Este documento presenta la solución de varios problemas relacionados con el cálculo de rasantes para curvas verticales simétricas. En el primer problema se calculan las cotas de rasante en diferentes abscisas y los puntos más altos y bajos. El segundo problema calcula las cotas de tres curvas verticales y los puntos máximo y mínimo. El tercer problema calcula la longitud, abscisa del PIV y cotas de rasante para una curva insertada.

1. PROBLEMA 4.1
Datos:
Las Longitudes de las curvas simétricas para los cuatro PIV de la Figura 4.40 son en su orden 60m,
80m, 50m y 20m respectivamente.
Figura 4.40 Problema 4.1
Calcular:
a) Las cotas de rasante en las abscisas K0+190, K0+440, K0+620, K0 + 800, K0+910
b) Las abscisas y cotas del punto más bajo y más alto de la rasante.
Solución
Curva vertical No. 1
Punto AbscisaCota Negra Corrección Cota Roja
PCV – 1K0 + 170 489,8 0 489,80
K0 + 190 488,6 0,233 488,83
Corrección = Y =
 
  60200
207
2
= 0,233
Curva vertical No. 1
Punto AbscisaCota Negra Corrección Cota Roja
PTV – 2 K0 + 460 494,2 0 494,20

2. K0 + 440 492,2 0,225 492,425
Corrección = Y =
 
  80200
209
2
= 0,225
Cota para K0 + 620
100
2
=
60
X
X = 1,2
Cota a = 504,2 – 1,2 = 503
Cota para K0 + 800
100
2
=
240
X
X = 4,8
Cota b = 504,2 – 4,8 – 0,075 = 499,325
Cota en B
100
5
=
110
X
X = 5,5
Cota B = 499,4 – 5,5 = 493,9
Punto AbscisaCota Negra Corrección Cota Roja
PTV – 1K0 + 230 488,30 0 488,3
K0 + 220 488,20 0,0583 488,2580
K0 + 221 488,21 0,0472 488,2572
K0 + 222 488,22 0,0373 488,2573
PTV – 3 K0 + 585 503,70 0 503,7
K0 + 575 503,90 0,1200 503,7800
K0 + 576 503,88 0,0972 503,7830
K0 + 577 503,86 0,0768 503,7830
K0 + 576,5 503,87 0,0867 403,7833
PROBLEMA 4.2
Datos:
Las Longitudes de las curvas simétricas para los tres PIV de la figura 4,41 son de 40m, 80m y 60m
respectivamente.

3. Figura 4.41 Problema 4.2
Calcular:
a) Las cotas en la rasante sobre la vertical de la externa para las tres curvas.
b) Las abscisas y cotas del punto máximo y mínimo
Solución
m1 =
40
50,1050,13 
= 7,5%
m2 =
100
50,130,15 
= 1,5%
m3 =
100
0,100,15 
= 5,0%
m4 =
60
00,1050,11 
= 2,5%
Abscisa del PCV y PTV
Abscisa PCV No. 1 = Abscisa PIV No. 1 – Lv1 / 2
Abscisa PCV No. 1 = K0 + 040 –
2
40
= K0 + 020
Abscisa PCV No. 2 = K0 + 140 –
2
80
= K0 + 100

4. Abscisa PCV No. 3 = K0 + 240 –
2
60
= K0 + 210
Abscisa PTV No. 1 = K0 + 040 +
2
40
= K0 + 060
Abscisa PTV No. 2 = K0 + 140 +
2
80
= K0 + 180
Abscisa PTV No. 3 = K0 + 240 +
2
60
= K0 + 270
i1 = 7,5 – 1,5 = 6,0%
i2 = 1,5 + 5,0 = 6,5%
i3 = 5,0 + 2,5 = 7,5%
EV1 =
  
8
06,040
= 0,30 m
EV1 =
  
8
065,080
= 0,65 m
EV1 =
  
8
075,060
= 0,563 m
Cota No. 1 (Curva Vertical No. 1) = 13,50 – 0,30 = 13,20
Cota No. 2 (Curva Vertical No. 2) = 15,00 – 0,65 = 14,35
Cota No. 3 (Curva Vertical No. 3) = 10,00 – 0,563 = 10,563
X = Ly
i
m






=
5,6
5,1
x 80 = 18,462
Abscisa del punto máximo
Abs PCV No. 2 + X

5. K0 + 100 + 18,462 = K0 + 118,462
Cota PCV No. 2 = 15,00 – 0,015 x
2
80
= 14,40
Cota del punto máximo
14,40 + 0,015 x 18,462 -
  802
065,0
x (18,462)2
= 14,538
Abscisa y cota del punto mínimo
K0 + 210 + 40 = K0 + 250
Cota PCV No. 3 = 10,00 – 0,05 x
2
60
= 11,5
Cota del punto mínimo
11,50 + 0,05 x 40,00 +
  602
075,0
x (40)2
= 10,5
PROBLEMA 4.3
Datos:
Los puntos A y B pertenecen a la tangente vertical de entrada y los puntos C y D a la tangente
vertical de salida. Se desea insertar una curva vertical simétrica entre los puntos B y D.
Las abscisas y cotas en la tangente de los cuatro puntos son:
Punto Abscisa Cota en la tangente (m)
A K2 + 994 502,320
B K3 + 010 505,560
C K3 + 112 503,320
D K3 + 170 502,160
Calcular:
a) La longitud de dicha curva.
b) La abscisa de su PIV.
c) Las cotas de la rasante en las abscisas K3+052, K3+100 y K3+180.

6. d) Tendrá esta curva problemas de drenaje?
Solución
a) La longitud de dicha curva.
L = Abs PTV – Abs PCV
L = K3 + 170 – K3 + 010
L = 3170 – 3010
L = 160 m
b) La abscisa de su PIV.
Abs PIV = Abs B + L/2
Abs PIV = K3 + 010 + 80
Abs PIV = K3 + 090
c) Las cotas de la rasante en las abscisas K3+052, K3+100 y K3+180.
Cota PIV = 502 + 0,015 (3090 - 2994)
Cota PIV = 503,76 m
Para K3 + 052
Cota Rasante = 503,76 – 0,015 (3090 - 2994)
Cota Rasante = 503,19 m
Para K3 + 052
Cota Rasante = 503,76 – 0,02 (310 - 3090)
Cota Rasante = 503,56 m

7. Para K3 + 052
Cota Rasante = 503,76 – 0,02 (3180 - 3090)
Cota Rasante = 501,96 m
Nota
En la figura se muestran los diferentes puntos mencionados en el problema

9. PROBLEMA 4.4
Datos:
Para una curva vertical simétrica se conoce:
Pendiente de la tangente vertical de entrada = -1%
Pendiente de la tangente vertical de salida = -8%
Cota del PCV = 522,80 m
Calcular:
a) La longitud de la curva, de tal manera que en un punto localizado a 15 metros después del
PIV, la cota de la rasante esté a tres metros por debajo de la cota del PCV.
b) La cota del PTV
Solución
Cota de P = Cota PCV – mx – 





Lv
i
2
X2
519,84 = 522,84 – 0,09 





15
2
Lv
-
Lv2
009,0
2
15
2







Lv
- 3,0 Lv = 0,045 Lv – 1,35 – 0,045 Lv 





 22515
4
2
Lv
Lv

10. - 3,0 Lv = 0,045 Lv – 1,35 – 0,045 Lv2
+ 0,6 Lv + 9
0,0145 Lv2
– 2,36 – 7,65 = 0
Lv = 165,93 m
Cota del PIV = (522,84 – 0,01
2
93,165
) = 522,01 m
Cota del PIV = 515,37 m
PROBLEMA 4.5
Datos:
Para la figura 4.42, se trata de dos curvas verticales simétricas, donde:
LV1 = 100 m
LV2 = 120 m
Cota del PCV – 1 = 500 m
Figura 4.42 Problema 4.5
Calcular:
a) La distancia horizontal entre el punto máximo y el punto mínimo de ambas curvas.
b) La cota de la rasante 20 metros adelante del PIV – 2
Solución

11. Cota P1 = Cota PIV1 – Y1
Cota PIV1 = Cota PCV1 + m
2
Lv
Cota PIV1 = 500 + 0,02 (50)
Cota PIV1 = 501 m
Y1 = 2
2
X
Lv
i






Entonces
Cota P1 = Cota PIV1 + mx - 2
2
X
Lv
i






Cota P1 = 501 + 0,02X - 2
2
X
Lv
i






1
1
x
z


= 0 = 0 + 0,02
1
1
X
CotaP


= 0 + 0,02 - 1
1
X
Lv
i
= 0
i = m – n = 2% - (- 5%)
i = 7%

12. X1 =
 
07,0
10002,0
= 28,571 m
La longitud entre el punto P y PTV1 es,
1PTVP  = 100 – 28,571 = 71,429 m
Para la curva vertical No. 2
Cota PIV2 = Cota PIV1 – m x 140
Cota PIV2 = 501 – 0,05 x 140 = 494 m
Cota PCV2 = 501 –  60140  x0,05 = 497 m
Y2 = 2
2
X
Lv
i






Entonces
Cota P2 = Cota PIV2 + mx - 2
2
X
Lv
i






Cota P1 = 497 – 0,05X - 2
2
X
Lv
i







13. 2x
z


=
2
2
X
CotaP


= 0 - 0,05 - 2
2
X
Lv
i
= 0
i = m – n = -5% - 8%
i = - 13%
X2 =
 
13,0
12005,0


= 46,154 m
Para calcular la distancia entre el P1 y P2 se hace así,
1PTVP  = 100 – 28,571 = 71,429 m
ET = 30 m
22 PPCV  = 46,154 m
21 PP  = 71,429 + 30 + 46,154
21 PP  = 147,583 m
b)
i = m – n = -5% - 8%
i = - 13%
Y = 2
2
X
Lv
i






Y(80) =
  





1202
13,0
(80)2
= 3,467 m
Cota PIV2 = 494 m
Cota h’ = Cota PIV2 – m x 20 = 494 – 0,05 (20) = 493 m
Cota h = Cota h’ – y = 493 + 3,467 = 496,467 m

14. PROBLEMA 4.6
Datos:
En una curva cóncava simétrica de 120 metros de longitud, con pendiente de entrada del -4% , la
diferencia de cotas entre las respectivas rasantes del PCV y un punto de abscisa K3 + 890 es de
0,825 metros. Se sabe además que la abscisa del PCV es el K3 + 860 y su cota 500 m.
Calcular:
La cota en la rasante de la abscisa K3 + 930
PROBLEMA 4.7
Datos:
En la figura 4,43 el punto máximo de la curva vertical de la vía 1 debe caer en la abscisa K0 + 180,
y con respecto a la vía 2 debe estar 1,95 metros por debajo.

15. Figura 4.43 Problema 4.7
Calcular:
a) La longitud de la curva vertical.
b) La cota de la rasante en la abscisa K0 + 250.
Solución
a)
d =
p
h
Donde h1 = 180 x 0,07 h1 = 12,6
h2 = 180 x 0,08 = 14,29
h2 – h1 = 1,69
E =
L
A
200
2
2





 L
= 1,69
L =
17
80069,1 x
= 79,5294
b)
Cota de la rasante

16. Cota PIV = 512, 6
P = -10%
P x d = h
Donde h = 12,803
Cota rasante = Cota PIV – h
Cota rasante = 512,6 – 12,803
Cota rasante = 499,797
PROBLEMA 4.8
Datos:
Para una curva vertical simétrica se conoce:
Pendiente de la tangente vertical de entrada = -6%
Pendiente de la tangente vertical de salida = -2%
Abscisa del PIV = K5 + 995
Cota del PIV = 572,800 m
Calcular:
La longitud de la curva vertical, de tal manera que en la abscisa K6 + 010, la cota sobre la rasante
sea 573,400 m.
Solución
El problema da los siguientes datos mediante este gráfico,

17. i = m – n = -6% - (-2%)
i = - 4%
y + a + b = 0,6
y = 0,6 – a – b
a = m(15) = - 0,9
b = Cota PIV – Cota Clave
b = 572,80 – 573,40 = - 0,6
y = 0,9 + 0,6 + 0,6
y = 2,1
2,1 = 2
2
X
Lv
i






donde 2,1 = 





Lv2
02,0
b + y = 0,60
b = 15 (0,02)
y = 0,60 + 0,30
y = 0,90
0,90 =
Lv2
04,0
2
15
2







Lv
0,90 =
Lv2
04,0






 22515
4
2
Lv
Lv
0,90 = 






Lv
LvLv
5,4
3,0005,0
0,90Lv = 0,005Lv2
– 0,3Lv + 4,5

18. Lv =
  
 005,02
5,4005,042,12,1 2

Lv =
01,0
16,12,1 
Lv = 236,19
PROBLEMA 4.9
Datos:
De una curva vertical simétrica, se conoce:
Pendiente de la tangente vertical de entrada = +4%
Pendiente de la tangente vertical de salida = -8%
Abscisa del PIV = K4 + 990
Cota del PIV = 301,240 m
Calcular:
a) La longitud de la curva vertical, tal que 40 metros después del PIV, la cota en la curva sea
de 300,240 metros.
b) La abscisa y la cota del punto más alto.
Solución

19. Cota de p = cota PCV + mx - 2
2
X
Lv
i






320,24 = 301,24 + 0,04
2
40
22
08,0
40
2













Lv
Lv
Lv
-1,0Lv = 0,06Lv + 1,6 – 0,04Lv 





 160040
4
2
Lv
Lv
-Lv = 0,06Lv + 1,6 – 0,01Lv2
+ 1,6Lv + 64
0,01Lv2
– 0,66Lv – 65,6 = 0
Lv = 120,22  120 m
X =  120
12
4
= 40 m
Abscisa del punto máximo = Abscisa PCV + 40
Abscisa del punto máximo = K4 + 990 + 40
Abscisa del punto máximo = K5 + 030
Cota punto máximo = 301,24 + 0,04 x 40 -  2
40
1202
12,0
x
x

= 302,04 m

20. PROBLEMA 4.10
Datos:
De una curva vertical asimétrica, se conoce:
Pendiente de entrada = +4%
Pendiente de salida = -7%
L1 = 40 m
L2 = 30 m
Abscisa del PIV = K2 + 000
Cota del PIV = 500 m
Calcular:
La abscisa y la cota del punto más alto de la curva.
Solución
∆ = m + n = 0,04 + 0,07
∆ = 0,11
y = 2
200
X
L

y =
 
 2
40
70200
11,0
x = 0,0125
Cota rasante = Cota PIV – y = 500 – 0,125 = 499,075 Cota más alta de la curva
Abscisa = K1 + 993,94 Abscisa del punto más alto

21. PROBLEMA 4.11
Datos:
En la parte de arriba de la figura 4,44, se presenta la vista en planta de un cruce a desnivel a 90°, y
en la parte de abajo se ha dibujado un perfil longitudinal a lo largo del paso superior y que muestra
transversalmente el paso inferior.
Figura 4.43 Problema 4.7
Calcular:
a) La cota de la rasante en la abscisa K0 + 140 para el paso superior
b) La cota de la rasante en la abscisa K1 + 220 para el paso inferior.
PROBLEMA 4.12
Datos:

22. La figura 4.45, muestra la vista en planta de un bifurcación, donde e1 y e2 son los peraltes por la vía
1 y la vía 2. El punto A es el principio de dos curvas verticales simétricas, una para cada vía, con
iguales pendientes de entrada del +6% y de salida del +3%. La longitud de la curva en la vía 1 es de
60 metros.
Figura 4.45 Problema 4.12
Calcular:
La cota de la rasante en la abscisa K3 + 033 sobre la vía 2.
PROBLEMA 4.13
Datos:
De una curva vertical asimétrica, se conoce:
Pendiente de entrada = +4%
Pendiente de salida = -3%
L1 = Primera rama
L2 = Segunda rama = 2L1
Abscisa del PIV = K2 + 980
Cota del PIV = 500 m

23. Calcular:
La longitud de la curva vertical, tal que en la abscisa K3 + 000 la rasante tenga una diferencia de
altura de 2,50 metros con respecto al PTV.
Solución
Curva asimétrica convexa caso 1
i =m - (-n) = m + n > 0
Cota en p desde PIV = Cota p’ – y2
Cota en p desde PTV = Cota PTV + 250
Cota p’ = Cota PIV - (2,0 x 3%)
Cota p’ = 500- (0,6) = 499,4
y2 = xE
L
X






2
2
X2 = 2L1 – 20

24. L2 = 2L1
E =
   
Lv
LLi
2
21
Pero i = m – n = (4 - (- 3)) = 7%
E =
   
 1
11
32
27
L
LL
=
1
2
1
6
14,0
L
L
= 1
300
7
L
y2 = 










 
1
2
1
1
300
7
2
0,22
Lx
L
L
y2 = 













 12
11 300
710020
1 Lx
LL
y2 =
15
7
3
7
300
3
1
1 
L
L
Cota PTV = Cota PIV - (2L1 x 3%)
Cota PTV = 500 - (0,06L1)
Igualo cotas en p
Cota p desde PIV = Cota p desde PTV
499,4 +
15
7
3
7
300
3
1
1 
L
L = 500 – 0,06L1 + 2,5
499,4 +
15
7
- 500 – 2,5 = 500 – 0,06L1 +
13
7
L
 1
1
1
3
7
300
11
30
79
Lx
L
L 






3
7
30
79
300
11
1
2
1
 LL = 0 Aplico Cuadratica
L1 = 72,694 m Sirve

25. L1 = -0,875 m No Sirve
L2 = 2L1 = 145,387 m