Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre determinantes. En el primer ejercicio, se calcula el determinante de una matriz B obtenida a partir de transformaciones sobre otra matriz A. En el segundo ejercicio, se hallan dos raíces de un polinomio de grado cuatro mediante el cálculo de un determinante. El tercer ejercicio obtiene una expresión para el determinante de una matriz en función de sus parámetros a, b y c.
El documento presenta la resolución de cuatro problemas relacionados con operaciones con matrices. En cada problema, se describe el sistema de ecuaciones o ecuación matricial a resolver y los pasos para obtener la solución sustituyendo las matrices dadas y realizando las operaciones necesarias.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento presenta un examen de funciones de Matemáticas B para 4o de ESO. Contiene 6 ejercicios sobre dominios de funciones, gráficas de funciones cuadráticas y exponenciales, tasas de variación media, puntos de corte, crecimiento y continuidad de funciones. Los estudiantes deben resolver los 4 primeros ejercicios obligatorios y elegir uno entre los ejercicios 5 y 6.
Este documento presenta información sobre matrices y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como el tamaño y elementos de una matriz, así como operaciones como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices. También cubre la transpuesta y tipos especiales de matrices cuadradas como simétricas y triangulares. El objetivo es que los estudiantes aprendan a trabajar con matrices de forma básica y puedan resolver problemas sencillos que involucren matrices.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con operaciones matriciales como suma, resta, multiplicación, potencias y transposición de matrices, así como cálculo de rangos e inversión de matrices y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante representación matricial. Se proveen las soluciones detalladas a cada uno de los nueve problemas planteados.
Algebra pre ecuacion cuadratica (resueltos)Lukas Gallardo
Este documento presenta los conceptos básicos de las ecuaciones de segundo grado, incluyendo su forma general, métodos de resolución, y propiedades de las raíces. Explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización o aplicando la fórmula general, y discute el significado del discriminante y sus implicaciones para el número y tipo de raíces. También cubre cómo formar una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces conocidas.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
El documento presenta la resolución de cuatro problemas relacionados con operaciones con matrices. En cada problema, se describe el sistema de ecuaciones o ecuación matricial a resolver y los pasos para obtener la solución sustituyendo las matrices dadas y realizando las operaciones necesarias.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento presenta un examen de funciones de Matemáticas B para 4o de ESO. Contiene 6 ejercicios sobre dominios de funciones, gráficas de funciones cuadráticas y exponenciales, tasas de variación media, puntos de corte, crecimiento y continuidad de funciones. Los estudiantes deben resolver los 4 primeros ejercicios obligatorios y elegir uno entre los ejercicios 5 y 6.
Este documento presenta información sobre matrices y sus aplicaciones. Explica conceptos básicos como el tamaño y elementos de una matriz, así como operaciones como suma, resta, multiplicación por escalar y producto de matrices. También cubre la transpuesta y tipos especiales de matrices cuadradas como simétricas y triangulares. El objetivo es que los estudiantes aprendan a trabajar con matrices de forma básica y puedan resolver problemas sencillos que involucren matrices.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con operaciones matriciales como suma, resta, multiplicación, potencias y transposición de matrices, así como cálculo de rangos e inversión de matrices y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante representación matricial. Se proveen las soluciones detalladas a cada uno de los nueve problemas planteados.
Algebra pre ecuacion cuadratica (resueltos)Lukas Gallardo
Este documento presenta los conceptos básicos de las ecuaciones de segundo grado, incluyendo su forma general, métodos de resolución, y propiedades de las raíces. Explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado mediante factorización o aplicando la fórmula general, y discute el significado del discriminante y sus implicaciones para el número y tipo de raíces. También cubre cómo formar una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces conocidas.
Este documento presenta la unidad didáctica sobre matrices para el segundo año de bachillerato. Explica los objetivos de aprendizaje, que incluyen reconocer y operar con matrices, resolver ecuaciones y sistemas matriciales, y reconocer propiedades de las operaciones matriciales. A continuación, define conceptos clave como tipos de matrices, operaciones básicas como suma y multiplicación, y propiedades importantes como conmutatividad y asociatividad. Finalmente, incluye ejemplos y actividades para practicar los conceptos.
El documento presenta 10 problemas que involucran operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y ecuaciones matriciales. Los problemas piden determinar valores, matrices o ecuaciones que verifiquen ciertas relaciones dadas entre matrices.
La matriz representa la producción de tres ebanistas en enero y febrero. La matriz X representa el salario por unidad producida de cada material. Se calculan las matrices AX, BX, A+B y (A+B)X para determinar los ingresos de cada ebanista en cada mes y el total combinado.
El documento propone 20 ejercicios sobre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Los ejercicios incluyen construir diferentes tipos de matrices, calcular la transpuesta y suma de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y determinar valores que hacen que los sistemas sean posibles, imposibles o indeterminados.
Taller1parte A- Curso: Algebra y programacion linealprofrubio
Este documento presenta 22 ejercicios de álgebra lineal que involucran operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y transposición. Los ejercicios piden calcular productos de matrices, determinar su tamaño, y resolver expresiones algebraicas utilizando matrices.
Este documento define matrices y describe sus operaciones básicas. Una matriz se define como un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Se explican la suma, resta y multiplicación de matrices, incluidas propiedades como la conmutatividad y asociatividad. La multiplicación de matrices solo es posible si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.
01. La ecuación de segundo grado general es de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son los coeficientes.
02. Existen dos métodos para resolver una ecuación de segundo grado: factorización y fórmula cuadrática.
03. La naturaleza de las raíces depende del valor del discriminante Δ = b2 - 4ac. Si Δ > 0 las raíces son reales y distintas, si Δ = 0 las raíces son reales e iguales, y si Δ < 0 las raíces son complejas.
El documento presenta dos ejercicios de cálculo de matrices inversas. El primer ejercicio calcula la inversa de una matriz 3x3. El segundo ejercicio encuentra la inversa de una matriz 2x2 definida por parámetros a y b. Ambos ejercicios resuelven las matrices inversas aplicando operaciones elementales de filas y columnas a la matriz ampliada formada por la matriz original y la identidad.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de segundo grado. Introduce los objetivos de aprendizaje, que incluyen identificar soluciones de ecuaciones, obtener ecuaciones equivalentes, y resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Explica conceptos como identidades, ecuaciones, soluciones, y ecuaciones equivalentes. Proporciona métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo pasos para eliminar denominadores y parentesis. Incluye ejemplos resueltos de problemas que involucran ecuaciones de primer grado.
El documento presenta un libro titulado "Problemas de Matemáticas" que contiene 1578 problemas de álgebra, trigonometría, cálculo diferencial, cálculo integral y estadística. El libro está organizado en secciones que cubren diferentes temas matemáticos como operaciones algebraicas, ecuaciones, límites, integrales y ecuaciones diferenciales.
Este documento trata sobre matrices y su álgebra. Las matrices son arreglos rectangulares de números que tienen aplicaciones cuando la información numérica puede organizarse de esta manera. Las gráficas por computadora usan matrices para representar objetos geométricos mediante las coordenadas de sus vértices, y para rotar objetos usando multiplicación de matrices.
Este documento presenta una introducción a los conceptos de inversa, transpuesta y determinante de una matriz. Explica cómo calcular la inversa de matrices de 2x2 y 3x3 utilizando la eliminación de Gauss-Jordan. También define la matriz transpuesta y cómo calcular el determinante, junto con algunas de sus propiedades clave.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
segundo parcial de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
Este documento contiene el temario y ejercicios propuestos para el segundo parcial de la cátedra de Economía. Incluye cuatro ejercicios de álgebra sobre sistemas de ecuaciones, matrices, funciones lineales y optimización con restricciones. También presenta dos problemas de maximización de la producción y beneficios en empresas con recursos limitados.
Este documento presenta 31 preguntas y problemas sobre álgebra vectorial y teoría de campos. Las preguntas cubren temas como identificar magnitudes escalares y vectoriales, operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial, y propiedades de campos como conservativos, irrotacionales y solenoidales. Los problemas implican aplicar estas nociones a casos concretos como fuerzas, campos escalares y vectoriales dados en diferentes sistemas de coordenadas.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta una lección sobre las propiedades de las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática. Explica que para resolver una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 se usa la fórmula general x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a para obtener dos soluciones, x1 y x2. Luego describe que las soluciones cumplen las propiedades x1 + x2 = -b/a y x1 ∙ x2 = c/a. Resuelve un ejemplo para ilustrar estas propiedades y p
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre las funciones cuadráticas. Explica la forma algebraica general de una función cuadrática, los coeficientes a, b y c, y cómo evaluar funciones cuadráticas. También muestra cómo representar gráficamente funciones cuadráticas y que su forma característica es una parábola, con ejemplos de parábolas orientadas hacia arriba y hacia abajo.
Este documento presenta una guía sobre ecuaciones cuadráticas. Explica brevemente la historia de las ecuaciones cuadráticas y cómo los matemáticos árabes contribuyeron a su desarrollo. Luego, la guía proporciona varios ejercicios y problemas para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando diferentes métodos como completar cuadrados, factorización, fórmulas y propiedades de las raíces. Finalmente, incluye sistemas de ecuaciones y ecuaciones bicuadráticas para resolver.
primer parcial de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
Este documento contiene información sobre un primer parcial de álgebra para la carrera de Ciencias Económicas en la UBA, incluyendo los temas a evaluar, datos de contacto para obtener ayuda y ejemplos de posibles preguntas con sus respectivas respuestas. El examen abarcará conceptos como sistemas de ecuaciones, matrices, rangos y determinantes. Quienes necesiten apoyo extra para prepararse pueden comunicarse por teléfono o a través de la página web mencionada.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz, sus tipos (cuadrada, nula, triangular, diagonal, escalar e identidad), y propiedades como la transpuesta y matriz periódica. Explica cómo representar matrices y calcular la traza y diagonal principal. El objetivo es proporcionar los fundamentos teóricos sobre matrices necesarios para aplicaciones en ingeniería.
El documento presenta 10 problemas que involucran operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y ecuaciones matriciales. Los problemas piden determinar valores, matrices o ecuaciones que verifiquen ciertas relaciones dadas entre matrices.
La matriz representa la producción de tres ebanistas en enero y febrero. La matriz X representa el salario por unidad producida de cada material. Se calculan las matrices AX, BX, A+B y (A+B)X para determinar los ingresos de cada ebanista en cada mes y el total combinado.
El documento propone 20 ejercicios sobre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Los ejercicios incluyen construir diferentes tipos de matrices, calcular la transpuesta y suma de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y determinar valores que hacen que los sistemas sean posibles, imposibles o indeterminados.
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Este documento presenta 22 ejercicios de álgebra lineal que involucran operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y transposición. Los ejercicios piden calcular productos de matrices, determinar su tamaño, y resolver expresiones algebraicas utilizando matrices.
Este documento define matrices y describe sus operaciones básicas. Una matriz se define como un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Se explican la suma, resta y multiplicación de matrices, incluidas propiedades como la conmutatividad y asociatividad. La multiplicación de matrices solo es posible si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.
01. La ecuación de segundo grado general es de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son los coeficientes.
02. Existen dos métodos para resolver una ecuación de segundo grado: factorización y fórmula cuadrática.
03. La naturaleza de las raíces depende del valor del discriminante Δ = b2 - 4ac. Si Δ > 0 las raíces son reales y distintas, si Δ = 0 las raíces son reales e iguales, y si Δ < 0 las raíces son complejas.
El documento presenta dos ejercicios de cálculo de matrices inversas. El primer ejercicio calcula la inversa de una matriz 3x3. El segundo ejercicio encuentra la inversa de una matriz 2x2 definida por parámetros a y b. Ambos ejercicios resuelven las matrices inversas aplicando operaciones elementales de filas y columnas a la matriz ampliada formada por la matriz original y la identidad.
Este documento presenta información sobre ecuaciones de segundo grado. Introduce los objetivos de aprendizaje, que incluyen identificar soluciones de ecuaciones, obtener ecuaciones equivalentes, y resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Explica conceptos como identidades, ecuaciones, soluciones, y ecuaciones equivalentes. Proporciona métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo pasos para eliminar denominadores y parentesis. Incluye ejemplos resueltos de problemas que involucran ecuaciones de primer grado.
El documento presenta un libro titulado "Problemas de Matemáticas" que contiene 1578 problemas de álgebra, trigonometría, cálculo diferencial, cálculo integral y estadística. El libro está organizado en secciones que cubren diferentes temas matemáticos como operaciones algebraicas, ecuaciones, límites, integrales y ecuaciones diferenciales.
Este documento trata sobre matrices y su álgebra. Las matrices son arreglos rectangulares de números que tienen aplicaciones cuando la información numérica puede organizarse de esta manera. Las gráficas por computadora usan matrices para representar objetos geométricos mediante las coordenadas de sus vértices, y para rotar objetos usando multiplicación de matrices.
Este documento presenta una introducción a los conceptos de inversa, transpuesta y determinante de una matriz. Explica cómo calcular la inversa de matrices de 2x2 y 3x3 utilizando la eliminación de Gauss-Jordan. También define la matriz transpuesta y cómo calcular el determinante, junto con algunas de sus propiedades clave.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
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Este documento contiene el temario y ejercicios propuestos para el segundo parcial de la cátedra de Economía. Incluye cuatro ejercicios de álgebra sobre sistemas de ecuaciones, matrices, funciones lineales y optimización con restricciones. También presenta dos problemas de maximización de la producción y beneficios en empresas con recursos limitados.
Este documento presenta 31 preguntas y problemas sobre álgebra vectorial y teoría de campos. Las preguntas cubren temas como identificar magnitudes escalares y vectoriales, operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial, y propiedades de campos como conservativos, irrotacionales y solenoidales. Los problemas implican aplicar estas nociones a casos concretos como fuerzas, campos escalares y vectoriales dados en diferentes sistemas de coordenadas.
Este documento presenta el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método lleva la matriz del sistema a una forma de identidad para mostrar las soluciones. Incluye un ejemplo completo de cómo aplicar el método paso a paso para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Finalmente, muestra cómo usar este método para resolver problemas de aplicación que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
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Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre las funciones cuadráticas. Explica la forma algebraica general de una función cuadrática, los coeficientes a, b y c, y cómo evaluar funciones cuadráticas. También muestra cómo representar gráficamente funciones cuadráticas y que su forma característica es una parábola, con ejemplos de parábolas orientadas hacia arriba y hacia abajo.
Este documento presenta una guía sobre ecuaciones cuadráticas. Explica brevemente la historia de las ecuaciones cuadráticas y cómo los matemáticos árabes contribuyeron a su desarrollo. Luego, la guía proporciona varios ejercicios y problemas para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando diferentes métodos como completar cuadrados, factorización, fórmulas y propiedades de las raíces. Finalmente, incluye sistemas de ecuaciones y ecuaciones bicuadráticas para resolver.
primer parcial de algebra del cbc ciencias economicasapuntescbc
Este documento contiene información sobre un primer parcial de álgebra para la carrera de Ciencias Económicas en la UBA, incluyendo los temas a evaluar, datos de contacto para obtener ayuda y ejemplos de posibles preguntas con sus respectivas respuestas. El examen abarcará conceptos como sistemas de ecuaciones, matrices, rangos y determinantes. Quienes necesiten apoyo extra para prepararse pueden comunicarse por teléfono o a través de la página web mencionada.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices. Define una matriz, sus tipos (cuadrada, nula, triangular, diagonal, escalar e identidad), y propiedades como la transpuesta y matriz periódica. Explica cómo representar matrices y calcular la traza y diagonal principal. El objetivo es proporcionar los fundamentos teóricos sobre matrices necesarios para aplicaciones en ingeniería.
Este documento presenta el tema de las matrices. Define qué es una matriz y sus diferentes tipos como cuadradas, triangulares, diagonales, escalares e identidad. Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y transposición. Finalmente, introduce conceptos como matriz inversa y resolución de ecuaciones matriciales.
Este documento presenta el tema de las matrices. Define qué es una matriz y sus diferentes tipos como cuadradas, triangulares, diagonales, escalares e identidad. Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y transposición. Finalmente, introduce conceptos como matriz inversa y resolución de ecuaciones matriciales.
Este documento presenta el tema de las matrices. Define qué es una matriz y sus diferentes tipos como cuadradas, triangulares, diagonales, escalares e identidad. Explica operaciones básicas con matrices como suma, producto por escalar y transposición. Finalmente, introduce conceptos como matriz inversa y resolución de ecuaciones matriciales.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de álgebra lineal y funciones, incluyendo lógica, polinomios, funciones, ecuaciones, números complejos, funciones exponenciales y logarítmicas, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. El documento contiene 10 capítulos y proporciona ejercicios de práctica con soluciones para cada tema.
Este documento presenta 42 problemas de matemáticas que incluyen temas como productos notables, división de polinomios, cocientes notables, factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los problemas deben ser resueltos y calculan valores numéricos, sumas, diferencias y productos relacionados con las incógnitas de las ecuaciones dadas.
1) El documento presenta cuatro ejercicios de álgebra lineal y cálculo. El primer ejercicio clasifica un sistema dependiente de un parámetro y calcula sus soluciones. El segundo ejercicio resuelve límites y calcula asíntotas. El tercer ejercicio trabaja con planos, calculando ecuaciones implícitas, puntos de intersección y ángulos entre planos. El cuarto ejercicio trata matrices, igualdad entre ellas, y funciones definidas a trozos.
1. El documento presenta 20 preguntas de álgebra de diferentes niveles de dificultad. Las preguntas incluyen temas como ecuaciones polinomiales, expresiones algebraicas y división de polinomios.
2. Las preguntas van desde operaciones básicas con polinomios hasta problemas más complejos que involucran raíces, progresiones aritméticas y conjuntos solución de ecuaciones paramétricas.
3. El documento provee una variedad de ejercicios de álgebra para practicar diferentes conceptos y niveles de d
El documento presenta la resolución de un examen de trigonometría de 4o de ESO con 7 problemas. En el primer problema se calculan las razones trigonométricas de ángulos mayores de 360o. En el segundo problema se calculan las razones trigonométricas de un ángulo en el 4o cuadrante. Los problemas 3 y 4 demuestran identidades trigonométricas. Los problemas 5, 6 y 7 resuelven triángulos usando teoremas trigonométricos.
Este documento presenta conceptos sobre potencias y funciones exponenciales. Introduce las propiedades de las potencias como el producto y cociente de potencias de igual base, y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades. Luego explica ecuaciones exponenciales, funciones exponenciales y sus gráficas, y por último introduce funciones potencia para exponentes pares e impares.
Este resumen describe los pasos para resolver un problema de cálculo computacional que involucra matrices y sistemas de ecuaciones. Se define una matriz A como una combinación de otras matrices B, C y sus transformaciones. Se describe cómo calcular partes de A y cómo resolver el sistema Ax=b usando comandos de MATLAB. El sistema resulta ser incompatible debido a que el rango de A es mayor que el número de ecuaciones. Se calculan las soluciones aproximadas x e xpinv y sus errores respecto a b.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento presenta ejercicios sobre determinantes de segundo orden. En el primer ejercicio, se pide calcular el valor de determinantes numéricos. En el segundo, se pide hallar valores que anulan determinantes y calcular su valor. En el tercero, se resuelve una ecuación propuesta y se calcula el valor de un determinante. Los ejercicios siguientes continúan practicando el cálculo de valores y raíces de determinantes de segundo orden.
Este documento presenta una introducción a las matrices. Define una matriz como un arreglo rectangular de números y explica conceptos como el orden, elementos, filas y columnas de una matriz. Luego resume diferentes tipos de matrices como cuadradas, nulas, triangulares e identidad. Finalmente, describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.
Este documento presenta 8 preguntas de matemáticas con sus respectivas resoluciones. Las preguntas incluyen temas como sistemas de ecuaciones, sucesiones, funciones, programación lineal e inecuaciones. Cada resolución explica detalladamente los pasos para llegar a la respuesta correcta.
Este documento presenta una pre-prueba sobre matrices y sus aplicaciones. La pre-prueba contiene 9 preguntas de selección múltiple sobre conceptos básicos de matrices como tamaño, elementos, suma, producto y tipos de matrices. También incluye un ejercicio práctico sobre la representación y cálculo de ventas usando matrices. El documento concluye presentando los objetivos de aprendizaje sobre operaciones básicas con matrices y su justificación en términos de aplicaciones en diferentes campos.
La matriz indica el número de filas y columnas. Se suma restando matrices del mismo tamaño. La multiplicación requiere que el número de columnas de la primera sea igual al de filas de la segunda. El producto de un escalar es multiplicar cada elemento por el escalar.
1. El documento define y explica diferentes tipos de matrices, incluyendo matrices cuadradas, rectangulares, nulas, diagonales, escalares, unitarias, triangulares, transpuestas, simétricas y antisimétricas.
2. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar, y producto de matrices.
3. Finalmente, presenta algunos ejemplos y propiedades de las operaciones con matrices.
El crédito y los seguros como parte de la educación financieraMarcoMolina87
El crédito y los seguros, son temas importantes para desarrollar en la ciudadanía capacidades que le permita identificar su capacidad de endeudamiento, los derechos y las obligaciones que adquiere al obtener un crédito y conocer cuáles son las formas de asegurar su inversión.
La Comisión europea informa sobre el progreso social en la UE.ManfredNolte
Bruselas confirma que el progreso social varía notablemente entre las regiones de la Unión Europea, y que los países nórdicos tienen un desempeño consistentemente mejor que el resto de los Estados miembros.
vehiculo importado desde pais extrajero contien documentos respaldados como ser la factura comercial de importacion un seguro y demas tambien indica la partida arancelaria que deb contener este vehículo 3. La importadora PARISBOL TRUCK IMPORT SOCIEDAD DE RESPONSABILIDAD LIMITADA perteneciente a Bolivia, trae desde CHILE , un vehículo Automóvil con un número de ruedas de 6 Número del chasis YV2RT40A0HB828781 De clase tractocamión, con dos puertas . El precio es de 35231,46 dólares, la importadora tiene los siguientes datos para el cálculo de sus costos:
• Flete de $ 1500 por contenedor
• El deducible es de 10 % de la SA y la prima neta de 0.02% de la SA
• ARANCEL DE IMPORTACIÓN 20% • ALMACÉN ADUANERO 1.5%
• DESPACHO ADUANERO 2.1%
• IVA 14.94%
• PERCEPCIÓN 0.3%
• OTROS GASTOS DE IMPORTACIÓN $US
• Derecho de emisión 4.20
• Handling 58 • Descarga 69
• Servicios aduana 30
• Movilización de carga 70.10
• Transporte interno 150
• Gastos operativos 70
• Otros gastos 100 • Comisión agente de 0.05% CIF
GASTOS FINANCIEROS o GASTOS APERTURA DE L/C (0.3 % FOB) o Intereses proveedor $ 1050 CALULAR:
i) El valor FOB
j) hallar la suma asegurada de la mercancía y la prima neta que se debe pagar a la compañía aseguradora, y el valor CIF
k) El total de derechos e impuestos
l) El costo total de importación y el factor
m) El costo unitario de importación de cada alfombra en $us y Bs. (tipo de cambio: Bs.6.85)
1. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
1
PVJ07
Sea A la matriz
=
2781
941
321
A
Sea B la matriz que resulta al realizar en A las siguientes transformaciones: primero se
multiplica A por sí misma, después se cambian de lugar la fila segunda y la tercera y
finalmente se multiplican todos los elementos de la segunda columna por −2. Calcular el
determinante de la matriz B, usando para ello las propiedades de los determinantes.
Solución:
Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son:
1º. A · A ⇒
2
· AAA =
2º. Se cambian dos filas, luego el determinante cambia de signo ⇒
2
A−
3º. Se multiplica una columna por −2, luego el determinante queda multiplicado por −2 ⇒
( ) 22
2)·2( AA =−−
Como 12)48(3)927(2)8·927·4(1
2781
941
321
=−+−−−==A ,
se tendrá que 28812·2 2
==B
2. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
2
LRJ07
Sea
x
x
x
x
xP
333
333
111
111
)( =
Halla dos raíces de este polinomio de grado cuatro.
Solución:
Aplicando transformaciones se tiene:
x
x
x
x
xP
333
333
111
111
)( = =
3300
333
0011
111
34
12
−−
−−
−
−
xx
x
xx
x
FF
FF
=
(Sumando la primera columna a la segunda; y la cuarta a la tercera)
=
3000
3363
0001
121
−
+
−
+
x
x
x
xx
=
(Desarrollando por la segunda fila)
=
300
336
121
)1(
−
+
+
−−
x
x
x
x = [ ]12)3)(1()3)(1( −++−−− xxxx .
Como se trata de dar dos raíces basta con observar que P(x) = 0 cuando x = 1 o x = 3.
Nota: No es necesario desarrollar el determinante de forma completa, ni tampoco haber hecho
las trasformaciones que hemos indicado. Bastaría con observar que si x = 1 o x = 3 el
determinante tendría dos filas iguales y, por tanto, su valor sería 0.
3. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
3
LRS07
Obtener, en función de a, b y c, el determinante de la matriz
+
+
+
=
1111
1111
1111
1111
c
b
a
A
Solución:
Restando la primera fila a todas las demás se tiene:
000
000
000
1111
14
13
12
1111
1111
1111
1111
c
b
a
FF
FF
FF
c
b
a
A
−
−
−
=
+
+
+
=
Desarrollando por la cuarta columna:
cbaA ··−=
4. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
4
EXS07
Sea A una matriz cuadrada de orden 3.
a) (1 punto) Si sabemos que el determinante de la matriz 2A es |2A| = 8, ¿cuánto vale el
determinante de A? Escribe la propiedad de los determinantes que hayas usado para obtener
este valor.
b) (1,5 puntos) Calcula para qué valores de x se cumple que |2A| = 8, siendo A la matriz
−
+=
12
221
11
xx
x
x
A
Solución:
a) Propiedad: Si A es una matriz cuadrada de orden n se cumple que AkkA n
= .
Luego, si A es de orden 3, AkkA 3
= . Por tanto, AAA 822 3
== ; y como 82 =A ⇒
1=A .
b) Si
−
+=
12
221
11
xx
x
x
A , para que 1
12
221
11
=
−
+=
xx
x
x
A ⇒
1122
=+− xx ⇒ 0)2( =−xx ⇒ x = 0 o 2=x
5. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
5
CNJ07
Conocido que 1
111
1005 =
cba
,
calcula el valor del siguiente determinante
111
201
555
−
− cba
.
Solución:
Utilizando las propiedades de los determinantes se tiene:
111
201
555
−
− cba
= (se extrae el factor 5 de la primera fila) =
111
2015
−
− cba
=
= (se introduce el 5 en la segunda fila) =
111
1005
−
− cba
=
= (se extrae el factor −1 de la segunda columna) = 1
111
1005 −=−
cba
6. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
6
ANJ06
Considera
−
=
a
a
A
0
1
, siendo a un número real.
a) [1 punto] Calcula el valor de
−
=−
200
1122
AA .
b) [1 punto] Calcula en función de a, los determinantes de A2 y t
A , siendo t
A la traspuesta
de A.
c) [0,5 puntos] ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la
respuesta.
Solución:
a)
−
=−
200
1122
AA ⇔
−
=−
200
112
)( IAA ⇔
⇔
−
=
−−
−
− 200
112
10
11
0
1
a
a
a
a
⇔
−
=
+
−−
200
112
0
1
2
2
aa
aa
⇒
⇒
=+
=−
20
12
2
2
aa
aa
⇒
−==
−==
5;4
3;4
aa
aa
La única solución común es a = 4.
b) 2
4
20
22
2 a
a
a
A −=
−
= 2
1
0
a
a
a
At
−=
−−
=
c) Es evidente que no, pues
−
≠
−
=
a
a
a
a
A
1
0
0
1
para cualquier valor de a.
7. Matemáticas II Determinantes
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7
CVJ07
Dadas las matrices
+
+
+
=
6244
6332
642
)(
x
x
x
xB y
+
+
+
=
6243
6332
12753
)(
y
y
y
yC
a) Calcular el determinante de la matriz )(3 xB y obtener el valor de x para el que dicho
determinante vale 162. (1,8 puntos).
b) Demostrar que la matriz )(yC no tiene inversa para ningún valor real de y. (1,5 puntos).
Solución:
a) Haciendo transformaciones de Gauss se tiene:
6244
6332
642
)(
+
+
+
=
x
x
x
xB =
0223
011
642
23
12
−+
−+
+
−
−
x
x
x
FF
FF = (desarrollando por la tercera
columna) = [ ] xxx 6)23)(1()1(26 =+−−+−
Como la matriz B es de dimensión 3 ⇒ xxxBxB 1626·27)(3)(3 3
=== .
Si se desea que 162)(3 =xB , entonces x = 1.
b) Una matriz no tiene inversa cuando su determinante vale 0. Por tanto, habrá que ver que
0)( =yC .
En efecto, aplicando las propiedades de los determinantes:
6243
6332
12753
)(
+
+
+
=
y
y
y
yC =
6243
011
0333
32
321
+
−−
−−
−
−
y
y
y
FF
FF
= (sacando factor común 3 de la primera
fila) =
6243
011
011
·3
+
−−
−−
y
y
y
= 0, pues tiene dos filas iguales.
8. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
8
ARS07
Sean
α
βα
=
000
00
0
A y
=
100
10
1
k
tk
B
a) (0,5 puntos) Estudiar para qué valores de α y β la matriz A tiene inversa.
b) (1 punto) Calcular 5
A
c) (1 punto) Hallar la matriz inversa de B.
Solución:
a) La matriz A no tiene inversa en ningún caso, pues su determinante siempre vale 0.
b)
α
=
α
βα
α
βα
=
000
000
00
000
00
0
·
000
00
0 2
2
A ⇒
=
α
βα
α
=
000
000
000
000
00
0
·
000
000
00 2
3
A ⇒
=
000
000
000
5
A
c) La matriz B tiene inversa, pues 1=B . Su inversa es
B
B
B
t
ij )(1
=−
, siendo ( )ijB la matriz
de los adjuntos de B.
Esta matriz de los adjuntos es:
−−
−=
1
01
001
2
ktk
kBij .
Luego,
B
B
B
t
ij )(1
=−
=
−
−−
100
10
1 2
k
tkk
.
9. Matemáticas II Determinantes
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9
CMJ07
Calcula el rango de la matriz
−
−λ−
λ
=
211
221
01
A en función del parámetro λ ∈ R.
¿Para qué valores del parámetro λ ∈ R tiene inversa la matriz A? (No se pide hallarla.)
Solución:
Si sumamos la fila 2ª a la 3ª,
−
−λ−
λ
=
211
221
01
A →
−λ
−λ−
λ
0120
221
01
Haciendo el determinante se tiene: )12(2
0120
221
01
−λλ=
−λ
−λ−
λ
Por tanto:
• Si λ ≠ 0 y 1/2, el rango de A es 3, pues A ≠ 0.
• Si λ = 0, el rango es A es 2, pues el menor 0
01
10
≠
−
.
• Si λ = 1/2, el rango es A es 2, pues el menor 0
11
12/1
≠
−
.
En consecuencia, y como una matriz tiene inversa cuando su determinante es distinto de 0, la
matriz A tendrá inversa para todo valor de λ ≠ 0 y 1/2.
10. Matemáticas II Determinantes
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10
CLJ07
Hallar para qué valores de a es inversible la matriz
+
=
a
aa
A
1
34
y calcular la inversa para
.0=a
Solución:
Para que una matriz sea inversible es necesario que su determinante sea distinto de 0. Por
tanto, como
043
1
34 2
=−−=
+
= aa
a
aa
A ⇒ a = −1 o a = 4,
la matriz A será inversible para todo valor de a ≠ −1 y 4.
Para a = 0 la matriz queda:
=
01
40
A .
La matriz de sus adjuntos es:
−
−
=
04
10
ijA .
Luego, su inversa es
=
−
−
−
==−
04/1
10
01
40
4
1)(1
A
A
A
t
ij
11. Matemáticas II Determinantes
José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
11
GAJ07
a) Sean F1, F2, F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz
cuadrada M de orden 3, con det(M) = −2. Calcula el valor del determinante que tiene por filas
F1 − F2, 2F1, F2 + F3.
b) Dada la matriz
=
12
11
C , halla dos matrices X e Y que verifiquen:
=−
=+
−
−
t
CYX
CYX
1
1
siendo t
C la matriz traspuesta de C.
Solución:
Utilizando las propiedades de los determinantes se tiene:
32
1
21
2
FF
F
FF
+
−
=
32
1
21
2
FF
F
FF
+
−
= (a la fila 1 se le resta la fila 2) =
32
1
2
2
FF
F
F
+
−
=
= (a la fila 3 se le suma la fila 1) =
3
1
2
2
F
F
F−
=
3
1
2
2
F
F
F
− = (se cambia la fila 2 por la fila 1) =
+ 4)2·(22
3
2
1
−=−=
F
F
F
b)
=−
=+
−
−
t
CYX
CYX
1
1
→ (sumando) ⇒
+
=+=
11
21
12
11
2 t
CCX ⇒
=
23
32
2X
⇒
=
12/3
2/31
X
=−
=+
−
−
t
CYX
CYX
1
1
→ (restando) ⇒
−
=
−
=−=−
01
10
11
21
12
11
2 1 t
CCY ⇒
⇒
−
=−
02/1
2/101
Y
Haciendo la inversa:
−
=
−
=
02
20
02/1
2/10
4/1
1
Y
(La matriz inversa de A viene dada por
A
A
A
t
ij )(1
=−
, siendo ( )ijA la matriz de los adjuntos de
A.)
12. Matemáticas II Determinantes
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12
RMJ07
i) Definición de rango de una matriz. [0,5 puntos]
ii) Calcular el rango de A según los valores del parámetro k. [1 punto]
−
−=
0331
13
1331
kkA
iii) Estudiar si podemos formar una base de R3
con las columnas de A según los valores del
parámetro k. Indique con qué columnas. [1 punto]
Solución:
i) Rango de una matriz es el número de filas (o de columnas) que esa matriz tiene linealmente
independientes. El rango es también el orden del mayor menor no nulo de esa matriz
ii) Vamos a calcular el rango por menores; para facilitar el trabajo transformamos la matriz
inicial.
A la columna 1ª le restaremos la columna 4ª: C1 − C4
A la columna 2ª: C2 − 3C4
A la columna 3ª: C3 − 3C4
−
−=
0331
13
1331
kkA →
−−
−++
1331
1631
1000
kk
Obviamente hay menores de orden 2 que son distintos de cero. Por ejemplo
16
10
−
. Luego el
rango, es mayor o igual que 2.
Veamos los menores de orden 3:
131
161
100
−−
−+k = 3k + 9, que es nulo si k = 3;
93
133
163
100
−=
−
−+ kk , que vale 0 si k = −3
Por tanto, el rango de A siempre será 3. (Si k = 3, el 2º menor es distinto de cero; si k = −3, el
primer menor es distinto de cero; si k ≠ ±3, ambos menores son no nulos.)
iii) A partir de la respuesta anterior podemos dar dos soluciones.
1.ª Si k ≠ 3, las columnas 1ª, 3ª y 4ª forman base de R3
.
2.ª Si k ≠ −3, las columnas 2ª, 3ª y 4ª forman base de R3
.
Nota. Puede verse que hay otra posibilidad: con las columnas 1ª, 2ª y 4ª si k ≠ −3/2.
(No es posible formar base con las columnas 1ª, 2ª y 3ª.)
13. Matemáticas II Determinantes
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13
EXJ07
a) (1,5 puntos) Calcula el rango de la matriz A, según los valores del parámetro a
=
12963
8642
321 a
A
b) (1 punto) Escribe las propiedades del rango que hayas usado.
Solución:
a) Definición. Rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo; y es igual al
número de filas linealmente independiente de la matriz. También es igual al número de
columnas linealmente independientes de dicha matriz.
Como puede observarse la tercera fila de la matriz A es proporcional a la segunda:
2
2
3
3 FF = ; por tanto puede suprimirse para el cálculo del rango.
Esto es,
=
12963
8642
321
)(
a
rArango =
8642
321 a
r .
Ahora vemos que los menores que se forman con las tres primeras columnas son nulos, pues
ambas columnas son proporcionales.
Formamos un menor de orden 2 con la cuarta columna.
Como
a
a
624
86
3
−= ⇒ Valdrá 0 cuando a = 4; y será distinto de 0 si a ≠ 4.
Por tanto:
Si a ≠ 4 el rango de A es 2.
Si a = 4 el rango es 1.
b) Se han ido indicando en el apartado a).
14. Matemáticas II Determinantes
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14
CLS07
Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz
−−
+=
212
321
12
m
m
A .
Solución:
Haciendo su determinante se tiene:
)2)(3(6
212
321
12
2
+−−=++−=
−−
+= mmmmm
m
A
Por tanto:
Si m ≠ −2 y 3, como A ≠ 0, el rango de A es 3.
Si m = −2, se tiene que A = 0 y la matriz
−−
−
−
=
212
321
212
A tendrá rango 2. (Puede verse
que tiene un menor de orden 2 no nulo.)
Si m = 3, A = 0 y la matriz
−−
=
212
324
312
A , que tiene rango 2 pues varios menores de
orden 2 son distintos de 0.
15. Matemáticas II Determinantes
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15
MAS07
Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica
22
ABAXA =+
siendo
−
−
−
=
001
010
100
A y
−
−
−
=
002
020
200
B .
Solución:
Despejamos la matriz X:
22
ABAXA =+ ⇒ BAAXA −= 22
⇒ ( ) ( ) 112112
·· −−−−
−= AABAAAAXA ⇒
⇒ 1−
−= BAIX
Calculo de la inversa de A:
A
A
A
t
ij )(1
=−
Donde 1=A y la matriz de los adjuntos es:
−
−
−
=
001
010
100
ijA .
Luego
−
−
−
=−
001
010
100
1
A
Por tanto:
1−
−= BAIX =
−
−
−
−
−
−
−
001
010
100
002
020
200
100
010
001
=
=
−
−
−
=
−
100
010
001
200
020
002
100
010
001
16. Matemáticas II Determinantes
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16
ANJ07
Se considera la matriz
λ
−
=
1
11
A .
(a) [1 punto] Determina la matriz AAB 22
−= .
(b) [0,75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.
(c) [0,75 puntos] Calcula 1−
B para λ = 1.
Solución:
a) AAB 22
−= =
λ
−
−
λ
−
λ
−
1
11
2
1
11
1
11
=
λ
−
−
λ+−λ+
λ−−
22
22
11
10
2 =
=
λ+λ−−λ+−
λ−−
2
211
12
b) Para que la matriz B tenga inversa es necesario y suficiente que su determinante sea
distinto de 0.
32
211
12 2
2 +λ+λ−=
λ+λ−−λ+−
λ−−
=B .
Como 0322
=+λ+λ− si
−
=
±
=λ
1
3
2
162
, para los valores de λ ≠ −1 y 3 la matriz B
tendrá inversa.
Si λ = 1,
−
−
=
20
02
B .
Su inversa,
−
−
=
−
−
==−
2
1
0
0
2
1
20
02
4
1)(1
B
B
B
t
ij
17. Matemáticas II Determinantes
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17
PAJ07
Sean las matrices
=
11
201
210
a
A y
+
=
aa
B
111
2201
3210
a) Estudia, en función de a, el rango de las matrices A y B. (1 punto)
b) Calcula, para a = −1, la matriz X que verifica BXA =· . (1,5 puntos)
Solución:
a) Como sabemos, el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. También es
igual al número de filas o columnas que dicha matriz tiene linealmente independientes. Por
tanto, en los dos casos, el rango no puede ser mayor que 3.
El rango es mayor o igual que 2, pues el menor 1
01
10
−= ≠ 0.
Para ver si puede ser 3 hacemos su determinante.
a
a
A 21
11
201
210
+== ⇒ A = 0 cuando a = −1/2
Por tanto: si a ≠ −1/2, el rango de A es 3; y si a = −1/2, su rango es 2.
Como la matriz B es una ampliación de la matriz A, consideramos otro de los menores de
orden 3, aa
a
M 213)1(2
111
221
320
−−=−−−=
+
= . Este menor también se anula para a =
−1/2.
En consecuencia: si a ≠ −1/2, el rango de B es 3; y si a = −1/2, su rango es 2.
Nota: Podría observarse que C4 = C2 + C3.
b) Para a = −1,
−
=
111
201
210
A y A = −1. Como A ≠ 0, la matriz A tiene inversa. En
consecuencia: BXA =· ⇔ BAX 1−
= .
La matriz inversa viene dada por
A
A
A
t
ij )(1
=−
, siendo ( )ijA la matriz de los adjuntos de A, que
es:
−
−−
−
=
122
123
112
ijA . Luego
−
−−
−−
=−
111
221
232
1
A
Por tanto,
=
−
−
−−
−−
=
1100
1010
0001
0111
2201
3210
111
221
232
X
18. Matemáticas II Determinantes
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18
IBS07
A cada matriz
=
dc
ba
A se le asocia el polinomio Axdaxxp +++= )()( 2
, donde A
indica el determinante de A. Diremos que )(xp es el polinomio característico de la matriz A.
Se pide:
a) Encontrar una matriz que tenga como polinomio característico 1)( 2
++= xxxp .
¿Cuántas matrices hay con ese mismo polinomio característico? (4 puntos)
b) Si A tiene inversa, demostrar que el polinomio característico de la inversa, 1−
A , es
A
x
A
da
xxp
1
)( 2
+
+
−= (6 puntos)
Solución:
Observación:
De la lectura del enunciado se deduce que al escribir el polinomio característico se ha debido
cometer un error (una errata), pues por definición
xdc
bxa
xp
−
−
=)( = = bcadxdaxbcxdxa −++−=−−− )())(( 2
Luego Axdaxxp ++−= )()( 2
.
(Por tanto, en el enunciado se ha cambiado un signo. Este hecho no varía la respuesta del
apartado a); en cambio, en el apartado b) descubriríamos que algo falla. Nosotros partimos del
polinomio característico correcto.)
a) Si 1)( 2
++= xxxp ⇒
=−
−=+
1
1
bcad
da
. Este sistema tiene infinitas soluciones, pero por
tanteo se puede hallar una de ellas. Es el caso de: a = 1, d = −2, b = 1 y c = −3.
Por tanto, la matriz pedida es
−−
=
23
11
A .
b) Si
=
dc
ba
A tiene inversa, su inversa es
−
−
=
−
−
=−
AaAc
AbAd
ac
bd
A
A
//
//11
.
Por tanto, su polinomio característico será:
A
x
A
da
xAx
A
a
A
d
xxp
1
)( 212
+
+
−=+
+−= −
19. Matemáticas II Determinantes
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19
MAS06
Dadas las matrices
−−
=
38
13
A
=
10
01
I
a) (1 punto). Comprobar que det(A2
) = (det(A))2
y que det(A + I) = det(A) + det(I).
b) (0,5 puntos). Sea M una matriz cuadrada de orden 2. ¿Se puede asegurar que cumple
que det(M2
) = (det(M))2
? Razonar la respuesta.
c) (1,5 puntos) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden 2, tales que
det(M + I) = det(M) + det(I)
Solución:
a)
=
−−
−−
=
10
01
38
13
38
132
A ⇒ det(A2
) = 1
Por otra parte, det(A) = −9 + 8 = −1. Por tanto, (det(A))2
= (−1)2
= 1.
Luego, det(A2
) = (det(A))2
−−
=+
28
14
IA ⇒ det(A + I) = −8 + 8 = 0
Por otra parte, det(A) + det(I) = −1 + 1 = 0. Por tanto, det(A + I) = det(A) + det(I).
b) Es una propiedad general. Si A y B son matrices cuadradas de la misma dimensión,
entonces det(A · B) = det(A) · det(B).
En particular, det(M2
) = det (M · M) = det(M) · det(M) = (det(M))2
También puede demostrase tomando
=
dc
ba
M .
Por una parte:
++
++
=
= 2
2
2
dcbcdca
bdabbca
dc
ba
dc
ba
M , siendo su determinante:
2222222222222
2 cbabcddabcdabcdabcdbcabcdcbdacbaM +−=−−−−+++=
Por otra parte: 222222
2)( cbabcddabcadM +−=−= .
Evidentemente, coinciden
c) Si
=
dc
ba
M ⇒
+
+
=+
1
1
dc
ba
IM ⇒ det(M + I) = cbdaad −+++ 1
Por otra parte: det(M) + det(I) = 1+− cbad
Luego, para que det(M + I) = det(M) + det(I) es necesario que a + d = 0 ⇒ d = −a
Las matrices M buscadas son de la forma:
−
=
ac
ba
M