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Parcial Álgebra: cátedra Gutierrez, Cs. Económicas. U.B.A.
Si necesitas clases puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar
Álgebra (Cs Económicas): Primer Parcial
Segundo cuatrimestre: 1998
1. L es la recta que pasa por P = (2; -2) y Q = (3; 4). Hallar a tal que la recta que es paralela a L y
pasa por (1; a ) también pase por (2; 4)
2. El servicio de telefonía A cobra un abono mensual de $ 50 y $ 0,35 cada minuto de comunica-
ción. La empresa B cobra un abono mensual de $ 60 y $0,25 cada minuto. ¿A partir de cuántos
minutos mensuales de comunicación resulta más conveniente la empresa B?
3. Escribir en forma paramétrica todas las soluciones del sistema cuya matriz ampliada es:





−





−−
−
−
3
1
4
195
274
121
4. Encontrar una base de S x R
x x x
x x x
= ∈
− + =
− + =



{ / }4 1 2 4
1 3 4
5 0
5 0
que contenga al vector V = (1, 1, 1, 4)
Respuestas:
1) Recta paralela: y = 6x – 8 ; a = – 2.
2) A(x) = 0,35x + 50 y B(x) = 0,25x + 60. La empresa B es más conveniente después de 100 de co-
municación.
3) L: x3 (– 11, – 6, 1) + (12, 7, 0).
4) Base: < (1,1,1,4); (1,0,0,-1)>
Segundo cuatrimestre: 1998
1. Encontrar α ∈ R tal que las rectas siguientes tengan un punto en común:
L:3x – y = 5 L’:λ(1,1) + (1,2) L”: λ(1,1) + (5, α)
2. Encontrar todas las soluciones del sistema S, que tengan la tercera la tercera y la cuarta coorde-
nada iguales.





=++
=+++−
−=−−−
42104
42842
42446
S
432
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
3. Encontrar una base del subespacio }03/{ 321
3
=+−∈= xxxRxS , que contenga al vector (1,1,0).
4. El precio de venta de un camión nuevo es de $100000, y al cabo de 6 años es posible venderlo a
$40000. Si el monto de depreciación anual se calcula por año, y es fijo, plantear la ecuación lineal
que da el precio del camión al cabo de x años, y decir cuál es el precio del camión al cabo de 4 años.
Respuestas:
1) L = L ´ + L”→ λ (1,3) + (0,–5) = λ(1,1) + (1,2) + λ(1,1) + (5, α) → λ = – 6, α = – 13
2) Operando y despejando x3: (x1, x2, x3, x4) = x3 (– 1, – 3, 1, 1) + (0, 1, 0, 0)
3) < (1,1,0) ; (3,0,1)>
4) Puntos representantes: (0, 100000) y (6, 40000) → (x, y) = λ (– 1, 10000) + (0, 100000)
Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra Thomson
Si necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548
(1) Álgebra – Primer Parcial – Cátedra Thomson: 2do
Cuat. 01 Tema 4 Sede: Uriburu
1) Responder por verdadero o falso:
a) det(A + B) = det (A) + det (B)
b) Toda matriz diagonal tiene inversa
c) (A.B) – 1
= B– 1
. A– 1
d) Cuando el rango de una matriz no coincide con el de la matriz ampliada, entonces, el sistema
es indeterminado.
e) El rango de una matriz está relacionado con el orden de la misma.
2) Dadas las matrices: A =










− 2
5
3
1
2
1
, B =










−
−
5
4
0
7
1
2
, C =










−
−
3
6
1
7
4
1
Obtenga una matriz E tal que
8A – 2B + 3C – 4E sea matriz nula.
3) Calcule la inversa de A =










122
013
421
si es posible.
a) A– 1
=









 −
024
232
111
b) A– 1
=










024
232
111
c) no tiene inversa d) A– 1
=










−
−
024
232
111
4) La solución de








=−++
=−++
=−−+−
=++−
=+++
82372
2335
4232
233
1322
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
es:
a) (1, 2, – 2, – 1) b) (1, 2, 2, 1) c) (1, 2, – 2, 1) d) (– 1, – 2, 2, 1)
5) En el sistema dado





=−+
=++
=++
423
24654
18642
yyx
zyx
zyx
, los rangos son:
a) r (A) = r (A’) = 3 b) r (A) ≠ r (A’) c) r (A) = r (A’) = 2 d) r (A) = r (A’) = 1
6) Dada la matriz A =










021
110
012
. La inversa A– 1
tiene como 3era
columna:
a)









−
5
2
1
b)










−
1
4
2
c)










−
3
5
3
8
3
4
d)










−
−
3
2
3
2
3
1
Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra Thomson
Si necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548
7) Señalar cuál de las siguientes estructuras no es grupo abeliano:
a) (R – {0}; o) b) (Z; o) c) (Q; +) d) ninguno de los anteriores.
8) Dada la matriz A = 





43
21
. El determinante det[(At
. A–1
). 3A] es: a) – 18 b) – 2 c) 6 d) 48
9) Dada la matriz A =







 α
101
040
01
. Señale cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
a) Si α ≠ 1; r(A) ≠ 3 b) α = 1; r(A) = 2 c) α = 1; r(A) = 3 d) ninguna de las anteriores.
10) Sean 35 – 2p – q = 0 y 11 + 6p – q = 0 ecuaciones de demanda y oferta, para un fabricante de
un cierto producto. El ingreso total que se obtiene en el punto de equilibrio es: a) no es posible
b) $ 87 c) $ 29 d) $ 32 e) ninguno de los anteriores.
Rta.: b
(2) Álgebra – Primer Parcial Tema 2
1) Responda si es verdadero o falso, justificando. En caso de ser necesario ponga un ejemplo.
a) A . D = N
b) A . B = B . A siempre
c) Si una línea de una matriz es el vector nulo, su determinante es no nulo
d) Si se permutan dos filas de una matriz, los correspondientes determinantes son opuestos.
e) El determinante de toda matriz que tenga dos filas idénticas es nulo.
2) La solución del sistema



=+−+
=+−+
64252
453
wzyx
wzyx
es:
a)



+−−=
++=
wzx
wzy
7192
282
b)



−−−=
++=
wzx
wzy
7192
282
c)



−+=
−−−=
wzy
wzx
282
7192
3) Dado el sistema





=−+
=−+
=+−
czyx
bzyx
azyx
32
1162
72
¿Qué condiciones se debe cumplir para que el sistema lineal
dado sea compatible?.
a) a, b, c ∈ R b) 5c + 2b – a = 0 c) 5c – 2b = a d) a, b, c ≠ 0 Rta.: c
4) Considerando la matriz A =












−−
−
+
86224
42222
20220
0024
x
x
x
. Encuentre los valores de “x” para los cueles
I
A
−
2
es singular.
Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra Thomson
Si necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548
a) x ∈ {– 1, 1, 3} b) x ∈ {– 2, 3} c) x =
4
3137 ±
d) x ∈ R – {3, – 2}
5) Dadas las matrices










+
=
11
11
11
kk
k
k
A B =










k
k
0
2
X =










3
2
1
x
x
x
Halle los valores de “k” para los cuales el sistema A . X = B admita:
a) solución única b) infinitas soluciones c) ninguna solución
Rta.: a) K ≠ 0 y K ≠ 1 b) K = 0 y K = 1 c) no hay valores de k.
6) Hallar y clasificar M– 1
si M = (A.B)– 1
+ 2.C. A =










3
0
1
B =









−
0
2
1
C =










−
−
−
875,3
401
221
7) Siendo M – 3 I =












−
−
−
521
110
24
2
k
Todos los valores de k para que M sea singular son:
a) 10±=k b) k ∈ {– 2, 2} c) 10±≠k d) k ≠ 2 ∧ k ≠ – 2 Rta.: b
8) igualque el problema 10 tema anterior.
9) ¿Para qué valor o valores de t el siguiente sistema es indeterminado?





=−+
=−+
=−+
01.
01
0
yxt
tyx
tyx
Rta.: t = 0 ó t = 1.
10) Considerando el siguiente cuadro de transacciones:
S1 S2 DF P. T.
S1 14 16
S2 28
VA 18 ////// //////
P. T. 36 //////
(en miles de $) .
Completar y hallar la nueva matriz de P. T. si la de D. F. Varía a H = 





11
22
.
Construir el nuevo cuadro.
CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 1
Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436
PPrriimmeerr PPaarrcciiaall ddee AAnnáálliissiiss CCiieenncciiaass EEccoonnóómmiiccaass
Cátedra de Gutiérrez
Álgebra Cs. Ec. (71) – Primer Parcial – Drago: 07/05/2002 Tema 4
1. Dadas las rectas L1 : y = 6x + 4 y L2 : x = α (1, 3) + ( – 2, 7), hallar la ecuación paramétrica de la
recta L que no corta a L1 y pasa por el punto (–1, 5). Determinar la intersección de L y L2.
2. Determinar todas las soluciones





=−−−
−=+++−
=−+−
62232
132
5
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
3. Una maestra de arte decide preparar con sus alumnos un mural en tonos ocre. Para ello fabrica
tres colores: I, II y III. En la composición de los mismas se utilizan pintura amarilla, bermellón y
marrón en las siguientes proporciones:
Color I: 20 % de bermellón, 40 % de amarillo y 40 % de marrón
Color II: 80 % de bermellón, 10 % de amarillo y 10 % de marrón
Color III: 20 % de amarillo y 80 % de marrón.
La maestra dispone de 18 litros de pintura bermellón, 7 litros de pintura amarilla y 10 litros de pin-
tura marrón. Si quiere agotar el stock, ¿qué cantidad de cada color se debe preparar?.
4. Determinar los valores de k ∈ R para los cuales el subespacio S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)>
tiene dimensión 2.
Respuestas:
1. Como L que no corta a L1, en dos dimensiones, debe ser paralela. Tiene la misma pendiente (1, 6)
Como pasa por (–1, 5) podemos escribir a L: β (1, 6) + (– 1, 5).
Ahora hallemos la intersección entre L y L2. Para ello igualamos las ecuaciones y hallamos de esta
manera los coeficientes (α y β).
α (1, 3) + ( – 2, 7) = β (1, 6) + (– 1, 5) →
α – 2 = β – 1 → α = 1 + β = 1 + 5/3 = 8/3.
3α + 7 = 6β + 5 → 3(1+ β.) + 7 = 6β + 5 → β = 5/3
En ambos casos obtenemos el mismo resultado (es una manera de verificar que se han hecho bien
las cuentas).
L2: 8/3 (1, 3) + ( – 2, 7) = (2/3, 15) L : 5/3 (1, 6) + (– 1, 5) = (2/3, 15)
CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 2
Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436
2) Para resolver





=−−−
−=+++−
=−+−
62232
132
5
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
expresemos como matriz ampliada. Aquí lo resolveré
mediante pivote.
Se toma el primer elemento de la primer columna como Pivote. Excepto ese valor toda la columna
tendrá valor cero, mientras que la fila se la deja igual.
Pivote










−
−−−
−
−−
6
1
5
2232
1321
1111 El valor de cada elemento de la matriz se calcula con la diferencia (res-
ta) entre el producto del número por el pivote y el producto entre los
elementos que pertenecen a su misma fila y columna









 −−
−
−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
5.21.6
5)1(1.1
)1.(21.21.21.2)1.(21.3
)1)(1(1.11).1(1.3)1)(1(1.2
5
0
0
1111
→










−−−
−−
4
4
5
0410
0410
1111
Ambas filas son iguales por lo tanto dejamos una sola.







 −−
4
5
0410
1111
A partir de esta matriz calculamos los resultados del sistema indeterminado.
x2 + 4x3 = 4 → x2 = 4 – 4x3.
x1 – x2 + x3 – x4 = 5 → x1 – (4 – 4x3) + x3 – x4 = 5 → x1 – 4 + 5x3 – x4 = 5 → x1 = 9 – 5x3 + x4.
(x1,x2,x3, x4) = (9 – 5x3 + x4,4 – 4x3, x3,x4) = (9, 4, 0, 0) + x3 ( – 5, – 4, 1, 0) + x4 (1, 0, 0, 1)
Cualquier solución del sistema pertenece al subespacio cuya base es:
<(9, 4, 0, 0); (– 5, – 4, 1, 0); (1, 0, 0, 1)>.
3. Se arma la matriz a partir de los datos que da el problema. Llamemos x al color I, y al color II y z
al color III. Como sabemos los litros de pintura a utilizar armamos un sistema, expresando los por-
centajes de manera numérica: 20% es 20/100 o sea 0,2.





=++
=++
=++
108,01,04,0
72,01,04,0
1808,02,0
zyx
zyx
zyx
Armamos la matriz correspondiente y la resolvemos (mediante el método
que te hayan enseñado en clase)
CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 3
Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436
→










→










5
20
10
100
010
001
10
7
18
8,01,04,0
2,01,04,0
08,02,0
x = 10;y = 20;z = 5.
Obtendremos: 10 litros del color I, 20 litros del color II y 5 litros del color III.
4. Tenemos el subespacio S con tres vectores pero necesitamos que tenga dimensión 2, o sea, que-
remos que se vaya un vector; ya que deben quedar dos vectores para que tengamos dimensión dos.
Así que expresamos al subespacio como una matriz, la triangulamos hasta que en una fila sólo que-
de una ecuación que nos permita calcular k, en los otros lugares debemos tener cero.
S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)>










−−
−
−
 →










−
−
 →









 −
−−
35200
5230
512
10
5230
512
10
11
512
2
332122
kk
k
k
k
k
k
FkFFF
Para que quede dimensión 2, la últimas fila debe desaparecer, dar cero.
Haciendo que 2k2
– 5k – 3 = 0 podemos hallar los valores que nos están pidiendo para que el subes-
pacio quede de dimensión dos. Para ello aplicamos la ecuación cuadrática (Bascara).
2k2
– 5k – 3 = 0 →
2
1
4
2
4
75
3
4
12
4
75
4
75
4
495
2.2
)3.(2.455
2
12
−=
−
=
−
=
==
+
=
±
=
±
=
−−±
k
k
De esta manera hemos determinado que si k = 3 o si k = – ½ el subespacio quedará de dimensión
dos.
Cs. Económicas: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2003 – Pág. 1
Si necesitas clases para rendirparciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436
(1) Álgebra (71) Cs. Ec. – Paternal – Primer Parcial: 1º Cuat. de 2003 Tema 4
1. Sea L la recta en R3
que pasa por los puntos A = (1, 3, – 2) y B = (0, 1, 2). Hallar el punto de L que
tiene tercera coordenada igual a 6.
2. Un estudiante puede viajar a su facultad en bicicleta, en tren o en colectivo. Cada día utiliza el mis-
mo medio de transporte para ir y para volver. Cada viaje (ida y vuelta) dura: en bici: 1 hora; en tren:
media hora; en colectivo 15 minutos. Cada boleto de tren le cuesta $ 0,5 y cada boleto de colectivo $
0,75. En el mes de abril fue a clase 22 días, gastó $ 21 y estuvo viajando 23 horas. ¿Cuántos días viajó
en bicicleta, cuantos en tren y cuantos en colectivo?.
3. Dar un valor de a y uno de b para los cuales el sistema cuya matriz ampliada es









 −
− ba
1
1
41
203
421
re-
sulta incompatible.
4. Elegir vectores del conjunto {(1, 0, – 1); (1, 1, – 1); (0, 0, 0); (–3, 0, 3); (2, 1, 0)} para formar una
base del subespacio S = {x ∈ R3
:x1 – 2x2 + x3 = 0}
Respuestas:
1) (–1, – 1, 6) 2) Recta solución: z (½ , – 3/2, 1) + (1, 21, 0) los valores a tomar de “z” deben dar re-
sultados positivos. 3) a = – 6 y b ≠ 3. 4) {(1, 0, – 1); (2, 1, 0)}.
(2) Álgebra (71) Cs. Ec. – Primer Parcial: Paternal (turno noche) – 1er
Cuat. 2003 Tema 1
1. Sea L la recta que pasa por el punto P = (1, 3) y es paralela a L’: 20x – 5y = 3. Hallar el punto de L
que contiene ordenada igual a 7.
2. Una empresa produce dos tipos de jugos a base de naranja y pomelo: El “Tropical” que lleva 60 ml
de naranja por cada 40 ml de pomelo y el “Citral” que lleva 45 ml de naranja por cada 55 ml de pome-
lo. Se tiene un stock de 4800 litros de jugo de naranja y de 4000 litros de pomelo. ¿Cuántos litros de
cada tipo de jugo debe producir para agotar el stock?.
3. Hallar el valor de k para el cual (1, 2, 1) es solución del sistema cuya matriz ampliada es









 −
5
2
3
211
01
112
k
Para ese valor, resolver completamente el sistema.
4. Hallar dos bases distintas del subespacio S ⊆ R3
, S = <(1, 0, 1); (0, 1, 1)>
Respuestas:
1) (2, 7) 2) Se obtienen 32000 de uno y 56000 del otro. 3) Ojo, si k = 3 el sistema es incompatible. El
valor que piden es k = 1 y se saca directamente reemplazando el vector solución en la fila donde está k.
4) S1 = <(1, 0, 1); (1,1,2)> S2 = <(0, 1, 1); (1,1,2)> (sumar los vectores).
Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1
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Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1er
Cuat. 2005
1) Sean p = (– 3, 1) y q = (5, a). Hallar a ∈R tal que la recta que pasa por p y q sea paralela a la
recta y = – 2x + 5, y dar la ordenada al origen de la recta que pasa por p y q.
2) Hallar todas las soluciones del sistema
x1 – x2 – x3 + 5x4 = – 1
– x1 + 2x2 + x3 – x4 = – 3
3x1 – 5x2 – 3x3 + 7x4 = 5
3) El verdulero aumentó hoy $0,30 el precio del Kg de tomates y $0,10 el precio del Kg de papas.
Ayer, comprar 4 Kg de tomates y 5 Kg de papas costaba $16,30. Hoy, comprar 5 Kg de tomates y 8
kg de papas cuesta $23,90.
Hallar el precio que tenían ayer el Kg de tomates y el Kg de papas.
4) Hallar, si es posible, una base de S = {(x1, x2, x3, x4) ∈R4
/ 2x1 – 5x2 = 0} que contenga a los
vectores v = (5; 2; 0; 0) y w = (0; 0; -1; 1)
Respuestas
1) La recta es: L = α (1, – 2) + (– 3, 1). Al igualarla con (5, a) se puede calcular el valor de a,
despejando. a = – 15. La ordenada al origen es cuando x = 0 por lo tanto se busca el valor de y. En
este caso sería: (0, – 5)
2) El sistema es obviamente un sistema compatible determinado. Dependiendo de la variable que
elijas tendrás, en este caso, un plano solución:
S = α (1, 0, 1, 0) + β (– 9, – 4, 0, 1) + (– 5, – 4, 0, 0)
3) 1 kg. Tomates = $ 3,20; 1 kg. Papas = $ 0,70
4) Se tiene un subespacio dentro de R4
con una sola ecuación, por lo que la base es de dimensión 3.
Al despejar para hallar la base no hay que olvidar que cuando dicen “contenga a v = (5, 2, 0, 0) y w
= (0, 0, – 1, 1)” implica que los dos vectores deben estar dentro de la base, por lo tanto hay más de
una solución dependiendo del vector que elijas como tercera opción.
B = {(5, 2, 0, 0); (0, 0, – 1, 1): (0, 0, 1, 0)}
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Álgebra – Primer Parcial – Montes de Oca – 1er
Cuat. 2005
1) Sean dos rectas en R2
:
L1 la recta que pasa por A= (1, 4) y B = (– 3, – 2)
L2 la recta de ecuación y= x – 2
Hallar la ecuación de una recta a L1 que pase por el punto en que L2 corta al eje y.
2) Una empresa que hace excursiones de todo un día desde el centro hasta el Parque Nacional
dispone de un auto, una camioneta y un ómnibus que utiliza según la cantidad de turistas.
El uso de auto implica un gasto diario de $12 de combustible, $4 de peaje y $10 de mantenimiento.
El uso de la camioneta implica un gasto diario de $18 de combustible, $6 de peaje y $16 de
mantenimiento.
El uso del ómnibus implica un gasto diario de $20 de combustible, $10 de peaje y $15 de
mantenimiento.
Si se gastaron $408 en combustible, $166 en peaje y $331 en mantenimiento.
¿Cuántos días se usó cada uno de los vehículos?
3) Encontrar todas las soluciones del sistema S
2x – 3y + z = – 2
x + 3z = 1
– x + 3y + 2z = 3
4) Dado el subespacio S = < (2, – 2, – 5); (–1, 4, 1); (1, 2, – 4) >.
Hallar, si es posible, una base de S que contenga al vector v = (1, 8, – 7).
Soluciones:
1) y = 3/2 x – 2 ó L: α (2, 3) + (0, – 2)
2) Auto: 10 días, Camioneta: 6 días y Ómnibus: 9 días.
3) Es un sistema compatible indeterminado por lo tanto la respuesta será una recta. En este caso se
ha despejado z, pero puede despejarse cualquiera de las letras (según te convenga)
S = z (– 3, – 5/3, 1) + (1, 4/3, 0)
4) La base obtenida puede ser:
S= {(–1, 4, 1); (1, 8, – 7)} ó S= {(1, 2, – 4); (1, 8, – 7)}
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(1) Álgebra (71) – Primer Parcial – 1º Cuat. 2005
1) Sea P el punto en el que la recta y = – 3x + 5 corta al eje x, y sea L´ la recta paralela a L: α (2, -1)
+ (1, 6) que pasa por P. Hallar el punto en que la recta L´ corta al eje y.
2) Analizar para que valores de k el siguiente sistema sea compatible determinado, indeterminado o
incompatible:
x – y = 2
2 x – y = 5 Hallar todas las soluciones del sistema, cuando sea indeterminado.
– x + 2y = k
3) Tres empresas A, B y C discuten posibles funciones. La suma de los activos de A y B es igual al
activo de C; el activo de B supera al de A en 3 millones y las tres empresas tienen, en conjunto,
activos por 25 millones.
Hallar los activos de cada una de las tres empresas.
4) Consideramos en R4
el subespacio S: < ( 1, 0, -1, 2 ) ; ( 0, 1, 1, -2 ) >.
Determinar los valores de a y b ∈R, tales que el vector (a, 3, 5, b) pertenece a S.
(2) Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1er
Cuat. 2005
1) L1 es la recta que pasa por (2, -1) y (-1, 3), L2 es la recta de dirección (2, 3) que pasa por (3, 4) y
Q es el punto de L2 que pertenece al eje x.
Hallar una ecuación paramétrica de una recta paralela a L1 que pase por Q.
2) Determinar todos los valores de k ∈R para los cuales el sistema S es incompatible.
3) Un artesano vende aros de tres tamaños: grandes, medianos y pequeños. Los precios de venta de
cada par son: $ 10, $ 8 y $ 2 respectivamente. El fin de semana anterior vendió 75 pares en total y
recaudó $ 718.
¿Cuántos pares de cada tamaño vendió? Dar todas las posibilidades.
4) Dados el subespacio S = {x ∈R4
/ 2x1 + x3 – 2 x4 = 0} y el vector v = (1, 1, 2, 2).
Hallar una base B de S y expresar, si es posible, v como combinación lineal de los vectores de B.
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Algebra (71) – Primer Parcial – 2do
Trim. 2005 – Tema 1.
1. L es la recta de ecuación X: α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3); P es el punto de L que está en el plano x1x2 y
Q = (–1, 5, 0). Dar la ecuación de la recta que pasa por P, Q.
2. Determinar los valores de a y b para que el sistema S =
Sea i) Compatible determinado
ii) Compatible indeterminado
3) Un pintor compró 40 latas de pintura para exterior, 40 latas de pintura para interiores y 5 latas de
pintura para metales, se pagó $ 450. Si hubiera comprado el doble de latas para interiores, el doble
de para metales y nada de las otras habría pagado $420. Si hubiera comprado el doble de latas para
exteriores, el doble de para metales y nada de las otras habría pagado $580. ¿Cuánto pagó por 1 lata
de cada clase de pintura?
4) Dar una base del subespacio S = < (1, 2, 1, – 1); (1, 4, 4, 0), (–1, 2, 5, 3) >
Decidir si V = (1, 0, – 2, – 2) pertenece a S. En caso afirmativo, escribir V como combinación lineal
de la base dada.
Solución:
1) Que esté incluido en el plano x1x2 implica que las dos primeras coordenadas pueden tener
cualquier valor pero la tercera x3 tiene valor cero.
α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) = (x1; x2; 0)
O sea que 0 = 2α + 3. Por lo que puede calcularse alfa cuyo valor será – 3/2
Todos los puntos de la recta X = α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) pueden ser expresados como:
x1 = α por lo que x1 = – 3/2
x2 = – α + 4 por lo que x2 = 3/2 + 4 = 11/2
x3 = 2α + 3. por lo que x3 = 2 (– 3/2) + 3 = 0
P = (– 3/2, 11/2, 0) y Q = (–1, 5, 0).
Para calcular el vector director de la recta se restan P y Q : P – Q = (– 3/2, 11/2, 0) – (–1, 5, 0) =
= (– ½, ½, 0)
La recta que pasa por P y Q puede expresarse como:
X: α (– ½, ½, 0) + (– 3/2, 11/2, 0) ó como X: α (– ½, ½, 0) + (–1, 5, 0)
Ambas expresiones son igualmente válidas.
Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 2
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2) El sistema puede expresarse como matriz y resolverse por varios métodos.
El más utilizado por esta cátedra es Gauss. Este método consiste en eliminar las filas de abajo
mediante sumas o restas para obtener una matriz triangulada que permita hallar x, y, z.
El valor de a y b determinarán que tipo de sistema tendremos:
i) Si a es distinto de 13 no nos interesa el valor de b, el sistema será siempre compatible
determinado, o sea que siempre existirá una solución para el sistema, x, y, z tendrán un único valor.
ii) Si a = 13 y b = 7 la fila de abajo se irá, será todo cero, por lo tanto tendremos infinitas
soluciones. El sistema será compatible in determinado.
iii) Si bien esta opción no se ha pedido… aprovechemos para explicar que si a es igual 13 y b
distinto de 7 no obtendremos ningún resultado. El sistema será incompatible.
3) El problema debe escribirse como un sistema de ecuaciones para poder resolverse.
En este caso x representará la pintura de interiores, y la de exteriores y z la de metales.
40 x + 40 y + 5 z = $ 450
80 x + 0 y + 10 z = $ 420
0 x + 80 y + 10 z = $ 580
El resultado de este sistema de ecuaciones es: x = 4, y = 6, z = 10.
4) Para ser una base los vectores de S deben ser generadores y linealmente independientes.
Cuando se pide que sea combinación lineal se está pidiendo hallar:
α (1, 2, 1, – 1) + β (1, 4, 4, 0) + γ (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)
El valor de alfa, beta y gama debe ser uno solo. En este caso α = 2, β = – 1 y γ = 0
Escrito como combinación lineal sería:
2 (1, 2, 1, – 1) – 1 (1, 4, 4, 0) + 0 (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)
Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson
ÁLGEBRA - 1er
Parcial
TEMA: 35 B
El examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien.
Ej.1: a) Sea A = { 1, 3, 9 } con la operación: x#y= m.c.d.(x,y)
a) Arme una tabla e indique si # es ley interna en A, si es asociativa, conmutativa, si posee
neutro y la estructura de (A,#)
b) Dé un ejemplo de una operación que sea ley interna en el conjunto de los enteros pero que
no tenga elemento neutro. Indique si es asociativa.
Ej.2: Dada la matriz X =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+− 33kk21
5k0
3121
2
a) Halle todos los valores de k ∈ R tales que el X sea singular (no inversible).
b) Considerando k=1, indique el rango de X.
Ej.3: Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda:
a) Sean A, B ∈ |Rnxn: si A es involutiva y B =
2
1
(A + I) entonces B es idempotente.
b) Sean A, B ∈ |Rnxn: si A y B son simétricas entonces A•B es matriz simétrica.
Ej.4: Sea M = a) Calcule det(M) sabiendo que
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
w74z
y1-4x
020
yx
wz
= 3
b) Calcule det(D) siendo Dt = (-2) • D2 • M-1
Ej.5: Sea la ecuación matricial: X • A + I = (C • X-1)-1
a) Despeje la matriz cuadrada X
b) Considerando las matrices: A = y C = calcule la inversa de X.⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
51
12
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
52
73
Ej.6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias S y T representada en la tabla:
S T D.F. P.T.
S 34
T 25 84
V.A. 28
P.T. 152
a) Complete la tabla sabiendo que lo que utiliza T de su propia producción es 42.
b) Halle la nueva tabla si la demanda final cambia a 55 para S y 135 para T.
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Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson
ÁLGEBRA - 1er
Parcial
TEMA : 35 A
El examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien.
Ej. 1: a) En el conjunto E = { e , f , d, n } se define la operación ◊ mediante la tabla:
◊ e f d n
e n e n n
f e f d n
d n d f d
n n n d f
Analice si ◊ es conmutativa, asociativa y si posee
elemento neutro. ¿Qué elemento debe modificarse
para que ◊ posea simétrico?
Sugerencia: halle ( d ◊ e ) ◊ n y d ◊ ( e ◊ n )
b) Analice la estructura de (H, •)
Siendo H = { x =
n
1
∧ n ∈ |N } y • es el producto usual.
Ej. 2: Dada la matriz M ∈ |R3x3 / mij =
⎩
⎨
⎧
0
1
si
si
ji
ji
>
≤
a) Halle la matriz M-1 (inversa de M)
b) Indique el rango de la matriz A = M - I (siendo I la identidad de orden 3)
Ej. 3: : Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda:
a) Sea A ∈ |Rnxn : Si A es ortogonal y simétrica entonces A es involutiva
b) Sean A y B ∈ |Rnxn : si A y B son regulares entonces A - B es regular
Ej. 4: Sean las matrices P , Q ∈ R4x4 tales que : det(P) = 5
a) Si Q = (2P1 P3+P2 P4 3P1+2P3) , calcule det(Q)
b) Si det(Q) = 8, halle el valor de det( 2 Pt Q-1 ).
Ej. 5:
a) Sea la ecuación matricial: A • X = B
Siendo A= X = B =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
411
121
111
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
z
y
x
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
3
2
Calcule la matriz X usando el método de Crámer.
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Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson
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b) Despeje X en la ecuación: B • (C + X • A) = C + I
Sabiendo que A y B son inversibles.
Ej. 6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias M y N
representada en la tabla:
M N D.F. P.T.
M 28 12 16 56
N 14 36 22 72
V.A 14 24
P.T. 56 72 128
a) ¿Qué valor produce M y utiliza N?
¿Cuál es la producción total de la industria N?
b) Determine la nueva tabla, si la demanda final cambia a 20 para M y 25 para N.
Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring
ÁLGEBRA - 1er
Parcial
Solución:
1) a = – 3 ; b = 6
2) Deben elaborar 36 kg. de salsa "a la siciliana" y 60 kg. de salsa "a la francesa" para
consumir un stock de 30 kg. de queso fontina y 66 kg. de cuartirolo.
3) α (-1; 0; -3; 1) + (3; 0; 3; 0)
4) Para que el vector v = (1; 4; 2k) pertenezca al subespacio S, k = 4.
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Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring
ÁLGEBRA - 1er
Parcial
Solución:
1) L : α (1, – 1, – 5) + (5, 1, 2)
2) a = 5, b = – 3 (Reemplazando estos dos valores ahora deben triangular la matriz para hallar
los resultados)
3) y = 700 x – 143000 Deberán transcurrir más de 204 semanas.
4) (1, 2, 1, – 1) no pertenece a S
(Si lo resuelves triangulando, la manera más fácil, el sistema da incompatible, lo que implica
que el vector no pertenece al subespacio S.)
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Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring
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Primer Parcial de Álgebra
Cátedra Fauring (ex – Gutiérrez)
Algebra Cs. Ec. (71) – Primer parcial (Drago) – Primer Cuatrimestre 2009 – Tema 3
1. Dadas las rectas: L1 : X = λ (1, 2, 0) + (2, 3, 2) y L2: X = λ (3, 0, 1) + (8, 4, 1), hallar una
ecuación de la recta paralela a L1 y corta al plano XY en el mismo punto que L2
Solución:
Para escribir vectorialmente una recta necesitamos dos elementos. El vector director (que es el
vector cuya dirección es la de la recta) y un punto de paso (que indica por donde pasa esa recta,
o sea, donde está ubicada en el plano)
Cuando dos rectas son paralelas tienen el mismo vector director, así que la tercera recta (la que
llamaremos L3) y L1 poseen a (1, 2, 0) como vector director.
Ahora necesitamos un punto de paso, el problema nos dice que ese punto será la intersección
entre el plano XY y L2.
Probablemente te preguntarás que es el plano XY. Es el plano determinado por los ejes X e Y
que pasa por el origen de coordenadas, lo que implica que Z = 0. Así que cualquier punto del
plano XY debe escribirse como (x, y, 0)
Busquemos ese punto en la recta L2.
λ (3, 0, 1) + (8, 4, 1) = (x, y, 0)
No hay que olvidarse que debemos trabajar separadamente en cada una de las coordenadas.
011.
40.
83.
=+
=+
=+
λ
λ
λ
y
x
Lo que nos permitirá hallar los valores que nos están pidiendo (primero hay que calcular λ)
1011.
440.
583).1(83.
−=→=+
=→=+
=→=+−→=+
λλ
λ
λ
yy
xxx
Entonces el punto (x, y, 0) = (5, 4, 0)
Ahora podemos armar la ecuación vectorial de la recta L3.
L3 : λ (1, 2, 0) + (5, 4, 0)
2. Un club obtiene la concesión de un predio municipal y debe optar entre dos regímenes para
abonar el canon correspondiente:
i) Pagar el 13 % de los ingresos percibidos por cuota social
ii) Pagar $ 2000 fijos más el 8 % de los ingresos percibidos por cuota social.
a) ¿Para qué monto de ingresos el canon es el mismo para ambos regímenes?
b) Si el club recauda $50000 en concepto de cuotas sociales, ¿por qué régimen le conviene
optar?
(Lujan)
Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring
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Solución:
a) Cada uno de los “regímenes” a optar puede ser representado por una ecuación lineal (recta):
Así la primera opción del 13 % o sea 13/ 100 (0, 13) puede ser escrita como: f(x) = 0,13 x
Donde x representa la totalidad del dinero recaudado por la utilización del predio.
La segunda opción, el 8 % (o sea 8/100 = 0,08) y un monto fijo de $ 2000 puede escribirse
como g(x) = 0,08 x + 2000
Para saber qué monto de ingresos el canon es el mismo en ambos regímenes, sencillamente
igualamos las ecuaciones:
0,13 x = 0,08 x + 2000
Se despeja x
0,13 x – 0,08 x = 2000
0,05 x = 2000
x = 2000 / 0,05
x = 40000
b) Si graficamos ambas ecuaciones, la primera opción en
color verde y la segunda opción en color rojo, podemos
ver claramente que el punto de equilibrio entre las dos
opciones es cuando el club recauda $ 40000.
Para valores inferiores al equilibrio, la mejor opción
(donde se paga menos) es la que se paga el 13 %.
Para valores superiores al equilibrio, la mejor opción es
la que segunda. Así que si el club recauda $50000 en
concepto de cuotas sociales, el régimen que le conviene
optar es el segundo (pagará menos, pueden sencillamente
reemplazar x por $ 50000 en cada una de las ecuaciones
y observarán el resultado)
3. Hallar a y b para que el sistema sea compatible indeterminado.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
=+−
baxx
xx
xxx
32
31
321
2
04
22
Para los valores hallados de a y b, dar todas las soluciones del sistema.
Solución:
Primeramente pasemos los coeficientes del sistema (los números que están multiplicando a las
ampliada:x) en una matriz
Aplicaremos el método de Gauss (pues es el que usa esta cátedra aunque hay
métodos más fáciles, como el de gauss-Jordan) el que consiste en obtener un
triángulo de ceros en la parte inferior de la matriz (matriz triangulada
inferiormente) que permite calcular el valor de las x.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
ba
0
2
20
401
121
Toda matriz está dividida en filas y columnas. En este caso nos interesan las filas. Llamaremos
F1, F2 y F3 a la primera, segunda y tercera fila.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
baF
F
F
0
2
20
401
121
3
2
1
Lo que primeramente queremos es que la primera columna nos quede el 1
(que encabeza la columna) y todos los otros números sean ceros.
Para ello sumaremos o restaremos la F1 con las siguientes filas
(Lujan)
Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring
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⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−−
−
−⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
babaF
FF
F
baF
F
F
2
2
20
320
121
20
2
20
14)2(011
121
0
2
20
401
121
operarnecesario
esnocero,un
tenemosacá
3
12
1
filaslasoperamos
3
2
1
43421
Ahora el que debemos hacer cero son todos los números de la segunda columna debajo de la F2
(en este caso solamente es un número) Trabajamos con la matriz (equivalente) que hemos
obtenido:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
−
−
⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
2
2
300
320
121
)2(
2
2
3220
320
121
2
2
20
320
121
23
2
1
filaslasoperamos
3
2
1
babaFF
F
F
baF
F
F
ceroen
rsetransforma
debe2el
↑
La Matriz ha quedado triangulada inferiormente.
Como el problema nos pide que el sistema sea compatible indeterminado cada elemento de la
F3 debe ser cero. Así que a – 3 y b + 2 deben ser nulas.
Despejando:
a – 3 = 0 nos queda que a = 3
b + 2 = 0 nos queda que b = – 2
En este caso el sistema nos queda:
⎩
⎨
⎧
−=+
=+−
→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
232
22
0
2
2
000
320
121
32
321
xx
xxx
Despejamos x1 y x2 por lo que ambas quedan en función de x3. (Las cuentas debés hacerlas vos)
de manera que nos queda: x1 = – 4x3. x2 = – 1 –3/2 x3.
Así que la recta solución queda:
(– 4x3, – 1 –3/2 x3, x3) = x3 (– 4, – 3/2, 1) + (0, –1, 0)
4. Dados los subespacios de R4
S = { }0: 4321
4
=−++∈ xxxxRx y
T = ( ) )1,1,1,1();1,1,0,0(;0,0,1,1 −−−−
Hallar si es posible una base de S que contenga una base de T.
Solución:
Recordemos que una base de un subespacio es un generador cuyos vectores son linealmente
independientes (L I).
Lo que necesitamos primeramente es buscar una base de cada uno de los subespacios.
Empecemos por T
Para que los vectores sean L I, se debe darse que en la expresión:
(Lujan)
Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring
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( ) )0,0,0,0()1,1,1,1()1,1,0,0(0,0,1,1 =−+−−+− χβα
Los coeficientes (las letras griegas) sean cero para que su suma sea nula (o sea nos de el vector
nulo)
Hay varias maneras de resolver esta operación, aquí lo haremos mediante matrices.
Escribamos la matriz asociada y triangulemos para hallar el valor de los coeficientes.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
0
0
0
0
000
000
110
101
0
0
0
0
110
110
101
101
Operamos
El hecho que nos queden dos filas nos indica que el sistema es linealmente dependiente (L D),
ya que los coeficientes no dan cero.
χβχβ
χαχα
=→=+−
−=→=+
0
0
Según el valor que le demos a gamma tendremos el valor de alfa y beta.
Si 1y11 =−=⇒= βαχ
( ) )0,0,0,0()1,1,1,1(1)1,1,0,0(10,0,1,11 =−+−−+−−
Así que al despejar: ( ) )1,1,0,0(0,0,1,1)1,1,1,1( −−−−=− vemos que el tercer vector es combinación
lineal de los otros dos. Como podemos despejar cualquier vector, la base de T nos quedará de
dimensión dos (o sea, dos vectores). Los vectores que elijamos deben pertenecer a S, ya que
eso es lo que pide el problema.
Para saber cual de los vectores pertenece a S, sencillamente ubiquemos a cada vector en la
ecuación de S para ver si la cumple.
011110)1,1,1,1( 4321 =−++−→=−++→− xxxx Cumple
2001)1(0)0,0,1,1( 4321 =−++−−→=−++→− xxxx No cumple
0)1(1000)1,1,0,0( 4321 =−−−+→=−++→−− xxxx Cumple
Nuestra base en T será { })1,1,0,0();1,1,1,1( −−−
La base que buscamos en S tiene dimensión 3 (Hay que tener en cuenta que es un espacio de R4
con una sola ecuación: 4 – 1 = 3) Nos hace falta un vector. Podemos inventarlo pero asegúrense
que sea L I. Por ejemplo (1,0,0,1)
De esa manera tenemos que la base de S es:
{ })1,0,0,1();1,1,0,0();1,1,1,1( −−−
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(Lujan)
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  • 1. Parcial Álgebra: cátedra Gutierrez, Cs. Económicas. U.B.A. Si necesitas clases puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar Álgebra (Cs Económicas): Primer Parcial Segundo cuatrimestre: 1998 1. L es la recta que pasa por P = (2; -2) y Q = (3; 4). Hallar a tal que la recta que es paralela a L y pasa por (1; a ) también pase por (2; 4) 2. El servicio de telefonía A cobra un abono mensual de $ 50 y $ 0,35 cada minuto de comunica- ción. La empresa B cobra un abono mensual de $ 60 y $0,25 cada minuto. ¿A partir de cuántos minutos mensuales de comunicación resulta más conveniente la empresa B? 3. Escribir en forma paramétrica todas las soluciones del sistema cuya matriz ampliada es:      −      −− − − 3 1 4 195 274 121 4. Encontrar una base de S x R x x x x x x = ∈ − + = − + =    { / }4 1 2 4 1 3 4 5 0 5 0 que contenga al vector V = (1, 1, 1, 4) Respuestas: 1) Recta paralela: y = 6x – 8 ; a = – 2. 2) A(x) = 0,35x + 50 y B(x) = 0,25x + 60. La empresa B es más conveniente después de 100 de co- municación. 3) L: x3 (– 11, – 6, 1) + (12, 7, 0). 4) Base: < (1,1,1,4); (1,0,0,-1)> Segundo cuatrimestre: 1998 1. Encontrar α ∈ R tal que las rectas siguientes tengan un punto en común: L:3x – y = 5 L’:λ(1,1) + (1,2) L”: λ(1,1) + (5, α) 2. Encontrar todas las soluciones del sistema S, que tengan la tercera la tercera y la cuarta coorde- nada iguales.      =++ =+++− −=−−− 42104 42842 42446 S 432 4321 4321 xxx xxxx xxxx 3. Encontrar una base del subespacio }03/{ 321 3 =+−∈= xxxRxS , que contenga al vector (1,1,0). 4. El precio de venta de un camión nuevo es de $100000, y al cabo de 6 años es posible venderlo a $40000. Si el monto de depreciación anual se calcula por año, y es fijo, plantear la ecuación lineal que da el precio del camión al cabo de x años, y decir cuál es el precio del camión al cabo de 4 años. Respuestas: 1) L = L ´ + L”→ λ (1,3) + (0,–5) = λ(1,1) + (1,2) + λ(1,1) + (5, α) → λ = – 6, α = – 13 2) Operando y despejando x3: (x1, x2, x3, x4) = x3 (– 1, – 3, 1, 1) + (0, 1, 0, 0) 3) < (1,1,0) ; (3,0,1)> 4) Puntos representantes: (0, 100000) y (6, 40000) → (x, y) = λ (– 1, 10000) + (0, 100000)
  • 2. Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra Thomson Si necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548 (1) Álgebra – Primer Parcial – Cátedra Thomson: 2do Cuat. 01 Tema 4 Sede: Uriburu 1) Responder por verdadero o falso: a) det(A + B) = det (A) + det (B) b) Toda matriz diagonal tiene inversa c) (A.B) – 1 = B– 1 . A– 1 d) Cuando el rango de una matriz no coincide con el de la matriz ampliada, entonces, el sistema es indeterminado. e) El rango de una matriz está relacionado con el orden de la misma. 2) Dadas las matrices: A =           − 2 5 3 1 2 1 , B =           − − 5 4 0 7 1 2 , C =           − − 3 6 1 7 4 1 Obtenga una matriz E tal que 8A – 2B + 3C – 4E sea matriz nula. 3) Calcule la inversa de A =           122 013 421 si es posible. a) A– 1 =           − 024 232 111 b) A– 1 =           024 232 111 c) no tiene inversa d) A– 1 =           − − 024 232 111 4) La solución de         =−++ =−++ =−−+− =++− =+++ 82372 2335 4232 233 1322 wzyx wzyx wzyx wzyx wzyx es: a) (1, 2, – 2, – 1) b) (1, 2, 2, 1) c) (1, 2, – 2, 1) d) (– 1, – 2, 2, 1) 5) En el sistema dado      =−+ =++ =++ 423 24654 18642 yyx zyx zyx , los rangos son: a) r (A) = r (A’) = 3 b) r (A) ≠ r (A’) c) r (A) = r (A’) = 2 d) r (A) = r (A’) = 1 6) Dada la matriz A =           021 110 012 . La inversa A– 1 tiene como 3era columna: a)          − 5 2 1 b)           − 1 4 2 c)           − 3 5 3 8 3 4 d)           − − 3 2 3 2 3 1
  • 3. Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra Thomson Si necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548 7) Señalar cuál de las siguientes estructuras no es grupo abeliano: a) (R – {0}; o) b) (Z; o) c) (Q; +) d) ninguno de los anteriores. 8) Dada la matriz A =       43 21 . El determinante det[(At . A–1 ). 3A] es: a) – 18 b) – 2 c) 6 d) 48 9) Dada la matriz A =         α 101 040 01 . Señale cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) Si α ≠ 1; r(A) ≠ 3 b) α = 1; r(A) = 2 c) α = 1; r(A) = 3 d) ninguna de las anteriores. 10) Sean 35 – 2p – q = 0 y 11 + 6p – q = 0 ecuaciones de demanda y oferta, para un fabricante de un cierto producto. El ingreso total que se obtiene en el punto de equilibrio es: a) no es posible b) $ 87 c) $ 29 d) $ 32 e) ninguno de los anteriores. Rta.: b (2) Álgebra – Primer Parcial Tema 2 1) Responda si es verdadero o falso, justificando. En caso de ser necesario ponga un ejemplo. a) A . D = N b) A . B = B . A siempre c) Si una línea de una matriz es el vector nulo, su determinante es no nulo d) Si se permutan dos filas de una matriz, los correspondientes determinantes son opuestos. e) El determinante de toda matriz que tenga dos filas idénticas es nulo. 2) La solución del sistema    =+−+ =+−+ 64252 453 wzyx wzyx es: a)    +−−= ++= wzx wzy 7192 282 b)    −−−= ++= wzx wzy 7192 282 c)    −+= −−−= wzy wzx 282 7192 3) Dado el sistema      =−+ =−+ =+− czyx bzyx azyx 32 1162 72 ¿Qué condiciones se debe cumplir para que el sistema lineal dado sea compatible?. a) a, b, c ∈ R b) 5c + 2b – a = 0 c) 5c – 2b = a d) a, b, c ≠ 0 Rta.: c 4) Considerando la matriz A =             −− − + 86224 42222 20220 0024 x x x . Encuentre los valores de “x” para los cueles I A − 2 es singular.
  • 4. Álgebra – Primer Parcial – CBC – Cátedra Thomson Si necesitas ayuda para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al (011) 4585 – 1548 a) x ∈ {– 1, 1, 3} b) x ∈ {– 2, 3} c) x = 4 3137 ± d) x ∈ R – {3, – 2} 5) Dadas las matrices           + = 11 11 11 kk k k A B =           k k 0 2 X =           3 2 1 x x x Halle los valores de “k” para los cuales el sistema A . X = B admita: a) solución única b) infinitas soluciones c) ninguna solución Rta.: a) K ≠ 0 y K ≠ 1 b) K = 0 y K = 1 c) no hay valores de k. 6) Hallar y clasificar M– 1 si M = (A.B)– 1 + 2.C. A =           3 0 1 B =          − 0 2 1 C =           − − − 875,3 401 221 7) Siendo M – 3 I =             − − − 521 110 24 2 k Todos los valores de k para que M sea singular son: a) 10±=k b) k ∈ {– 2, 2} c) 10±≠k d) k ≠ 2 ∧ k ≠ – 2 Rta.: b 8) igualque el problema 10 tema anterior. 9) ¿Para qué valor o valores de t el siguiente sistema es indeterminado?      =−+ =−+ =−+ 01. 01 0 yxt tyx tyx Rta.: t = 0 ó t = 1. 10) Considerando el siguiente cuadro de transacciones: S1 S2 DF P. T. S1 14 16 S2 28 VA 18 ////// ////// P. T. 36 ////// (en miles de $) . Completar y hallar la nueva matriz de P. T. si la de D. F. Varía a H =       11 22 . Construir el nuevo cuadro.
  • 5. CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 1 Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 PPrriimmeerr PPaarrcciiaall ddee AAnnáálliissiiss CCiieenncciiaass EEccoonnóómmiiccaass Cátedra de Gutiérrez Álgebra Cs. Ec. (71) – Primer Parcial – Drago: 07/05/2002 Tema 4 1. Dadas las rectas L1 : y = 6x + 4 y L2 : x = α (1, 3) + ( – 2, 7), hallar la ecuación paramétrica de la recta L que no corta a L1 y pasa por el punto (–1, 5). Determinar la intersección de L y L2. 2. Determinar todas las soluciones      =−−− −=+++− =−+− 62232 132 5 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 3. Una maestra de arte decide preparar con sus alumnos un mural en tonos ocre. Para ello fabrica tres colores: I, II y III. En la composición de los mismas se utilizan pintura amarilla, bermellón y marrón en las siguientes proporciones: Color I: 20 % de bermellón, 40 % de amarillo y 40 % de marrón Color II: 80 % de bermellón, 10 % de amarillo y 10 % de marrón Color III: 20 % de amarillo y 80 % de marrón. La maestra dispone de 18 litros de pintura bermellón, 7 litros de pintura amarilla y 10 litros de pin- tura marrón. Si quiere agotar el stock, ¿qué cantidad de cada color se debe preparar?. 4. Determinar los valores de k ∈ R para los cuales el subespacio S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)> tiene dimensión 2. Respuestas: 1. Como L que no corta a L1, en dos dimensiones, debe ser paralela. Tiene la misma pendiente (1, 6) Como pasa por (–1, 5) podemos escribir a L: β (1, 6) + (– 1, 5). Ahora hallemos la intersección entre L y L2. Para ello igualamos las ecuaciones y hallamos de esta manera los coeficientes (α y β). α (1, 3) + ( – 2, 7) = β (1, 6) + (– 1, 5) → α – 2 = β – 1 → α = 1 + β = 1 + 5/3 = 8/3. 3α + 7 = 6β + 5 → 3(1+ β.) + 7 = 6β + 5 → β = 5/3 En ambos casos obtenemos el mismo resultado (es una manera de verificar que se han hecho bien las cuentas). L2: 8/3 (1, 3) + ( – 2, 7) = (2/3, 15) L : 5/3 (1, 6) + (– 1, 5) = (2/3, 15)
  • 6. CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 2 Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 2) Para resolver      =−−− −=+++− =−+− 62232 132 5 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx expresemos como matriz ampliada. Aquí lo resolveré mediante pivote. Se toma el primer elemento de la primer columna como Pivote. Excepto ese valor toda la columna tendrá valor cero, mientras que la fila se la deja igual. Pivote           − −−− − −− 6 1 5 2232 1321 1111 El valor de cada elemento de la matriz se calcula con la diferencia (res- ta) entre el producto del número por el pivote y el producto entre los elementos que pertenecen a su misma fila y columna           −− − −−− −−−−−−−− −−−−−−−− 5.21.6 5)1(1.1 )1.(21.21.21.2)1.(21.3 )1)(1(1.11).1(1.3)1)(1(1.2 5 0 0 1111 →           −−− −− 4 4 5 0410 0410 1111 Ambas filas son iguales por lo tanto dejamos una sola.         −− 4 5 0410 1111 A partir de esta matriz calculamos los resultados del sistema indeterminado. x2 + 4x3 = 4 → x2 = 4 – 4x3. x1 – x2 + x3 – x4 = 5 → x1 – (4 – 4x3) + x3 – x4 = 5 → x1 – 4 + 5x3 – x4 = 5 → x1 = 9 – 5x3 + x4. (x1,x2,x3, x4) = (9 – 5x3 + x4,4 – 4x3, x3,x4) = (9, 4, 0, 0) + x3 ( – 5, – 4, 1, 0) + x4 (1, 0, 0, 1) Cualquier solución del sistema pertenece al subespacio cuya base es: <(9, 4, 0, 0); (– 5, – 4, 1, 0); (1, 0, 0, 1)>. 3. Se arma la matriz a partir de los datos que da el problema. Llamemos x al color I, y al color II y z al color III. Como sabemos los litros de pintura a utilizar armamos un sistema, expresando los por- centajes de manera numérica: 20% es 20/100 o sea 0,2.      =++ =++ =++ 108,01,04,0 72,01,04,0 1808,02,0 zyx zyx zyx Armamos la matriz correspondiente y la resolvemos (mediante el método que te hayan enseñado en clase)
  • 7. CBC: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2002 - Pág. 3 Si necesitas clases para rendir parciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 →           →           5 20 10 100 010 001 10 7 18 8,01,04,0 2,01,04,0 08,02,0 x = 10;y = 20;z = 5. Obtendremos: 10 litros del color I, 20 litros del color II y 5 litros del color III. 4. Tenemos el subespacio S con tres vectores pero necesitamos que tenga dimensión 2, o sea, que- remos que se vaya un vector; ya que deben quedar dos vectores para que tengamos dimensión dos. Así que expresamos al subespacio como una matriz, la triangulamos hasta que en una fila sólo que- de una ecuación que nos permita calcular k, en los otros lugares debemos tener cero. S = <(2, – 1, 5), (1, 1, k); (0, k, 1)>           −− − −  →           − −  →           − −− 35200 5230 512 10 5230 512 10 11 512 2 332122 kk k k k k k FkFFF Para que quede dimensión 2, la últimas fila debe desaparecer, dar cero. Haciendo que 2k2 – 5k – 3 = 0 podemos hallar los valores que nos están pidiendo para que el subes- pacio quede de dimensión dos. Para ello aplicamos la ecuación cuadrática (Bascara). 2k2 – 5k – 3 = 0 → 2 1 4 2 4 75 3 4 12 4 75 4 75 4 495 2.2 )3.(2.455 2 12 −= − = − = == + = ± = ± = −−± k k De esta manera hemos determinado que si k = 3 o si k = – ½ el subespacio quedará de dimensión dos.
  • 8. Cs. Económicas: Primer Parcial: Cátedra Gutiérrez. – 2003 – Pág. 1 Si necesitas clases para rendirparciales, finales, libre puedes llamar al 011-15-67625436 (1) Álgebra (71) Cs. Ec. – Paternal – Primer Parcial: 1º Cuat. de 2003 Tema 4 1. Sea L la recta en R3 que pasa por los puntos A = (1, 3, – 2) y B = (0, 1, 2). Hallar el punto de L que tiene tercera coordenada igual a 6. 2. Un estudiante puede viajar a su facultad en bicicleta, en tren o en colectivo. Cada día utiliza el mis- mo medio de transporte para ir y para volver. Cada viaje (ida y vuelta) dura: en bici: 1 hora; en tren: media hora; en colectivo 15 minutos. Cada boleto de tren le cuesta $ 0,5 y cada boleto de colectivo $ 0,75. En el mes de abril fue a clase 22 días, gastó $ 21 y estuvo viajando 23 horas. ¿Cuántos días viajó en bicicleta, cuantos en tren y cuantos en colectivo?. 3. Dar un valor de a y uno de b para los cuales el sistema cuya matriz ampliada es           − − ba 1 1 41 203 421 re- sulta incompatible. 4. Elegir vectores del conjunto {(1, 0, – 1); (1, 1, – 1); (0, 0, 0); (–3, 0, 3); (2, 1, 0)} para formar una base del subespacio S = {x ∈ R3 :x1 – 2x2 + x3 = 0} Respuestas: 1) (–1, – 1, 6) 2) Recta solución: z (½ , – 3/2, 1) + (1, 21, 0) los valores a tomar de “z” deben dar re- sultados positivos. 3) a = – 6 y b ≠ 3. 4) {(1, 0, – 1); (2, 1, 0)}. (2) Álgebra (71) Cs. Ec. – Primer Parcial: Paternal (turno noche) – 1er Cuat. 2003 Tema 1 1. Sea L la recta que pasa por el punto P = (1, 3) y es paralela a L’: 20x – 5y = 3. Hallar el punto de L que contiene ordenada igual a 7. 2. Una empresa produce dos tipos de jugos a base de naranja y pomelo: El “Tropical” que lleva 60 ml de naranja por cada 40 ml de pomelo y el “Citral” que lleva 45 ml de naranja por cada 55 ml de pome- lo. Se tiene un stock de 4800 litros de jugo de naranja y de 4000 litros de pomelo. ¿Cuántos litros de cada tipo de jugo debe producir para agotar el stock?. 3. Hallar el valor de k para el cual (1, 2, 1) es solución del sistema cuya matriz ampliada es           − 5 2 3 211 01 112 k Para ese valor, resolver completamente el sistema. 4. Hallar dos bases distintas del subespacio S ⊆ R3 , S = <(1, 0, 1); (0, 1, 1)> Respuestas: 1) (2, 7) 2) Se obtienen 32000 de uno y 56000 del otro. 3) Ojo, si k = 3 el sistema es incompatible. El valor que piden es k = 1 y se saca directamente reemplazando el vector solución en la fila donde está k. 4) S1 = <(1, 0, 1); (1,1,2)> S2 = <(0, 1, 1); (1,1,2)> (sumar los vectores).
  • 9. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1 Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436 Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1er Cuat. 2005 1) Sean p = (– 3, 1) y q = (5, a). Hallar a ∈R tal que la recta que pasa por p y q sea paralela a la recta y = – 2x + 5, y dar la ordenada al origen de la recta que pasa por p y q. 2) Hallar todas las soluciones del sistema x1 – x2 – x3 + 5x4 = – 1 – x1 + 2x2 + x3 – x4 = – 3 3x1 – 5x2 – 3x3 + 7x4 = 5 3) El verdulero aumentó hoy $0,30 el precio del Kg de tomates y $0,10 el precio del Kg de papas. Ayer, comprar 4 Kg de tomates y 5 Kg de papas costaba $16,30. Hoy, comprar 5 Kg de tomates y 8 kg de papas cuesta $23,90. Hallar el precio que tenían ayer el Kg de tomates y el Kg de papas. 4) Hallar, si es posible, una base de S = {(x1, x2, x3, x4) ∈R4 / 2x1 – 5x2 = 0} que contenga a los vectores v = (5; 2; 0; 0) y w = (0; 0; -1; 1) Respuestas 1) La recta es: L = α (1, – 2) + (– 3, 1). Al igualarla con (5, a) se puede calcular el valor de a, despejando. a = – 15. La ordenada al origen es cuando x = 0 por lo tanto se busca el valor de y. En este caso sería: (0, – 5) 2) El sistema es obviamente un sistema compatible determinado. Dependiendo de la variable que elijas tendrás, en este caso, un plano solución: S = α (1, 0, 1, 0) + β (– 9, – 4, 0, 1) + (– 5, – 4, 0, 0) 3) 1 kg. Tomates = $ 3,20; 1 kg. Papas = $ 0,70 4) Se tiene un subespacio dentro de R4 con una sola ecuación, por lo que la base es de dimensión 3. Al despejar para hallar la base no hay que olvidar que cuando dicen “contenga a v = (5, 2, 0, 0) y w = (0, 0, – 1, 1)” implica que los dos vectores deben estar dentro de la base, por lo tanto hay más de una solución dependiendo del vector que elijas como tercera opción. B = {(5, 2, 0, 0); (0, 0, – 1, 1): (0, 0, 1, 0)}
  • 10. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1 Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436 Álgebra – Primer Parcial – Montes de Oca – 1er Cuat. 2005 1) Sean dos rectas en R2 : L1 la recta que pasa por A= (1, 4) y B = (– 3, – 2) L2 la recta de ecuación y= x – 2 Hallar la ecuación de una recta a L1 que pase por el punto en que L2 corta al eje y. 2) Una empresa que hace excursiones de todo un día desde el centro hasta el Parque Nacional dispone de un auto, una camioneta y un ómnibus que utiliza según la cantidad de turistas. El uso de auto implica un gasto diario de $12 de combustible, $4 de peaje y $10 de mantenimiento. El uso de la camioneta implica un gasto diario de $18 de combustible, $6 de peaje y $16 de mantenimiento. El uso del ómnibus implica un gasto diario de $20 de combustible, $10 de peaje y $15 de mantenimiento. Si se gastaron $408 en combustible, $166 en peaje y $331 en mantenimiento. ¿Cuántos días se usó cada uno de los vehículos? 3) Encontrar todas las soluciones del sistema S 2x – 3y + z = – 2 x + 3z = 1 – x + 3y + 2z = 3 4) Dado el subespacio S = < (2, – 2, – 5); (–1, 4, 1); (1, 2, – 4) >. Hallar, si es posible, una base de S que contenga al vector v = (1, 8, – 7). Soluciones: 1) y = 3/2 x – 2 ó L: α (2, 3) + (0, – 2) 2) Auto: 10 días, Camioneta: 6 días y Ómnibus: 9 días. 3) Es un sistema compatible indeterminado por lo tanto la respuesta será una recta. En este caso se ha despejado z, pero puede despejarse cualquiera de las letras (según te convenga) S = z (– 3, – 5/3, 1) + (1, 4/3, 0) 4) La base obtenida puede ser: S= {(–1, 4, 1); (1, 8, – 7)} ó S= {(1, 2, – 4); (1, 8, – 7)}
  • 11. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1 Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436 (1) Álgebra (71) – Primer Parcial – 1º Cuat. 2005 1) Sea P el punto en el que la recta y = – 3x + 5 corta al eje x, y sea L´ la recta paralela a L: α (2, -1) + (1, 6) que pasa por P. Hallar el punto en que la recta L´ corta al eje y. 2) Analizar para que valores de k el siguiente sistema sea compatible determinado, indeterminado o incompatible: x – y = 2 2 x – y = 5 Hallar todas las soluciones del sistema, cuando sea indeterminado. – x + 2y = k 3) Tres empresas A, B y C discuten posibles funciones. La suma de los activos de A y B es igual al activo de C; el activo de B supera al de A en 3 millones y las tres empresas tienen, en conjunto, activos por 25 millones. Hallar los activos de cada una de las tres empresas. 4) Consideramos en R4 el subespacio S: < ( 1, 0, -1, 2 ) ; ( 0, 1, 1, -2 ) >. Determinar los valores de a y b ∈R, tales que el vector (a, 3, 5, b) pertenece a S. (2) Álgebra (71) – Primer Parcial – Paternal – 1er Cuat. 2005 1) L1 es la recta que pasa por (2, -1) y (-1, 3), L2 es la recta de dirección (2, 3) que pasa por (3, 4) y Q es el punto de L2 que pertenece al eje x. Hallar una ecuación paramétrica de una recta paralela a L1 que pase por Q. 2) Determinar todos los valores de k ∈R para los cuales el sistema S es incompatible. 3) Un artesano vende aros de tres tamaños: grandes, medianos y pequeños. Los precios de venta de cada par son: $ 10, $ 8 y $ 2 respectivamente. El fin de semana anterior vendió 75 pares en total y recaudó $ 718. ¿Cuántos pares de cada tamaño vendió? Dar todas las posibilidades. 4) Dados el subespacio S = {x ∈R4 / 2x1 + x3 – 2 x4 = 0} y el vector v = (1, 1, 2, 2). Hallar una base B de S y expresar, si es posible, v como combinación lineal de los vectores de B.
  • 12. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 1 Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436 Algebra (71) – Primer Parcial – 2do Trim. 2005 – Tema 1. 1. L es la recta de ecuación X: α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3); P es el punto de L que está en el plano x1x2 y Q = (–1, 5, 0). Dar la ecuación de la recta que pasa por P, Q. 2. Determinar los valores de a y b para que el sistema S = Sea i) Compatible determinado ii) Compatible indeterminado 3) Un pintor compró 40 latas de pintura para exterior, 40 latas de pintura para interiores y 5 latas de pintura para metales, se pagó $ 450. Si hubiera comprado el doble de latas para interiores, el doble de para metales y nada de las otras habría pagado $420. Si hubiera comprado el doble de latas para exteriores, el doble de para metales y nada de las otras habría pagado $580. ¿Cuánto pagó por 1 lata de cada clase de pintura? 4) Dar una base del subespacio S = < (1, 2, 1, – 1); (1, 4, 4, 0), (–1, 2, 5, 3) > Decidir si V = (1, 0, – 2, – 2) pertenece a S. En caso afirmativo, escribir V como combinación lineal de la base dada. Solución: 1) Que esté incluido en el plano x1x2 implica que las dos primeras coordenadas pueden tener cualquier valor pero la tercera x3 tiene valor cero. α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) = (x1; x2; 0) O sea que 0 = 2α + 3. Por lo que puede calcularse alfa cuyo valor será – 3/2 Todos los puntos de la recta X = α (1, – 1, 2) + (0, 4, 3) pueden ser expresados como: x1 = α por lo que x1 = – 3/2 x2 = – α + 4 por lo que x2 = 3/2 + 4 = 11/2 x3 = 2α + 3. por lo que x3 = 2 (– 3/2) + 3 = 0 P = (– 3/2, 11/2, 0) y Q = (–1, 5, 0). Para calcular el vector director de la recta se restan P y Q : P – Q = (– 3/2, 11/2, 0) – (–1, 5, 0) = = (– ½, ½, 0) La recta que pasa por P y Q puede expresarse como: X: α (– ½, ½, 0) + (– 3/2, 11/2, 0) ó como X: α (– ½, ½, 0) + (–1, 5, 0) Ambas expresiones son igualmente válidas.
  • 13. Parciales de Álgebra – Ciencias Económicas – Cátedra Gutiérrez/Fauring Pág. 2 Si necesitas clases para aprobar tu parcial, final o libre llama al 011-15-67625436 2) El sistema puede expresarse como matriz y resolverse por varios métodos. El más utilizado por esta cátedra es Gauss. Este método consiste en eliminar las filas de abajo mediante sumas o restas para obtener una matriz triangulada que permita hallar x, y, z. El valor de a y b determinarán que tipo de sistema tendremos: i) Si a es distinto de 13 no nos interesa el valor de b, el sistema será siempre compatible determinado, o sea que siempre existirá una solución para el sistema, x, y, z tendrán un único valor. ii) Si a = 13 y b = 7 la fila de abajo se irá, será todo cero, por lo tanto tendremos infinitas soluciones. El sistema será compatible in determinado. iii) Si bien esta opción no se ha pedido… aprovechemos para explicar que si a es igual 13 y b distinto de 7 no obtendremos ningún resultado. El sistema será incompatible. 3) El problema debe escribirse como un sistema de ecuaciones para poder resolverse. En este caso x representará la pintura de interiores, y la de exteriores y z la de metales. 40 x + 40 y + 5 z = $ 450 80 x + 0 y + 10 z = $ 420 0 x + 80 y + 10 z = $ 580 El resultado de este sistema de ecuaciones es: x = 4, y = 6, z = 10. 4) Para ser una base los vectores de S deben ser generadores y linealmente independientes. Cuando se pide que sea combinación lineal se está pidiendo hallar: α (1, 2, 1, – 1) + β (1, 4, 4, 0) + γ (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2) El valor de alfa, beta y gama debe ser uno solo. En este caso α = 2, β = – 1 y γ = 0 Escrito como combinación lineal sería: 2 (1, 2, 1, – 1) – 1 (1, 4, 4, 0) + 0 (–1, 2, 5, 3) = (1, 0, – 2, – 2)
  • 14. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson ÁLGEBRA - 1er Parcial TEMA: 35 B El examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien. Ej.1: a) Sea A = { 1, 3, 9 } con la operación: x#y= m.c.d.(x,y) a) Arme una tabla e indique si # es ley interna en A, si es asociativa, conmutativa, si posee neutro y la estructura de (A,#) b) Dé un ejemplo de una operación que sea ley interna en el conjunto de los enteros pero que no tenga elemento neutro. Indique si es asociativa. Ej.2: Dada la matriz X = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− 33kk21 5k0 3121 2 a) Halle todos los valores de k ∈ R tales que el X sea singular (no inversible). b) Considerando k=1, indique el rango de X. Ej.3: Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda: a) Sean A, B ∈ |Rnxn: si A es involutiva y B = 2 1 (A + I) entonces B es idempotente. b) Sean A, B ∈ |Rnxn: si A y B son simétricas entonces A•B es matriz simétrica. Ej.4: Sea M = a) Calcule det(M) sabiendo que ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ w74z y1-4x 020 yx wz = 3 b) Calcule det(D) siendo Dt = (-2) • D2 • M-1 Ej.5: Sea la ecuación matricial: X • A + I = (C • X-1)-1 a) Despeje la matriz cuadrada X b) Considerando las matrices: A = y C = calcule la inversa de X.⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 51 12 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 52 73 Ej.6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias S y T representada en la tabla: S T D.F. P.T. S 34 T 25 84 V.A. 28 P.T. 152 a) Complete la tabla sabiendo que lo que utiliza T de su propia producción es 42. b) Halle la nueva tabla si la demanda final cambia a 55 para S y 135 para T. Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  • 15. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson ÁLGEBRA - 1er Parcial TEMA : 35 A El examen se aprueba con 3 ejercicios completos bien o con 6 mitades bien. Ej. 1: a) En el conjunto E = { e , f , d, n } se define la operación ◊ mediante la tabla: ◊ e f d n e n e n n f e f d n d n d f d n n n d f Analice si ◊ es conmutativa, asociativa y si posee elemento neutro. ¿Qué elemento debe modificarse para que ◊ posea simétrico? Sugerencia: halle ( d ◊ e ) ◊ n y d ◊ ( e ◊ n ) b) Analice la estructura de (H, •) Siendo H = { x = n 1 ∧ n ∈ |N } y • es el producto usual. Ej. 2: Dada la matriz M ∈ |R3x3 / mij = ⎩ ⎨ ⎧ 0 1 si si ji ji > ≤ a) Halle la matriz M-1 (inversa de M) b) Indique el rango de la matriz A = M - I (siendo I la identidad de orden 3) Ej. 3: : Indique Verdadero o Falso, justificando como corresponda: a) Sea A ∈ |Rnxn : Si A es ortogonal y simétrica entonces A es involutiva b) Sean A y B ∈ |Rnxn : si A y B son regulares entonces A - B es regular Ej. 4: Sean las matrices P , Q ∈ R4x4 tales que : det(P) = 5 a) Si Q = (2P1 P3+P2 P4 3P1+2P3) , calcule det(Q) b) Si det(Q) = 8, halle el valor de det( 2 Pt Q-1 ). Ej. 5: a) Sea la ecuación matricial: A • X = B Siendo A= X = B = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 411 121 111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 3 2 Calcule la matriz X usando el método de Crámer. Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  • 16. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Thomson Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436 b) Despeje X en la ecuación: B • (C + X • A) = C + I Sabiendo que A y B son inversibles. Ej. 6: Considere una economía hipotética sencilla de dos industrias M y N representada en la tabla: M N D.F. P.T. M 28 12 16 56 N 14 36 22 72 V.A 14 24 P.T. 56 72 128 a) ¿Qué valor produce M y utiliza N? ¿Cuál es la producción total de la industria N? b) Determine la nueva tabla, si la demanda final cambia a 20 para M y 25 para N.
  • 17. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring ÁLGEBRA - 1er Parcial Solución: 1) a = – 3 ; b = 6 2) Deben elaborar 36 kg. de salsa "a la siciliana" y 60 kg. de salsa "a la francesa" para consumir un stock de 30 kg. de queso fontina y 66 kg. de cuartirolo. 3) α (-1; 0; -3; 1) + (3; 0; 3; 0) 4) Para que el vector v = (1; 4; 2k) pertenezca al subespacio S, k = 4. Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  • 18. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring ÁLGEBRA - 1er Parcial Solución: 1) L : α (1, – 1, – 5) + (5, 1, 2) 2) a = 5, b = – 3 (Reemplazando estos dos valores ahora deben triangular la matriz para hallar los resultados) 3) y = 700 x – 143000 Deberán transcurrir más de 204 semanas. 4) (1, 2, 1, – 1) no pertenece a S (Si lo resuelves triangulando, la manera más fácil, el sistema da incompatible, lo que implica que el vector no pertenece al subespacio S.) Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011-15-67625436
  • 19. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Primer Parcial de Álgebra Cátedra Fauring (ex – Gutiérrez) Algebra Cs. Ec. (71) – Primer parcial (Drago) – Primer Cuatrimestre 2009 – Tema 3 1. Dadas las rectas: L1 : X = λ (1, 2, 0) + (2, 3, 2) y L2: X = λ (3, 0, 1) + (8, 4, 1), hallar una ecuación de la recta paralela a L1 y corta al plano XY en el mismo punto que L2 Solución: Para escribir vectorialmente una recta necesitamos dos elementos. El vector director (que es el vector cuya dirección es la de la recta) y un punto de paso (que indica por donde pasa esa recta, o sea, donde está ubicada en el plano) Cuando dos rectas son paralelas tienen el mismo vector director, así que la tercera recta (la que llamaremos L3) y L1 poseen a (1, 2, 0) como vector director. Ahora necesitamos un punto de paso, el problema nos dice que ese punto será la intersección entre el plano XY y L2. Probablemente te preguntarás que es el plano XY. Es el plano determinado por los ejes X e Y que pasa por el origen de coordenadas, lo que implica que Z = 0. Así que cualquier punto del plano XY debe escribirse como (x, y, 0) Busquemos ese punto en la recta L2. λ (3, 0, 1) + (8, 4, 1) = (x, y, 0) No hay que olvidarse que debemos trabajar separadamente en cada una de las coordenadas. 011. 40. 83. =+ =+ =+ λ λ λ y x Lo que nos permitirá hallar los valores que nos están pidiendo (primero hay que calcular λ) 1011. 440. 583).1(83. −=→=+ =→=+ =→=+−→=+ λλ λ λ yy xxx Entonces el punto (x, y, 0) = (5, 4, 0) Ahora podemos armar la ecuación vectorial de la recta L3. L3 : λ (1, 2, 0) + (5, 4, 0) 2. Un club obtiene la concesión de un predio municipal y debe optar entre dos regímenes para abonar el canon correspondiente: i) Pagar el 13 % de los ingresos percibidos por cuota social ii) Pagar $ 2000 fijos más el 8 % de los ingresos percibidos por cuota social. a) ¿Para qué monto de ingresos el canon es el mismo para ambos regímenes? b) Si el club recauda $50000 en concepto de cuotas sociales, ¿por qué régimen le conviene optar? (Lujan)
  • 20. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Solución: a) Cada uno de los “regímenes” a optar puede ser representado por una ecuación lineal (recta): Así la primera opción del 13 % o sea 13/ 100 (0, 13) puede ser escrita como: f(x) = 0,13 x Donde x representa la totalidad del dinero recaudado por la utilización del predio. La segunda opción, el 8 % (o sea 8/100 = 0,08) y un monto fijo de $ 2000 puede escribirse como g(x) = 0,08 x + 2000 Para saber qué monto de ingresos el canon es el mismo en ambos regímenes, sencillamente igualamos las ecuaciones: 0,13 x = 0,08 x + 2000 Se despeja x 0,13 x – 0,08 x = 2000 0,05 x = 2000 x = 2000 / 0,05 x = 40000 b) Si graficamos ambas ecuaciones, la primera opción en color verde y la segunda opción en color rojo, podemos ver claramente que el punto de equilibrio entre las dos opciones es cuando el club recauda $ 40000. Para valores inferiores al equilibrio, la mejor opción (donde se paga menos) es la que se paga el 13 %. Para valores superiores al equilibrio, la mejor opción es la que segunda. Así que si el club recauda $50000 en concepto de cuotas sociales, el régimen que le conviene optar es el segundo (pagará menos, pueden sencillamente reemplazar x por $ 50000 en cada una de las ecuaciones y observarán el resultado) 3. Hallar a y b para que el sistema sea compatible indeterminado. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ =+− baxx xx xxx 32 31 321 2 04 22 Para los valores hallados de a y b, dar todas las soluciones del sistema. Solución: Primeramente pasemos los coeficientes del sistema (los números que están multiplicando a las ampliada:x) en una matriz Aplicaremos el método de Gauss (pues es el que usa esta cátedra aunque hay métodos más fáciles, como el de gauss-Jordan) el que consiste en obtener un triángulo de ceros en la parte inferior de la matriz (matriz triangulada inferiormente) que permite calcular el valor de las x. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ba 0 2 20 401 121 Toda matriz está dividida en filas y columnas. En este caso nos interesan las filas. Llamaremos F1, F2 y F3 a la primera, segunda y tercera fila. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − baF F F 0 2 20 401 121 3 2 1 Lo que primeramente queremos es que la primera columna nos quede el 1 (que encabeza la columna) y todos los otros números sean ceros. Para ello sumaremos o restaremos la F1 con las siguientes filas (Lujan)
  • 21. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−−− − −⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − babaF FF F baF F F 2 2 20 320 121 20 2 20 14)2(011 121 0 2 20 401 121 operarnecesario esnocero,un tenemosacá 3 12 1 filaslasoperamos 3 2 1 43421 Ahora el que debemos hacer cero son todos los números de la segunda columna debajo de la F2 (en este caso solamente es un número) Trabajamos con la matriz (equivalente) que hemos obtenido: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 2 2 300 320 121 )2( 2 2 3220 320 121 2 2 20 320 121 23 2 1 filaslasoperamos 3 2 1 babaFF F F baF F F ceroen rsetransforma debe2el ↑ La Matriz ha quedado triangulada inferiormente. Como el problema nos pide que el sistema sea compatible indeterminado cada elemento de la F3 debe ser cero. Así que a – 3 y b + 2 deben ser nulas. Despejando: a – 3 = 0 nos queda que a = 3 b + 2 = 0 nos queda que b = – 2 En este caso el sistema nos queda: ⎩ ⎨ ⎧ −=+ =+− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 232 22 0 2 2 000 320 121 32 321 xx xxx Despejamos x1 y x2 por lo que ambas quedan en función de x3. (Las cuentas debés hacerlas vos) de manera que nos queda: x1 = – 4x3. x2 = – 1 –3/2 x3. Así que la recta solución queda: (– 4x3, – 1 –3/2 x3, x3) = x3 (– 4, – 3/2, 1) + (0, –1, 0) 4. Dados los subespacios de R4 S = { }0: 4321 4 =−++∈ xxxxRx y T = ( ) )1,1,1,1();1,1,0,0(;0,0,1,1 −−−− Hallar si es posible una base de S que contenga una base de T. Solución: Recordemos que una base de un subespacio es un generador cuyos vectores son linealmente independientes (L I). Lo que necesitamos primeramente es buscar una base de cada uno de los subespacios. Empecemos por T Para que los vectores sean L I, se debe darse que en la expresión: (Lujan)
  • 22. Algebra – Cs. Económicas – Primer parcial – Cátedra Fauring Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 ( ) )0,0,0,0()1,1,1,1()1,1,0,0(0,0,1,1 =−+−−+− χβα Los coeficientes (las letras griegas) sean cero para que su suma sea nula (o sea nos de el vector nulo) Hay varias maneras de resolver esta operación, aquí lo haremos mediante matrices. Escribamos la matriz asociada y triangulemos para hallar el valor de los coeficientes. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎯⎯⎯⎯ →⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− 0 0 0 0 000 000 110 101 0 0 0 0 110 110 101 101 Operamos El hecho que nos queden dos filas nos indica que el sistema es linealmente dependiente (L D), ya que los coeficientes no dan cero. χβχβ χαχα =→=+− −=→=+ 0 0 Según el valor que le demos a gamma tendremos el valor de alfa y beta. Si 1y11 =−=⇒= βαχ ( ) )0,0,0,0()1,1,1,1(1)1,1,0,0(10,0,1,11 =−+−−+−− Así que al despejar: ( ) )1,1,0,0(0,0,1,1)1,1,1,1( −−−−=− vemos que el tercer vector es combinación lineal de los otros dos. Como podemos despejar cualquier vector, la base de T nos quedará de dimensión dos (o sea, dos vectores). Los vectores que elijamos deben pertenecer a S, ya que eso es lo que pide el problema. Para saber cual de los vectores pertenece a S, sencillamente ubiquemos a cada vector en la ecuación de S para ver si la cumple. 011110)1,1,1,1( 4321 =−++−→=−++→− xxxx Cumple 2001)1(0)0,0,1,1( 4321 =−++−−→=−++→− xxxx No cumple 0)1(1000)1,1,0,0( 4321 =−−−+→=−++→−− xxxx Cumple Nuestra base en T será { })1,1,0,0();1,1,1,1( −−− La base que buscamos en S tiene dimensión 3 (Hay que tener en cuenta que es un espacio de R4 con una sola ecuación: 4 – 1 = 3) Nos hace falta un vector. Podemos inventarlo pero asegúrense que sea L I. Por ejemplo (1,0,0,1) De esa manera tenemos que la base de S es: { })1,0,0,1();1,1,0,0();1,1,1,1( −−− Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 Y si buscás modelos de parciales, encontralos en forma gratuita en: Soko.com.ar (Lujan) (Lujan)