PARADOJA DE RUSSELL

1. JAVIER ZARAZAGA Y DANIEL ESTRADA

2. ÍNDICE
20XX 2
1. Ejemplo de tipos de conjuntos
1. Se contienen a sí mismos
2. No se contienen a sí mismos
2. Paradoja de Russell
3. Ejemplos de la paradoja
1. Paradoja del barbero
2. Paradoja del Quijote
3. Paradoja tipo test
4. Enunciado formal de la paradoja
5. Conclusiones

3. 20XX
PLANO E2
• Conjunto A:={Todos los en el plano E²} A no es un en el
plano E², entonces A no se contiene a sí mismo.
• Conjunto A∁:={Todo lo que no es un en el plano E²} A∁ no es
un , entonces A∁ se contiene a sí mismo.

4. Hemos visto en el ejemplo anterior que hay conjuntos que no se contienen
a sí mismos y otros que sí.
De aquí surge la paradoja de Russell, el tema central de la presentación.
Definamos R como el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen
a sí mismos. Ahora bien ¿R se contiene a sí mismo?
• Si R no se contiene a sí mismo, por definición R se contiene a sí
mismo.
• Si R se contiene a sí mismo, entonces R no se contiene a sí mismo.
Esto produce una paradoja autorreferencial, la cual se da en la teoría de
conjuntos y por lo tanto esta paradoja tiene su análogo en
forma semántica.
20XX 4

5. 20XX 5
EJEMPLO DEL BARBERO
En un pequeño pueblo hay un barbero.
El barbero solo afeita a
aquellas personas que no se afeitan a sí
mismos.
¿Quién afeita al barbero?
Si no se afeita a sí mismo, entonces
debería afeitarse a sí mismo porque él es
el barbero.
Pero si se afeita a sí mismo, entonces no
debería estar afeitándose a sí mismo
porque es el barbero.

6. EJEMPLO DE DON QUIJOTE
Sancho Panza está custodiando un puente
por el que antes de pasar has de declarar
tus intenciones. Si dices la verdad eres
libre de cruzar, pero si mientes eres
ahorcado. Un día llega un hombre que dice:
"Vengo a ser ahorcado"
Si el hombre miente ha de ser ahorcado,
pero entonces lo que decía era verdad.
Y si lo que decía era verdad debe pasar el
puente, pero entonces no será ahorcado y
no estaba diciendo la verdad.
20XX 6

7. EJEMPLO DEL TIPO TEST
Si elegimos una opción al azar
de esta pregunta, ¿Cuál es
la probablidad de
que elijamos la respuesta correcta?
Al haber 1 sola opción
correcta entre 4 la probabilidad es
de 0.25, pero al ser
0.25 las respuestas a) y d), la
probabilidad es de 0,5 la
respuesta b). Sin embargo, si
la respuesta es la b), la
probabilidad de acertar es de 0.25
y se repite el bucle.
20XX 7
A) 0.25
B) 0.5
C) 0.6
D) 0.25

8. LA PARADOJA EN TÉRMINOS FORMALES
20XX 8
Sea M el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como
miembros, es decir , podemos representar el conjunto como
, es decir, cada conjunto es elemento de M si y solo si no
es elemento de sí mismo. Esto implica que , lo cual es una
contradicción. Por ello los axiomas en los que se basa la teoría de conjuntos son
inconsistentes.

9. CONCLUSIONES
20XX 9
La paradoja de Russell aparte de servir para crear
curiosas paradojas lógicas supuso un gran problema
para los matemáticos de principios del s.XX, los cuales
vieron como los axiomas de la teoría de conjuntos
provocaban esta paradoja. Esto se consiguió solventar
años después con el uso de otros axiomas, pero, aun
así, en 1931 Kurt Gödel demostraría que cualquier
sistema consistente es necesariamente incompleto,
acabando con la esperanza de Russell y otros lógicos
matemáticos de basar las matemáticas en un sistema
formal y lógico sin contradicciones basado en axiomas
que fuera capaz de demostrar que cualquier
enunciado es verdadero o falso.

10. FI
N
20XX 10