U8.2: Funciones

1. Ecuaciones lineales
U8.2: Funciones
Prof. Rosa E. Padilla Torres

2. Forma pendiente
intercepto

3. Ecuación lineal
• Ecuación cuya gráfica es una recta.
• Ecuación de grado uno.
• Las potencias de sus variables son 1.

4. Intercepto
• Intercepto en x:
– La coordenada x del punto donde la gráfica
cruza el eje de x.
– Cuando y = 0.
• Intercepto en y:
– La coordenada y del punto donde la gráfica
cruza el eje de y.
– Cuando x = 0.

5. Forma “pendiente intercepto”
de una ecuación lineal
• La forma pendiente intercepto de una
ecuación lineal es:
y = mx + b
Pendiente
Intercepto y

6. Identificar la pendiente y el
intercepto
• Cuáles son la pendiente y el
intercepto de:
𝑦 = 3𝑥 − 5
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑦 =
7
6
𝑥 −
3
4
Recuerda:
y = mx + b
Pendiente
Intercepto y

7. Escribir una ecuación
• Escribe la ecuación de una recta con
pendiente de
3
8
e intercepto en y de 6.
• Usa la fórmula de y = mx + b
𝑦 =
3
8
𝑥 + 6

8. Escribir la ecuación de una
recta a partir de una gráfica
𝑦 = −
3
4
𝑥 + 2

9. Escribir la ecuación de una
recta dados dos puntos
• Paso 1:
–Halla dos puntos en la recta.
–Dos puntos de la recta son
(0, 2) y (4, -1)

10. Escribir la ecuación de una
recta dados dos puntos
• Paso 2:
–Halla la pendiente.
–Los dos puntos de la recta son
(0, 2) y (4, -1)
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
−1 − 2
4 − 0
𝑚 =
−3
4

11. Escribir la ecuación de una
recta dados dos puntos
• Paso 3:
–Halla el intercepto en y.
–Observar dónde la recta corta el
eje de y cuando x = 0.
–Cuando x = 0, y = 2

12. Escribir la ecuación de una
recta dados dos puntos
• Paso 4:
–Escribir la ecuación de la
recta, a partir de la fórmula:
y = mx + b
–Entonces:
𝑦 = −3
4
𝑥 + 2

13. Halla la pendiente y el intercepto
“y” de cada ecuación
1. 𝑦 = −2𝑥 + 1
2. 𝑦 = −1
2
𝑥 + 2
3. 𝑦 = 𝑥 − 5
4
4. 𝑦 = 5𝑥 + 8
5. 𝑦 = 2
3
𝑥 + 1
6. 𝑦 = −4𝑥
7. 𝑦 = −𝑥 − 7
8. 𝑦 = −0.7𝑥 − 9
9. 𝑦 = −3
4
𝑥 − 5
10. 𝑦 = 1
4
𝑥 + 2

14. Escribe la ecuación de una recta con la
pendiente e intercepto dados
1. 𝑚 =
2
9
, 𝑏 = 3
2. 𝑚 = 3, 𝑏 =
2
9
3. 𝑚 =
9
2
, 𝑏 = 3
4. 𝑚 = 0, 𝑏 = 1
5. 𝑚 = −1, 𝑏 = −6
6. 𝑚 = −
2
3
, 𝑏 = 5
7. 𝑚 = 0.3, 𝑏 = 4
8. 𝑚 = −1, 𝑏 = −6
9. 𝑚 = −7, 𝑏 =
1
3
10. 𝑚 = −
1
5
, 𝑏 = −
2
5
11. 𝑚 = −
1
4
, 𝑏 =
5
4
12. 𝑚 =
8
3
, 𝑏 =
2
3

15. Escribe la forma pendiente intercepto
de la ecuación para cada recta
1.

16. Escribe la forma pendiente intercepto
de la ecuación para cada recta
2.

17. Escribe la forma pendiente intercepto
de la ecuación para cada recta
3.

18. Escribe la forma pendiente intercepto
de la ecuación para cada recta
4.

19. Escribe la forma pendiente intercepto
de la ecuación para cada recta
5.

20. Escribe la forma pendiente intercepto
de la ecuación para cada recta
6.

21. Representar gráficamente las
ecuaciones
• Representa gráficamente
𝑦 = 3𝑥 − 1

22. Representar gráficamente las
ecuaciones
• Paso 1:
–El intercepto y es -1.
–Entonces traza un punto en
(0,-1)

23. Representar gráficamente las
ecuaciones
• Paso 2:
–La pendiente es 3 o
3
1
.
–Usa la pendiente para trazar
el segundo punto.

24. Representar gráficamente las
ecuaciones
• Paso 2:
arriba 3
derecha 1

25. Representar gráficamente las
ecuaciones
• Paso 3:
–Traza una recta a través de
los dos puntos.

26. Usa la pendiente y el intercepto y para
representar gráficamente cada ecuación
1. 𝑦 = 2
3
𝑥 + 4
2. 𝑦 = 1
2
𝑥 −1
3. 𝑦 = −5𝑥 + 2
4. 𝑦 = 2𝑥 +5
5. 𝑦 = 𝑥 + 4
6. 𝑦 = − 𝑥 +2
7. 𝑦 = 4𝑥 − 3
8. 𝑦 = −2
3
𝑥
9. 𝑦 = 2
5
𝑥 − 3
10. 𝑦 = −2
3
𝑥 + 2
11. 𝑦 = −3
4
𝑥 + 4
12. 𝑦 = −0.5𝑥 +2

27. Repasando lo aprendido
Halla la pendiente y el intercepto en cada ecuación
1. 𝑦 − 2 = −3𝑥
2. 𝑦 = 3𝑥 − 9
3. 𝑦 +
1
2
𝑥 = 0
4. 𝑦 − 9𝑥 =
1
2
5. 2𝑦 − 6 = 3𝑥
6. −2𝑦 = 6 5 − 3𝑥
7. 𝑦 − 𝑑 = 𝑐𝑥
8. 𝑦 = 2 − 𝑎 𝑥 + 𝑎
9. 2𝑦 + 4𝑛 = −6𝑥
10. 𝑦 + 2 = 5𝑥 − 4

28. Reto matemático
• Una vela se enciende a la hora t = 0. Su altura
original es de 12 pulgadas. Después de 30
minutos, la altura de la vela es de 8 pulgadas.
– Haz la gráfica para representar el cambio en la
altura de la vela.
– Escribe una ecuación que relacione la altura
de la vela con el tiempo que ha estado
encendida.
– ¿Cuántos minutos durará la vela después de
que la enciendan?

29. Reto matemático
• Paso 1:
– Vemos la información que nos da el
problema.
• Tamaño inicial de la vela = 12 pulg
• Tiempo inicial: t = 0
• Tamaño después de 30 minutos, 8 pulgadas
– Obtenemos dos puntos:
• (0, 12) tiempo = 0, tamaño = 12
• (30, 8) tiempo = 30, tamaño = 8

30. Reto matemático
• Paso 2:
–Dados los dos puntos, dibujamos la
gráfica
Tiempo (minutos)
Altura
(pulgadas)

31. Reto matemático
• Paso 3:
–Dados los dos puntos, hallamos la
pendiente para escribir la ecuación de la
recta.
– 𝑚 =
8 − 12
30 − 0
=
−4
30
= −
2
15
–Escribimos la ecuación de la recta:
• 𝑦 = −
2
15
𝑥 + 12

32. Reto matemático
• Paso 4:
– ¿Cuánto tiempo dura la vela encendida
– Utilizamos la ecuación de la recta:
• 𝑦 = −
2
15
𝑥 + 12
– Necesitamos saber cuando el tamaño de la vela es 0.
0 = −
2
15
𝑥 + 12 2
15
𝑥 = 12 15
2
2
15
𝑥 = 12
15
2
𝑥 = 90
– La vela tarda 90 minutos en consumirse
completa.

33. Forma “general” de una
ecuación lineal
• La forma general de una ecuación lineal
es:
Ax + By = C
• Donde A, B y C son números reales
mientras que A y B no son iguales a cero.

34. Halla los interceptos x e y en:
3x + 4y = 8
• Paso #1: Para hallar el intercepto x,
sustituye y = 0 y luego resuelve para x.
– 3𝑥 + 4𝑦 = 8
– 3𝑥 + 4 0 = 8
– 3𝑥 = 8
– 𝑥 =
8
3
– El interepto en x es
8
3
.

35. Halla los interceptos x e y en:
3x + 4y = 8
• Paso #2: Para hallar el intercepto y,
sustituye x = 0 y luego resuelve para y.
– 3𝑥 + 4𝑦 = 8
– 3(0) + 4𝑦 = 8
– 4𝑦 = 8
– 𝑦 = 2
– El intercepto en y es 2.

36. Hacer gráficas lineales usando
interceptos
Haz una gráfica de 2𝑥 + 3𝑦 = 12 usando interceptos.
• Paso 1: Halla los
interceptos.
• Intercepto x
• 2𝑥 − 3𝑦 = 12
• 2𝑥 − 3 0 = 12
• 2𝑥 = 12
• 𝑥 = 6
• Intercepto y
• 2𝑥 − 3𝑦 = 12
• 2(0) − 3𝑦 = 12
• 3𝑦 = 12
• 𝑦 = 4
• Paso 2: Localiza los puntos
(0,4) y (6,0) y traza una línea a
través de los puntos.

37. Halla los interceptos x e y
de cada ecuación
1. 𝑥 + 2𝑦 = 18
2. 3𝑥 − 𝑦 = −9
3. −5𝑥 + 𝑦 = 30
4. −6𝑥 + 3𝑦 = −9
5. 4𝑥 + 12𝑦 = −18
6. 9𝑥 − 6𝑦 = −72
7. −2𝑥 − 3𝑦 = −12
8. 7𝑥 − 2𝑦 = 4
9. −8𝑥 + 10𝑦 = 40
10.2𝑥 − 5𝑦 = 10

38. Representación de rectas
horizontales
• Representar 𝑦 = −3:
– Escribe de la forma general
• 0𝑥 + 1𝑦 = −3
• Para todos los valores de x, y = -3

39. Representación de rectas
verticales
• Representar 𝑥 = 2:
– Escribe de la forma general
• 1𝑥 + 0𝑦 = 2
• Para todos los valores de y, x = 2

40. Práctica:
• Representa gráficamente cada ecuación
usando los interceptos x e y.
1) 𝑥 + 𝑦 = 2
2) 𝑥 + 𝑦 = −5
3) 𝑥 − 𝑦 = −7
4) −3𝑥 + 𝑦 = 6
5) −2𝑥 + 𝑦 = −6
6) 5𝑥 − 3𝑦 = 15

41. Práctica
• Identifica si la gráfica de cada ecuación es
una recta horizontal o vertical.
1) 𝑦 = −1
2) 𝑥 = −7
3) 𝑦 = 2
1
2
4) 𝑥 = 4.5

42. Práctica
• Escribe cada ecuación en forma general
usando enteros.
1) 𝑦 = 3𝑥 + 1
2) 𝑦 = 4𝑥 − 7
3) 𝑦 =
1
2
𝑥 − 3
4) 𝑦 =
2
3
𝑥 + 5
5) 𝑦 = −
3
4
𝑥 − 4

43. Forma “punto pendiente”
de una ecuación lineal
• La forma punto pendiente de una
ecuación de una recta no vertical con
pendiente m y que pasa por el punto
(x1,y1) es
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

44. Representar con la forma
punto pendiente
• Representa gráficamente la ecuación 𝑦 − 5 =
1
2
𝑥 − 2
• La ecuación muestra que la recta pasa por el
punto (2, 5) y tiene pendiente =
1
2
.
• Localiza el punto (2, 5).
• Usando la pendiente, sube una unidad y
mueve dos unidades a la derecha, hasta el
punto (4, 6).
• Traza una recta a través de los dos puntos.

45. 𝑦 − 5 =
1
2
𝑥 − 2

46. Rectas paralelas
• Las rectas paralelas son rectas que están
en el mismo plano pero nunca se
intersecan.
• 𝑦 =
1
2
𝑥 +
3
2
• 𝑦 =
1
2
𝑥 − 1

47. Rectas perpendiculares
• Las rectas perpendiculares son las que se
intersecan para formar ángulos rectos.
• 𝑦 = −
1
4
𝑥 − 1
• 𝑦 = 4𝑥 + 2

48. Rectas perpendiculares
• Dos rectas son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es -1.
• Una recta horizontal y una recta
vertical también son perpendiculares.

49. Razonamiento
• Indica si cada enunciado es cierto o falso. Si
es falso, da un contraejemplo.
– 1. Una tasa de cambio debe ser positiva o 0.
– 2. Todas las rectas horizontales tienen la misma
pendiente.
– 3. Una recta con pendiente 1 siempre pasa por el
origen.
– 4. Dos rectas pueden tener la misma pendiente.
– 5. La pendiente de la recta que pasa por el
cuadrante III debe ser negativa.
– 6. Una recta con pendiente 0 nunca pasa por el
punto (0, 0).