriminante es igual a cero, eso significa que el
problema sólo tiene una solución.
𝒙 𝟏 = 5.6211 𝒙 𝟐 = 5.6211
Es importante recordar que, al resolver una ecuación de segundo grado, pueden presentarse tres casos: Que
las soluciones sean imaginarias o complejas, que las soluciones sean reales y diferentes entre sí, y que las
soluciones sean reales, e iguales entre sí. Si las soluciones son imaginarias o complejas, el problema no tiene
solución real; si son dos soluciones reales diferentes, el problema tiene dos soluciones; y si, como en nuestro
caso, las dos soluciones son reales e iguales, entonces el problema tiene sólo una solución.
𝒙 = 5.6211

58. Los dos valores de x, son iguales porque el
discriminante es igual a cero, eso significa que el
problema sólo tiene una solución.
𝒙 = 5.6211 𝒄 = 5.6211
El lado c del triángulo mide 5.6211 cm.

59. Después de todo este proceso algebraico, conocemos las
medidas de los tres ángulos del triángulo y dos de sus
lados.
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°
𝒄 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏

60. Después de todo este proceso algebraico, conocemos las
medidas de los tres ángulos del triángulo y dos de sus
lados.
Ahora sólo falta determinar la medida del lado a.

61. Para determinar la medida del lado a, vamos a utilizar la
ecuación 1 de la ley de los cosenos.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨

62. Para determinar la medida del lado a, vamos a utilizar la
ecuación 1 de la ley de los cosenos.
Conocemos todos los datos, sólo es necesario
sustituir y despejar el exponente de la
incógnita a, como raíz cuadrada.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨

63. Para determinar la medida del lado a, vamos a utilizar la
ecuación 1 de la ley de los cosenos.
Despejar el exponente de la incógnita a, como
raíz cuadrada.
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝒂 𝟐
= 𝒃 𝟐
+ 𝒄 𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝒂 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨

64. Para determinar la medida del lado a, vamos a utilizar la
ecuación 1 de la ley de los cosenos.
Sustituyendo los valores conocidos.
𝒂 = (𝟔) 𝟐+(𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏) 𝟐−𝟐(𝟔)(𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏)𝑪𝒐𝒔𝟒𝟓
𝒂 = 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨

65. Efectuando operaciones.
𝒂 = (𝟔) 𝟐+(𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏) 𝟐−𝟐(𝟔)(𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏)𝑪𝒐𝒔𝟒𝟓
𝒂 = 𝟑𝟔 + 𝟑𝟏. 𝟓𝟗𝟕𝟒 − 𝟔𝟕. 𝟒𝟓𝟑𝟖𝟗(𝟎. 𝟕𝟎𝟕𝟏)
𝒂 = 𝟔𝟕. 𝟓𝟗𝟕𝟒 − 𝟒𝟕. 𝟔𝟗𝟕𝟏

66. Efectuando operaciones.
𝒂 = 𝟔𝟕. 𝟓𝟗𝟕𝟒 − 𝟒𝟕. 𝟔𝟗𝟕𝟏
𝒂 = 𝟏𝟗. 𝟗𝟎𝟎𝟑𝟏𝟏
𝒂 = 𝟒. 𝟒𝟔𝟎𝟗𝟕𝟔𝟒𝟏

67. Finalmente el problema está resuelto, conocemos las
medidas de sus tres lados y sus tres ángulos.
𝒃 = 𝟔
𝑨 = 𝟒𝟓°
𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°
𝒄 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏
𝒂 = 𝟒. 𝟒𝟔𝟎𝟗

68. Finalmente el problema está resuelto, conocemos las
medidas de sus tres lados y sus tres ángulos.
𝒄 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟏𝟏
𝑨 = 𝟒𝟓° 𝑩 = 𝟕𝟐°
𝑪 = 𝟔𝟑°

69. Finalmente el problema está resuelto, conocemos las
medidas de sus tres lados y sus tres ángulos.
Una forma rápida de “verificar” si los resultados son correctos consiste en asegurarnos que se cumple la propiedad: “En
cualquier triángulo, al lado mayor se le opone el ángulo mayor” y, por supuesto, al lado menor se le opone el ángulo menor.

70. Una forma más segura de comprobar si nuestros resultados son
correctos es mediante la aplicación de las ecuaciones de Mollweide.
Karl Brandan Mollweide, matemático y
astrónomo alemán, es más conocido por
su invención de la proyección de
Mollweide empleada en cartografía. Sin
embargo, también desarrolló estas
ecuaciones que relacionan las seis
dimensiones básicas de cualquier
triángulo.

71. Una forma más segura de comprobar si nuestros resultados son
correctos es mediante la aplicación de las ecuaciones de Mollweide.
𝑎 + 𝑏
𝑐
=
cos
𝐴 − 𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
𝑎 − 𝑏
𝑐
=
sen
𝐴 − 𝐵
2
𝑐𝑜𝑠
𝐶
2

72. Puede emplearse cualquiera de las dos ecuaciones: Se sustituyen los
datos y resultados del problema que resolvimos y debe obtenerse una
igualdad.
Vamos a probar con la primera de las ecuaciones.
𝑎 + 𝑏
𝑐
=
cos
𝐴 − 𝐵
2
𝑠𝑒𝑛
𝐶
2
4.4609 + 6
5.6211
=
cos
45 − 72
2
𝑠𝑒𝑛
63
2

73. Puede emplearse cualquiera de las dos ecuaciones: Se sustituyen los
datos y resultados del problema que resolvimos y debe obtenerse una
igualdad.
Vamos a probar con la primera de las ecuaciones.
4.4609 + 6
5.6211
=
cos
45 − 72
2
𝑠𝑒𝑛
63
2
10.4609
5.6211
=
cos −13.5
𝑠𝑒𝑛 31.5
1.861 =
0.972369
0.522498
1.861 = 1.861

74. Puede emplearse cualquiera de las dos ecuaciones: Se sustituyen los
datos y resultados del problema que resolvimos y debe obtenerse una
igualdad.
Vamos a probar con la primera de las ecuaciones.
1.861 = 1.861
Al obtenerse una igualdad, al menos podemos estar seguros que los seis datos
forman un triángulo con las dimensiones correspondientes al problema.

75. Gracias
Por su atención
Fuentes de información en línea
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76. Resuelve el siguiente triángulo rectángulo
𝒃 = 𝟖 +
𝑵𝑳
𝟓
𝑨 = 𝟒𝟐. 𝑵𝑳°
𝑩 = 𝟔𝟖. 𝑵𝑬°
Tarea: Resolver mediante Ley de Cosenos