2.estadistica

INGENIERIA INDUSTRIAL
CONTROL DE CALIDAD I

2. ESTADISTICA

1

DR. JORGE ACUÑA A.

 Muestras correctamente
seleccionadas permiten inferir
sobre la situación real de una
característica en estudio.
 Aplicación de la estadística al
control de procesos y de materiales
es solamente un arma para la
toma de decisiones y no la solución
a los problemas existentes.

ING. JORGE ACUÑA A., PhD., PROFESOR
2

 Diseño de procedimientos eficientes que
suministren datos confiables para su
posterior análisis.
 Planear la recolección de datos
indicando entre otros aspectos tiempo
(¿cuándo?, lugar (¿dónde?),
responsabilidades (¿quién?), formatos y
procedimientos (¿cómo?).
 El registro y análisis de la información
proveniente de muestras representativas
tomadas de pruebas físicas químicas y
servicioscon el fin de verificar su estado.

3

 Datos deben ser veraces y reflejar las
condiciones del proceso, datos erróneos
generan conclusiones erróneas.
 El analista debe tener plena confianza en
los datos para que el estudio sea válido.
 Mínima desconfianza en los datos o en su
procedencia obligan al analista a
descartarlos.
 Recolección de datos debe ser
cuidadosamente planeada y programada
asignado los recursos que sean necesarios
para garantizar excelente calidad de datos.

4

 Acciones correctivas y preventivas, con
las que se procurará reducir y si es
posible eliminar los problemas.
 Análisis y aproximaciones de los datos a
distribuciones de probabilidad es
necesario agruparlos de tal manera que
se puedan visualizar comportamientos y
tendencias históricas de los procesos
que ayuden a interpretar los aspectos
que pueden estar causando descontrol
y por ende bajos niveles de calidad.

5

 Visualizar la posible distribución de datos
 Cada dato pierde su identidad.
 Distribuciones estadísticas teóricas o
empíricas para inferir hacia el problema.
 Distribuciones de frecuencia de datos no
agrupados presentan una distribución
que es muy difícil de aproximar.
 Cifras significativas de los datos
 Selección de un número de clases que
refleje una adecuada distribución.
6

 Recolectar los datos (xi) de acuerdo con el
tamaño de muestra previamente calculado.
 Ordenar los datos de menor a mayor.
 Calcular el rango:
R = ximáx - ximín
 Fijar el número de clases (k),
 Calcular el intervalo de clase (i), así:
i = R/k
El valor de i debe ser redondeado siempre
hacia arriba y a la misma cantidad de
decimales que tienen los datos.

7

 Calcular el rango propuesto (Rp)
Rp = ir * k
 Calcular la diferencia (d)
d = Rp – R
Este valor es un número cuya última cifra
significativa debe ser impar. Si no lo es, se
debe devolver al paso 5 y hacer el cálculo
con otro número de clases, hasta que se
cumpla la condición.
 Calcular la mitad de la diferencia (md)
md = d/2

8

 Fijar los límites reales de clase (Li, Ls), usando el
siguiente procedimiento:
a. Tomar el valor del dato menor y restarle el
valor de md; el valor obtenido es el primer Li.
Li1 = ximín – md
b. Sumar i al valor de Li1, para obtener el primer
Ls.
Ls1 = Li1 + i
Lsk = ximáx + md
donde Lsk = último límite real superior.

9

 Completar el cuadro de
frecuencias de datos agrupados.
 Construir el histograma para
observar la distribución del
conjunto de datos.

10

Se toman doce grupos de cinco
unidades de una máquina
llenadora de latas de pasta de
tomate y se pesan, originando los
siguientes datos:

Construir una distribución de
frecuencias de datos agrupados.

11

HOJA DE DATOS - DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Artículo: Pasta de tomate Código: XY-987
Característica: Peso Especificación: 20,0 2,5 decigramos
Operación: Llenado Máquina: Llenadora n=60
Operario: M. Matamoros Inspector: M. Coto Turno: 1
Fecha:02-12-84 Hora de inicio: 8 am Hoja: 1de 1
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 22,0 23,0 20,0 21,5 19,0 21,5 22,5 25,0 21,5 24,5 22,5 23,5
2 20,5 19,0 19,0 19,0 21,5 24,0 20,0 20,5 23,0 24,0 22,5 20,0
3 20,0 21,5 19,5 21,0 22,5 19,5 21,0 21,5 22,5 23,5 20,5 20,5
4 21,0 21,0 20,0 20,0 22,5 22,0 22,5 21,5 23,5 22,0 22,0 22,5
5 22,5 21,5 22,5 22,0 18,5 22,0 22,0 22,5 21,0 22,0 19,5 23,0
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-
12

 R = ximáx - ximín
 R = 25,0 – 18,5 = 6,5
 k = 1 + 3,3 log n
k = 1 + 3,3 log 60
k 7
R 6,5
 i = —— = ——— = 0,923 = 1,0
k 7
 Rp = ir * k = 7 * 1,0 = 7,0

13

d
md = d/2 = ——= 0,25
2
Li1 = ximín - md = 18,5 - 0,25 = 18,25
Ls1 = Li1 + i = 18,25 + 1,0 = 19,25
Li2 = Ls1 = 19,25
Ls2 = Li2 + i = 19,25 + 1,0 = 20,25

14

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
HOJA DE DATOS - DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Artículo: Pasta de tomate Código: XY-987
Característica: Peso Especificación: 20,0 2,5 decigramos
Operación: Llenado Máquina: Llenadora n=60
Operario: M. Matamoros Inspector: M. Coto Turno: 1
Fecha:02-12-84 Hora de inicio: 8 am Hoja: 1 de 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Li Ls CONTEO nk xk Nk fk Fk
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
18,25 19,25 ||||| 5 18,75 5 8,33 8,33
19,25 20,25 ||||||||| 9 19,75 14 15,00 23,33
20,25 21,25 |||||||| | 9 20,75 23 15,00 38,33
21,25 22,25 |||||||||||||||| 16 21,75 39 26,67 65,00
22,25 23,25 |||||||||||||| 14 22,75 53 23,33 88,33
23,25 24,25 ||||| 5 23,75 58 8,33 96,67
24,25 25,25 || 2 24,75 60 3,33 100
15

K

PROMEDIO nk * d
k 1
x A *i
n

DESVIACION
2
ESTANDAR K K
nk * d 2 nk * d
k 1 k 1
s i*
n n

COEFICIENTE DE VARIACION: CV=s/x

16

Calcular la media aritmética y la desviación
estándar
_ A= 21,75 para d = 0
x = 21,75 + (-12/60) 12 1,0 = 21,55 decigramos
142 * 2
s 1,0 * 1,525 decigramos
60 60
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
xk nk d nk*d nk*d2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
18,75 5 –3 –15 45
19,75 9 –2 –18 36
20,75 9 –1 – 9 9
21,75 16 0 0 0
22,75 14 1 14 14
23,75 5 2 10 20
24,75 2 3 6 18
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
TOTAL nk*d= –12 nk*d2= 142
17

 Esta distribución conocida por su forma de campana
(campana de Gauss) es una de las más importantes
en teoría estadística.
 Esta distribución tiene propiedades importantes, tales
como:
› Está definida de - a + .
› Es simétrica lo que implica que la probabilidad de
ocurrencia de un valor x menor que la media es
igual a la de un valor x mayor que la media.
› El área bajo la curva es 1.
› La moda, media y mediana son iguales.
› Si se conoce la media ( ) y la varianza ( 2) se
determina la curva

18

 La distribución muestral es normal aunque la
poblacional no lo sea. Tiene promedio y
desviación estándar igual a /√n
 Puede estandarizarse usando el estadístico
Z = (x - )/ .
 Las funciones densidad y acumulada son para
- x + :
2
1 x
1 2
f ( x) e
2
b
F ( x) f ( x) dx
a
19

Una fábrica especifica que el
peso de los tarros de frutas
que produce debe
obedecer a un peso medio
de 2,00 kg con una
desviación estándar de 0,05
kg. ¿Cuál es la probabilidad
de que un determinado tarro
pese entre 1,90 y 2,06 kg,
sabiendo que esta variable
se distribuye normalmente?
20

2.06 2 1.9 2
A P 1.9 x 1.06 N N
0.05 0.05
A = N(1,2) – N(–2,0)
A = 0,8849 – 0,0228
A = 0,8621
La probabilidad de que un determinado
tarro pese entre 1,90 y 2,06 kg es 0,8621.

A

1.9
2.06
21

"Si se toman m-muestras aleatorias
de tamaño n de una población
cuya distribución puede o no ser
normal y que tiene media µ y
desviación estándar , la
distribución de muestreo
correspondiente a los promedios
de las m muestras será
aproximadamente normal, con
media µ igual a µ y desviación
muestral igual a / n."
x

x

22

Un proceso de llenado de bolsas de
cacao en polvo origina un peso
medio de 50,10 g y una desviación
estándar de 5,25 g. Si se toma una
muestra de 40 bolsas, ¿cuál es la
probabilidad de que su media se
encuentre entre 48,10 y 50,90 g?

23

A=P(48,10< x <50,9)= N((50,90-50,10)/0,83)
- N((48,10-50,10)/0,83)
A = N(0,96) - N(-2,41)
A = 0,83147 - 0,00798 (Obtenidos de Tablas )
A = 0,8235

La probabilidad de que la media de peso de
una muestra de 40 bolsas se encuentre entre
48,10 y 50,90 gramos es 0,8235.

24

En una industria se fabrican productos
que deben tener un peso medio
comprendido entre 10,049 y 10,095
g. Se toma una muestra de 15
unidades, originándose un promedio
de 10,072 g y una desviación
estándar de 0,100 g. ¿Cuál es la
probabilidad de cumplir con el peso
fijado?
25

P(10,049 x 10,095)=T((10,095-10,072)/(0,100/
14))
-T((10,049-10,072)/(0,100/ 14))
= T (0,861) - T (-0,861)
= 0,80 - 0,20
= 0,60
La probabilidad de cumplir con el peso medio
fijado es 0,60.
Los valores de T(0,861) y T(-0,861) sirven para
calcular las probabilidades usando la Tablas.

26

Una máquina llenadora ha
ejecutado su operación con una
varianza de 0,83 grms2. Si se toma
una muestra de 15 unidades,
¿cuál es la probabilidad de tener
una varianza:
a. Superior a 1,31 grms2?
b. Inferior a 0,56 grms2?

27

n * s2 15 (1,31)
a. 2 = –––––– = –––––––– = 23,7
2 0,83

n * s2 15 (0,56)
b. 2 = –––––– = ———— = 10,1
2 0,83
Los valores de la probabilidad se encuentran en
Tablas.
En conclusión, la probabilidad de obtener una
varianza superior a 1,31 grms2 es 0,05 y la de obtener
una varianza inferior a 0,56 grms2 es 0,25.

28

En un proceso de corte de varillas para un
ensamble especial, existen dos máquinas
cortadoras tecnológicamente parecidas
aunque diferentes en antigüedad. Esta similitud
hace pensar que las varianzas de corte
generadas por ambas máquinas puedan ser
comparadas.
Si se toma una muestra de 16 elementos de
cada máquina, calcular la probabilidad de
que la razón de varianzas sea:
a. Mayor a 1,97
b. Menor a 0,508

29

Utilizando Tablas:
v1 = n1 - 1 = 16 - 1 = 15
v2 = n2 - 1 = 16 - 1 = 15
Fv1,v2, 1= F15,15, 1 =1,97 para 1=0,10

Fv1,v2, 2= F15,15, 2 =0,508 para 2=0,10
pues F15,15, 2 = 1 / F15,15, 1
Como respuesta al problema se tiene que
la probabilidad de que la razón de
varianzas sea superior a 1,97 es 0,10 y
de que sea inferior a 0,508 es también
0,10.

30

 Una distribución de variable discreta si se ajusta a
experimentos que cumplen con cinco propiedades:
 Hay n pruebas
 Existe una probabilidad de éxito p y una de fracaso q=1-p
 Las pruebas son independientes
 Interesan x casos del total de casos
 Las funciones densidad y acumulada así como el valor
esperado ( ) y la varianza ( 2) son las siguientes:
f(x) = n px * q n-x para x 0
x (n-x)
n’
F(x) = f(x) = np 2= npq
X=0

31

Un cliente establece que para aceptar
un lote de producto que le envía el
fabricante, éste debe cumplir con el
contrato firmado. Este contrato
establece que el lote se acepta si
una muestra de 20 unidades extraída
de él, contiene dos o menos
defectuosos.
Si el fabricante envía un lote 10%
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad
de que sea rechazado?
32

Primero que todo se debe analizar si se cumple con las
cuatro condiciones fijadas para la distribución
binomial.
1. n = 20 3. Hay independencia
2. p = 0,10 4. x 2
Por leyes de probabilidad se tiene que la
probabilidad de rechazo es igual al complemento
de la probabilidad de aceptación.
Sea:
P(X > 2) = 1 – P (X 2)
2
P(X 2) = B(2,20,0,10) = b(xi,n,p)
i=0

33

P(X 2) = B(2,20,0,10) = b(xi,n,p)
i=0
P(X 2) = b(0,20,0,10) + b(1,20,0,10) + b(2,20,0,10)
20! 20! 20!
P(X 2) = ––––– 0,100 * 0,9020 + ––––––– 0,101 * 0,9019 + –––––– 0,102*0,9018
20! * 0! 19! * 1! 18! * 2!
P(X 2) = 0,1216+0,27+0,2853 = 0,6769
Probabilidad de rechazo = P(X>2) = 1 - P(X 2) = 1-0,6769 = 0,3231
Si se utiliza la Tabla se tiene que:
P(X 2) = B (2,20,0,10) = 0,6769
P(X>2) = 1 - P(X 2) = 1 - 0,6769 = 0,3231

Por lo tanto la respuesta es que si se envía un lote
10% defectuoso la probabilidad de que sea
rechazado es 0,3231.

34

Una compañía farmacéutica afirma
que existe una probabilidad de
0,005 de que un paciente que
ingiere un nuevo medicamento,
sufra una reacción secundaria. Si
2000 pacientes compran este
medicamento, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a. ocho sufran efectos secundarios?
b. mas de ocho sufran efectos
secundarios?
35

p = 0,005 n = 2000 x= 8 = 2000 * 0,005 = 10
a. Utilizando la fórmula se tiene:
108
p (8,10) = e-10 ——— = 0,1126
8!
Utilizando la Tabla
p (8,10)= P (8,10)– P (7,10)
= 0,333 – 0,220 = 0,113
Por lo tanto, la probabilidad de que ocho de los 2000
pacientes sufran efectos secundarios al ingerir el
medicamento es 0,113.
b. P(x>8) = 1 - P( x 8 )
= 1 – 0,333 = 0,667
Por lo tanto, la probabilidad de que mas de ocho de los 2000
pacientes sufran efectos secundarios al ingerir el
medicamento es 0,667.

36

Para µ, se calculan así:
_
Lc = x Z /2 * ——— si es conocida
n
_ s
Lc = x t /2 * ——— si es desconocida
n-1
Para 2, se calculan así:
ns2 ns2
LIc = ——— LSc = ———
2 2
1- /2 /2

37

Se toman 30 varillas cortadas por una
máquina cortadora. Si se tiene una
longitud promedio de 5,35 cm, con una
desviación típica de 0,85 cm.
a. ¿Cuáles son los límites de confianza para µ,
con 95% de confianza?
b. ¿Cuáles son los límites de confianza para
2, con 95% de confianza?

c. Si se conociera que 2 es igual a 1,58 cm2,
¿cuál es la respuesta a la pregunta a?
38

_
a. n = 30 x = 5,35 cm s = 0,85 cm (1- ) = 0,95
= 0,05
_ s _ s
LIc = x – t /2 ——— LSc = x + t /2 ———
n-1 n-1
0,85 0,85
LIc = 5,35 – 2,045 ——— LSc = 5,35 + 2,045 ———
29 29
= 5,02 cm = 5,67 cm
t /2 = t 0,025 = 2,045 de Tablas
Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza
que el proceso de corte de varillas tiene un promedio de
corte comprendido entre 5,02 cm y 5,67 cm.

39

b. s2 = 0,852 = 0,7225 cm2

n s2 30 (0,7225) 21,675
LIc = ——— = —————– = ––———— = 0,474 cm2
2
0,975 45,7 45,7
n s2 30(0,7225) 21,675
LSc = ——— = ————— = ———— = 1,35 cm2
2
0,025 16 16

Los valores de chi-cuadrado provienen de Tablas.
Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza
que el proceso de corte de varillas tiene una varianza de
corte comprendida entre 0,474 cm2 y 1,35 cm2.

40

c. Si 2 = 1,58 cm2 entonces = 1,257 cm.

_ 1,257
LIc = x–Z /2 ——— = 5,35 – 1,96 ———— = 4,9 cm
n 30

_ 1,257
LSc= x+Z /2 ——— = 5,35 + 1,96 ———– = 5,8 cm
n 30

Los valores de Z se obtuvieron de tablas
Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el
proceso de corte de varillas tiene un promedio de corte
comprendido entre 4,9 cm y 5,8 cm.

41

 Comportamiento de un proceso con el fin de
ejecutar acciones que prevengan problemas
de calidad.
 Procedimiento mediante el cual, sujeto a un
error tipo I denotado por , se contrasta una
hipótesis planteada con el fin de probar su
veracidad o su falsedad.
 Error tipo I ( ) es la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula siendo esta
verdadera.
 Error tipo II (ß) es la probabilidad de aceptar
la hipótesis nula siendo esta falsa.

42

a. Plantear la hipótesis nula H0 y la hipótesis
alternativa denotada por Ha.
b. Prueba debe ser unilateral o bilateral.
c. Fijar el nivel de significación ( ) o error tipo I, (1%,
5% ó 10%)
d. Definir el estadístico a usar de acuerdo con la
distribución de probabilidad que le corresponde a la
variable en estudio y según lo que se desee probar
(una media, dos medias, una varianza, dos
varianzas, una proporción o dos proporciones).

43

e. Definir las áreas donde se cumplirá cada una de
las hipótesis.
f. Calcular el valor del estadístico seleccionado
g. Comparar el estadístico obtenido con el estadístico
teórico. El resultado permitirá conocer la decisión
de aceptación o rechazo
h. Obtener las conclusiones del experimento
efectuado. Un valor importante de calcular aquí
es el error tipo II.

44

EJEMPLO 2.14 pag. 76
En un proceso de fabricación de
piezas de precisión se quiere que el
valor nominal del diámetro de una
pieza sea 20,0 mm. Se conoce que la
desviación estándar de esta
característica es 3,0 mm. Se toma una
muestra de 25 piezas obteniéndose un
promedio de diámetro de 19,2 mm.
¿Se ha cumplido con lo requerido?
Use =5%.
ING. JORGE ACUÑA A., PhD., 45
PROFESOR

SOLUCION
Se seguirá el procedimiento planteado.
a. Planteo de la hipótesis
H0: µ = 20,0
Ha: µ 20,0
b. La hipótesis es bilateral puesto que no
se cumple con lo requerido si el promedio de la
muestra es mayor o menor que lo especificado.
c. El nivel de significación es dado, = 5%.
d. El estadístico por usar es el siguiente:
_
x–µ
Z = ––––––
/ n
PROFESOR

SOLUCION
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis .
f. Cálculo del estadístico citado en d.
_
x–µ 19,2 – 20,0
Z = ——— = —————— = –1,33
/ n 3,0/ 25

g. El valor de Z calculado (–1,33) se encuentra en
el área de cumplimiento de la hipótesis nula.
h. En conclusión, se puede afirmar, con =5%, que
estadísticamente se cumple con el valor nominal
requerido.

PROFESOR

Si en el Ejemplo anterior no se
conoce la desviación estándar pero
a partir de la muestra se calcula una
desviación típica de 2,1 mm ¿Qué
conclusiones se obtienen? Use
=5%.

PROFESOR

SOLUCION
H0: µ = 20,0
Ha: µ 20,0
b. La hipótesis es bilateral puesto que no se
cumple con lo requerido si el promedio de la muestra
es mayor o menor que lo especificado.
_
x–µ
t = ————
s/ n-1
PROFESOR

SOLUCION
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis.
_
x–µ 19,2 – 20,0
t = –––––––––– = —————— = –1,87
s/ n-1 2,1/ 24
g. El valor de t calculado (–1,87) se encuentra
en el área de cumplimiento de la hipótesis nula.
h. En conclusión, se puede afirmar, con
= 5%, que estadísticamente se cumple con el valor
nominal requerido.

PROFESOR

Un proveedor envía lotes de producto
que según sus registros son 5%
defectuosos. Un cliente toma una
muestra de 200 unidades y encuentra
16 unidades defectuosas. ¿Es cierto lo
que muestran los registros del
proveedor, con =5%?

51

H0: p = 0,05
Ha: p > 0,05
b. La hipótesis es unilateral puesto que lo
problemático en cuanto a calidad es que el
porcentaje de defectuosos supere lo especificado.
x – np
Z = –––––––
npq

52

f. Cálculo del estadístico
x – np 16 – 200(0,05)
Z = ———— = ––––––––––––––– = 1,95
npq 200*0,05*0,95
g. El valor de Z calculado (1,95) se encuentra
fuera del área de cumplimiento de la hipótesis
nula.
h. En conclusión, no hay evidencia estadística
para aceptar la hipótesis nula con = 5%. Por lo
tanto, estadísticamente no es cierto lo que
anotan los registros del fabricante.

53

 Para el mismo producto del
Ejemplo 3, existe otro
proveedor. Una muestra de 200
unidades extraídas de un lote
enviado por él, tenía 12
unidades defectuosas. ¿Se
puede decir con 95% de
confianza que el proveedor del
Ejemplo 3 da peor calidad que
el de este ejemplo.

54

SOLUCION
p1: fracción defectuosa del proveedor A
p2: fracción defectuosa del proveedor B
H0: p1 = p2
Ha: p1 > p2
b. La hipótesis es unilateral pues se
quiere probar si la cantidad de defectuosos
enviada por un proveedor es
significativamente mayor que la del otro.


PROFESOR

SOLUCION
d. El estadístico por usar es:
x1 + x2
p’ = ————— q’ = 1 – p’ x1 x2 16 12
n1 + n2 Z
n1 n2 200 200

e. Las áreas de cumplimiento p' q'
1 1
0.07 * 0.93
1 1
n1 n2 200 200
f. Cálculo del estadístico
Z 0.784
x1 + x2 16 + 12
p’ = –––––––– = ––––––––– = 0,07
n1 + n2 200 + 200 q’ = 1 – 0,07 = 0,93
g. El valor de Z calculado (0,784) está en el área de
cumplimiento de la hipótesis nula.
h. Se puede afirmar, con =5%, que no hay diferencia
significativa entre las calidades suministradas por ambos
proveedores.

PROFESOR

• En el corte de una varilla
cromada se genera una
varianza de la longitud de 2,5
mm2. Se toma una muestra de
30 varillas y se mide la varianza
muestral de la longitud, la que
resulta ser 2,0 mm2. ¿Existe
alguna diferencia significativa
con el valor inicial de 2,5 mm2?
Use =5%.

57

H0: 2 = 2,5
Ha: 2 2,5
b. La hipótesis es bilateral puesto que no se cumple con
lo requerido si la varianza de la muestra es mayor o menor
que la especificada.
s2
2= (n-1) ——
2

58

s2
2= (n-1) —— = 29 * (2/2,5) = 23,2
2

g. El valor de 2 calculado (23,2) se encuentra
en el área de cumplimiento de la hipótesis nula.
h. En conclusión, se puede afirmar, con = 5%,
que estadísticamente no existe diferencia con
la varianza inicial.

59

En un proceso de corte de
bolsas plásticas se usan dos
máquinas. De la máquina A se
toma una muestra de 30
unidades que genera una
varianza en la longitud de corte
de 3,3 mm2 y de la máquina B
se toma una muestra de 25
unidades que genera una
varianza en la longitud de corte
de 4,1 mm2. ¿Se puede afirmar,
con = 5%, que una máquina
es mejor en la ejecución de
esta operación que la otra?
60

Sea 2 la varianza producida por la máquina A
A
2 la varianza producida por la máquina B
B
H0: 2A = 2B
Ha: 2A 2
B
b. La hipótesis es bilateral puesto se desea probar la existencia de
diferencias entre las varianzas de ambas máquinas.
s12
F = ———
s22

61

e. Las áreas de cumplimiento de hipótesis. Los valores de F de
0.53 y 1.94 fueron extraídos de tablas F con /2 = 0.025.
s1 2 3,3
F = ——–– = ——–– = 0,805
s2 2 4,1

g. El valor de F calculado (0,805) se encuentra en el área de
cumplimiento de la hipótesis nula (ver Figura 2.18).
h. En conclusión, se puede afirmar, con =5%, que no existe
ninguna diferencia de variabilidad de la longitud de corte
entre ambas máquinas.

62

Una inspección de calidad efectuada sobre dos
marcas de baterías para linterna, reveló que una
muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A
generó un promedio de vida útil de 36,5 horas
con una desviación estándar de 1,8 horas,
mientras que otra muestra aleatoria de 31
unidades de la marca B generó un promedio de
36,8 horas con una desviación estándar de 1,5
horas.
Con un nivel de significación del 5% se desea
saber si hay diferencia significativa entre la vida
útil de ambas marcas.

63

Para probar si hay diferencia significativa entre los
promedios se debe comprobar primero la diferencia entre
las varianzas, para así seleccionar el estadístico adecuado.
1. Hipótesis de varianzas
Siguiendo los pasos de una prueba de hipótesis se tiene:
H0: 2A = 2B
Ha: 2A 2
B
b. Como la hipótesis alternativa es de desigualdad,
entonces es bilateral. Esto significa que puede darse una
relación mayor o menor.

64

c. El nivel de significancia es = 5%.
d. El estadístico por usar es Fc = s12/ s22 (distribución F-
Fisher), pues lo que se desea es medir la relación de varianzas.
e. Las áreas de la hipótesis que se va a probar.
v1 = n1–1 = 61–1=60 v2=n2-1 = 31–1=30
De una Tabla F con /2= 2.5% se tiene:
F 60,30,0.025 = 0,551
F 60,30,0.975 = 1,440
f. Fc= s12/ s22 = 1,82/1,52 = 1,44
g. Este valor calculado de Fc cae en el área donde se
cumple Ho, por lo tanto se acepta Ho.

65

h. Se concluye que ambas varianzas, al 5% de
significancia, son iguales.
Se procede entonces a hacer la hipótesis de
promedios.
Siguiendo los pasos de prueba de hipótesis se tiene:
Ho: µ1 = µ2
Ha : µ1 µ2
b. La hipótesis es bilateral al igual que en la
hipótesis anterior.
c. El nivel de significación es del 5%

66

d. Según la hipótesis anterior las varianzas son
desconocidas pero iguales, además, los tamaños de
muestra son mayores que 30. Por lo tanto el estadístico por
usar es:

x1 x2
t 2 2
s1 y s2
e. Las áreas de cumplimiento rechazo.
v = n1 + n2 – 2 n1 n2
v = 61 + 31 – 2
v = 90

67

De tablas se obtienen los valores:
t 90, 0,025 = –1,987 t90,0,975=1,987
f. El estadístico calculado es:

36 ,5 36 ,8 0
0,3
t
En este caso ( es de 0,845
1 – 22 = 0 pues 0,355 suponer que tratándose
) 2
1,8 1,5
de un mismo producto las medias poblacionales son
iguales. 61 31
g. No hay evidencia estadística, con = 5%, para concluir
que ambas medias sean diferentes.

68

 Permite probar el ajuste de los resultados de
un experimento a una distribución de
probabilidad teórica sujeto a un error .
 El método en cuestión se basa en la
comparación de las frecuencias absolutas
observadas y las frecuencias absolutas
esperadas, calculadas a partir de la
distribución teórica en análisis.
 Se usa el estadístico chi-cuadrado para
n>50, de lo contrario, se debe aplicar otras
técnicas tales como Kolgomorov o Shapiro-
Wilks

69

 Ho : f(x) = función densidad de la distribución teórica
siendo probada
Ha : f(x) a esa función
Ejemplo: e– x
Ho: f(x) = p (x, ) = –––––––
x!
e– x
Ha: f(x) p (x, ) = ————
x!
 Se usa el estadístico chi-cuadrado:
K
2
c = (nk – ek)2 / ek
k=1

70

MUESTREO ESTADISTICO
• Confianza en los resultados obtenidos a partir del
análisis de muestras.
• Aleatoriedad y representatividad.
• Una muestra es aleatoria cuando los elementos
que la componen fueron extraídos de una población
en la cual todos sus componentes tuvieron la misma
probabilidad de pertenecer a esa muestra.
• Una muestra es representativa cuando sus
elementos reflejan las características de la población
de la cual fueron extraídos.
• Ambas propiedades están ligadas al tamaño de la
muestra y al método usado para su selección.

PROFESOR

PROCEDIMIENTO
• Identificación de la característica por estudiar y
del marco de muestreo.
• Escogencia del tipo de muestreo
• Determinación del tamaño de la muestra,
mediante la fórmula que especifique el tipo de
muestreo.
• Selección aleatoria de la muestra previa
definición del procedimiento adecuado.
• Escogencia del método de estimación del error
estadístico.
• Cálculo de inferencias, errores y grado de
confianza de las conclusiones.

PROFESOR

VENTAJAS
•Ahorro de dinero al evitar la inspección 100%, la
cual tiene costos más altos.
•Ahorro de tiempo al disminuir la cantidad por
inspeccionar en relación con la inspección 100%.
•Atención de casos individuales
•Recurso indispensable cuando la inspección es
destructiva.
•Unico método posible cuando la población es
infinita.
•Excelente opción cuando los errores no
muestrales, especialmente humanos, son grandes
e imposibles de reducir.
•Error y sesgo
PROFESOR

TIPOS DE MUESTREO

• Muestreo aleatorio simple
• Muestreo sistemático
• Muestreo estratificado
• Muestreo por conglomerados
• Muestreo de aceptación.

PROFESOR

MUESTREO ALEATORIO
SIMPLE
• ESTIMACION DE PROMEDIOS
2
Z 2/ 2 * N * 2 Z *
n n /2
Z 2/ 2 * 2 N * E 2 E
2 2
N n
x * x
n
N 1 n
• ESTIMACION DE PROPORCIONES

2
Z 2/ 2 * N * p * q Z /2
n n p*q
Z 2/ 2 * p * q N * E 2 E
N n p*q
x * p*q
N 1 n x
ING. JORGE ACUÑA A., PhD., n 75
PROFESOR

Considérese un lote de producción de 1000
unidades, cuya varianza en el diámetro de
una de sus partes es 250 mm. Se desea
estimar el promedio del diámetro, a partir de
una muestra, con una confianza del 95% y
con error no mayor a 1 mm. ¿Cuál es ese
tamaño de muestra y su error estándar?

PROFESOR

SOLUCION
N = 1000 E = 1
Z /2 = 1,96 (extraído de Tablas)
2 = 250
Z 2/ 2 * N * 2 1,962 *1000* 250
n 480,2 ~ 481
Z 2/ 2 * 2 N * E 2 1,962 * 250 (1000*1)

1000 481 2502
x * 0,52
1000 1 481
Para estimar el promedio de diámetro de esta
pieza, se debe extraer una muestra de 481
unidades. El muestreo tiene un error estándar
de 0,52.
PROFESOR

Un fabricante afirma que el 2,5% de los
productos que entrega el comprador son
defectuosos. Si éste recibe los productos en
lotes de 5000 unidades, ¿cuál debe ser el
tamaño de la muestra por usar para verificar
lo expresado por el fabricante? Use 95% de
confianza y un error no máximo del 1% en la
estimación.

PROFESOR

SOLUCION
E= 0,01 p = 0,025 q = 0,975
N= 5000 (1- ) =0,95 Z /2 = 1,96
Z 2/ 2 * N * p * q 1,962 * 5000* 0,025* 0,975
n 789
Z 2/ 2 * p * q N * E 2 2 2
(1,96 * 0,025* 0,975) (5000* 0,01 )

N n p*q 5000 789 0,025 * 0,975
x * * 0,005
N 1 n 5000 1 789

Lo anterior significa que para estimar el
porcentaje defectuoso de ese producto, se
debe extraer una muestra de 789 unidades.
Este muestreo tiene un error estándar de
0,005.
PROFESOR

MUESTREO
ESTRATIFICADO
• Los elementos poblacionales se dividen primero en k-
grupos y luego se aplica muestreo aleatorio simple
• Este proceso se llama estratificación y a cada grupo
se le llama estrato.
• Se estratifica porque los elementos poblacionales
presentan heterogeneidad, por lo que la obtención de
conclusiones representativas se hace difícil.
• Las probabilidades de selección de los estratos pueden
ser diferentes y no es necesario que todos los elementos
tengan la misma oportunidad de selección, pero se debe
conocer la probabilidad de cada uno.
• La estratificación se ejecuta de tal manera que exista
cierta homogeneidad entre los elementos de cada grupo
y que queden en igual ING. JORGE ACUÑA A., cada estrato. 80
número en PhD.,
PROFESOR

MUESTREO
ESTRATIFICADO
• Afijación proporcional: se basa en el tamaño del
estrato
n N n 1 k
ni * Ni x * * Ni * i
N N *n N i1

•Afijación óptima
Ni k 2 k
ni n* i
2
k Ni i Ni * i
Ni 1
i
x * i 1 i 1
i 1
n N N2

PROFESOR

La producción de una empresa se ha dividido en tres estratos, de
acuerdo con la fracción defectuosa que presenten. Por registros de
los últimos años se conoce la siguiente información:
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Estrato No. % Defectuoso No. Lotes i (%)
1 5 ó más 35 0,97
2 1,5 a 4,99 80 0,82
3 Menos de 1,5 15 0,30
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
TOTAL 130 1,25*
* Para el total de la producción.
a. A. Si se desea tomar una muestra de 20 lotes, ¿cuántos lotes de
cada estrato se deben seleccionar?
b. B. Compare los errores estándar correspondientes con el error
estándar de muestreo aleatorio simple.
PROFESOR

SOLUCION
Para efectos didácticos este problema se resolverá por
afijación proporcional y por afijación óptima. En
situaciones prácticas se debe escoger el que mejor se
adapte a las condiciones.
• Afijación proporcional
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Estrato Tamaño de la muestra
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 n1 = (20/130) * 35 = 5,38 ³ 5
2 n2 = (20/130) * 80 = 12,3 ³ 12
3 n3 = (20/130) * 15 = 2,3 ³ 3
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para completar los 20 lotes seleccionados, se deben
tomar 5 lotes del estrato 1, 12 lotes del estrato 2 y 3
lotes del estrato 3.
PROFESOR

SOLUCION
• Afijación óptima
Los cálculos iniciales para obtener el tamaño de
muestra por este método.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Estrato Ni i Ni* i i2 Ni* i2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 35 0,97 33,95 0,94 32,93
2 80 0,82 65,60 0,67 53,79
3 15 0,30 4,50 0,09 1,35
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
TOTALES Ni* i=104,05 Ni* i2= 88,07
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

PROFESOR

SOLUCION
Se calculan los tamaños de muestra de la siguiente manera:
33,95
n1 20 * 6,52 6
104,05
65,6
n2 20 * 12,61 13
104,05
4,5
n3 20 * 0,86 1
104,05
b. Comparación de errores
El error estándar para afijación proporcional es:
N n 1 k
x
* * Ni * i
N *n N i1

130 20 1
x
* * 35 * 0,97 2 80 * 0,822 15 * 0,302
130 * 20 130
x
0,169
PROFESOR

SOLUCION
El error estándar para muestreo por afijación óptima es:
k 2 k
2
Ni i Ni * i
1 i 1 i 1
*
x
n N N2

2
1 104,05 88,07
*
x
20 130 1302

x
0,164
El error estándar si se usa muestreo aleatorio simple
se calcula así:
130 20 1,252
x
* 0,26
130 1 20
Los errores del muestreo por afijación proporcional (0,169) y
óptima (0,164) son parecidos, mientras que el error del
muestreo aleatorio simple (0,26)
PROFESOR

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