1) El documento presenta cuatro ejercicios de álgebra lineal y cálculo. El primer ejercicio clasifica un sistema dependiente de un parámetro y calcula sus soluciones. El segundo ejercicio resuelve límites y calcula asíntotas. El tercer ejercicio trabaja con planos, calculando ecuaciones implícitas, puntos de intersección y ángulos entre planos. El cuarto ejercicio trata matrices, igualdad entre ellas, y funciones definidas a trozos.

1. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Septiembre 2018 Juan Carlos Alonso Gianonatti
1
OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1
Ejercicio 1.-
Considere el sistema dependiente del parámetro m:









−
=










⋅










−
−
3
0
2
021
1
01
z
y
x
m
mm
m
1) [1 PUNTO] Clasifique el sistema en función de m.
2) [2,25 PUNTOS] Calcule todas las soluciones en los casos en que el sistema sea compatible
( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 




 −
−=
−
=
−+
=
−
−
−+
⋅−
=
−
−
−+
−−
=
−
−
−−
=
−=
−−
=
−
−−
⋅−
=
−
−−
=
==
−
=
−
−
−
⋅−
=
−
−
−
=
≠
=≠=









 −−
≡









 −−
=
==≠−ℜ∈∀
==−=−=−⋅−=
−
−
⋅−=
−
−
=
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
22
22
1
,
5
,1,,
1211
21
1
10
210
21
321
01
21
52331
21
031
0
021
1
3423
2
023
10
02
min0
)2
3/2
1
0
2
000
010
001
3
0
2
001
010
001
0
min300
0002
21
1
021
1
01
)
m
m
m
zyxSolución
m
m
m
mm
m
m
mm
m
m
mm
m
m
m
m
m
z
mmm
m
m
mm
y
m
m
m
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
x
adoDeterCompatileSistemaxSi
eIncompatilSistemaNMrangMrang
xSi
adoDeterCompatileSistemaincógnitasdeNúmeroMrangMx
mmMSimmmm
m
m
m
m
mm
m
M
a

2. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Septiembre 2018 Juan Carlos Alonso Gianonatti
2
Ejercicio 2
1) [2,5 PUNTOS] Calcule el
( )
( ) xx
xxsen
x ++
+
→ 1ln
2
lim
2
0
(ln denota logaritmo neperiano)
2) [1 PUNTO] ¿Para qué valor de d tiene la función
2
1
−
−
x
xd
tiene una asíntota oblicua en ∞+ ?. Calcule
dicha asíntota
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
10
2
1104
11
10cos04
1
10
1
102cos04
1
1
1
12cos4
lim
0
0
1ln
0
010ln
002
1ln
2
lim
)1
2
2
0
'
22
0
=
+
=
+⋅⋅
=
+
+⋅⋅
=
+
+
+⋅⋅⋅
=
=
+
+
+
= →===
++
+⋅
=
++
+
→→
x
xxsensen
xx
xxsen
x
HopitalLAplicando
x
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2)
1 1 11
0
12lim lim lim lim lim
2 2 1 02
1 12
1 2 lim 1
1 1 2
lim lim 1 lim
2
d d d dd
d
x x x x x
d
d
x
x x x
x x x xx
f x xx x x x x x xm
x x x x x x
xx x
f xx
x x d m
xx
x x x
n f x mx x
x
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
→∞
→∞ →∞ →∞
−
− − − −
− ∞ ∞−= = = = = = = = 
∞ −−
− −−
∞
=  =  =  = =
 − − − +
 = − = − ⋅ =   − 
1
2
1 2
lim lim
22 2
1 1
2 2
0 2
lim 2 2
2 2 1 0
1 1
x x
x
x
x x x x
xx x
x x
xn Asíntota oblicua y x
x
→∞ →∞
→∞
− +
− + ∞
= = =
− − ∞
−
− + − +
+∞= = = =   = +
−
− −
∞
Ejercicio 3
Sean A y B los planos ( ) ( ) ( ) 122:,1,0,02,1,10,1,0: =++ℜ∈+−+ zyxBststA
1) [1 PUNTO] Calcule ecuación implícita (general) del plano A.
3) [1 PUNTO] Calcule un punto y el vector director de la recta intersección de A y B.
4) 1 PUNTO] Calcule el ángulo formado por los planos A y B
( ) 011
100
211
1
)1
=−+≡−−−=−
−
≡ yxAyx
zyx
A

3. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Septiembre 2018 Juan Carlos Alonso Gianonatti
3
Continuación del problema 3 de la Opción de Examen nº 1
2) Los planos pueden ser paralelos o cortarse en una recta a la que definen. Si son paralelos sus vectores
directores son iguales o proporcionales, de no serlo se cortarán
( )
( )
( )
( )




−=






=
=
−=
≡−==+==+




=−+
=−++
≡≠





=
=
0,0,1
1,2,2
2
21
2112202
01
0122
tan
2
1
1
1
2,2,1
0,1,1
RPunto
v
z
y
x
rzxzxzyzy
yx
zyx
rrectaunasegúncorSe
v
v
r
B
A
λ
λ
λ
3) El coseno del ángulo α que forman los planos es el cociente entre el producto escalar de los dos
vectores directores de ambos y el producto de sus módulos
( )
( )
( ) ( )
radarc
vv
vv
rectaunasegúncorSe
v
v
BA
BA
B
A
4
º45
2
2
cos
2
2
2
1
23
3
92
021
221011
2,2,10,1,1
cos
tan
2
1
1
1
2,2,1
0,1,1
222222
π
α
α
==







=
===
⋅
++
=
++⋅++
⋅
=
⋅
⋅
=
≠





=
=

4. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Septiembre 2018 Juan Carlos Alonso Gianonatti
4
OPCIÓN DE EXAMEN Nº 2
Ejercicio 1
Sean ℜ∈





=





= yxcon
y
B
x
A ,,
1
11
,
3
13
1) [1,25 PUNTOS] Determine los valores de x, y para los cuales AB = BA
2) [1,5 PUNTOS] Determine un valor x para el que A2
= 6A.¿Tiene A inverso en este caso?
3) [0,5 PUNTOS] Sean N, R, S , X matrices 2 x 2 que tienen, todas, matriz inversa. Despeja la matriz X de
la expresión N.X.R = S
1)



=
=
==+=+








+=+
=+=+
=
=+=+






++
+
=





++
+






⋅





=





⋅





1
1
13333
33
0033
44
33
33
43
33
43
3
13
1
11
1
11
3
13
y
x
xxxxx
yxy
xyyx
yxxy
yxy
x
xyx
y
xyyx







=
=+
=
=
==+






=





+
+






⋅=





⋅





9
189
66
66
9189
186
618
96
69
3
13
6
3
13
3
13
)2
x
x
xx
xx
xxx
x
xxx
Una
matriz tiene inversa si su determinante no es nulo
099
39
13
=−==A . A no tiene inversa cuando x = 9
1111
1111111
)3
−−−−
−−−−−−−
⋅⋅=⋅⋅=⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅
RSNXRSNIX
RSNRRXSNRXSNRXISNRXNN
Ejercicio 2
Sea f la función definida a trozos ( )
( )




≥+⋅
<<−+
−≤+
=
02
02
22
2
xsibxsen
xsiaxx
xsix
xf
1) [1 PUNTO] Determine a y b para que la función f sea continua en toda ℜ
2) [1,5 PUNTOS] Si a = 3 y b = 0, clasifique la discontinuidad en x = -2
3) [1 PUNTO] Si a = 2 y b = 0, calcule el área encerrado por la gráfica de f entre las rectas
y = 0, x = -5 y x = -3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )












===
=+=+⋅==
=⋅+=




===−==−
−=−⋅+−=
=+−==−
−+
+
−
+−
+
−
→→
→
→
−→−→
−→
−→
0limlim0
002lim0
000lim
242024limlim2
2422lim
022lim2
00
0
2
0
22
2
2
2
bxfxff
bbbsenxff
axf
aaaxfxff
aaxf
xff
xx
x
x
xx
x
x

5. I.E.S. Mediterráneo de Málaga Septiembre 2018 Juan Carlos Alonso Gianonatti
5
Continuación del Ejercicio 2 de la Opción de Examen nº 2
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )



−≠
−=−=−⋅+−=
=+−==−



<<−+
−≤+
=
+
−
−→
−→
20
264232lim
022lim2
023
22
)2
2
2
2
2
xf
xff
xsixx
xsix
xf
x
x
En x = - 2 hay una discontinuidad inevitable
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) 2
225
3
5
3
2
5
3
3
5
44822
2
16
352925
2
1
35235
2
1
2
2
1
22
0022443,54
2200
2
)3
uA
xxdxxdxxA
xff
xxyOXconcortedePuntos
xxf
=−=−⋅+=+−⋅+−⋅=
−−−⋅+−−−⋅=⋅+⋅=+=+=
<<−=+−=−−−∈−
−=+==
+=
−
−
−
−
−
−
−
−

Ejercicio 3
Sean el punto A = (4 , 0 , 1) y la recta



=−−
=−
02
02
:
zy
x
r
1) [1,75 PUNTOS] Calcule el plano perpendicular a r y que pase por el punto A
2) [1,25 PUNTOS] Calcule la ecuación general (implícita) que contiene a r y a A
1) El vector director del plano π es el de la recta r, que es perpendicular al vector AG, siendo G el punto
genérico del plano, y su producto escalar nulo y la ecuación pedida del plano
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0101,,41,1,00
1,,41,0,4,,
1,1,0
2
2
22
=−+≡=−−⋅=⋅
⊥




−−=−=
==






=
+=
=
≡+==
zyzyxAGv
AGv
zyxzyxAG
vv
z
y
x
rzyx r
π
λ
λ
π
π
π
3) El plano β queda determinado por el vector director de la recta r, el vector AR, siendo R un punto
cualquiera de la recta r (tomaremos el indicado en su ecuación) y el vector AG ya definido. Los tres
vectores son coplanarios y su producto mixto (que es el volumen del tetraedro que forman) es nulo y la
ecuación pedida.
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 01022304212240
122
110
14
0
1,,4
1,2,21,2,21,0,40,2,2
1,1,0
0,2,2
=−−+≡=−⋅+−⋅−+−=
−
−−
≡
=∧⋅





−−=
−≡−−=−=
=

zyxxzyx
zyx
AGARv
zyxAG
AR
v
RSiendo r
r
ββ