Gradientes

En matemáticas financieras, gradientes son anualidades o serie de
pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una
cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago
inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago
determina la clase de gradiente.
• Cada pago aumenta o
disminuye en $25,000
mensual
Aritmético
Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública
• Cada pago aumenta o
disminuye en 3.8%
mensual
Geométrico

Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales
0 1 2 3 4 5 6
en el sistema de gradientes los pagos aumentan o disminuyen con
relación al pago anterior.
0 1 2 3 4 5 6

Existen diferentes formas en que se pueden presentar las gradientes:
Anticipadas
• La fecha de pago se realiza al final de periodo de tiempo
Vencidas
• La fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo
Diferidas
• Es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia
Perpetua
• Su aplicación es perpetua, n tiende a infinito

0 1 2 3 4
A
A + G
A + 2G
A + 3G
0 1 2 3 4
A
A - G
A - 2G
A - 3G
Cuando la cantidad constante es
positiva se genera el gradiente
aritmético creciente
Cuando la cantidad constante es
negativa se genera el gradiente
aritmético decreciente

P = 퐴
(1 + 푖)푛 − 1
푖(1 + 푖)푛 ±
퐺
푖
(1 + 푖)푛−1
푖(1 + 푖)푛 −
푛
(1 + 푖)푛
 Valor presente gradiente aritmético
 Valor futuro gradiente aritmético
F = 퐴
(1 + 푖)푛 − 1
푖
±
퐺
푖
(1 + 푖)푛−1
푖
− 푛
 Valor presente gradiente aritmético infinito
P =
퐴
푖
±
퐺
푖2

El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando
con 24 cuotas mensuales que aumentan cada vez en $10.000, y el
valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés
que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la
máquina.

A = $150.000
G = $10.000
N = 24 meses
i = 3%
0
1 2 3 4 24
150.000
160.000 170.000
150.000 + (n-1)10.000
P = 150.000
(1 + 0,03)24 − 1
0,03(1 + 0,03)24 ±
10.000
0,03
(1 + 0,03)24−1
0,03(1 + 0,03)24 −
24
(1 + 0,03)24
P = 4´250.042,13

Si la tienda de Don Gustavo le representa unos ingresos mensuales por
$350.000, los cuales aumentan en $10.000 todos los meses ¿Cuánto debe
exigir Don Gustavo por su negocio si asumimos una tasa de interés del 1%
mensual?
푃 =
퐴
푖
+
퐺
푖2
푃 =
350.000
0,01
+
10.000
0,012
P = 135.000.000

Cuál será el valor futuro que se acumula en una cuenta de ahorros al
termino de 1 año, si hacemos depósitos mensuales anticipados
crecientes en $3000, y la cuenta reconoce un interés del 12%
nominal mes vencidos, sabiendo además que el primer deposito es
por la suma de $12000.

G = $3.000
N = 12 meses
I = 12% NMV
1% mensual
A = $12000
퐹 = 퐴 +
퐺
푖
(1 + 푖)푛−1
푖
퐹 = 12.000 +
−
퐺 ∗ 푛
푖
1 − 푖 …
퐹 = 360.510,35
3.000
0,01
(1 + 0,01)11−1
0,01
−
3000 ∗ 11
0,01
1 − 0,01 …
0
1 2 3 11 12

Es una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al
anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo
de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente
y el geométrico decreciente.
0 1 2 3 4
A
A*(1 + G)
A*(1 + G)^2
A*(1 + G)^3
0 1 2 3 4
A
A*(1 - G)
A*(1 - G)^2
A*(1 - G)^3

 Valor presente gradiente geométrico
푃 =
퐴
(퐺 − 푖)
+
(1 + 퐺)푛
(1 + 푖)푛 − 1 퐺 ≠ 푖 푃 =
푛퐴
(1 + 푖)
퐺 = 푖
 Valor futuro gradiente geométrico
퐹 =
퐴
(퐺 − 푖)
+ 1 + 퐺 푛 − (1 + 푖)푛 퐺 ≠ 푖 퐹 =
퐴
(1 + 푖)−푛+1 퐺 = 푖
 Valor presente gradiente geométrico infinito
푃 =
퐴
푖 − 퐺
퐺 < 푖

Obtenga el valor presente y el valor futuro de una serie de cuotas
semestrales crecientes en un 4% durante 5 años y medio suponiendo
una tasa de interés del 12% y conociendo que la primera cuota es
por $250.000

A = $250.000
G = 4% semestral
N = 11 semestres
i = 12% EA
5,830% PMV
푃 =
250.000
(0,04 − 0,583)
(1 + 0,04)11
(1 + 0,583)11 − 1
푃 = 2´385.095,95
퐹 =
250.000
(0,04 − 0,583)
(1 + 0,0411−(1 + 0,04)11
퐹 = 4´448.411, 75
0
1 2 3 4 11
250.000
260.000 270.000
150.000*(1 + 4%)
P
F

Una persona adquiere una deuda en una entidad financiera que le
cobra un interés del 2,5986% mensual por la suma de $3´000.000,
con el propósito de pagarlo mediante cuotas mensuales crecientes en
un 5% en un plazo de 3 años.
Determine el valor de la primera cuota, sabiendo además que esa
entidad otorga un periodo de gracia de 3 meses

i = 2,5986% PM
P = $3´000.000
G = 5%
Pg = 3 MESES
N = 3 AÑOS
36 MESES
퐴 =
(1 + 푖)푛−(1 + 퐺)푛
(푖 − 퐺)(1 + 푖)푛
푃(1 + 푖)푝푔
0
1 2 3 4 34
3´000.000
5 35 36
퐴 =
(1 + 0,025986)33−(1 + 0,05)33
(0,025986 − 0,05)(1 + 0,025986)33
3´000.000(1 + 0,025986)3
퐴 =67.907,77

¿Cuanto será el valor acumulado al final de cinco años si se hacen
depósitos mensuales anticipados en el primer año por la suma de
$200.000? Los depósitos incrementan en un 10% anual, y se
invierten en una entidad financiera que reconoce un interés del
2,4288371% mensualmente.
A= $200.000.
G=10% anual.
I = 2,4288371%.
N =5 AÑOS.
퐹 = 퐴
(1 + 푖)푛−퐺푛
1 + 푖 − 퐺
1 − 푖
퐹 = 퐴
(1 + 푖)푛−퐺푛
1 + 푖 − 퐺
1 − 푖

Alex Franco se ganó la lotería y desea saber cuanto depositar hoy en
una cuenta de ahorros que reconoce un interés del 18% para que su
madre pueda retirar mensualmente, y por tiempo indefinido
$450.000 los cuales aumentaran en 1% mensual
A = 450.000
G = 1%
i = 18%EA
1,39% PM
푃 =
퐴
(푖 − 퐺)
푃 =
450.000
(0,0139 − 0,01)
푃 = 115´727.931,24

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