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Introducción
Los científicos e ingenieros utilizan las ecuaciones paramétricas para analizar las variables que cambian a lo largo del
tiempo. En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres
dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable
dependiente, con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus
parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (X,Y) equivale a la expresión (X, F(x)). De manera
resumida las ecuaciones paramétricas nos permiten representar una curva o superficie en el espacio, gracias a un
conjunto de valores que recorren cierto intervalo de números reales mediante una variable llamada parámetro.
Generalidades del algebra vectorial
Como sabemos, el álgebra vectorial se encarga de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y
sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional,
investigación de operaciones, ecuaciones paramétricas, entre muchas otras. El álgebra vectorial, surge del estudio de los cuarteniones,
a su vez, viene estudiada bajo tres fundamentos:
1. Geométricamente: Aquí, los vectores representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y
multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Un ejemplo de ello, es la suma de vectores por el
método del paralelogramo.
2. Analíticamente: En este caso, la descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este
tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
3. Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de
representación geométrica.
Las Ecuaciones paramétricas y el algebra vectorial
Las ecuaciones paramétricas y el álgebra vectorial, tienen una relación estrecha, en un lugar llamado “Ecuaciones de
la Recta”, donde nos muestran que juntas pueden ayudar a la representación de la recta. Un ejemplo simple de la
cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramétrica como la vectorial. Un
espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El
parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los
parámetros. La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto 𝑃(𝑋_𝑜,𝑌_𝑜, 𝑍_𝑜)y que es paralela al vector de
dirección n =< a, b, c > es:
𝑋 = 𝑝 + 𝑡 𝑛
Donde t representa el parámetro de la ecuación.
Ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas nos permiten representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que
recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como
una función dependiente del parámetro.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos una recta como en la imagen propuesta y en ella
Conocemos un punto A de coordenadas (𝑋0, 𝑌0) y un vector V en la dirección de la
recta de coordenadas (𝑎, 𝑏). La ecuación vectorial de esta recta tiene esta expresión:
𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝒕 ∙ (𝒂, 𝒃)
𝑨 = (𝑿 𝟎, 𝒀 𝟎)
𝑽 = (𝒂, 𝒃)
Punto Vector
A partir de esta expresión procederemos a conseguir las ecuaciones paramétricas:
𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝒕 ∙ (𝒂, 𝒃)
1. Operamos en el segundo miembro: Primero multiplicaremos t por el vector (a,b) y sus coordenadas y nos dará esta
esta expresión:
𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + (𝒕 ∙ 𝒂, 𝒕 ∙ 𝒃)
Ahora procedemos a sumar esos vectores teniendo en cuenta que debemos sumar por separado las primeras
coordenadas y las segundas coordenadas si esta igualdad es cierta las primeras coordenadas deben ser iguales entre sí, es
decir:
𝒙, 𝒚 = (𝒙 𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕, 𝒚 𝟎 + 𝒃 ∙ 𝒕)
𝒙 = 𝒙 𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕
𝒚 = 𝒚 𝟎 + 𝒃 ∙ 𝒕
Es muy importante que en cualquiera de las formas que se quiera escribir una recta se sepa encontrar un punto de la
misma y un vector director en el caso de las ecuaciones paramétricas las coordenadas del punto son los términos
independientes y las coordenadas del vector son los coeficientes de t.
“Estas dos ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta”
Punto Vector
Ejercicio 1
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 𝐴 = 3,5 y tiene un vector director 𝑉 = −2,1 :
Procedemos a sustituir el punto y el vector:
𝒙 = 𝟑 + (−𝟐) ∙ 𝒕
𝒚 = 𝟓 + 𝟏 ∙ 𝒕
𝒙 = 𝟑 − 𝟐𝒕
𝒚 = 𝟓 + 𝒕
Ejercicio 2
Dada la recta con ecuaciones paramétricas:
𝒙 = 𝟐𝒕
𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕
A. Obtén un punto y un vector director de la misma.
B. Obtén su ecuación vectorial.
Resolución
A.
𝒙 = 𝟐𝒕
𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕
𝒙 = 𝟎 + 𝟐𝒕
𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕
𝑨 = 𝟎, 𝟏
𝑉 = (𝟐, −𝟓)
B. 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝒕 ∙ 𝒂, 𝒃 𝒙, 𝒚 = 𝟎, −𝟏 + 𝒕 ∙ 𝟐, −𝟓 Esta es su ecuación vectorial.
Graficas de ecuaciones paramétricas
Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas:
𝑨. 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 1, 𝑦 𝑡 = 2𝑡 + 4, −3 ≤ 𝑡 ≤ 2
𝑩. 𝑥 𝑡 = 𝑡2
− 3, 𝑦 𝑡 = 2𝑡 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
𝑪. 𝑥(𝑡) = 4 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦(𝑡) = 4 𝑠𝑒𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Solución
𝑨. 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 1, 𝑦 𝑡 = 2𝑡 + 4, −3 ≤ 𝑡 ≤ 2
Para crear un gráfico de esta curva, primero configure una tabla de valores. Dado que la variable independiente tanto en x(t) como
en y(t) es t, deje que t aparezca en la primera columna. Entonces, x(t) y y(t) aparecerán en la segunda y tercera columnas de la tabla.
t X (t ) Y (t )
−3 −4 −2
−2 −3 0
−1 −2 2
0 −1 4
1 0 6
2 1 8
La segunda y tercera columnas de esta tabla proporciona un conjunto de puntos que se trazarán. El gráfico de estos puntos aparece
en la Figura 8.1_3. Las flechas del gráfico indican la orientación del gráfico, es decir, la dirección en la que se mueve un punto en el
gráfico cuando t varía de −3 a 2.
Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte a).
𝑩. 𝑥(𝑡) = 𝑡² − 3, 𝑦(𝑡) = 2𝑡 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
Para crear una gráfica de esta curva, nuevamente configuramos una tabla de valores.
Las columnas segunda y tercera en esta tabla dan un conjunto de puntos para ser trazados. El primer punto en el gráfico
(correspondiente a t = −2) tiene coordenadas (1, −3), y el último punto (correspondiente a t = 3) tiene coordenadas (6, 7). A medida
que t progresa de −2 a 3, el punto en la curva viaja a lo largo de una parábola. La dirección en la que se mueve el punto se llama
nuevamente orientación y se indica en la gráfica.
t X (t) Y (t)
-2 1 -3
-1 -2 -1
0 -3 1
1 -2 3
2 1 5
3 6 7
Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte b)
𝑪. 𝑥(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
En este caso, usamos múltiplos de π/6 para t y creamos la siguiente tabla de valores:
t x(t) y(t)
0 4 0
π/6 2√3 ≈ 3.5 2
π/3 2 2√3 ≈ 3.5
π/2 0 4
2π/3 -2 2√3 ≈ 3.5
5π/6 -2√3 ≈ -3.5 2
π -4 0
7π/6 -2√3 ≈ -3.5 2
2π/3 -2 -2√3 ≈ -3.5
3π/2 0 -4
5π/3 2 -2√3 ≈ -3.5
11π/6 2√3 ≈ 3.5 2
2π 4 0
La gráfica de esta curva plana aparece en el siguiente figura.
Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte c).
Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas
Ejemplo:
Si tenemos una ecuación paramétrica:
𝒙 = 𝒕, 𝒚 = 𝟏 − 𝒕
¿Cuál es la ecuación cartesiana de la expresión?
 Para obtener la ecuación cartesiana procedemos a eliminar t.
𝒚 = 𝟏 − 𝒙 𝟐
y
x
𝑥 ≥ 0
Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
Conclusión
Las ecuaciones paramétricas son de gran importancia pues permite tratar como funciones a
curvas que no lo son si se las considera dentro del Sistema de coordenadas clásico, como por
ejemplo las circunferencias y elipses. Aún así, es también utilizable para facilitar cálculos en
sistemas de 4 o más variables, que no poseen representación gráfica.

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ECUACIONES PARAMETRICAS NESLYMAR MARTINEZ 28546182

  • 1.
  • 2. Introducción Los científicos e ingenieros utilizan las ecuaciones paramétricas para analizar las variables que cambian a lo largo del tiempo. En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (X,Y) equivale a la expresión (X, F(x)). De manera resumida las ecuaciones paramétricas nos permiten representar una curva o superficie en el espacio, gracias a un conjunto de valores que recorren cierto intervalo de números reales mediante una variable llamada parámetro.
  • 3. Generalidades del algebra vectorial Como sabemos, el álgebra vectorial se encarga de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, ecuaciones paramétricas, entre muchas otras. El álgebra vectorial, surge del estudio de los cuarteniones, a su vez, viene estudiada bajo tres fundamentos: 1. Geométricamente: Aquí, los vectores representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Un ejemplo de ello, es la suma de vectores por el método del paralelogramo. 2. Analíticamente: En este caso, la descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas. 3. Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.
  • 4. Las Ecuaciones paramétricas y el algebra vectorial Las ecuaciones paramétricas y el álgebra vectorial, tienen una relación estrecha, en un lugar llamado “Ecuaciones de la Recta”, donde nos muestran que juntas pueden ayudar a la representación de la recta. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil. Existen numerosas formas de representar una recta, lo que incluye tanto la forma paramétrica como la vectorial. Un espacio tridimensional puede ser utilizado para determinar una ecuación vectorial que denote una línea recta. El parámetro es sencillamente una variable cuyo objetivo principal es describir una relación particular con la ayuda de los parámetros. La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto 𝑃(𝑋_𝑜,𝑌_𝑜, 𝑍_𝑜)y que es paralela al vector de dirección n =< a, b, c > es: 𝑋 = 𝑝 + 𝑡 𝑛 Donde t representa el parámetro de la ecuación.
  • 5. Ecuaciones paramétricas Las ecuaciones paramétricas nos permiten representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Ejemplo: Supongamos que tenemos una recta como en la imagen propuesta y en ella Conocemos un punto A de coordenadas (𝑋0, 𝑌0) y un vector V en la dirección de la recta de coordenadas (𝑎, 𝑏). La ecuación vectorial de esta recta tiene esta expresión: 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝒕 ∙ (𝒂, 𝒃) 𝑨 = (𝑿 𝟎, 𝒀 𝟎) 𝑽 = (𝒂, 𝒃) Punto Vector
  • 6. A partir de esta expresión procederemos a conseguir las ecuaciones paramétricas: 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝒕 ∙ (𝒂, 𝒃) 1. Operamos en el segundo miembro: Primero multiplicaremos t por el vector (a,b) y sus coordenadas y nos dará esta esta expresión: 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + (𝒕 ∙ 𝒂, 𝒕 ∙ 𝒃) Ahora procedemos a sumar esos vectores teniendo en cuenta que debemos sumar por separado las primeras coordenadas y las segundas coordenadas si esta igualdad es cierta las primeras coordenadas deben ser iguales entre sí, es decir: 𝒙, 𝒚 = (𝒙 𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕, 𝒚 𝟎 + 𝒃 ∙ 𝒕) 𝒙 = 𝒙 𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕 𝒚 = 𝒚 𝟎 + 𝒃 ∙ 𝒕 Es muy importante que en cualquiera de las formas que se quiera escribir una recta se sepa encontrar un punto de la misma y un vector director en el caso de las ecuaciones paramétricas las coordenadas del punto son los términos independientes y las coordenadas del vector son los coeficientes de t. “Estas dos ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta” Punto Vector
  • 7. Ejercicio 1 Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 𝐴 = 3,5 y tiene un vector director 𝑉 = −2,1 : Procedemos a sustituir el punto y el vector: 𝒙 = 𝟑 + (−𝟐) ∙ 𝒕 𝒚 = 𝟓 + 𝟏 ∙ 𝒕 𝒙 = 𝟑 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝟓 + 𝒕 Ejercicio 2 Dada la recta con ecuaciones paramétricas: 𝒙 = 𝟐𝒕 𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕 A. Obtén un punto y un vector director de la misma. B. Obtén su ecuación vectorial. Resolución A. 𝒙 = 𝟐𝒕 𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕 𝒙 = 𝟎 + 𝟐𝒕 𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕 𝑨 = 𝟎, 𝟏 𝑉 = (𝟐, −𝟓) B. 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟎, 𝒚 𝟎 + 𝒕 ∙ 𝒂, 𝒃 𝒙, 𝒚 = 𝟎, −𝟏 + 𝒕 ∙ 𝟐, −𝟓 Esta es su ecuación vectorial.
  • 8. Graficas de ecuaciones paramétricas Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas: 𝑨. 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 1, 𝑦 𝑡 = 2𝑡 + 4, −3 ≤ 𝑡 ≤ 2 𝑩. 𝑥 𝑡 = 𝑡2 − 3, 𝑦 𝑡 = 2𝑡 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3 𝑪. 𝑥(𝑡) = 4 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦(𝑡) = 4 𝑠𝑒𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 Solución 𝑨. 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 1, 𝑦 𝑡 = 2𝑡 + 4, −3 ≤ 𝑡 ≤ 2 Para crear un gráfico de esta curva, primero configure una tabla de valores. Dado que la variable independiente tanto en x(t) como en y(t) es t, deje que t aparezca en la primera columna. Entonces, x(t) y y(t) aparecerán en la segunda y tercera columnas de la tabla.
  • 9. t X (t ) Y (t ) −3 −4 −2 −2 −3 0 −1 −2 2 0 −1 4 1 0 6 2 1 8 La segunda y tercera columnas de esta tabla proporciona un conjunto de puntos que se trazarán. El gráfico de estos puntos aparece en la Figura 8.1_3. Las flechas del gráfico indican la orientación del gráfico, es decir, la dirección en la que se mueve un punto en el gráfico cuando t varía de −3 a 2.
  • 10. Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte a).
  • 11. 𝑩. 𝑥(𝑡) = 𝑡² − 3, 𝑦(𝑡) = 2𝑡 + 1, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3 Para crear una gráfica de esta curva, nuevamente configuramos una tabla de valores. Las columnas segunda y tercera en esta tabla dan un conjunto de puntos para ser trazados. El primer punto en el gráfico (correspondiente a t = −2) tiene coordenadas (1, −3), y el último punto (correspondiente a t = 3) tiene coordenadas (6, 7). A medida que t progresa de −2 a 3, el punto en la curva viaja a lo largo de una parábola. La dirección en la que se mueve el punto se llama nuevamente orientación y se indica en la gráfica. t X (t) Y (t) -2 1 -3 -1 -2 -1 0 -3 1 1 -2 3 2 1 5 3 6 7
  • 12. Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte b)
  • 13. 𝑪. 𝑥(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 En este caso, usamos múltiplos de π/6 para t y creamos la siguiente tabla de valores: t x(t) y(t) 0 4 0 π/6 2√3 ≈ 3.5 2 π/3 2 2√3 ≈ 3.5 π/2 0 4 2π/3 -2 2√3 ≈ 3.5 5π/6 -2√3 ≈ -3.5 2 π -4 0 7π/6 -2√3 ≈ -3.5 2 2π/3 -2 -2√3 ≈ -3.5 3π/2 0 -4 5π/3 2 -2√3 ≈ -3.5 11π/6 2√3 ≈ 3.5 2 2π 4 0
  • 14. La gráfica de esta curva plana aparece en el siguiente figura. Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte c).
  • 15. Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas Ejemplo: Si tenemos una ecuación paramétrica: 𝒙 = 𝒕, 𝒚 = 𝟏 − 𝒕 ¿Cuál es la ecuación cartesiana de la expresión?  Para obtener la ecuación cartesiana procedemos a eliminar t. 𝒚 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 y x 𝑥 ≥ 0
  • 16.
  • 17.
  • 18. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas.
  • 19.
  • 20.
  • 21. Conclusión Las ecuaciones paramétricas son de gran importancia pues permite tratar como funciones a curvas que no lo son si se las considera dentro del Sistema de coordenadas clásico, como por ejemplo las circunferencias y elipses. Aún así, es también utilizable para facilitar cálculos en sistemas de 4 o más variables, que no poseen representación gráfica.