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![2.o
de secundaria 11
Colegio Bertolt Brecht
Álgebra
6. Al reducir la expresión
x x
x x
15 22
5
23 2
3
4
⋅( )
⋅ ( )
, ¿qué se obtiene?
7. Halla el equivalente de
1
2
1
2
2
−
−
.
8. Reduce las siguientes expresiones.
a.
2
2
3
3
5
4
2
3
−
−
−
−
+
x
x
x
x
b.
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
22 24 26 28 30
17 19 21 23 25
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
9. Si ab
=2, reduce
a a
a
a
b b
+ +
+
−
3 2
2
2
2 .
10.
Calcula el resultado de las siguientes expre-
siones.
a. [–9+6 – 3 – 2 – 9+1]2
b. [+24 –18+9+6]3
11.
Indica el opuesto del resultado de (– 2)5
.
12.
Completa el valor que falta en el casillero co-
rrespondiente.
a. (–3)4
=
b. 3
= –125
c. (– 2) = – 32
Da como respuesta la suma de dichos valores.
13.
Escribe un número en el casillero para que
se verifique la igualdad.
−
( ) −
( ) −
( )
−
( ) −
( )
= −
( )
5 5 5
5 5
5
21 4
29 2
2
14.
Simplifica
a
a
a
a
a
a
7
2
17
12
8
3
+ + .
15.
Reduce
2 2 2
2
1 2 3
1
x x x
x
+ + +
+
+ +
.
16.
Si a=162
y b=216
, reduce
a b
b a
ab
( ) ( )
16 20
2
.
17.
Halla x si 23x+5
=((16)2
)4
.
18.
Indica verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda.
a. [[(– 3)2
]0
]31
=–1 ( )
b. – 34
=+81 ( )
c.
+
( )
−
( )
= −
9
3
3
2
3
( )
19.
Indica verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda.
a. (– 5)2
=+25 ( )
b. (– 3)3
=– 27 ( )
c. (– 7)3
=– 243 ( )
d. (+2)3
= – 8 ( )
20.
Indica el resultado de
− + − + −
( ) +
5 27 9 3 14
3
4
.
21.
Calcula el valor de
7
5
3
5
7
0
1 1
+
+
− −
.
22.
Reduce la expresión
T = + −
5
5
2
2
3
3
25
23
6
5
12
10
.
colisión. Choque, encuentro violento de dos o más cuerpos.
propiedad. Regla operativa que permite establecer por deducción una teoría.
Glosario](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-11-320.jpg)
![2.o
de secundaria 15
Colegio Bertolt Brecht
Álgebra
12.
Al reducir la expresión
75
3
54
2
48
3
3
3
4
4
+ + ,
¿qué se obtiene?
13.
Reduce
x y y x
xy
3 3
3
.
.
14.
Si se sabe que ab=25 y {a,b} ⊂ R+
, calcula el
valor de a b b a
.
15.
Reduce la expresión
9 3
90
2 2 2
1
n n
n
n
+ +
+
+ .
16.
Simplifica
2
2
4
3
2
3
( )
.
¿Sabías que...?
Leonardo de Pisa (hacia
1180
-1250) es también
conocido con el nom-
bre de Fibonacci (hijo
de Bonaccio). Acompa-
ñando a su padre, un
comerciante de la ciu-
dad de Pisa, viajó por
el norte de África y el Próximo Oriente,
donde aprendió las matemáticas indias y,
en especial, el uso de la numeración ará-
biga. En 1202, de vuelta a Pisa, escribió
Liber Abaci, en el que introdujo las cifras
arábigas, el cero y el sistema posicional
de numeración. Sin embargo, su contri-
bución al desarrollo de las matemáticas
no tuvo el eco merecido hasta que fue
inventada la imprenta y su obra pudo ser
ampliamente divulgada.
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Efectúa
16 27 81
1
4
2
3 0 25
+ − ,
.
2. Reduce
8
8
16
16
4
3
4
3
3
4
+ + .
3. Reduce la expresión
27 36 25 2
3 1 2 1 2 1
1
2
− − −
−
+ + +
.
4. Efectúa
32 125
49
81 25
4
5 3
+
+
−
.
5. Si M = 3 3 3... y N = 64 64 64...,
calcula el valor de M+N.
6. Reduce la expresión
2 32
1
4
3
30
5
2
2 5 5
+ − −
+
−
−
[ ] .
7. Reduce
1
2
2
1
3
1
3
2 2 3
0 5
+
+
− − −
,
.
8. Reduce la expresión
2 16
1
3
3
30
4
2
2 5 5
− −
+
−
−
[ ] .
9. Reduce la expresión
3
3
2
2 2
10
9
8
4 3
−
− −
x
.
10.
Reduce la expresión
2
2
4
4
1
15
13
315
314
1
+ + −
.
11.
Efectúa
y y y y
7
6 5
6 4
6 2
6
. . . .
12.
La expresión
1
16
8
4
5
3
se reduce a...](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-15-320.jpg)
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Álgebra
4. Reduce
R(a; b; c)=5ab – 8bc+7ba+10bc
R(a; b; c)=........................................................
5. Reduce
P(x; y; z)=xyz+3x2
yz – 4xy2
+5I+5xy2
z –10xy2
P(x; y; z)=........................................................
P(x; y; z)=........................................................
6. Halla a+b si los siguientes términos
A(x; y)=5x a+1
y12
; B(x; y)=8x4
yb+5
son semejantes.
7. Si los términos A(x; y)=(m – 2)x 3
yn
;
B(x; y)=(n+3)x m
y 2
son semejantes, calcula la
suma de los términos.
8. Halla a+b si los siguientes términos son se-
mejantes.
P(x; y)=2x 2a –1
y5
; Q(x; y)=8x5
y3b –1
9. Si los siguientes términos
A(x; y)=5x 3a+2
y7
; B(x; y)=3x11
y2b – 5
son semejantes, calcula (b – 2a)99
.
10.
Si los siguientes términos P(x; y)=3x 2a+b
y8
;
Q(x; y)=2x7
ya+2b
son semejantes, calcula a+b.
11.
Reduce los términos semejantes consideran-
do los símbolos de agrupación.
a. P(x)=–(2x – x2
)+[2x 2
+3x]
P(x)=.......................................................
P(x)=.......................................................
P(x)=.......................................................
12.
Reduce las siguientes expresiones.
a. H(x)=4x – x – 2x
b. P(a)=5a – 8a+3a
c. R(y)=– 6y4
– y4
+10y4
13.
Reduce las siguientes expresiones.
a. M z z z z
z
( ) = − − −
1
2
1
3
3
2
4
3
5 6 5 6
b. N b b b b
b
( ) = − − −
1
5
3
4
4
5
2
5
4 2 4 2
c. H(a; b)=– 9b+3ab2
– 7b – ab2
d. T(a; b; c)=2a+4b – 5c – 4a+b+c
e. R(x; y; z)=xyz – 3xz+8xyz+xz
f. P(x)=ax+bx+cx
14.
Reduce los siguientes términos semejantes.
M(x; y)=2x3
y5
+9x3
y5
+8x3
y5
– 20x3
y5
N(x; y)=2x2
y – 3x3
y2
+5x2
y+8x3
y2
– 4x2
y+6x3
y2
P(x; y)=3xy2
+(b+2)xy2
+(3 – b)xy2
15.
Al reducir la expresión
P(x)=ax a –2
+bx b – 3
+5x5
se tiene P(x)=20x5
. Calcula (b – a)3
.
16.
Al reducir la expresión
Q(x; y)=2ax2a+b
y2
+3bx8
y2
,
se tiene Q(x; y)=12x8
y2
. Calcula (a – b)2004
.
Actividad domiciliaria
1. Identifica y escribe los elementos de cada
uno de los términos algebraicos.
a. 52 6 4
x y b. −
2
5
4 6
m np
2. Si16 9 2 11
x y z
m
y a x y z
n
p
2 2 5
3
4 son términos se-
mejantes, calcula el valor de a+m+n+p.
3. Si 4 5
5 3 2 3 5 2 9
ax y ay x
n m m n
− − + +
= ,
calcula el mayor valor de a+m+n.
4. Si la expresión algebraica
5
3
4
2
3
4 5 1
x x ax
n
m
k
+ − −
se reduce a 4x 9
,
calcula el valor de
8
7
a m n k
+ + + .](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-19-320.jpg)
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Colegio Bertolt Brecht
Álgebra
19.
Un vendedor de golosinas vende (8x2
+7x+3)
paquetes de galletas y (5+2x+6x3
) bolsas de
caramelos por semana y los vende a un sol y
tres soles, respectivamente.
a. ¿Cuál fue la venta total?
b. ¿A cuánto vendió toda su mercadería?
20.
Si P(x )=x2
+2x+1; Q(x )=x2
– 2x+1, calcula
P a P
Q Q a
( ) + −
( ) − −
( )
( )
1
1
siendo a entero positivo.
21.
Dada la expresión
P(a )=– 5a(a+2) – 6a(a – 3)+3a(a – 2)+8a2
.
Calcula P(1/2).
22.
Sea H(y)=y+2, halla H [H(0)].
23.
Calcula el valor de P(– 2; 3) si se sabe que
P x xy x
x y
( ; ) = + −
7 3 7
2 2
.
24.
Resuelve los siguientes problemas aplicando
valor numérico.
a. Si P(x)=5x2
–18. Calcula P(P(2)).
b. Si P(x )=3x – 1, calcula A=P(P(P(2))).
c. Si P(x )=5x5
– 3x2
+7x+15, halla P(–1).
d. Calcula A si M(x )=2x4
si A
M M
M
=
+
( ) ( )
( )
0 2
1
.
e. Calcula P(7) si P(x )=– x5
+7x4
+2x –10.
f. Si P(x )=x4
– 2x2
+1, halla P [P [P [P [P (0)]]]].
g. Si se sabe que Q x
x
x
( ) =
+
−
1
1
,
calcula Q [Q (Q (3)))].
h. Si P(x )=7x4
– x2
– 3x+6, halla P(1).
i. Si F(x+2)=8x, halla F(3).
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Si P(x)=3x+7, calcula P(–1).
2. Si P x
x
( ) = +
( ) +
2 1 10
2
, calcula P(0).
3. Si P x x
x
( ) = + +
3
2 4, calcula P( ).
2
4. Si N x x x
x
x
( ) ( ) ,
= + − + +
3 2
2
1
2
5 4 3
calcula N(–1).
5. Si R mx m x
x
( ) ( )
= + − +
2
5 1 1 , además
R(–2) =17, halla el valor de m.
6. Si P x
x
3
1
2 3
−
= + , calcula P(2).
7. Calcula f
f
f 1
( )
( )
si f(x )=x+3.
8. Si P x x
x
( ) = + −
2 4
2
, calcula E
P P
P P
=
+
−
− −
( ) ( )
( ) ( )
0 2
1 2
.
9. Si F(x )=ax+b y F(1)=4 y F(–1)=3,
halla F(12).
10.
Una fábrica que produce tres calidades de
pantalones fijó los precios de venta en
(x+10), (3x+6) y (2x+1) nuevos soles.
Si además mantuvo una producción cons-
tante de 5x2
unidades por cada tipo de
pantalón, determina el polinomio que re-
presenta en los siguientes casos.
a. El ingreso total por cada tipo de pantalón
y el ingreso total de la fábrica.
b. El valor monetario de dichos ingresos
si x=10 y representa el costo promedio
de dichos pantalones.
11.
Dados los términos semejantes, calcula a · b.
P(x; y)=4xa+2
y5
; Q(x; y)=x4
yb
12.
Halla la suma de los términos semejantes.
F1(x; y)=(a+b)xb –1
yc – 3
F2(x; y)=(c – a)x 5 – b
y7 – c](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-31-320.jpg)
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Compendio escolar
32
Actividad en el aula N.o 2
Resuelve los siguientes ejercicios sobre valor numérico.
a. Si P(x )=3x+2, halla P(5x) – 5P(x ).
b. Dada la expresión
F
x x
x
( ) =
+
1
2
, calcula F(2)+F(3)+F(4)+F(5).
c. Si P(x )=5x+n y P(n )=3, calcula 2n.
d. Si se sabe que f
a
a
a
( ) =
+
−
2
1
,
halla F [F [F [F (2)]]].
e. Si P(x )=mx+n, además P(12)=1, P(6)=0,
calcula P(18).
f. La gráfica muestra las velocidades y tiempos
utilizados por dos autos que partieron del
mismo punto.
V(m/s)
V2=5x+15
t(s)
t1=x+5
t1= x+1
V1=20x+10
q Halla el polinomio de las distancias reco-
rridas por los dos autos.
q Para x=1, ¿cuántos metros recorrió el
primer auto?
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Suprima los símbolos de agrupación y re-
duzca los términos semejantes.
R(x )=2x+(3x – x2
) – (– x2
+4x)
S(y)=3y – (5y2
+4)+(– 4y+9y2
)+7
T(x; y)= – (x2
+2y)+[– 3x2
– y]+3y
U(y)=7y2
+y3
– [– 8y3
+3y2
– 2y3
]+(5 – y2
)
V(x )=–{4xm
– (2xm
+4)+[(– xm
+2) – 2]}
2. Dado P(x )=x2
– 4x+3,
calcula P(–1)+P(– 3).
3. De la expresión F
x
x
x
( ) =
+
−
1
1
,
calcula F(3) · F(5) · F(7) · F(9).
4. Si P(x)=(x –1)3
+(x+2)2
+10,
calcula
P P
P P
2 1
1 2
( ) ( )
−
( ) −
( )
−
−
.
5. Si P(x )=x2
– 3x+1,
calcula
P P
P P
−
( ) −
( )
( ) ( )
+
−
2 1
4 3
.
6. Si los términos
A(x; y)=5xa+1
y12
y
B(x; y)=8x4
yb+5
son semejantes, halla la suma
de términos.
7. Si los términos
P(x; y)=(m – 2)x8
yn
y
Q(x; y)=(n+4)x m
y5
son semejantes, halla la
suma de términos.
8. Reduzca
a. P(x; y)=5x3
y – 3x 3
y+x 3
y – 2x 3
y
b. Q(x; y)=13xy2
+xy2
– 12xy2
+5y2
c. R(x; y)=5xy2
– 3x2
y+3xy2
+5x2
y
d. T(x; y)=6xy2
– 3x3
y – 5xy2
+4x3
y
e. S(x; y)=13x5
y6
+(6 – b)x 5
y6
– (b+10)x 5
y6](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-32-320.jpg)
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de secundaria 33
Colegio Bertolt Brecht
Álgebra
9. Si los términos
A(x; y)=2bxb+1
y5
y B(x; y)=3ax4
y2a+1
son semejantes, calcula
A x y B x y
A x y B x y
; ;
; ;
( )− ( )
( )+ ( )
.
10.
Si la expresión P(x; y)=bxa+1
y8
+ax4
yb+6
se re-
duce a un solo término, calcula (a – b)2
.
11.
Reduzca los siguientes polinomios.
a. N(x; y)=–{–(2x – y)+x}+5y – (x – 2y)
b. H(x )=– 2x 2
– (x+2x2
) – (x – 2x)2
+5x
c. A(x; y)=5x
– (x+2) – {2x+9y
– [5x
– (3y
–
x+2)]}
12.
Sea la expresión matemática T(x )=2x
– 2x –1
,
calcula T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5).
polinomio. Expresión algebraica que contiene variables y operaciones de adición, sustracción, multiplicación
y potenciación.
valor numérico. Resultado numérico que se obtiene al reemplazar la variable del polinomio y al efectuar
operaciones.
Glosario](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-33-320.jpg)
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Compendio escolar
34
7
TEMA Operaciones con polinomios
Objetivo
Resolver ejercicios con adición y sustracción de polinomios.
adición de Polinomios
Para sumar dos o más polinomios, debemos te-
ner en cuenta el siguiente esquema.
P(x)=ax2
+bx+c
Q(x)=mx2
nx+r
P(x)+Q(x)=(a+m)x2
+(b+n)x+(c+r)
+
Si no encuentras términos semejantes, deja es-
pacios en blanco y completa con cero.
Ejemplo
Si P(x)=5x2
+3
Q(x)=3x2
+8x+2,
calcula P(x)+Q(x).
Resolución
∴
P(x)=5x2
+0x+3
Q(x)=3x2
+7x+5
P(x)+Q(x)=(5+3)x2
+7x+(3+5)
P(x)+Q(x)=8x2
+7x+8
+
sustracción de Polinomios
En la sustracción de polinomios podemos tomar
la siguiente equivalencia.
P(x) –Q(x)=P(x )+[–Q(x)]
donde
–Q(x) es el opuesto de Q(x) y se obtiene cam-
biando de signo todos sus coeficientes.
Ejemplo
Si P(x)=7x2
+3x–4
Q(x)=3x2
–2x+3
calcula P(x) –Q(x).
Resolución
P(x)=7x2
+3x–4
–Q(x)=–3x2
+2x–3
P(x) –Q(x )=(7–3)x2
+(3+2)x+(–4–3)
P(x) –Q(x )=4x2
+5x–7
+
Actividad en el aula
1. El señor Mauro tiene un terreno de forma
rectangular, cuyas medidas se muestran en
el gráfico.
x2
+5
2x +6
2. A partir del gráfico, responde.
a. ¿Qué polinomio representa el perímetro
de dicho terreno?
q Primera forma
.........................................................
q Segunda forma
.........................................................
b. ¿Qué operación realizaste para calcular
el perímetro?
..............................................................
..............................................................
3. ¿Qué polinomio representa la diferencia en-
tre el largo y ancho de dicho terreno?
....................................................................
....................................................................
¿Qué operación realizaste?
....................................................................
4. ¿Qué polinomio representa el área de dicho
terreno?
....................................................................
....................................................................](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-34-320.jpg)
![Álgebra
Compendio escolar
44
Actividad en el aula N.o 2
En cada caso, aplica la propiedad de binomio
al cuadrado y halla el valor de las expresiones.
1. Reduce la expresión
8 8 6 6 3
+
( ) −
( ) + +
( ) −
( ) −
x x x x .
2. Halla el valor de E.
E x x x x
= +
( ) −
( ) + +
( ) −
( )
13 13 12 12
3. Efectúa
(x – 2)(x + 2) + (x + 3)(3 – x).
4. Calcula
M = [(x + 13)(13 – x) + (x + 12)(x – 12)]0,5
.
5. Reduce
(x + 4)(x – 4) – x2
.
6. Reduce
K = +
( ) −
( )
4 3 1 3 1
3
.
7. Encuentra la regla de correspondencia y
halla la expresión
a a a
+
( ) −
( ) +
( )+
2 2 2 16
2 2
.
8. Efectúa
(4x + 5)(4x – 5) + 25.
9. Halla el valor de x en
(x – 1)2
– (x – 3)(x – 3) = 0.
10.
La suma de dos números es 21 y la diferen-
cia de los mismos es 3. Calcula la diferencia
de los cuadrados de dichos números. ¿Cuá-
les son los números?
11.
Realiza las siguientes multiplicaciones.
a. (x + 8)(x – 8)
b. (2x + 3)(2x – 3)
c. (7m + 5)(7m – 5)
d. (3m2
+ 8p3
)(3m2
– 8p3
)
e. (x +3)(x – 3)
f. (5x +y)(5x – y)
g. (7m2
+ 3p3
)(7m2
– 3p3
)
h. (a4
b2
+ 2p3
q5
)(a4
b2
– 2p3
q5
)
12.
Reduce
2 3 2 3 9
2 2
a a
a
+
( ) −
( ) +
.
13.
Si x – y = 1, reduce
(x + y)(x2
+ y2
)(x4
+ y4
)(x8
+ y8
) + y16
.
14.
Reduce
5 5 2
2
m p m p p
m
+
( ) −
( )+
.
15.
Efectúa
2 4 10 82 1
4
⋅ ⋅ ⋅ + .](https://image.slidesharecdn.com/2seclgebra2-220829165917-5908a33d/85/2Sec_ALGEBRA-2-pdf-44-320.jpg)
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- 4. resentación l colegio BertoltBrecht saluda a los padres de familia y estudiantes por la confianza depositada en nuestra institución, la cual tiene por misión brindar una educación integral en sus múltiples dimensiones, a través de la enseñanza de la ciencia, el arte y el deporte, para la formación de ciudadanos conscientes y comprometidos que aporten al engrandecimiento de nuestra sociedad. Es así que, en esta oportunidad, se pone a disposición de los estudiantes este cuaderno de trabajo, que será una herramienta de apoyo en el proceso de enseñanza-aprendizaje y que contribuirá al logro de los objetivos curriculares. Este material educativo permitirá al estudiante consolidar su aprendizaje en las diferentes materias del grado. La comunidad educativa saluda y reconoce el trabajo de todos los profesores que participaron en la elaboración del presente texto, donde se plasman sus conocimientos y experiencias adquiridas en esta labor tan importante como es la de educar. Finalmente, deseamos saludar al personal técnico-administrativo que participó en la elaboración de este importante libro en beneficio del alumno y, asimismo, de la sociedad. resentación
- 5. ndice Índice Índice Í Í Í Í Í Í ÍÁlgebra Tema 1. Potenciacióny sus propiedade 7 Tema 2. Radicación 12 Tema 3. Expresiones algebraicas 18 Tema 4. Polinomios 21 Tema 5. Polinomios especiales 26 Tema 6. Valor numérico 29 Tema 7. Operaciones con polinomios 34 Tema 8. Productos notables 36 Tema 9. Productos notables: diferencia de cuadrados 42 Tema 10. Productos notables: producto de binomios con un término común 46 Tema 11. Productos notables: desarrollo de un binomio al cubo 50 Tema 12. División de polinomios 53 Tema 13. División de polinomios: método de Horner 57 Tema 14. División de polinomios: regla de Ruffini 62 Tema 15. Teorema del resto 65 Tema 16. Ángulos 70
- 6.
- 7. 2.o de secundaria 7 ColegioBertolt Brecht Álgebra 2. De acuerdo con las definiciones, escribe dos ejemplos de cada una de ellas. Exponente positivo ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... ........................................... a° = 1 Exponente cero Exponente negativo D E F I N I C I O N E S veces ... n n a a a a × × × 1 n n a a − 1 TEMA Potenciación y sus propiedades Objetivos Identificar los conceptos de exponentes positivo, cero y negativo, y aplicarlos en la resolución de ejercicios. Aplicar las propiedades de potenciación en la resolución de ejercicios y problemas. Una profesora comunica a sus dos delegados los acuerdos para una activi- dad de integración. Cada uno de los delegados comunicará a dos compañeros más, y cada uno de ellos deberá comunicar a otras dos compañeras y así sucesivamente. q Representa esta situación mediante un diagrama. q Solo en el quinto proceso, ¿cuántas personas sabrán luego de ocho proce- sos similares? q ¿Cuántas personas sabían de los acuerdos luego de ocho procesos similares? q En forma abreviada, ¿cómo podrías expresar cada multiplicación? q ¿Qué nombre recibe esta nueva operación? q ¿Cuántos elementos intervienen en la potenciación?, ¿cuáles son? Actividad en el aula N.o 1 1. Indica la base (B), el exponente (E) y la respectiva potencia (P) de cada uno de los ejemplos. a. 53 =125: B: .......... E: .......... P: .......... b. (–3)4 =81: B: .......... E: .......... P: .......... c. 6 1 216 3 − = : B: .......... E: .......... P: .......... d. 1 3 9 2 = − : B: .......... E: .......... P: .......... e. 2 3 16 3 4 = B: .......... E: .......... P: .......... f. –42 =–16: B: .......... E: .......... P: ..........
- 8. Álgebra Compendio escolar 8 3. Leecon atención las indicaciones. a. Del punto de partida y utilizando los movimientos del caballo como en el juego del ajedrez, llega a la meta. b. En cada movimiento debes efectuar una potenciación, donde la posición inicial será la base y la posición final será el exponente. Para el siguiente movimiento, la nueva posición será la nueva base. c. Todos los resultados que obtengas regístralos en el tablero. Gana el que obtenga la menor suma. N.o de movim. Resultados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Suma total Partida 2 64 3 77 102 –12 301 1 0 31 10 13 21 7 4 –1 20 3 7 1 28 4 60 78 7 50 71 8 40 89 2 51 19 – 2 102 19 3 5 47 79 9 1 18 6 120 1 73 2 13 19 –3 9 43 2 0 89 4 29 30 17 4 301 56 5 Meta 4. Calcula las siguientes potencias. a. (–2)4 e. 50 b. –22 f. 2 7 2 − c. 4 3 1 − g. –24 d. 03 h. (–3)–4 5. Efectúa 2 –1 +2 – 2 +2 – 3 +2– 4 . 6. Reduce la expresión 1 9 1 3 1 2 1 1 3 1 − − − − . 7. Efectúa 1 2 4 0 2 2 9 1 3 3 3 2 3 + ( ) + − − − , . exponente natural. Es el que nos indica el número de veces que se repite la base como factor. potenciación. Es una operación matemática que consiste en hallar la potencia, a partir de dos expresiones llamadas base y exponente. Glosario
- 9. 2.o de secundaria 9 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad en el aula N.o 2 1. Desarrolla las operaciones utilizando las propiedades de potenciación. a. 59 · 57 b. 24 · 29 c. 24 · 29 d. (– 5)9 · (– 5)11 e. 1 4 1 4 6 4 ⋅ − f. 3 7 3 7 9 5 ⋅ − g. 8 – 9 · 8 – 6 h. 2 –11 · 2 –13 i. 53 · 57 · 5 – 6 j. 2 · 22 · 23 · 24 · 25 2. Expresa como una multiplicación de bases iguales. a. 5x+2 d. 8a+5 b. 7m+3 e. 11a – 2 c. (– 2)x+6 3. Aplica la propiedad de división de bases iguales. a. 2 2 7 3 d. 5 5 1 6 − − b. 5 5 9 4 e. 8 8 4 5 − c. − ( ) − ( ) 2 2 3 9 4. Expresa como una división indicada de ba- ses iguales. a. 2x – 3 d. 13x –1 b. 5m – 6 e. 9m – 7 c. 8a – 5 Actividad en el aula N.o 3 1. ¿Qué número continúa en las siguientes su- cesiones? a. 1; 4; 9; 16; 25; ... b. 2; 9; 28; 65; ... c. 4; 9; 25; 49; 121; ... 2. Calcula el valor de A = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 1024 ... ... veces veces . 3. Si 3x+1 =81 y 2y+2 =8, calcula el valor de x+y. 4. Una partícula colisiona con otra, desinte- grándola en dos partículas. Estas últimas también colisionan con otras dos partículas desintegrándolas en dos, respectivamente. Se origina una reacción en cadena, como se muestra en el gráfico. ¿Cuántas partículas se habrán desintegrado luego de 13 procesos similares?
- 10. Álgebra Compendio escolar 10 5. Reduce 53 3 3 3 3 3 9 9 30 27 + + + ( ) + + + ( ) + + ... ... ... veces veces + + ( ) + + + ( ) 9 9 9 9 5 5 veces veces ... e indica el exponente final de 3. 6. Reduce las siguientes expresiones. a. 8 4 16 10 8 11 ⋅ b. 7 7 7 4 5 3 72 10 ( ) ( ) ⋅ c. 6 6 6 1 n n n + + d. 2 2 2 2 1 2 3 x x x x + + + + + e. 5 5 5 5 5 5 2 3 230 4 2 3 24 3 2 32 ( ) ⋅ ⋅ ( ) ( ) ⋅( ) ⋅ f. 12 15 10 8 27 625 6 8 2 5 4 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 7. A partir de la condición 5–x =3, calcula el va- lor de 25x . 8. Reduce 5 5 5 5 5 5 5 12 13 2 52 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + n n ... veces . 9. A partir de la igualdad 32 x+1 =94 , calcula x2 . 10. Indica la verdad (V) o falsedad (F) según co- rresponda. a. 24 =42 ( ) b. an =na ( ) c. (2008)0 =12008 ( ) d. (5+1)2 =52 +12 ( ) e. (a+b)2 =a2 +b2 ( ) 11. Se sabe que a a a a a n ⋅ ⋅ = ... 3 33330 veces . Calcula n − 7 5 . 12. ¿Cuánto gastó después de siete semanas aquel que gasta siete soles por día? 13. ¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra BERTOLT? B B E B B E R E B B E R T R E B B E R T O T R E B B E R T O L O T R E B B E R T O L T L O T R E B 14. Si 3x+2 =45, calcula el valor de 3x . 15. ¿Cuál es el exponente final de 3 en 322 ×(34 )2 ×922 ? 16. Reduce la siguiente expresión. a. 42 49 6 10 5 8 ( ) ⋅ b. 3 3 3 3 2 1 n n n + + + + 1. Si se cumple la igualdad 2×4×8×16×32×64=2m , ¿cuál es el valor de m? 2. Luego de reducir la expresión 3 3 2 2 5 5 30 28 30 26 25 23 + − , ¿qué se obtiene? 3. Al efectuar (274 )5 – (96 )5 , ¿cuál es el valor que resulta? 4. Reduce la siguiente expresión. 6 10 30 4 6 8 6 4 ⋅ ⋅ 5. Se divide una región triangular en cuatro partes iguales, luego se vuelve a dividir cada parte en otras cuatro, y así sucesivamente, seis veces. ¿En cuántas regiones triangula- res se ha dividido la región inicial? Represen- ta gráficamente. Actividad domiciliaria
- 11. 2.o de secundaria 11 ColegioBertolt Brecht Álgebra 6. Al reducir la expresión x x x x 15 22 5 23 2 3 4 ⋅( ) ⋅ ( ) , ¿qué se obtiene? 7. Halla el equivalente de 1 2 1 2 2 − − . 8. Reduce las siguientes expresiones. a. 2 2 3 3 5 4 2 3 − − − − + x x x x b. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 22 24 26 28 30 17 19 21 23 25 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 9. Si ab =2, reduce a a a a b b + + + − 3 2 2 2 2 . 10. Calcula el resultado de las siguientes expre- siones. a. [–9+6 – 3 – 2 – 9+1]2 b. [+24 –18+9+6]3 11. Indica el opuesto del resultado de (– 2)5 . 12. Completa el valor que falta en el casillero co- rrespondiente. a. (–3)4 = b. 3 = –125 c. (– 2) = – 32 Da como respuesta la suma de dichos valores. 13. Escribe un número en el casillero para que se verifique la igualdad. − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) − ( ) = − ( ) 5 5 5 5 5 5 21 4 29 2 2 14. Simplifica a a a a a a 7 2 17 12 8 3 + + . 15. Reduce 2 2 2 2 1 2 3 1 x x x x + + + + + + . 16. Si a=162 y b=216 , reduce a b b a ab ( ) ( ) 16 20 2 . 17. Halla x si 23x+5 =((16)2 )4 . 18. Indica verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda. a. [[(– 3)2 ]0 ]31 =–1 ( ) b. – 34 =+81 ( ) c. + ( ) − ( ) = − 9 3 3 2 3 ( ) 19. Indica verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda. a. (– 5)2 =+25 ( ) b. (– 3)3 =– 27 ( ) c. (– 7)3 =– 243 ( ) d. (+2)3 = – 8 ( ) 20. Indica el resultado de − + − + − ( ) + 5 27 9 3 14 3 4 . 21. Calcula el valor de 7 5 3 5 7 0 1 1 + + − − . 22. Reduce la expresión T = + − 5 5 2 2 3 3 25 23 6 5 12 10 . colisión. Choque, encuentro violento de dos o más cuerpos. propiedad. Regla operativa que permite establecer por deducción una teoría. Glosario
- 12. Álgebra Compendio escolar 12 2 TEMA Radicación Objetivos Identificar los conceptos de radicación y exponente fraccionario. Aplicar las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios. Las primeras grandes civilizaciones de la humanidad se asentaron en los fértiles valles de los ríos Nilo (Egipto), Éufrates y Tigris (Mesopota- mia), Indo (India) y Yangtsé (China). Estas civilizaciones desarrollaron conocimientos matemáticos que se reducían fundamentalmente a una colección de consejos y recetas. La matemática surgía entonces como solución a los problemas cotidianos. A partir del siglo vi a.n.e., la actividad intelectual se trasladó, desde los grandes valles al Mediterráneo. Thales de Mileto (624-548 a. n. e.) y Pitágoras de Samos (580-500 a.n.e.) son las dos figuras más represen- tativas de aquella época en la que se supo recoger el saber matemático de las antiguas civilizaciones e iniciar el cambio de la matemática prac- ticada en forma de recetas a la ciencia axiomática deductiva que hoy conocemos. Teorema de Pitágoras En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Si se conocen las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, aplicando el teorema de Pitá- goras se puede calcular la longitud del otro lado. Inténtalo. Las antiguas civilizaciones y la matemática c2 = a2 + b2 a = .............................. b = .............................. c = .............................. a2 c2 c b a b2 Investiga y luego redacta. ¿Cuál es el pensamiento de los pitagóricos respecto a los números en relación con la naturaleza y la forma de comprender y explicar el mundo? y ¿Qué opinas al respecto? ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................
- 13. 2.o de secundaria 13 ColegioBertolt Brecht Álgebra Ahora realiza las actividades 1. Encuentra el nombre de cada elemento de la radicación en el pupiletras. N E L A B E R T N I N D J A R N C I Z A R D U A N N D I N D I A N A M I D O D N A C I D A R I N I N D I R C U A D R O Z I A R A E Z O I D A R A 2. Analiza la siguiente igualdad intercambiando ideas con tus compañeros. a b a b n n n ⋅ = ⋅ Observación • En los números reales, la raíz es única. • En adelante x x 2 = , y se lee “raíz cua- drada de x”. ¿Sabías que...? El símbolo de la raíz cuadrada fue utili- zado por primera vez por Leonardo de Pisa en 1220. Este signo proviene de la palabra latina radix, de la que deriva el término español raíz. 3. A continuación, completa la regla de signos, la cual determina la existencia de la raíz en los números reales R. − ( ) = par ..... − ( ) = impar ..... + ( ) = par ..... + ( ) = impar ..... 4. Ahora completa la siguiente tabla. Radicación Índice Radicando Raíz 16 2 4 = 9 3 = 64 4 3 = − = 125 5 3 −4 Recuerda que... Exponente fraccionario donde m n fracción irreductible Ejemplos 1. 6 6 6 3 4 3 4 3 4 = = 2. 8 8 8 2 4 2 3 2 3 2 3 2 = = = = Consecuencia a a a n n n 1 = ; si existe Ejemplos 1. 5 5 5 1 2 2 = = 2. 2 2 1 3 3 =
- 14. Álgebra Compendio escolar 14 Actividad enel aula N.o 1 1. Calcula la raíz si existe. a. −216 3 b. 625 4 c. 169 d. 0 6 e. −9 4 f. ¿Existe ? 27 g. ¿Existe ? 16 4 − h. ¿Existe ? 9 1 2 2. Escribe el equivalente de las siguientes expresiones. a. 5 1 2 b. 1440,5 c. 60,2 d. 9 2 e. 13 f. a 1 2 g. x 1 5 h. b 5 3. Escribe el equivalente y reduce. a. 5 3 2 b. 27 2 3 c. 64 5 d. 81 3 e. 128 5 f. 3 1 5 g. x5 5 h. xn n 4. Encuentra el número que falta. 1 2 3 5 8 13 21 ; ; ; ; ; ; ;... 5. Relaciona correctamente con una flecha. a. 8 3 q q 62 b. 243 5 q q a c. 216 3 q q 2 d. x7 3 q q No definido e. a0 5 , q q x2 3 , f. a0 25 , q q 9 g. 27 3 − q q a 4 6. Indica cuáles de los siguientes enunciados son correctos. a. 25 5 = ± : ........................... b. − = − 64 4 3 : ......................... c. − = − 32 32 5 5 : ..................... d. − = − 9 9 3 2 3 : ....................... 7. Compara las siguientes expresiones. 16 256 25 4 10000 2 2 3 3 5 + + . 8. Reduce 8 16 4 3 3 4 + e indica la suma de cifras del resultado. 9. Calcula el valor de R si R = + + − 8 50 18 32 8 . 10. Si xy–1 =8, calcula 2 2 x y x y + . 11. Simplifica A = + 20 4 2 6 7 12 5 .
- 15. 2.o de secundaria 15 ColegioBertolt Brecht Álgebra 12. Al reducir la expresión 75 3 54 2 48 3 3 3 4 4 + + , ¿qué se obtiene? 13. Reduce x y y x xy 3 3 3 . . 14. Si se sabe que ab=25 y {a,b} ⊂ R+ , calcula el valor de a b b a . 15. Reduce la expresión 9 3 90 2 2 2 1 n n n n + + + + . 16. Simplifica 2 2 4 3 2 3 ( ) . ¿Sabías que...? Leonardo de Pisa (hacia 1180 -1250) es también conocido con el nom- bre de Fibonacci (hijo de Bonaccio). Acompa- ñando a su padre, un comerciante de la ciu- dad de Pisa, viajó por el norte de África y el Próximo Oriente, donde aprendió las matemáticas indias y, en especial, el uso de la numeración ará- biga. En 1202, de vuelta a Pisa, escribió Liber Abaci, en el que introdujo las cifras arábigas, el cero y el sistema posicional de numeración. Sin embargo, su contri- bución al desarrollo de las matemáticas no tuvo el eco merecido hasta que fue inventada la imprenta y su obra pudo ser ampliamente divulgada. Actividad domiciliaria N.o 1 1. Efectúa 16 27 81 1 4 2 3 0 25 + − , . 2. Reduce 8 8 16 16 4 3 4 3 3 4 + + . 3. Reduce la expresión 27 36 25 2 3 1 2 1 2 1 1 2 − − − − + + + . 4. Efectúa 32 125 49 81 25 4 5 3 + + − . 5. Si M = 3 3 3... y N = 64 64 64..., calcula el valor de M+N. 6. Reduce la expresión 2 32 1 4 3 30 5 2 2 5 5 + − − + − − [ ] . 7. Reduce 1 2 2 1 3 1 3 2 2 3 0 5 + + − − − , . 8. Reduce la expresión 2 16 1 3 3 30 4 2 2 5 5 − − + − − [ ] . 9. Reduce la expresión 3 3 2 2 2 10 9 8 4 3 − − − x . 10. Reduce la expresión 2 2 4 4 1 15 13 315 314 1 + + − . 11. Efectúa y y y y 7 6 5 6 4 6 2 6 . . . . 12. La expresión 1 16 8 4 5 3 se reduce a...
- 16. Álgebra Compendio escolar 16 13. Indica laverdad (V) o falsedad (F) de las si- guientes proposiciones. a. 2 5 7 2 5 7 7 7 ⋅ ⋅ = ⋅ ( ) b. 13 17 13 17 13 13 13 = ( ) c. 22 22 5 3 3 5 = ( ) d. 9 4 9 4 + = + ( ) e. 89 89 16 2008 2 251 = ( ) 14. Calcula 1 4 1 16 1 8 1 2 1 6 1 12 1 9 1 3 + + . 15. Efectúa 25 64 81 2 1 3 1 4 1 − − − + + . 16. Compara ambas expresiones 5 5 3 9 9 9 3 3 3 3 9 6 4 3 2 . . . 17. Halla la raíz cúbica de 8 8 8 8 2 3 2 2 5 4 3 ( ) . 18. Efectúa 5 5 5 5 3 6 . . . 19. Si el exponente final de x en x x n . es 7/4, calcula n. 20. Calcula 5 5 3 2 3 9 . . . 21. Halla el valor de E a b b a = . si se sabe que ab = − 2 4 3 . enunciado. Conjunto de datos con los que se expone un problema matemático. proposición. Enunciado susceptible de ser demostrado. Glosario Actividad en el aula N.o 2 1. ¿Cuál es la longitud del lado de un terreno de forma cuadrada cuya área es 1369 m2 ? 2. Calcula la raíz cuadrada de 8 8 16 16 4 3 4 3 3 4 + + . 3. La expresión 1 16 8 32 5 3 ¿a qué se reduce? 4. Simplifica la expresión x x x x x x x x x x . . . . ... . . . . . ... . 2 3 4 20 3 2 3 3 3 4 3 20 3 . 5. Halla A B AB + si se tiene que A B = = 5 5 5 81 81 81 5 5 5 ... ... y 6. Compara las siguientes expresiones. 4 81 7 7 9 1 2 8 2 16 1 4 4 + − . . . 7. Halle el valor de x si 8 27 27 3 2 2 2 2 2 2 x = . .
- 17. 2.o de secundaria 17 ColegioBertolt Brecht Álgebra 8. Simplifica 9 9 90 2 1 1 n n n n + + + + . 9. Calcula x+y. x y = = + + + 7 7 7 6 6 6 ... ... 10. Halla n si x x x n 3 3 4 8 8 0 = ; . 11. Si ab= 81, calcula ab a b . . Actividad domiciliaria N.o 2 Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios y/o problemas de potenciación y radicación. 1. Calcula L = + 16 46 3 2. Si se sabe que J = + 16 3 3 4 27 12 15 , halla J −1. 3. Halla la raíz cuadrada de 251/2 +360,5 +161/4 +811/4 . 4. Reduce 2 2 4 4 1 15 13 315 314 1 + + − . 5. Efectúa y y y y 7 6 5 6 4 6 2 6 ⋅ ⋅ ⋅ . 6. Reduce 2 2 5 5 715 713 315 314 + . 7. Reduce T = + − 5 5 2 2 3 3 26 23 16 15 5 . 8. Reduce 2 16 2 5 25 4 4 1 4 8 3 + − . 9. Al reducir la expresión 75 3 54 2 48 3 3 3 4 4 + + , ¿qué se obtiene? 10. Reduce la expresión x y y x xy ⋅ ⋅ 3 . 11. Reduce la expresión F = + − − − 2 32 1 4 30 5 2 . 12. Efectúa 1 3 1 4 2 2 + − − . 13. Reduce la expresión − ( ) + − ( ) 2 8 3 2 3 5 . 14. Efectúa la operación 27 36 25 2 3 1 2 1 2 1 1 2 − − − − + + + . 15. El piso de una habitación de forma cuadran- gular tiene 400 baldosas. ¿Cuántas baldosas cuadrangulares tiene por lado? 16. Comenta sobre el significado de “La raíz de los problemas sociales es la desigualdad social”.
- 18. Álgebra Compendio escolar 18 3 TEMA Expresionesalgebraicas Objetivos Reconocer y reducir términos semejantes. Resolver diferentes ejercicios con expresiones algebraicas. eXPresión algebraica La expresión que enlaza variables y/o cons- tantes mediante un número finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, po- tenciaciones, y/o radicaciones, y donde los exponentes e índices son constantes; se llama expresión algebraica. La representación simbó- lica, que nos permite reconocer quienes son las variables y constantes de una expresión alge- braica se llama notación matemática. Ejemplos 1. En la expresión F x x x x ( ) = − + 2 3 5 3 2 Variables: Constantes: 2. En la expresión F x y xy xy x y ; ( ) − = − + 5 3 2 2 5 3 Variables: Constantes: 3. En la expresión F x xy z x y z ; ; / ( ) − = + − 4 3 2 1 3 2 Variables: Constantes: 4. Escribe dos ejemplos de expresiones alge- braicas. .................................................................... .................................................................... Actividad en el aula 1. Indica las variables y constantes de las si- guientes expresiones algebraicas. a. F x x x x ( ) = − + 2 3 5 5 2 Variable: ................................................ Constante: ............................................. b. G x y y x y x y ; ( ) = − + 7 3 2 2 Variable: ................................................ Constante: ............................................. c. H x y xy x y z ; ; / / ( ) = + π 1 3 1 2 7 Variable: ................................................ Constante: ............................................. d. R x y x x x y ; / / ( ) − = + + 2 3 4 5 3 1 1 5 1 3 2 Variable: ................................................ Constante: ............................................. 2. Las siguientes expresiones ¿son algebrai- cas? ¿Por qué? a. A(x)=1+x+x2 +x3 +x4 +... .............................................................. .............................................................. b. B(x; y)=2y+xy+3x .............................................................. .............................................................. c. C y x y y x y x ; ( ) = + + 2 3 .............................................................. .............................................................. 3. Reduce Q(x; y)=10x2 y–4xy2 –5x2 y+8xy2 . Q(x; y)=.......................................................... Q(x; y)=..........................................................
- 19. 2.o de secundaria 19 ColegioBertolt Brecht Álgebra 4. Reduce R(a; b; c)=5ab – 8bc+7ba+10bc R(a; b; c)=........................................................ 5. Reduce P(x; y; z)=xyz+3x2 yz – 4xy2 +5I+5xy2 z –10xy2 P(x; y; z)=........................................................ P(x; y; z)=........................................................ 6. Halla a+b si los siguientes términos A(x; y)=5x a+1 y12 ; B(x; y)=8x4 yb+5 son semejantes. 7. Si los términos A(x; y)=(m – 2)x 3 yn ; B(x; y)=(n+3)x m y 2 son semejantes, calcula la suma de los términos. 8. Halla a+b si los siguientes términos son se- mejantes. P(x; y)=2x 2a –1 y5 ; Q(x; y)=8x5 y3b –1 9. Si los siguientes términos A(x; y)=5x 3a+2 y7 ; B(x; y)=3x11 y2b – 5 son semejantes, calcula (b – 2a)99 . 10. Si los siguientes términos P(x; y)=3x 2a+b y8 ; Q(x; y)=2x7 ya+2b son semejantes, calcula a+b. 11. Reduce los términos semejantes consideran- do los símbolos de agrupación. a. P(x)=–(2x – x2 )+[2x 2 +3x] P(x)=....................................................... P(x)=....................................................... P(x)=....................................................... 12. Reduce las siguientes expresiones. a. H(x)=4x – x – 2x b. P(a)=5a – 8a+3a c. R(y)=– 6y4 – y4 +10y4 13. Reduce las siguientes expresiones. a. M z z z z z ( ) = − − − 1 2 1 3 3 2 4 3 5 6 5 6 b. N b b b b b ( ) = − − − 1 5 3 4 4 5 2 5 4 2 4 2 c. H(a; b)=– 9b+3ab2 – 7b – ab2 d. T(a; b; c)=2a+4b – 5c – 4a+b+c e. R(x; y; z)=xyz – 3xz+8xyz+xz f. P(x)=ax+bx+cx 14. Reduce los siguientes términos semejantes. M(x; y)=2x3 y5 +9x3 y5 +8x3 y5 – 20x3 y5 N(x; y)=2x2 y – 3x3 y2 +5x2 y+8x3 y2 – 4x2 y+6x3 y2 P(x; y)=3xy2 +(b+2)xy2 +(3 – b)xy2 15. Al reducir la expresión P(x)=ax a –2 +bx b – 3 +5x5 se tiene P(x)=20x5 . Calcula (b – a)3 . 16. Al reducir la expresión Q(x; y)=2ax2a+b y2 +3bx8 y2 , se tiene Q(x; y)=12x8 y2 . Calcula (a – b)2004 . Actividad domiciliaria 1. Identifica y escribe los elementos de cada uno de los términos algebraicos. a. 52 6 4 x y b. − 2 5 4 6 m np 2. Si16 9 2 11 x y z m y a x y z n p 2 2 5 3 4 son términos se- mejantes, calcula el valor de a+m+n+p. 3. Si 4 5 5 3 2 3 5 2 9 ax y ay x n m m n − − + + = , calcula el mayor valor de a+m+n. 4. Si la expresión algebraica 5 3 4 2 3 4 5 1 x x ax n m k + − − se reduce a 4x 9 , calcula el valor de 8 7 a m n k + + + .
- 20. Álgebra Compendio escolar 20 5. Simplifica 7 30 7 30 7 30 1 75 1 75 1 25 xx x x x + + + − + + + ... ... veces 7 75 25 x veces . 6. Si los términos A(x; y)=(m – n)xm y B(x; y)=(m+n)x2 · y6 – n son semejantes, calcula m n n m m + − . 7. Reduce x x x x + + + ( ) + + ( ) − ( ) 1 2 4 3 9 3 2 . 8. La figura que se muestra es un rectángulo. 3x 2x+5 a. ¿Cuál es el menor valor natural de x para que la figura mostrada exista? Funda- menta tu respuesta. b. Determina la expresión algebraica que represente al perímetro. c. Determina la expresión algebraica que represente el área de dicha figura geomé- trica. 9. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyo largo es dos veces más que su ancho. En una de sus esquinas se desea construir un ambiente cuyas dimensiones son la sexta parte del largo y la cuarta parte del ancho del terreno total. Calcula el perímetro de dicho ambiente. 10. Averigua y crea un problema sobre expre- siones algebraicas que tenga que ver con las actividades comerciales. 11. Reduce las expresiones algebraicas. a. 3x2 – 5(x – 2x2 ) – 11x2 +x b. 9a+2a(a3 – 5b) – 8ba+18ab+5 c. 3 4 1 4 1 4 3 4 3 n m m n m + + + + 12. Si A=4x6 – 2x3 +4x+5y B=–3x3 – 4x6 +4x+3+x2 , calcula A+B y A – B.
- 21. 2.o de secundaria 21 ColegioBertolt Brecht Álgebra 4 TEMA Polinomios Objetivos Conocer los polinomios de una o varias variables y sus elementos. Conocer las diversas propiedades de los polinomios. Conocer algunos polinomios especiales. Las tablas de arcilla babilónica que fueron halladas en la Mesopotamia mostraron que ya entonces se conocía el álgebra, es decir, el arte de contar empleando números, letras y signos, en el que cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. El gran impulso tomado por el álgebra vino de la mano de los matemáticos árabes que comenzaron a interesarse por las operaciones y las propiedades que se podían aplicar a cualquier número. En un principio se describían estas operaciones mediante frases muy extensas; las variables comenzaron a utilizarse en el siglo xvi por lo que las cifras se simplificaron, ya que fueron sustituidas por expresiones algebraicas. Durante ese siglo hubo tres hitos importantes en el desarrollo del álgebra. Cerca de 1515, el italiano Scipione del Ferro descubrió un método algebraico para resolver las ecuaciones de tercer grado y Girolamo Cardano, en su obra Ars Magna, consolidó el concepto de los números negativos ya elaborado por matemáticos anteriores, y explicó las leyes por las que se rigen. Un tema muy importante dentro del álgebra es el que relaciona los números, letras y operaciones básicas, conociendo esta expresión como algebraica. ¡Atención! Los polinomios aparecen en los lugares más inesperados, una molécula de ADN humano puede medir hasta un metro y, sin embargo, debe estar comprimida en una célula cuyo tamaño es de una 5 millonésimas de metro. A pesar de estas apreturas, cuando debe autoduplicarse, lo hace perfectamente sin ningún problema aparente. Para estudiar el modo como el ADN entrecruza y forma esos nudos tan particulares que le permiten mantener la estructura se utilizan diversos métodos matemáticos, entre ellos los llamados polinomios de Jones. ¿En qué otras cosas se pueden en- contrar y/o utilizar los polinomios? Origen y desarrollo del álgebra
- 22. Álgebra Compendio escolar 22 Propiedades El términoindependiente (TI) se calcula reem- plazando la variable por el número 0. En el polinomio P(x)=3x2 – 5 TI=P(0)=3(0)2 – 5= – 5 1. Identifica los elementos en cada polinomio. a. P(x)=5 – 2x variable .................... coeficientes .................... número de términos .................... grado .................... término independiente .................... b. R(y)=2y3 + 7y2 – 3 variable .................... coeficientes .................... número de términos .................... grado .................... término independiente .................... c. R(x)=3x3 +2x – 6x5 +7x4 – 2 variable .................... coeficientes .................... número de términos .................... grado .................... término independiente .................... d. L(z)=4z5 +6z – 3z 2 +7z3 +1 variable .................... coeficientes .................... número de términos .................... grado .................... término independiente .................... 2. En tu cuaderno, indica cuáles de las siguien- tes expresiones no son polinomios. Justifica tu respuesta. N y y ( ) = − 4 1 3 2 ( ) R(x)=5x3 – 2x+6x –1 ( ) U(z)=1+z+z2 +z3 +... ( ) M(y)=5+3y2 +8y1/3 ( ) 3. En el polinomio R(x)=6x5 – 10x4 +13, calcula grado+coeficiente principal+término independiente. 4. En P(x)=2x5–3n +5x3n+2 – 6x3 +1 si 0 n 3, n ∈ Z, calcula n2 +1. ¿Sabías que...? • Los polinomios están presentes en la física para calcular la velocidad. V=e/t donde e: espacio t: tiempo v: velocidad • En la geometría, para calcular el área de una superficie cuadrada. Área=x2 x: longitud del lado en metros La suma de coeficientes (SC) se calcula reem- plazando la variable por el número 1. En el polinomio P(x)=3x2 – 5 (SC)=P(1)=3(1)2–5=–2 Actividad en el aula N.o 1
- 23. 2.o de secundaria 23 ColegioBertolt Brecht Álgebra 6. Dado el polinomio Q(x; y; z)=5x2 yz, halla GR(x)=............... GR(y)=............... GR(z)=............... GR(Q)=............... 7. Dado el polinomio P(a; b)=a4 b3 – 2a2 b7 +5a3 b2 , halla GR(b)=............... GA(P )=............... 8. Dado el polinomio F(x; y)=1024xn+1 ym+4 . Si GRx(F )=6 y GRy(F )=9, calcula mn. 9. Calcula el valor de a si P(x; y)=24 x a ya+2 +12y a+5 x a – 2 +3x 3a +ya+7 , tiene GA(P )=15. 10. Calcula el grado del polinomio de P(x)=2x n – 5 +3x n – 3 – 7x7 – n . 11. Dados los monomios semejantes B(x, y)=(n+4)xm y3 C(x, y)=(m – 3)x4 yn Calcula la suma de sus coeficientes. 12. Si la expresión P(x )=axa – 2 +bx b – 3 +5x5 resulta ser un monomio equivalente a 20x5 , calcula (b – a)3 . 13. El monomio M(x, y) = 5x4a y3 es de grado 15. Calcula el valor de a. 14. Halla n en el siguiente monomio si es de 8° grado con respecto a x; y su grado absoluto es 15. M(x, y)= 2xn+p y2p –n 15. En el monomio M(x; y)=5xa+2b ya – 3 , se sabe que GRx=13 y GRy=2. Calcula a – b. 16. Si P(x, y)=3x4 y7 – 6x5 y2 +x2 y2 , calcula GA – GRx – GRy. 17. Si el GA del polinomio es de 9° grado, halla n. P(x )=2+x n +2xn+3 – 5x n+7 18. Del polinomio P(x, y)=2x m+2 – 6xm yn +7x m+1 yn+3 se conoce GRx=3 y GRy=7 Calcula el GA de P(x, y). 5. Halla el grado de las siguientes expresiones algebraicas como se indica en la tabla. Monomio GA GRx GRy GRz Polinomio GA GRx GRy GRz 3x7 y2 z5 P(x; y; z)=3xy+8x3 y2 –9x2 y4 3xyz P(x; y; z) =2x3 –6xy5 + 4x2 y3 1 2 2 3 x yz P(x; y)=x3 +2x3 y2 – 6x4 y3 M(x; y) = 8y2 x4 A(x; y; z) = –7xy3 + 4x2 y3 – 5x3 y M(x; y) = –3x3 z6 Q(x; y; z) = 2x3 yz4 +3x5 y – 7x2 z5 M(x; y) = 2x5 y4 z P(x; y; z) = 3x4 y2 z+2x3 z4 – 5z3 M(x; y) = –5x3 y7 B(x; y; z) = 6y3 z3 +5y2 – 6x3 y4 z
- 24. Álgebra Compendio escolar 24 Actividad domiciliariaN.o 1 1. Si en R(a; b)=3 · a3n –1 · bn – 2 , se sabe que GA=13, calcula GRa. 2. Si el siguiente monomio M(x; y; z)=– 4x a+1 yb+2 z4 es de GA=14 y GR(y)=GR(z), calcula a · b. 3. Dado el polinomio P(x; y)=xa yb +x a+1 yb+2 +xa+3 yb – 3 si GA=7, además a – b=2, calcula A=ab . 4. Si de P=3xn w3+n +2xn w2+n , se sabe que GA(P )=7, halla GR(w). 5. Calcula a si en el polinomio P(x; y)=5x3 y4 – 7xa+3 y8 +2xa+1 y11 , se cumple que GR(x )=8. 6. Halla a en P(x; y)=– 2x a+2 y+5xa si GA=8. 7. Halla a+a2 – 20 en P(x; y)=5x2a+1 y2 – 3xa+2 ya+2 si GA=11. 8. Halla la suma de coeficientes si P(x; y)=– a2 y4 – 3xa+3 y8 +2xa+1 y11 , sabiendo que GRx – GRy=1. 9. Si P(x; y)=3x2a – 6 yb +ax2a – 2 yb+2 +by7 es de GR(x)=14 y GR(y)=6, calcula a+b. 10. Si P(x; y)=axa+b yc+2 +bxa+b+1 yc+3 +cxa+b+3 yc +(a+b+c) es de GR(x )=14; GR(y)=6, calcula la suma de coeficientes. Actividad en el aula N.o 2 1. Halla la suma de coeficientes en P(x )=axb – 2 +6x+a+1 si el término independiente es 10. 2. Halla el grado de P x x x x n x n n n n ( ) = + − − + + + 3 4 2 2 2 2 si el término independiente es 12. 3. Calcula el grado del polinomio P x n x x n ( ) = + + 3 2 2 2 si la SC es 9. 4. Sea el monomio S(x; y; z)=abcxa yb zc . Además, se sabe que el GA(S )=18 GA(S ) – GRx(S )=10 GA(S ) – GRy(S )=12 GA(S ) – GRz(S )=14 Calcula el grado relativo respecto a cada variable. 5. En el monomio M(x; y)=3(m –1)x n –3 y3n , el GA(M )=21 y el GR solo es GA(M ) es igual al coeficiente. Halla mn. 6. Calcula mn si el polinomio T(x; y)=4xm+1 yn – 2 +6xm+2 yn –1 +6xm+3 yn –2 . tiene GA(T )=20 y GR(x )=8 7. Si el polinomio R(x )=5x2n – 6 – 3x3 +nx+n2 +1 es de grado 4, calcula la suma de coeficientes. 8. El propietario de una finca quiere plantar una huerta de 500 m2 de forma rectangular y pegada al río. Para evitar destrozos de las vacas, decide cerrarla, salvo el lado colin- dante al río, utilizando 70 m de tela metálica. a. ¿Cuánto deben medir los lados? b. ¿Cuánto mide el lado que da al río? Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados. Longitud de cada uno de los la- dos iguales Longitud del tercer lado Área de la huerta (largo o ancho) Ecuación (área=500 m2 )
- 25. 2.o de secundaria 25 ColegioBertolt Brecht Álgebra grado de un polinomio. Es una característica propia de la(s) variable(s) de los polinomios, la cual relaciona a los exponentes. notación polinómica. Es la representación de la(s) variable(s) del polinomio. Glosario Actividad domiciliaria N.o 2 1. En una granja, hay x patos, y conejos y z pavos. Expresa el número total de patas que hay en la granja. 2. El lunes, la temperatura fue de 3x2 o C; el martes, – 5x o C, y el día miércoles, 20 o C. Calcula la suma de las temperaturas. 3. En el polinomio P x x x x ( ) = + − + 6 2 3 1 4 5 2 , calcula SC+TI. 4. En el polinomio P x x x x x ( ) = + − + + 5 2 3 2 3 4 8 6 , calcula grado+SC+TI. 5. Si el grado de M(x)=5x2n+1 +3nn – 2x+1 es 7, calcula el valor de n2 . 6. Si el TI=10 del polinomio R x x n x n n ( ) = + + + + + 4 3 3 1 2 4 1 , calcula su grado. 7. Dado al polinomio P x x x n x n ( ) = + − + + 2 3 2 4 5 3 , cuya SC=6 halla el grado. 8. Representa los siguientes enunciados alge- braicamente. a. La tercera parte de la edad de Antonio. b. El perímetro de un rectángulo de lados a y b. c. El volumen de un cubo de 1 m de arista. d. La mitad de un número disminuido en 3. e. El cuadrado de tu edad aumentado en 8. 9. Un confeccionista produce (3x+1) pantalo- nes, (5x – 2) camisas y (x+2) polos, los cua- les se venden a S/.25, S/.18 y S/.10, respec- tivamente. a. ¿Cuántas prendas confecciona en total? b. ¿Cuánto dinero se obtiene por la venta total? c. Si el costo de inversión es 8x2 + 29x – 15, ¿cuánto gana? 10. Si el polinomio P(x ) es de grado 10, halla m. P x x x x m m m ( ) + + + = + + 7 6 5 1 2 3 11. Del siguiente monomio Q(x; y)= – 5x7a+1 · y 3a+5 calcula el GA sabiendo que GRx=22. 12. Si en R(a; b)=3a3n –1 · bn – 2 , se sabe que GA=13, calcula GRa. 13. Halla la suma de coeficientes de P(x) si el po- linomio es de grado 7. P(x )=3mxm +xm+2 – xm+4 14. En el siguiente monomio P(x; y)=(3a – 5)xa+7 · ya+4 , se cumple que GA=15. Indica su coeficiente. 15. Halla el coeficiente del monomio M(x; y)=(a+b)x2a+1 · y3b – 5 si se sabe que GR(x )=7; GR(y)=13. 16. Halla el grado del siguiente polinomio P(x; y)=23 x9 y2 – 37 x4 y5 .
- 26. Álgebra Compendio escolar 26 5 TEMA Polinomiosespeciales Objetivos Identificar los casos de polinomios especiales. Resolver diferentes ejercicios sobre polinomios especiales Polinomio ordenado Se dice ordenado respecto a alguna de sus va- riables cuando sus exponentes solo aumentan o disminuyen ordenadamente. Ejemplos 1. P(x)=x 4 +x20 +x35 es ordenado en forma ascendente. 2. Q(x; y)=5x3 y5 +4x4 y2 +x5 y Respecto a x, es ordenado y ascendente. Respecto a y, es ordenado y descendente. Polinomio comPleto Se dice completo respecto a alguna de sus va- riables si existen términos de todos los grados incluyendo el término independiente hasta un grado determinado. Ejemplos 1. P(x)=2x3 –5+x–3x2 es completo respecto a x. 2. Q(x; y)=3x5 y2 +2x4 y+3 es completo respecto a y. no es completo respecto a x. Polinomio HomogÉneo Un polinomio de al menos dos variables es ho- mogéneo si sus términos son semejantes y tie- nen igual grado. Ejemplo P x y x y xy x y ; ( ) = + + 3 2 5 4 3 7 5 2 7 6 7 GA: Polinomios idÉnticos Dado los polinomios P(x)=ax2 +bx+c Q(x)=mx2 +nx+c Si P(x) y Q(x) son idénticos (P(x)≡ Q(x)), se cumple que a=m; b=n; c=r. Polinomio idÉnticamente nulo Un polinomio P(x) es idénticamente nulo si para todo valor de x el valor numérico es cero, es de- cir, sus coeficientes son nulos. Actividad en el aula N.o 1 I. Responde las siguientes preguntas. 1. ¿Toda expresión algebraica es un poli- nomio? .............................................................. .............................................................. .............................................................. 2. Un polinomio homogéneo, ¿puede ser de solo una variable? .............................................................. .............................................................. .............................................................. 3. Encierra en un círculo la afirmación falsa. I. Un polinomio completo siempre está ordenado. II. Un polinomio completo de grado 6 siempre tiene 7 términos. III. Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), entonces el que tiene más términos es P(x). Da un ejemplo para cada caso. I. ......................................................... II. ......................................................... III. .........................................................
- 27. 2.o de secundaria 27 ColegioBertolt Brecht Álgebra II. Resuelve los siguientes ejercicios. 1. El polinomio P(x; y)=x5 +xn y2 +xm y4 +yr –1 es homogéneo. Calcula m+n+r. 2. Calcula la suma de coeficientes del polinomio Q(x; y)=nxn+5 +3xn ym +mxm+3 si Q(x; y) es homogéneo. 3. Establece la verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados. a. El polinomio P x y x y x y x y ; ( ) = + − 2 4 1 2 6 3 4 5 2 es homogéneo. ( ) b. El polinomio M(x )=4x6 +2x4 – 3x2 +1 es ordenado en forma ascendente. ( ) c. Si n=2, el polinomio P(x; y)=2x 6 y2n +3x4 y3n – x8 y2 es homogéneo. ( ) d. El polinomio P(x )=4x 5 +2x4 – x3 +2x+5 es completo y ordenado. ( ) 4. Si el polinomio H(x; y)=3x3n y8 +x12 yn es homogéneo. Halla n2 . 5. Sea el polinomio completo y ordenado P(x)=2x4 +3xa +2xb – 5xc +abc. Calcula el TI. 6. Calcula la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado P(x)=axa +bxb +cxc +dxd +abcd; (a ≠ 0). 7. Dado el polinomio homogéneo M(x; y)=4xa+5 y2a+7 +3x5 – a y17 – a , calcula a+GR(y). 8. Calcula a · b si T(m; n)=ma nb+2 +mb · nb+5 +n9 es un polinomio homogéneo. Actividad en el aula N.o 2 1. Escribe en tu cuaderno tres ejemplos de cada polinomio especial. 2. Dado el polinomio homogéneo R(x; y)=1 4 1 3 6 2 11 4 3 10 x y x y n n + − − , halla n2 +GR(x). 3. Dado el polinomio homogéneo H(x; y)=2xa+3 y2 +3x10 y5 , halla a+GR(x). 4. Sea el polinomio P(x)=a+2xb +3xc–2 +5x3 +2xd–3 completo y orde- nado. Calcula a+b+c+d. 5. Si el polinomio P(x)=4x5 +2xa –1 +3xb – 2 + x2c – 6x + 2 es completo y ordenado, halla a+b+c. 6. Si el polinomio P(x) = (2a – 6)x4 + (5 – b)x 2 – (c+1)x+d es idénticamente nulo, halla a+b+c+d. 7. Si R(x;y)=5x3 y5 +2x10 y3 +4x6 y, halla GR(y) + GA(R). 8. Si el polinomio H(x )=(4a – 8)x3 +(b+3)x2 – (2c – 6)x+(2 – d) es idénticamente nulo, halla a+b+c+d.
- 28. Álgebra Compendio escolar 28 Actividad domiciliaria 1. Si el polinomio Q x y x y x y x y m n ( , ) = − + 5 3 2 3 9 4 8 es homogéneo, halla m n . 2. Calcula el valor de m+n si R(x ) es ordenado y completo respecto a x. R(x )=3x4 – 7xm+2 +9xn –7 +8x+7 3. Calcula a+b si el polinomio S(x,y)=5xa yb – (n+1)x2n yn+1 +(ab)x3n yn – 8 es homogéneo. 4. Si el polinomio es idénticamente nulo P(x )=(a2 +b2 – 2ab)x3 +(b2 +c2 –2bc)x2 + (a – c)x+d – 3, halla E a b c bd = + + . 5. Calcula a+b si P(x;y)=xa+1 y2a – 5 +x9 – n yn+5 +xb – 3 y8 es homogéneo. 6. Se dan los polinomios idénticos P(x )=(a – 3)x2 +(b2 – 2)x+1 Q(x )=5x2 +2x+c, donde P(x ) Q(x ). Halla E=a+b – c. 7. Dados los polinomios idénticos P(x )=x3 +4xa Q(x )=xa+2 +(b – 2a)x, calcula a+b. 8. Si el polinomio es idénticamente nulo P(x )=(m – 3)x4 +(n2 –4)x3 +(n–2)+px+c – 4, halla M m n p c = + + + . 9. Dados los polinomios P(x )=(a – 3)x2 +(b2 – 2)x+1 Q(x )=5x2 +2x+c donde P(x ) ≡ Q(x ). Halla E=a+b – c. 10. Si P(x )=7xb+1 – 4xa – 2 +2xc – 3 – 1 es completo y or- denado en forma descendente, calcula a · b · c. 11. Dado el polinomio completo y ordenado, F(x )=8xn –1 +x3 +9xn – 3 +x+xm –10 , halla m+n.
- 29. 2.o de secundaria 29 ColegioBertolt Brecht Álgebra 6 TEMA Valor numérico Objetivo Calcular el valor numérico de un polinomio o expresión algebraica. definición El valor numérico de un polinomio se calcula reemplazando la variable por una determinada constante. Ejemplos 1. Sea el polinomio P(x)=5x+x2 –2, halla el valor numérico del polinomio si x=2. Luego P(2)=5(2)+(2)2 –2=12. 2. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. a. F x y x y ; ( ) = + 2 2 cuando x=2 e y=4 es de- cir, se va evaluar la expresión F cuando la variable x toma el valor de 2 e y toma el valor de 4. F 2 4 2 2 4 2 ; ( ) = + ( ) F 2 4 10 2 5 ; ( ) = = ∴ F(2; 5)=5 b. F x y x x y ; ( ) = + 2 2 para x=–1; y=2 A( ; )=................................................. .............................................................. .............................................................. c. B(x)=x2 –2xy+4y+1 para x=2 B( ; )=................................................. .............................................................. .............................................................. Al realizar una encuesta para conocer la preferencia en equipos de fútbol en un colegio, se obtienen los siguientes datos. Preferencia de equipos de fútbol cantidad equipos 14x2 – 3 10x2 + 2 5x2 – 1 3x2 + 2 otros AL SC U De la gráfica anterior, a. determina la cantidad de hinchas de cada equipo de fútbol si se sabe que x=7; b. calcula la cantidad de estudiantes encuestados.
- 30. Álgebra Compendio escolar 30 Actividad enel aula N.o 1 1. Halla el V. N. (valor numérico) de las siguien- tes expresiones. a. C x y x y x y ; ( ) = + − 3 para x=9; y=1 C( ; )=................................................. C( ; )=................................................. b. 1 2 1 2 2 − − para x=y=2 F( ; )=................................................. F( ; )=................................................. c. 2 2 3 3 5 4 2 3 − − − − + x x x x para x=27; y=4 H( ; )=................................................. H( ; )=................................................. H( ; )=................................................. d. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 22 24 26 28 30 17 19 21 23 25 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ para x=1; y=1 G( ; )=................................................. G( ; )=................................................. G( ; )=................................................. 2. Si P(x )=2x2 +5x+1; calcula P(– 3). 3. Sea el polinomio P(x )=x2 +5x – 6. Halla el valor de a. P(1) b. P(2)+P(3) c. P(1)+P(2)+P(3) 4. Sea P(x; y)=2x 2 – 3y2 . Halla el valor de P(1; 0). 5. Si R y y y ( ) = − − 5 4 3 2 , halla a. R(1)+R(2) b. R(–1)+R(–2) 6. Dada la expresión a a a a a a 7 2 17 12 8 3 + + calcula P(3) · P(2). 7. Si M(x)=3x – 1, N(x)=x+2, calcula el valor de M M N ( ) ( ) ( ) 1 2 3 + . 8. Si P x x x ( ) = + + 2 1, calcula P(3). 9. SiP x x x ( ) = + + 2 3 5 1 3 2 ,calcula el valor deP − 1 2 . 10. Se define f x x x ( ) − = + + 2 2 3 1. Calcula el valor de f(3). 11. Si P x x+ = + 1 3 5 12, calcula el valor de P(–1). 12. Si P x x 2 3 2 4 4 − = + , calcula el valor de P( ). 0 13. Si P x x x ( ) = + − 5 7 12 2 , calcula el valor de P P ( ) ( ) − 1 1 . 14. Si P(x )=x2 – 3x+1, calcula el valor de E P P P P = + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 1 4 3 15. Si se conoce el polinomio P(x )=3x2 +x – 3, calcula el valor de E P P P = ( ) ( ) 1 . 16. Si P m x x x ( ) ( ) = − + − 2 8 5 2 , además P(–1)=10, calcula el valor de m. 17. Si P ax ax n x ( ) = + + − 2 2 3 1, además P(–2)=5, calcula el valor de n. 18. Calcula el valor numérico de E para x = 2 5 si E x x = − + − − ( ) ( ) 5 1 5 1 1 3 2 .
- 31. 2.o de secundaria 31 ColegioBertolt Brecht Álgebra 19. Un vendedor de golosinas vende (8x2 +7x+3) paquetes de galletas y (5+2x+6x3 ) bolsas de caramelos por semana y los vende a un sol y tres soles, respectivamente. a. ¿Cuál fue la venta total? b. ¿A cuánto vendió toda su mercadería? 20. Si P(x )=x2 +2x+1; Q(x )=x2 – 2x+1, calcula P a P Q Q a ( ) + − ( ) − − ( ) ( ) 1 1 siendo a entero positivo. 21. Dada la expresión P(a )=– 5a(a+2) – 6a(a – 3)+3a(a – 2)+8a2 . Calcula P(1/2). 22. Sea H(y)=y+2, halla H [H(0)]. 23. Calcula el valor de P(– 2; 3) si se sabe que P x xy x x y ( ; ) = + − 7 3 7 2 2 . 24. Resuelve los siguientes problemas aplicando valor numérico. a. Si P(x)=5x2 –18. Calcula P(P(2)). b. Si P(x )=3x – 1, calcula A=P(P(P(2))). c. Si P(x )=5x5 – 3x2 +7x+15, halla P(–1). d. Calcula A si M(x )=2x4 si A M M M = + ( ) ( ) ( ) 0 2 1 . e. Calcula P(7) si P(x )=– x5 +7x4 +2x –10. f. Si P(x )=x4 – 2x2 +1, halla P [P [P [P [P (0)]]]]. g. Si se sabe que Q x x x ( ) = + − 1 1 , calcula Q [Q (Q (3)))]. h. Si P(x )=7x4 – x2 – 3x+6, halla P(1). i. Si F(x+2)=8x, halla F(3). Actividad domiciliaria N.o 1 1. Si P(x)=3x+7, calcula P(–1). 2. Si P x x ( ) = + ( ) + 2 1 10 2 , calcula P(0). 3. Si P x x x ( ) = + + 3 2 4, calcula P( ). 2 4. Si N x x x x x ( ) ( ) , = + − + + 3 2 2 1 2 5 4 3 calcula N(–1). 5. Si R mx m x x ( ) ( ) = + − + 2 5 1 1 , además R(–2) =17, halla el valor de m. 6. Si P x x 3 1 2 3 − = + , calcula P(2). 7. Calcula f f f 1 ( ) ( ) si f(x )=x+3. 8. Si P x x x ( ) = + − 2 4 2 , calcula E P P P P = + − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 2 . 9. Si F(x )=ax+b y F(1)=4 y F(–1)=3, halla F(12). 10. Una fábrica que produce tres calidades de pantalones fijó los precios de venta en (x+10), (3x+6) y (2x+1) nuevos soles. Si además mantuvo una producción cons- tante de 5x2 unidades por cada tipo de pantalón, determina el polinomio que re- presenta en los siguientes casos. a. El ingreso total por cada tipo de pantalón y el ingreso total de la fábrica. b. El valor monetario de dichos ingresos si x=10 y representa el costo promedio de dichos pantalones. 11. Dados los términos semejantes, calcula a · b. P(x; y)=4xa+2 y5 ; Q(x; y)=x4 yb 12. Halla la suma de los términos semejantes. F1(x; y)=(a+b)xb –1 yc – 3 F2(x; y)=(c – a)x 5 – b y7 – c
- 32. Álgebra Compendio escolar 32 Actividad enel aula N.o 2 Resuelve los siguientes ejercicios sobre valor numérico. a. Si P(x )=3x+2, halla P(5x) – 5P(x ). b. Dada la expresión F x x x ( ) = + 1 2 , calcula F(2)+F(3)+F(4)+F(5). c. Si P(x )=5x+n y P(n )=3, calcula 2n. d. Si se sabe que f a a a ( ) = + − 2 1 , halla F [F [F [F (2)]]]. e. Si P(x )=mx+n, además P(12)=1, P(6)=0, calcula P(18). f. La gráfica muestra las velocidades y tiempos utilizados por dos autos que partieron del mismo punto. V(m/s) V2=5x+15 t(s) t1=x+5 t1= x+1 V1=20x+10 q Halla el polinomio de las distancias reco- rridas por los dos autos. q Para x=1, ¿cuántos metros recorrió el primer auto? Actividad domiciliaria N.o 2 1. Suprima los símbolos de agrupación y re- duzca los términos semejantes. R(x )=2x+(3x – x2 ) – (– x2 +4x) S(y)=3y – (5y2 +4)+(– 4y+9y2 )+7 T(x; y)= – (x2 +2y)+[– 3x2 – y]+3y U(y)=7y2 +y3 – [– 8y3 +3y2 – 2y3 ]+(5 – y2 ) V(x )=–{4xm – (2xm +4)+[(– xm +2) – 2]} 2. Dado P(x )=x2 – 4x+3, calcula P(–1)+P(– 3). 3. De la expresión F x x x ( ) = + − 1 1 , calcula F(3) · F(5) · F(7) · F(9). 4. Si P(x)=(x –1)3 +(x+2)2 +10, calcula P P P P 2 1 1 2 ( ) ( ) − ( ) − ( ) − − . 5. Si P(x )=x2 – 3x+1, calcula P P P P − ( ) − ( ) ( ) ( ) + − 2 1 4 3 . 6. Si los términos A(x; y)=5xa+1 y12 y B(x; y)=8x4 yb+5 son semejantes, halla la suma de términos. 7. Si los términos P(x; y)=(m – 2)x8 yn y Q(x; y)=(n+4)x m y5 son semejantes, halla la suma de términos. 8. Reduzca a. P(x; y)=5x3 y – 3x 3 y+x 3 y – 2x 3 y b. Q(x; y)=13xy2 +xy2 – 12xy2 +5y2 c. R(x; y)=5xy2 – 3x2 y+3xy2 +5x2 y d. T(x; y)=6xy2 – 3x3 y – 5xy2 +4x3 y e. S(x; y)=13x5 y6 +(6 – b)x 5 y6 – (b+10)x 5 y6
- 33. 2.o de secundaria 33 ColegioBertolt Brecht Álgebra 9. Si los términos A(x; y)=2bxb+1 y5 y B(x; y)=3ax4 y2a+1 son semejantes, calcula A x y B x y A x y B x y ; ; ; ; ( )− ( ) ( )+ ( ) . 10. Si la expresión P(x; y)=bxa+1 y8 +ax4 yb+6 se re- duce a un solo término, calcula (a – b)2 . 11. Reduzca los siguientes polinomios. a. N(x; y)=–{–(2x – y)+x}+5y – (x – 2y) b. H(x )=– 2x 2 – (x+2x2 ) – (x – 2x)2 +5x c. A(x; y)=5x – (x+2) – {2x+9y – [5x – (3y – x+2)]} 12. Sea la expresión matemática T(x )=2x – 2x –1 , calcula T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5). polinomio. Expresión algebraica que contiene variables y operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación. valor numérico. Resultado numérico que se obtiene al reemplazar la variable del polinomio y al efectuar operaciones. Glosario
- 34. Álgebra Compendio escolar 34 7 TEMA Operacionescon polinomios Objetivo Resolver ejercicios con adición y sustracción de polinomios. adición de Polinomios Para sumar dos o más polinomios, debemos te- ner en cuenta el siguiente esquema. P(x)=ax2 +bx+c Q(x)=mx2 nx+r P(x)+Q(x)=(a+m)x2 +(b+n)x+(c+r) + Si no encuentras términos semejantes, deja es- pacios en blanco y completa con cero. Ejemplo Si P(x)=5x2 +3 Q(x)=3x2 +8x+2, calcula P(x)+Q(x). Resolución ∴ P(x)=5x2 +0x+3 Q(x)=3x2 +7x+5 P(x)+Q(x)=(5+3)x2 +7x+(3+5) P(x)+Q(x)=8x2 +7x+8 + sustracción de Polinomios En la sustracción de polinomios podemos tomar la siguiente equivalencia. P(x) –Q(x)=P(x )+[–Q(x)] donde –Q(x) es el opuesto de Q(x) y se obtiene cam- biando de signo todos sus coeficientes. Ejemplo Si P(x)=7x2 +3x–4 Q(x)=3x2 –2x+3 calcula P(x) –Q(x). Resolución P(x)=7x2 +3x–4 –Q(x)=–3x2 +2x–3 P(x) –Q(x )=(7–3)x2 +(3+2)x+(–4–3) P(x) –Q(x )=4x2 +5x–7 + Actividad en el aula 1. El señor Mauro tiene un terreno de forma rectangular, cuyas medidas se muestran en el gráfico. x2 +5 2x +6 2. A partir del gráfico, responde. a. ¿Qué polinomio representa el perímetro de dicho terreno? q Primera forma ......................................................... q Segunda forma ......................................................... b. ¿Qué operación realizaste para calcular el perímetro? .............................................................. .............................................................. 3. ¿Qué polinomio representa la diferencia en- tre el largo y ancho de dicho terreno? .................................................................... .................................................................... ¿Qué operación realizaste? .................................................................... 4. ¿Qué polinomio representa el área de dicho terreno? .................................................................... ....................................................................
- 35. 2.o de secundaria 35 ColegioBertolt Brecht Álgebra 5. ¿Cuál es el mínimo valor de x para que exis- ta la figura que representa el terreno del Sr. Mauro? .................................................................... .................................................................... 6. Dados los polinomios A(x)=1– x – x2 B(x; y)=x3 – y –1 C(x; y)=2x3 – y4 – xy D(x; y)=x2 +2xy+y4 E(x)=x+1 F(x; y)=2x – 3x4 – y G(x; )=5x4 – 7x2 –1 H(x; y)=– 6x+y2 – xy2 realiza las operaciones que se indican a. A(x)+E(x) b. E(x) – A(x) c. A(x)+E(x)+G(x) d. B(x) – C(x) e. E x A x E x A x ( ) ( ) ( ) ( ) + − − Actividad domiciliaria 1. Dados los polinomios, si P(x)=3x5 +2x3 –5x3 –5x2 +6 y Q(x)=8x3 +3x2 – x – 4, calcula el polinomio suma. 2. Si P(x)=2x3 +5x – 3 y además Q(x)=4x – 3x2 +2x3 , calcula el polinomio diferencia. 3. Dados los polinomios P(x)=4x2 –1 Q(x)=x3 – 3x2 +6x – 2 R(x)=6x2 +x+1 S(x)=x2 +4 T(x)=3x2 +5 U(x)=x2 +2 halla a. P(x)+Q(x) b. P(x) – U(x) c. P(x)+R(x) d. 2P(x) – R(x) e. S(x)+T(x)+U(x) 4. Dados los polinomios P(x)=x4 – 2x2 – 6x –1 Q(x)=x3 – 6x2 +4 R(x)=2x4 – 2x – 2 calcula a. P(x)+Q(x) – R(x) b. P(x)+2Q(x) – R(x) c. Q(x)+R(x) – P(x) 5. Dados los monomios A=5x4 ; B=20x4 ; C=2x, realiza las siguientes operaciones. a. A + B b. A – B c. 3A+2B d. A3 e. C2 f. A2 +C8 g. A · B h. A · C i. B · C j. B – A k. A(B – C) constante. Son aquellas expresiones que tienen un valor fijo para todo problema. variables. Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. Se les repre- senta mediante las últimas letras: x, y, z. Glosario
- 36. Álgebra Compendio escolar 36 8 TEMA Productosnotables Objetivos Realizar multiplicaciones en forma rápida y precisa. Reconocer, aplicar e interpretar geométricamente el desarrollo de un binomio elevado al cuadrado. ¡Es momento de recordar! Escribe el nombre de tres personajes im- portantes a. De la Historia del Perú: ........................ ........................ ........................ b. De los noticieros ........................ ........................ ........................ c. De tu familia ........................ ........................ ........................ Estos nombres los recordaste con facilidad porque son .................. o .................. en tu vida y tu educación. saberes PreVios multiPlicación Y Producto Recuerda que la multiplicación no es lo mismo que el producto, ya que la multiplicación de al menos dos números genera el producto. Ejemplos 1. 79 1000 79000 × = multiplicación indicada producto 2. 55 100 2 11 000 × × ( ) = multiplicación indicada producto 3. x x x x + ( ) + ( ) = + + 3 4 7 12 2 multiplicación indicada producto Importante Decir: “El producto 3 por 2” es incorrec- to; lo correcto es decir: “La multiplica- ción de 3 por 2 da como producto 6”. leYes imPortantes Para la multiPlicación con nÚmeros reales a. ley conmutativa q 3×7=7×3=21 q 25×4=4×25=100 En general, si a y b son números reales, se cumple que a×b=b×a . b. ley asociativa q (5×4)×6=5×(4×6)=120 q 3 2 4 5 3 2 4 5 30 × × = × × ( ) = En general, si a, b y c son números reales, se cumple que (a×b)×c=a×(b×c) . c. ley distributiva q 4×(m+5)=4×m+4×5 =4m+20 q (b+7)×10=b×10+7×10 =10b+70 En general, si a, b y c son números reales, se cumple que c×(a+b)=c×a+c×b (a+b)×c=a×c+b×c distributiva por derecha distributiva por izquierda Importante Mediante estas leyes podemos realizar la multiplicación de dos o más números o expresiones matemáticas para obtener su producto.
- 37. 2.o de secundaria 37 ColegioBertolt Brecht Álgebra Definición Los productos notables son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtie- nen siempre en forma directa, sin necesidad de aplicar las leyes de la multiplicación. Principales productos notables Desarrollo de un binomio al cuadrado (trinomio cuadrado perfecto) (a+b)2 =a2 +2ab+b2 producto o trinomio cuadrado perfecto 1 donde - a: primer término - b: segundo término - a2 : primer término al cuadrado - 2ab: el doble del primer término por el se- gundo - b2 : segundo término al cuadrado también (a – b)2 =a2 – 2ab+b2 producto 2 Luego tenemos que el producto en 2 será leído: “El primer término al cuadrado menos el doble del primer término por el segundo, más el segundo término al cuadrado”. Escribe cómo debe leerse el producto en 1 . .................................................................... .................................................................... Representación geométrica de 1 me- diante el cálculo de las áreas de las re- giones sombreadas a a b a+b a +b b Actividad en el aula N.o 1 1. Completa los siguientes espacios dentro del paréntesis y da el resultado reducido. a. (x+3)2 =x 2 +2( )( )+( )2 = .................................................................................................. b. (2x+3)2 =( )2 +2( )( )+3( ) = .............................................................................................. c. (5x – 3y2 )2 =( )2 – 2( )( )+( )2 = ....................................................................................... d. (8x3 – y4 )2 =( )2 – 2( )( )+( )2 = ........................................................................................ e. 2 5 2 3 2 x y − ( ) =( )2 – 2( )( )+( )2 = ................................................................................ 2. Halla el desarrollo de cada binomio al cuadrado. a. (x+5)2 = ................................................................................................................................... b. (6m – 5n)2 = .............................................................................................................................
- 38. Álgebra Compendio escolar 38 c. (x – 8)2 =.................................................................................................................................. d. (2p2 +5k3 )2 = ............................................................................................................................ e. (2x+3)2 = ................................................................................................................................. f. (5t+4u6 )2 = .............................................................................................................................. g. (3x – 7)2 = ................................................................................................................................ h. (3z2 +5y)2 = ............................................................................................................................. i. (2w+7)2 = ................................................................................................................................ j. (6m4 +k8 )2 = ............................................................................................................................. 3. Pinta del mismo color las expresiones que sean equivalentes y luego escríbelas en las líneas pun- teadas. (x + 5)2 49a2 +14ab+b2 (x – 6)2 4x2 +28+49 (7a + b)2 x x 2 2 2 1 + + (x –16)2 x8 + 2x4 y2 + y4 (x + 8)2 x2 – 32x + 256 (x4 + y2 )2 x2 + 10x + 25 (2x + 7)2 x2 – 12x + 36 x x + 1 2 x2 + 16x + 64 a. (x + 5)2 =x2 + 10x + 25 e. ............................................................. b. ............................................................. f. ............................................................. c. ............................................................. g. ............................................................. d. ............................................................. h. ............................................................. 4. En tu cuaderno, escribe el desarrollo de cada binomio al cuadrado. a. (x + 3)2 d. (7x – 11)2 g. (5z2 + k)2 b. (8m + 3k)2 e. (7x2 – t)2 h. (2x + 5)2 c. (9y2 + 3w)2 f. (4x2 + 7)2 i. (5z2 + k2 )2
- 39. 2.o de secundaria 39 ColegioBertolt Brecht Álgebra 5. Utilizando el desarrollo del binomio al cuadra- do, resuelve cada una de las siguientes ex- presiones. a. ¿A qué es igual x y xy + ( ) + 2 4 ? Rpta.: .................................................... b. Si a a − = 1 1 halla el valor de a a 2 2 1 + . Rpta.: .................................................... c. Si x x + = 1 7 , halla el valor de x x 2 2 1 + . Rpta.: .................................................... d. Si a + b = 12 y ab = 5, halla el valor de E a b = + − 2 2 34. Rpta.: .................................................... e. Si a + b = 6 y ab = 8, halla el valor de a2 + b2 . Rpta.: .................................................... f. Si x x + = 1 4, halla el valor de E x x = + 2 2 1 . Rpta.: .................................................... g. Si x2 + y2 = 36, xy = 18, calcula x – y. Rpta.: .................................................... h. Se sabe que m2 + n2 = 5mn. Simplifica m n mn + ( )2 . Rpta.: .................................................... 6. Utiliza la identidad de Legendre para reducir las siguientes expresiones. a. a a a + ( ) − − ( ) 2 2 2 2 2 b. m m m + ( ) − − ( ) 8 8 4 2 2 c. a a a p p p + ( ) − − ( ) + + ( ) − − ( ) 4 4 2 5 5 2 2 2 2 2 d. x x x x + − − 2 2 2 2 e. (a+b)2 +(a – b)2 7. Utilizando la identidad de Legendre, reduce cada una de las expresiones. a. 2 25 2 25 8 2 2 a a a + ( ) − − ( ) b. 2 5 2 5 4 25 2 2 2 a a a + ( ) + − ( ) + c. Si 16m2 + 25n2 = 32mn, reduce 4 5 4 5 8 2 2 m n m n mn + ( ) + − ( ) . 8. Efectúa ( ) ( ) 5 5 5 3 2 2 + + − . 9. Simplifica N x y x y = + − − ( ) ( ) 2 2 . Identidades de Legendre Se aplica la identidad de Legendre cuando los binomios tienen la siguiente forma. (a+b)2 – (a – b)2 =4ab (a+b)2 +(a – b)2 =2(a2 +b2 )
- 40. Álgebra Compendio escolar 40 Actividad enel aula N.o 2 1. Resuelve aplicando productos notables. a. Si a+b=10 y ab=8, halla a2 +b2 . b. Si x x + = 1 8, halla el valor de E x x = + + 2 2 1 8. c. Si se sabe que m2 + n2 = 6mn, simplifica m n mn mn + ( ) + 2 19 7 . d. Si se sabe que m2 + n2 = 6m, simplifica m n mn mn − ( ) + 2 12 6 . e. Si a + b = ab = 6, entonces determina el valor de a2 + b2 . f. Simplifica la expresión M a a a a a a = + ( ) − − ( ) + + ( ) + − ( ) − 3 3 6 1 1 2 2 2 2 2 2 . g. Si x+y = 5 y xy = 5, entonces determi- na el valor de x2 + y2 . h. Si a = 4+ 7 y b = 4 7 − , calcula el valor de a b ab + +1 . 2. Calcula el producto de cada expresión. a. (2x+y)2 .............................................................. b. (4x+2y)2 .............................................................. c. (2x+5y)2 .............................................................. d. x + 1 2 2 .............................................................. e. 2 1 6 2 n + .............................................................. 3. Reduce L=(a+1)2 – a(a+1). 4. Si m m + = 1 2, halla m m 2 2 1 + . 5. En cada caso, encuentra el trinomio cuadra- do perfecto. a. (2x – 5y)2 .............................................................. b. (y – 2x)2 .............................................................. c. (a – 2b)2 .............................................................. d. 2 1 4 2 n − .............................................................. e. m − 1 2 2 .............................................................. 6. Si x – y=3 y x2 +y2 =17, calcula xy. 7. Si x2 – x – 2 =2, calcula W=x 4 +x – 4 . 8. Si x x + = 1 3, determina x x 2 2 1 + .
- 41. 2.o de secundaria 41 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad domiciliaria 1. Desarrolla las siguientes expresiones. a. (x + 5)2 b. (4x + 7y)2 c. (7a + b)2 d. (8 – a)2 e. (2x + 3yz)2 f. (4ab2 + 6xy3 )2 g. (2x + 5)2 h. (3x4 – 5y2 )2 i. (2x4 – y2 )2 2. Reduce J = (2x+3y)2 – (4x2 + 9y2 ). 3. Calcula ( ) ( ) x x x + − + − 10 6 8 2 2 . 4. Sea a + b = 8, a . b = 15, halla a2 + b2 . 5. Efectúa (x+4)2 – (x–4)2 – 16x. 6. Sea x x + = 1 4, halla x x 2 2 1 + . 7. Si a + b = 7 y a2 + b2 = 37, halla (a – b). 8. Sea x x − = 1 3, halla x x 2 2 1 + . 9. Reduce ( ) ( ) x x x + − + − 6 3 6 2 2 2 . 10. Simplifica N x x x = + + − + ( ) ( ) 5 1 5 1 5 1 2 2 2 . 11. Indica verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda. I. (x–3)2 = x2 + 6x – 9 ( ) II. (x+y)(y–x) = x2 – y2 ( ) III. (x+1)2 – (x–1)2 = 4x ( ) 12. Si se sabe que A = (x + 4)(x – 6) y B = (x – 7)2 , halla E = A – B + 73. Bibliografía Academia César Vallejo. Ciclo escolar. Lima: Lumbreras Editores, 2009. Academia César Vallejo. Compendio Académico de álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2007. Academia César Vallejo. Álgebra y principios del análisis, Tomo I. Lima: Lumbreras Editores, 2000. PISCOYA HERMOZA, Luis. Retos de la matemática, el impacto del CONAMAT. Lima: Fondo Editorial UCH, 2009.
- 42. Álgebra Compendio escolar 42 9 TEMA Productosnotables: diferencia de cuadrados Objetivos Identificar el desarrollo de una diferencia de cuadrados y realizar aplicaciones diversas. Comprender la utilidad de esta identidad para utilizarla en temas posteriores. Para la diferencia de cuadrados, debemos tener en cuenta que (a+b)×c=a×c+b×c. Si hacemos que c=a–b, reemplazando tenemos (a+b)(a–b)=a×(a–b)+b×(a–b) =a2 –ab+ba–b2 =a2 –ab+ab–b2 ∴ (a+b)(a–b)=a2 –b2 Representación geométrica ab a b (a–b) (a–b) a a a a b b b a b b a2 –b2 =(a+b)(a–b) ∴ (a+b)(a–b)=a2 –b2 Luego el producto es leído como sigue: “El cuadrado de la primera base menos el cuadrado de la segunda base”. Ejemplos q (a+5)(a–5)=a2 –52 =a2 –25 q (m–6)(m+6)=m2 –62 =m2 –36 q (102)(98)=(100+2)(100–2) =1002 –22 =10 000–4 =9996 ¿Sabías que...? Galileo Galilei planteó la siguiente ley: “Todos los cuerpos caen a la misma ve- locidad en el vacío”. Cuentan que, para demostrarlo, arroja- ba objetos de distintos tamaños desde lo alto de la torre de Pisa. Para relacionar la distancia que recorre un cuerpo en caída libre en relación con el tiempo que transcurre y la aceleración de la gravedad, se puede emplear la siguiente expresión: d gt = 1 2 2
- 43. 2.o de secundaria 43 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad en el aula N.o 1 1. Completa los siguientes espacios que corres- pondendentrodelparéntesisyluegoescribeel resultado reducido. a. (a + 2)(a – 2)=( )2 – ( )2 = .............................................................. b. (a + 5)(a – 5) = ( )2 – ( )2 = .............................................................. c. (3m + 5)(3m – 5) = ( )2 – ( )2 = .............................................................. d. (2x3 + 1)(2x3 – 1) = ( )2 – ( )2 = .............................................................. e. (5t2 + 2h)(5t2 – 2h) = ( )2 – ( )2 = .............................................................. f. (5t2 + 6h4 )(5t2 – 6h4 ) = ( )2 – ( )2 = .............................................................. 2. Pinta del mismo color las expresiones que sean equivalentes. (x + 5)(x – 5) x x 2 2 1 − (x + 6)(x – 6) 4a2 – b2 (2a + b)(2a – b) 4x2 – 49y2 (3x + 5y)(3x – 5y) x2 – 64 (x + 8)(x – 8) x2 – 25 (x4 + y2 )(x4 + y2 ) x2 – 36 (2x + 7y)(2x – 7y) 9 2 – 25y2 x x x x + − 1 1 x8 – y4 3. Halla el producto de cada multiplicación. a. (x – 8)(x + 8) = ......................................... b. (2a + 5)(2a – 5) = ..................................... c. (5m – 2)(5m + 2) = ................................... 4. ¿De qué multiplicaciones provienen los siguientes productos? a. x2 – 25 = .................................................. b. x4 – 1 = .................................................... c. x8 – 1 = .................................................... d. 25x2 – 36 = .............................................. 5. Reduce a a a + ( ) − ( ) + 2 2 4 2 2 . 6. Efectúa (a + 1)(a – 1)(a2 + 1)(a4 + 1) – a8 . 7. Reduce 3 5 17 257 1 4 ⋅ ⋅ ⋅ + . Recuerda que... Gauss sugirió, en el siglo xix, preparar en Siberia una gigantesca figura con el diagrama de la demostración euclídea del teorema de Pitágoras para que los alienígenas habi- tantes de la Luna o de Marte lo pudieran ver con sus telescopios y dedujesen por él la exis- tencia de seres inteligentes aquí en la Tierra. Este proyecto fue citado por Julio Verne en De la Tie- rra a la Luna. Un siglo después, el escritor Pierre Boulle uti- lizaría esta idea de manera similar: el diagra- ma de la derecha es el medio que elige Ulises Mérou, el protagonista humano de El planeta de los simios, para mostrar su inteligencia a la chimpancé Zira.
- 44. Álgebra Compendio escolar 44 Actividad enel aula N.o 2 En cada caso, aplica la propiedad de binomio al cuadrado y halla el valor de las expresiones. 1. Reduce la expresión 8 8 6 6 3 + ( ) − ( ) + + ( ) − ( ) − x x x x . 2. Halla el valor de E. E x x x x = + ( ) − ( ) + + ( ) − ( ) 13 13 12 12 3. Efectúa (x – 2)(x + 2) + (x + 3)(3 – x). 4. Calcula M = [(x + 13)(13 – x) + (x + 12)(x – 12)]0,5 . 5. Reduce (x + 4)(x – 4) – x2 . 6. Reduce K = + ( ) − ( ) 4 3 1 3 1 3 . 7. Encuentra la regla de correspondencia y halla la expresión a a a + ( ) − ( ) + ( )+ 2 2 2 16 2 2 . 8. Efectúa (4x + 5)(4x – 5) + 25. 9. Halla el valor de x en (x – 1)2 – (x – 3)(x – 3) = 0. 10. La suma de dos números es 21 y la diferen- cia de los mismos es 3. Calcula la diferencia de los cuadrados de dichos números. ¿Cuá- les son los números? 11. Realiza las siguientes multiplicaciones. a. (x + 8)(x – 8) b. (2x + 3)(2x – 3) c. (7m + 5)(7m – 5) d. (3m2 + 8p3 )(3m2 – 8p3 ) e. (x +3)(x – 3) f. (5x +y)(5x – y) g. (7m2 + 3p3 )(7m2 – 3p3 ) h. (a4 b2 + 2p3 q5 )(a4 b2 – 2p3 q5 ) 12. Reduce 2 3 2 3 9 2 2 a a a + ( ) − ( ) + . 13. Si x – y = 1, reduce (x + y)(x2 + y2 )(x4 + y4 )(x8 + y8 ) + y16 . 14. Reduce 5 5 2 2 m p m p p m + ( ) − ( )+ . 15. Efectúa 2 4 10 82 1 4 ⋅ ⋅ ⋅ + .
- 45. 2.o de secundaria 45 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad domiciliaria 1. Halla el resultado de las siguientes multipli- caciones. a. (x + 10)(x – 10) b. (x + 11)(x – 11) c. (2x + 9)(2x – 9) d. (x + 8)(x – 8) e. (5k + 2t)(5k – 2t) f. (3k2 + t 3 )(3k2 – t 3 ) g. (7m + 3p)(7m – 3p) h. (6m2 p4 + t 3 )(6m2 p4 – t 3 ) i. (3x + 4y)(3x – 4y) 2. Reduce 2 7 2 7 49 2 2 a a a + ( ) − ( ) + . 3. Reduce 3 8 3 8 9 32 2 2 4 x x x + ( ) − ( )− . 4. Simplifica a b a b a b b − ( ) + ( ) + ( )+ 2 2 4 . 5. Calcula el valor numérico de 1 1 1 1 2 a a a − ( ) + ( ) + ( ) para a = 2 4 . 6. Simplifica a b a b a b a b a b a b + − + − + − + 2 2 2 2 . 7. Efectúa (x + y)(x – y)(x2 + y2 ). 8. Reduce x x x x − ( ) + ( ) + ( )+ 1 1 1 1 2 2 4 . 9. Efectúa 3 5 17 257 4 1 1 8 4 ⋅ ⋅ ⋅ + ( )− . 10. Efectúa 4 6 26 626 5 1 1 8 23 ⋅ ⋅ ⋅ + ( )− . 11. Efectúa 4 15 4 15 + ( ) − ( ). 12. Calcula 20082 – 2009 · 2007.
- 46. Álgebra Compendio escolar 46 TEMA Productos notables: productode binomios con un término común Objetivos Reconocer y aplicar el producto de binomios con un término común. Comprender la utilidad de la identidad para utilizarla en temas posteriores. Producto de binomios con un tÉrmino comÚn Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma x+a por x+b. Al de- sarrollar el producto, se observa que la estructura es la siguiente: ( + )( + )=( )2 +( + )· + · La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue: Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos. Es decir (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab Nota términos no comunes (x+a) (x+b)= x2 + (a+b)x +ab término cuadrado suma de producto común del no de no común comunes comunes Ahora veamos su representación geométrica b x x a b x a a ab ax b x x x bx x2 (x+a)(x+b) = x2 +bx+ax+ab = x2 +(a+b)x+ab ∴ (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab A este producto notable se le conoce también como identidad de Steven.
- 47. 2.o de secundaria 47 ColegioBertolt Brecht Álgebra Ejemplos 1. (x + 3) · (x + 2) = x 2 + (3 + 2)x + 3 · 2 = x 2 + 5x + 6; observa que 3 + 2 = 5 3 · 2 = 6 2. (a + 8) · (a – 7) = a 2 + (8 – 7)a + 8 · (– 7) = a 2 + a – 56; observa que 8 + (–7) = 1 8 · (–7) = – 56 3. (p – 9) · (p – 12) = p 2 + (– 9 + – 12) · p + ( – 9) ·( – 12) = p 2 + – 21p + 108; observa que ( ) + ( ) = – 21 ( )( ) = 108 4. (x +1)(x – 2) = x 2 + (1 – 2)x + (1)(– 2) = x 2 – x – 2; observa que 5. (x – 4)(x + 1) = x 2 + (– 4 + 1)x + (– 4)(1) = x 2 – 3x – 4; observa que 6. s(x – 3)(x – 4) = x 2 + (– 3 – 4)x + (– 3)(– 4) = x2 – 7x + 12; observa que Actividad en el aula 7. Completa los siguientes espacios dentro del paréntesis y luego escribe el resultado reducido. a. (x + 1)(x + 2) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ b. (x + 2)(x + 6) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ c. (x + 9)(x + 5) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ d. (x + 3)(x + 2) = ( )2 + (...... + ......)x + ( )( ) = ............................................................ e. (x + 6)(x – 2) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ f. (x + 8)(x – 5) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ g. (x – 5)(x + 2) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ h. (x – 8)(x + 6) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ i. (x – 1)(x – 2) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ j. (x – 4)(x – 3) = ( )2 + (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................ 8. Realiza las siguientes multiplicaciones. a. (x + 8)(x + 8) = ............................................................................................................ b. (a + 1)(a – 3) = ............................................................................................................ c. (x + 4)(x + 5) = ............................................................................................................ d. (8h – 5)(8h – 9) = ....................................................................................................... e. (x + 6)(x – 5) = ............................................................................................................ f. (7x + 5)(7x + 9) = ........................................................................................................ g. (m + 3)(m – 2) = .......................................................................................................... h. (2p – 1)(2p – 3) = ........................................................................................................ i. (x + 2)(x + 9) = ............................................................................................................ j. (3x – 4)(3x – 5) = ........................................................................................................ k. (3x + 5)(3x + 2) = ........................................................................................................ l. (5t – 3)(5t – 7) = ..........................................................................................................
- 48. Álgebra Compendio escolar 48 9. Reducelas siguientes expresiones. a. (x + 4)(x + 8) – (x + 3)(x + 9) .............................................................. b. (x + 5)(x + 2) – (x + 6)(x + 1) .............................................................. c. (x + 8)(x + 1) – (x + 2)(x + 7) .............................................................. d. (x + 6)(x – 4) – (x + 1)(x + 1) .............................................................. e. (x – 4)(x – 3) – (x – 1)(x – 6) .............................................................. f. (x – 3)(x – 10) – (x + 15)(x – 2) .............................................................. g. (x + 5)(x + 7) + (x + 6)(x + 2) – 2(x + 4)(x + 6) .............................................................. h. (x + 5)(x – 2) + (x – 1)(x + 7) – 2(x + 4)(x + 5) .............................................................. i. (2x + 3)(2x + 1) – (2x + 5)(2x – 1) .............................................................. j. (3x + 7)(3x – 2) – (3x + 4)(3x + 1) .............................................................. 10. Utilizando las condiciones dadas, obtén los valores señalados. a. Si x2 + 3x = 2, calcula M = (x + 2)(x + 1) + 8. b. Si x2 + 5x = 1, calcula N = (x + 1)(x + 4) + 5. c. Si x2 – 2x = 3, calcula P = (x + 6)(x – 8) + 50. d. Si x2 + 5x – 4 = 0, calcula S = (x + 6)(x – 1) + (x + 2)(x + 3) + 4. e. Si x2 + 7x – 6 = 0, calcula D = (x + 3)(x + 4) + (x + 4)(x + 3) – 10. f. Si x2 – x – 3 = 0, calcula H = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 6) – 20. g. Si x2 + 6x = 8, calcula E x x = + ( ) + ( ) − 2 4 1 5 h. Si x2 + 3x = 2, calcula F = x(x + 1)(x + 2)(x + 3). 11. Desarrolla cada uno de los siguientes pro- ductos notables. a. (x + 5)(x + 3) = b. (m + 5)(m – 5) = c. (m – 2)(m + 2) = d. (2x + 5)2 = e. (3x – 2) · (3x + 1) = f. (5x + 3y)2 = 12. Reduce (x + 4)(x – 4) – x2 . 13. El producto de dos números es 14 y la suma de cuadrados es 36. ¿Cuál será la suma de ambos números? 14. Simplifica (x + 5)2x – (x + 6)(x + 4). 15. Calcula (n + 2)(n + 7) – (n + 3)(n – 3) – 23. 16. Reduce x x x + ( ) + ( ) − + ( ) + 2 8 5 10 2 .
- 49. 2.o de secundaria 49 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad domiciliaria 1. Utiliza la identidad de Steven para reducir las siguientes expresiones. a. (x + 8)(x + 7) – (x + 13)(x + 2) b. (m + 50)(m – 30) – (m + 15)(m + 5) c. (y + 35)(y + 5) – (y + 25)(y + 15) d. (a + 4)(a – 5) – (a + 1)(a – 2) 2. Reduce las siguientes expresiones. a. (x + 8)(x – 6) + (x + 4)(x + 1) – 2(x + 2)(x + 1) b. (x + 4)(x – 1) + (x + 5)(x – 4) – 2(x + 3)(x – 1) c. (x + 2)(x – 3) + (x – 10)(x + 2) – 3(x – 2)(x – 1) 3. Si x 2 – 5x = 1, reduce x x − ( ) − ( ) − 3 2 13 4 . 4. Si x 2 + 2x + 5 = 0, calcula (x + 5)(x + 7)(x – 3)(x – 5). 5. Si x 2 + 5x – 4 = 0, halla el valor numérico de (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 80. 6. Si (x 2 – 3)(x 2 – 1) = 5, halla x 4 – 4x 2 . 7. Si (x2 – 5)(x2 + 3) = 4, halla x4 – 2x2 . 8. Si (x + a)(x + 2) = x2 + bx + 6, halla a + b. 9. Si (x + 3)(x + a) = x2 + bx + 9, halla a + b. 10. Si se sabe que (2x + b)(2x – 3) = ax2 + cx – 12, halla abc. 11. Halla la raíz cuadrada del polinomio P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 sabiendo que x2 + 5x – 2 = 0. 12. Si x2 + 5x = – 3, determina el valor de (x + 3)(x + 2) + (x + 1)(x + 4). 13. Si x2 + 8x = 1, halla el valor de M = (x + 5)(x + 3) + (x + 7)(x + 1). 14. Si (x + 3)(x – 2) = 2(1 – x), halla M = (x + 1)(x + 2) + x(x + 3). 15. Si (x + 4)(x – 3) + (x + 5)(x – 2) ≡ ax2 + bx + c, halla el valor de a + b – c. 17. Calcula el área del siguiente gráfico. x –11 x7 18. Simplifica 19 1 19 1 1 10 10 1 3 + ( ) − ( )+ + ( ) − ( ). 19. Determina el área del siguiente rectángulo. 2x3 2x10 20. Halla a b ab + ( ) − 2 4 si a b.
- 50. Álgebra Compendio escolar 50 1 1 TEMA Productos notables: desarrollode un binomio al cubo Objetivos Identificar el desarrollo de un binomio al cubo. Comprender la utilidad de estas identidades para aplicarlas en temas posteriores. La palabra álgebra es de origen árabe, deriva del libro escrito por el matemático Al-Khwarizmi titulado Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado, el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. Sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que ha- bían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fue- ron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema, aplicaron fórmulas para calcular valores des- conocidos. Por el contrario, los griegos y los chinos de esta época, normalmente, resolvían tales ecuaciones por métodos geométri- cos, tales como los descritos en la matemática del papiro de Rhind, en los Elementos de Euclides y en los Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas. Las mentes griegas de Alejandría siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el libro Aritmética de Diofanto es- taba en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. El matemático Diofanto ha sido tradicionalmente conoci- do como el padre del álgebra, pero, en tiempos más recien- tes, hay mucho debate sobre si Al-Khwarizmi, que fundó la disciplina del álgebra, merece tal título. Diofanto y Al-Khwarizmi, creadores del álgebra Ahora responde. a. ¿De qué vocablo proviene la palabra álgebra? b. ¿De qué nacionalidad fueron Al-Khwarizmi y Diofanto? c. ¿Conoces el nombre de otros matemáticos que aportaron en la rama del álgebra? Recuerda que... En Egipto ya conocían los productos notables, pero no los calculaban algebraicamente; los calculaban usando áreas.
- 51. 2.o de secundaria 51 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad en el aula 1. Une con una flecha para señalar el equivalente de cada binomio al cubo. (x + 2)3 q q (3x)3 – 3(3x)2 (1) + 3(3x)(1)2 – (1)3 (x + 4)3 q q (x)3 + 3(x)2 (5) + 3(x)(5)2 + (5)3 (x – 2)3 q q (4x)3 + 3(4x)2 (5) + 3(4x)(5)2 + (5)3 (x – 1)3 q q (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 + (2)3 (x + 5)3 q q (x)3 – 3(x)2 (2) + 3(x)(2)2 – (2)3 (2x + 3)3 q q (x)3 + 3(x)2 (4) + 3(x)(4)2 + (4)3 (3x – 1)3 q q (x)3 – 3(x)2 (1) + 3(x)(1)2 – (1)3 (4x + 5)3 q q (2x)3 + 3(2x)2 (3) + 3(2x)(3)2 + (3)3 Desarrollo de un binomio al cubo Se sabe que (a + b)3 = (a+b)(a+b)2 =(a + b)(a2 + 2ab + b2 ) = a(a2 + 2ab + b2 ) + b(a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ∴ (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (I) Si reemplazamos b por – b en (I), se tiene que (a + (– b))3 = a3 + 3a2 (– b) + 3a(– b)2 + (– b)3 ∴ (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 También será de mucha utilidad expresar estos productos de la siguiente manera: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – b3 + 3ab(a – b) Ejemplos 1. (x + 1)3 = x3 + 3(x)2 (1) + 3(x)(1)2 + (1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 2. (x + 2)3 = 3. (x – 3)3 = 4. (x – 4)3 = 5. (x + 3)3 = 6. (x2 + 3)3 = 7. (x2 – 1)3 = 8. (x – 2m)3 = 9. (n2 – 3m)3 =
- 52. Álgebra Compendio escolar 52 a. Luegoen las líneas punteadas, escribe cada producto notable. q (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 q ......................................................... q ......................................................... q ......................................................... q ......................................................... q ......................................................... q ......................................................... q ......................................................... 2. Desarrolla cada binomio al cubo. a. (x + 1)3 = ................................................. b. (t – 2)3 = .................................................. c. p + = 1 2 3 .............................................. d. (a + 4)3 = ................................................. e. (4k – 6)3 = ............................................... f. y − = 5 4 3 ............................................... 3. Si x + y = 3 y xy = 3, halla x3 + y3 . 4. Si a + b = 6 y ab = 8, halla a3 + b3 . 5. Si a – b = 4 y ab = 2, halla a3 – b3 . 6. Si m + n = 1 y mn = 2, halla 3(m3 + n3 ) – 2(m3 + n3 ). 7. Si x x + = 1 2, halla x x 3 3 1 + . 8. Si a + b = 6 y ab = 8, halla a3 + b3 . 9. Si tenemos que a – b = 4 y ab = 12, calcula a3 – b3 . 10. Si tenemos que a – b = 5 y ab = –14, calcula a3 – b3 . 11. De la condición a3 – b3 = 37 y ab(a – b) = 12, calcula a – b. 12. De la condición a3 + b3 = 65 y ab(a + b) = 20, calcula a + b. Actividad domiciliaria 1. Realiza el desarrollo de los binomios al cubo y luego reduce su expresión. a. (x + 3)3 = b. (x + 2)3 = c. (2x + 3y)3 = d. (5m + 3p)3 = e. (2k – 3)3 = f. (4z – 3t)3 = g. (2z4 + 3y2 )3 = h. (2x3 – 3y4 )3 = 2. Si x + y = 4 y xy = –2, halla x3 + y3 . 3. Si x + y = –5 y xy = –3, halla x3 + y3 . 4. Si a3 + b3 = 34 y ab(a + b) = 30, calcula a + b. 5. Si a3 + b3 = 28 y ab(a + b) = 12, calcula a + b. 6. Si a3 – b3 = 26 y ab(a + b) = 6, calcula a – b. 7. Si a a + = 1 3, halla a a 3 3 1 + . 8. Si x + y = – z, halla x3 + y3 + z3 .
- 53. 2.o de secundaria 53 ColegioBertolt Brecht Álgebra 1 2 TEMA División de polinomios Objetivos Identificar los elementos en una división de polinomios relacionándolos con la multiplicación. Identificar y aplicar la división entre monomios, de polinomios a monomios y entre polino- mios mediante el método clásico. Hemos visto que la división, en general, es más complicada que la multiplicación y aunque ahora podemos resolverla con gran facilidad, no siempre fue así. En la antigüedad se consideraba sabio a quien hacía correctamente y con rapidez las divisiones; cada maestro en división (algo así como un especialista) debía co- municar a los demás el resultado de deter- minadas operaciones. Pocos sospechan que los actuales mé- todos de realización de las operaciones aritméticas no fueron, en su origen, senci- llos y cómodos para que en forma rápida y directa condujeran al resultado. Nuestros antepasados emplearon mé- todos mucho más lentos y engorrosos, y si un escolar del siglo xx pudiera trasladar- se tres o cuatro siglos atrás, sorprendería a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus cálculos aritméticos. El rumor acerca de él recorrería las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando de la gloria de los más hábiles contadores de esa época, y de todos lados llegaría gente a aprender del nuevo gran maestro: el arte de calcular. En el libro de V. Belustino: Como llegó gradualmente la gente a la aritmética actual (1911), aparecen 27 métodos de multiplicación, y el autor advierte: “Es muy posible que existan todavía métodos ocultos en lugares secretos como las bibliotecas, que contienen información diseminada fundamentalmente en colecciones manuscritas”. Y todos estos métodos de multiplicación: “ajedrecístico o por organización”, “por inclinación”, “por partes”, “por cruz pequeña”, “por red”, “al revés”, “por rombo”, “por triángulo”, “por cubo o copa”, “por diamante”, y otros, así como todos los métodos de división, que tenían nombres no menos ingeniosos, competían unos con otros, tanto en volumen como en complejidad. Dichos métodos se asimilaban con gran trabajo y solamente después de una prolongada práctica. Inclusive se consideraba que para poder dominar la multiplicación y la división de números de varias cifras significativas con rapidez y exactitud era necesario un talento natural especial, una capacidad excepcional: sabiduría, que para los hombres sencillos era inaccesible. La división no es un asunto difícil Grabado de la Aritmética de Magnitski (editada en el año 1708). El dibujo representa el Templo de la Sabiduría. La Sabiduría está sentada en el trono de la aritmética y en los escalones están los nombres de las operaciones aritméticas (división, multiplicación, sustracción, adición, cálculo). Las columnas son las ciencias en que la aritmética encuentra aplicación, geometría, estereometría, astronomía, óptica (conocimientos adquiridos por “vanidad”), mercatoria (cartografía), geografía, fortificación, arquitectura.
- 54. Álgebra Compendio escolar 54 Aplicación Calcula lasuma de coeficientes del cociente al dividir P (x) ÷ Q (x). P (m) = m5 + 3m4 + 5m3 + 9m2 + 7m + 2 y Q(m) = m2 + 4m + 1 Recuerda que... En la división inexacta de polinomios, se tiene D(x) d(x) r(x) q(x) donde - D(x): dividendo - q(x): cociente - d(x): divisor - r(x): residuo Además D(x) = d(x) · q(x) + r(x) Así, en el siglo xvi se consideraba que el método más corto y cómodo para efectuar una división era el de “lancha o galera”, de- nominado así en Venecia. Esto parece muy divertido, el mate- mático italiano Nicolás Tartaglia (siglo xvi) recomendaba precisamente dicho método como “elegante, fácil, exacto, usual y el más general de los existentes, útil para la división de todos los números posibles”; aunque ahora parezca aburrido, este agota- dor método fue, efectivamente, el mejor en esa época. Adaptado de http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/capitulo03.html 099994800000019948000000199994 166666000000088660000000866666 888888000000088880000000888888 999999000000009990000000099999 9999999000000009990000000099 888 0999 1660 88876 08 199 0860 08877 88 4 6 1 3 09 19 0878 División de números a la manera antigua, por el método de “galera” Ahora responde. a. ¿Qué métodos de división conoces? b. ¿Cuáles son los símbolos que representan a la operación de la división? c. ¿En qué consiste el método de la galera? Recuerda que... Si quisiéramos dividir 69 entre 9, tendría- mos el siguiente esquema: 69 9 63 7 6 donde se cumple 69 = 9(7) + 6 D = d q + r Elementos de la división - (D) dividendo = 69 - (d) divisor = 9 - (q) cociente = 7 - (r) resto = 6 Se puede observar que 69 9 y 9 6. Po- demos, entonces, afirmar que se cumple D d y d r
- 55. 2.o de secundaria 55 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad en el aula 1. Realiza la división de los siguientes mono- mios. a. − = 12 3 3 2 x y xy b. 8x6 ÷ 4x4 = c. – 2x(x16 y4 )(32y6 9) ÷ 2x(– 4y4 )(4x7 ) d. 20x3 (2x)(3y7 ) ÷ – 24x2 y 2. Luego de dividir – 36x3 y2 z4 entre 3x2 yz3 , se obtiene mxn yp zq . Calcula m n p q + + . 3. Realiza la división de las siguientes expresiones. a. (4x3 + 6x2 – 8x) ÷ 2x b. 6 9 12 6 3 4 3 2 2 3 4 x y x y x y xy xy − + − 4. Calcula el grado relativo del cociente de 32 16 8 8 5 7 12 4 2 x y x y x y + . 5. Luego de dividir 16x3 + 8x2 entre 2x, calcula la suma de coeficientes del resultado. 6. Al dividir 24a 4 b 5 + 12a 5 b 4 entre 6ab, se obtie- ne n(2a p b k + a c b m ). Calcula m + n + p + c + k. 7. Mediante el método clásico, realiza las siguientes divisiones y verifica mediante la multiplicación. a. (x2 + 5x + 8) ÷ (x + 4) b. x x x x 3 2 4 8 12 4 + + − − c. 4 15 8 4 1 2 x x x − + + d. (a2 + 2a4 – 3a3 + a – 2) ÷ (a2 – 3a + 2) e. (3x – 6 + 6x4 – 9x3 + 3x2 ) ÷ (3x2 – 9x + 6) 8. Calcula el GR(x) + GR(y) del cociente de 32 16 8 8 5 7 12 4 2 x y x y x y + 9. Si – 32x9 y7 entre 8x3 y5 resulta axb yc , halla a + b. 10. Efectúa la división 2 6 3 4 2 x x x + − + . 11. Si P x y x y x y = − 49 42 7 16 13 15 21 14 9 , luego de dividir calcula GA(P) + GR(x) – GR(y). 12. Divide 12 7 74 7 16 3 7 4 4 3 2 2 a a a a a a − − − + − − .
- 56. Álgebra Compendio escolar 56 Actividad domiciliaria 1. Si 12 4 3 4 2 x y mx y xy n p = , calcula m + n – p. 2. En la división 24 36 4 5 7 2 x x x + , calcula la suma de coeficientes del cociente. 3. En la división 14 56 7 16 17 15 21 14 9 x y x y x y − , luego de obtener el cociente, calcula GR(x) – GR(y). 4. Halla el cociente en x x x 2 7 10 4 + + + . 5. Halla el cociente x x x 2 12 42 5 − + − . 6. En la división de 48x7 y10 z12 entre 12x3 y5 z8 , se obtiene axb yc zd . Halla b d c a + ( ) . 7. Simplifica − + 14 7 28 14 15 20 10 17 25 18 20 15 x y x y x y x y . 8. Halla el cociente y el residuo en la siguiente división de polinomios (método clásico). x x x x 3 2 2 6 3 − + − + 9. Si ax y x y x y c b 8 5 5 4 9 9 = , calcula a c b − . 10. Indica el residuo de la siguiente división. x x x 4 2 2 6 3 + − + 11. Calcula la suma de coeficientes del cociente más los coeficientes del residuo al dividir 12x4 + 8x3 + 6x2 + 4x + 3 entre 3x2 + 2x – 3. 12. ¿Cuántos términos tendrá el cociente de la división de x x x x x x x x x x 45 46 44 43 2 5 4 6 3 1 2 6 3 2 − + + + − + + − + + + ... ... si los dos polinomios son completos? 13. Calcula el penúltimo término del cociente que resulta al dividir 243 1 3 1 5 a a + + . 14. Elabora cuatro ejercicios de división de poli- nomios y desarróllalos.
- 57. 2.o de secundaria 57 ColegioBertolt Brecht Álgebra 1 3 TEMA División de polinomios: método de Horner Objetivos Identificar las propiedades de grado al dividir polinomios. Aplicar el método de Horner para la obtención de cocientes y residuos en la división de polinomios. Horner recibió su educación en la Escuela Kingswood de Bristol. Re- sulta sorprendente que, cuando contaba con 14 años, se convirtiera en maestro auxiliar en dicha escuela y, cuatro años más tarde, en su director. Transcurrido un tiempo, abandonó Bristol y estableció su pro- pia escuela en Bath en el año 1809. Horner realizó una contribución significativa a las matemáticas: el método de Horner, para resolver ecuaciones algebraicas. Este fue pre- sentado a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y publicado el mismo año en las Philosophical Transactions of the Royal Society. No obstante, algunos años antes, Ruffini había descrito un método semejante, por el cual le fue concedido la medalla de oro por la Italian Mathematica Society for Science, que había reclamado mejoras sobre los métodos para obtener soluciones numéricas de ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni Horner fueron los primeros en descubrir este método, ya que Zhu Shijie lo había empleado quinientos años antes. Después de que muriera Horner, su hijo, llamado también William Horner, mantuvo en funcio- namiento la escuela de Bath. Guillermo Horner Aplicación Para poder aplicar la división de los polinomios, el dividendo y el divisor deben ser completos y ordenados en forma descendente, y si faltase al- gún término, se completará con ceros. En forma general D(x) =a0xn +a1xn–1 +a2xn–2 +a3xn–3 +...+an d(x)=b0xm +b1xm–1 +b2xm–2 +...+bm donde a0 ≠b0 ≠0; además n≥ m. El siguiente esquema muestra el procedimiento de este método: b0 esquema coeficientes de q(x) coeficientes de D(x) –b1 –b2 coeficientes de r(x) a3 – – – a4 r0 r1 a0 ÷ q0 a1 q1 ÷ a2 q2 ÷
- 58. Álgebra Compendio escolar 58 Ejemplos 1. Divide4x3 + 4x2 + 1 – 3x entre x + 2x2 – 3. Ordenamos los polinomios D(x) = 4x3 + 4x2 – 3x + 1 d(x) = 2x2 + x – 3 Ubicamos los coeficientes en el esquema de Horner 2 –1 3 4 4 –3 1 El signo cambia. Procedemos según Horner Paso 1. Dividimos el primer término del divi- dendo que es 4 entre el divisor que es 2. 2 4 2 4 –3 ÷ –1 3 1 Paso 2. Multiplicamos el coeficiente 2 (re- sultado del paso 1) por los coeficientes del divisor. 2 4 = = 2 4 –3 × × –1 –2 6 3 1 Paso 3. Sumamos los coeficientes resaltados. 2 4 + 2 4 –3 –1 –2 6 3 2 1 Paso 4. Dividimos el resultado de la suma del paso 3 entre el primer coeficiente del di- visor. 2 4 2 1 4 –3 –1 –2 6 3 1 2 ÷ Paso 5. Multiplicamos el segundo coeficien- te del cociente, que es 1, por los coeficientes –1; 3 del divisor. 2 4 2 4 –3 × × –1 –2 6 3 –1 3 1 1 Paso 6. Sumamos los coeficientes resaltados. 2 4 2 4 –3 –1 3 –1 –2 6 3 1 2 4 1 Resumiendo el procedimiento, tenemos 2 4 2 4 –3 –1 3 –1 –2 6 3 1 2 4 1 × × ÷ ÷ Finalmente, el cociente y el resto serán ex- presados de la siguiente forma: q(x) = 2x + 1; r(x) = 2x + 4
- 59. 2.o de secundaria 59 ColegioBertolt Brecht Álgebra 2. Si Horner vivió menos de 60 años y su edad está representada por el polinomio P(x) = 3x3 + 6x2 + 3, determina lo siguiente. a. ¿Cuántos años tenía cuando falleció y en qué año sucedió? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. b. Elabora un breve comentario sobre la vida de Horner. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. c. ¿Qué es un método? ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. Actividad en el aula 1. Utiliza el método de Horner para encontrar el cociente y el residuo en cada uno de los siguientes ejercicios. a. Divide 5 2 6 2 3 1 3 2 2 x x x x x − + + − + − . Ordenamos D(x) = ………………...… d(x) = ………………...… Q(x) = ……………….…. R(x) = ………………..… b. Divide 27 9 12 3 2 3 2 x x x x + − − . Ordenamos D(x) = ………….…..…… d(x) = ……………..…… Q(x) = …………….….… R(x) = ……………...…… c. Divide 2 2 2 1 4 3 2 x x x x x + − − + . Ordenamos D(x) = ……..…………… d(x) = ……..…………… Q(x) = ……..…………… R(x) = ……...……………
- 60. Álgebra Compendio escolar 60 d. Divide16 7 25 7 5 4 4 2 2 3 x x x x x + − + − + . Ordenamos D(x) = ………….……… d(x) = ………….……... q(x) = ………………… rx) = ………….……… e. Divide x x x x 5 3 2 3 2 4 5 4 − + − + . Ordenamos D(x) = ………….……… d(x) = ………….……… q(x) = …………………. r(x) = ………….………. f. Divide x x x 4 2 2 6 3 + − + . Ordenamos D(x) = ………….……… d(x) = ………….……… q(x) = .………………… r(x) = .………….……… g. Divide 8 6 5 1 2 1 3 2 2 x x x x x − + − + − . Ordenamos D(x) = …….….………… d(x) = …….…….……… q(x) = …..……………… r(x) = …..……….……… 2. Utiliza el método de Horner para encontrar el cociente y el residuo en cada uno de los siguientes ejercicios. a. x x x 2 7 10 4 + + − b. x x x 2 12 42 5 − + − c. x x x x 3 2 3 3 2 2 + + + +
- 61. 2.o de secundaria 61 ColegioBertolt Brecht Álgebra 3. Halla el residuo en las siguientes divisiones. a. 9 3 3 3 2 2 x x x − + − b. 8 10 3 4 3 3 2 x x x x − + − + c. 20 11 27 3 5 3 2 2 x x x x x + + + d. 20 12 7 15 25 4 5 4 2 3 2 x x x x x x − + − + + e. 9 26 15 2 5 2 4 2 + − + − + x x x x f. x x x x x 3 2 2 6 2 1 3 5 + + + + + 4. ¿Cuál es la suma de coeficientes del cocien- te al efectuar la división M(a) ÷ N(a) si M(a) = a6 + 3a4 – a3 + a2 – 2a – 2 y N(a) = a4 – a + 1? 5. Halla el producto de coeficientes del residuo que se genera al dividir 3 1 2 4 5 2 1 2 4 3 2 x x x x x x − − + − − − . 6. Si P(k) = 2k5 – 5 + k2 + 2k3 , ¿cuánto debemos aumentar a P(k) para que al dividirlo por k – 2 el resto sea 24? 7. Calcula la suma de los dos primeros valores positivos que debe tomar a de tal manera que la división de P(x) ÷ Q(x) sea exacta, sien- do P(x) = x3 + ax2 + ax + 1 y Q(x) = x + 1. Actividad domiciliaria 1. En la división, halla el residuo. 16 27 4 7 2 3 5 2 3 3 x x x x + − − + 2. En la división, encuentra el resto. − + + + − − 14 35 2 8 5 2 5 2 3 3 x x x x x 3. En la siguiente división 6 2 6 3 1 3 2 2 x x x x x − + + + + indica el término independiente del resto. 4. Indica si la siguiente división x x x 4 2 2 6 3 + − + es exacta o inexacta. Si es inexacta, indica el resto. 5. En la siguiente división x x x x 5 4 4 2 5 1 − + + + indica la suma de coeficientes del cociente. 6. En la siguiente división 6 4 8 2 1 4 2 x x x + − − ( ) , calcula el producto de coeficientes del co- ciente. 7. Halla b en la siguiente división exacta. x x b x 2 7 3 + + + 8. En la división 2 4 6 2 8 2 4 6 4 3 2 2 x x x x x x + + − + + − , halla el término independiente del cociente. 9. ¿Cuál es el resto de la división? x x x 4 2 2 6 27 3 + − + 10. Indica el cociente de la división. x x x 4 2 2 3 54 9 + − +
- 62. Álgebra Compendio escolar 62 1 4 TEMA Divisiónde polinomios: regla de Ruffini Objetivos Conocer la regla de Ruffini para dividir polinomios de divisor lineal. Comprender esta regla para usarla en temas posteriores. Matemático y médico. Nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano y murió en Módena el 9 de mayo de 1822. Estudió Medicina (además de Filosofía y Litera- tura) y cuando acabó la carrera, se dedicó a estudiar las matemáticas. Sus estudios de matemáticas le va- lieron pronto para tener muy buena reputación en ese campo, y en 1787 accedió al puesto de profesor en la Universidad de Módena (ocupando la plaza vacante de su profesor Cassiani), donde había estudiado. Consi- guió la cátedra de análisis de la escuela militar de esa ciudad, pero tuvo que abandonar el cargo por negarse a jurar fidelidad a la República Cisalpina (compuesta por Lombardía, Emilia, Módena y Bolonia) de Napo- león Bonaparte, pero un año más tarde las tropas de Austria lo volvieron a colocar en el puesto académico. Y no solo eso, fue nombrado rector de la universidad, y catedrático de Clínica Médica, Medicina Práctica y Matemáticas Aplicadas. Paolo Ruffini ha sido conocido a lo largo de los años, dentro del mundo matemático, como el descubridor de la regla de Ruffini, que hace que se permita encontrar los coeficientes del poli- nomio, que resulta de la división de un polinomio cualquiera con el binomio (x–a). Pero esto no ha sido lo único con lo que Ruffini ha colaborado en el mundo de las matemáticas: elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto y superiores, aunque no fue del todo exacta su teoría, que sería corregida posteriormente por Niels Henrik Abel, matemático noruego. Sabemos que Ruffini tuvo discusiones con otros ma- temáticos de la época como Lagrange, al cual enviaba sus resultados. Entre las obras que escribió Paolo Ruffini destacan Teoria generale delle equazione generale in cui si dimostra imposibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto grado (1798), Algebra e suo appendice (1807), Riflessioni intorno alla soluzione delle equazioni algebraiche general (1813) y Riflessioni critiche sopra il sagio filosofico intorno alla pro- babilitá del Signore de Laplace (1821). Paolo Ruffini (1765-1822)
- 63. 2.o de secundaria 63 ColegioBertolt Brecht Álgebra Esquema de la regla de Ruffini La regla de Ruffini es un caso particular del mé- todo de Horner. Se emplea para dividir un po- linomio entre otro de primer grado. Presenta el siguiente esquema: coeficiente del dividendo coeficientes del cociente resto siempre un espacio valor de la variable del divisor despejada coeficiente principal del divisor Actividad en el aula 1. Efectúa las siguientes divisiones por la regla de Ruffini y da como respuesta el cociente. a. 4 9 9 3 2 x x x − − − Resolución b. 7 19 6 3 2 x x x + − + Resolución c. 2 3 2 5 1 4 3 x x x x + + − + Resolución d. 10 11 1 5 2 2 x x x + − + Resolución Ejemplo En la división 4 3 5 4 2 x x x + − − , el esquema de Ruffini sería q(x) r(x) x– 40 x 4 4 3 –5 4 19 71 16 76 Luego q(x) = 4x + 19 r(x) = 71
- 64. Álgebra Compendio escolar 64 2. Sesabe que el residuo de la división mos- trada es (a – 1). Calcula el valor de a siendo (x3 + x2 + ax + 1) ÷ (x – 2). 3. El área de un rectángulo está determinado por el polinomio A(x) = 6x2 + 13x – 8. Si el lado más corto está determinado por el polinomio 2x – 1, ¿cuál es el polinomio que representa el largo de dicho rectángulo? ¿Cuánto es el perímetro cuando x = 6? 4. En la división x x x x 3 2 5 1 − + + − , indica la suma de coeficientes del cociente. 5. Indica el término independiente del cociente. 15 10 12 6 5 2 5 4 x x x x − + − − 6. Señala el menor coeficiente del cociente. 12 24 8 18 2 3 5 4 x x x x + + + + 7. ¿Cuánto se debe disminuir a P(x) para que al dividirlo por (x + 1) el resto sea nulo? Considera P x x x x ( ) . = − ( )+ + 2 4 6 1 2 2 8. En la siguiente división x x b x 2 3 2 + + + se obtiene 3 de resto. Halla el valor de b. 9. En la división 6 4 9 3 2 2 x x x m x − + − − , el resto es – 4. Halla el valor de m. 10. La división 14 29 7 3 2 x x b x − + + es exacta. Halla el valor de b. Actividad domiciliaria 1. Efectúa las siguientes divisiones por la regla de Ruffini y da como respuesta el cociente. a. 2 1 2 1 2 x x x + + − b. 5 9 1 5 1 2 x x x − + + c. 15 17 3 3 4 2 x x x − + − d. 5 25 3 5 2 x x x x − + + − e. 4 11 1 2 2 x x x + − + f. 2 4 3 1 2 3 2 x x x x + − + − 2. Efectúa las siguientes divisiones por la regla de Ruffini. a. Da la suma de coeficientes del cociente. x x x x 3 2 5 5 1 − + + − b. Da como respuesta el mayor coeficiente del cociente. 3 3 2 5 1 4 3 x x x x + − + + c. Indica el término independiente del co- ciente. 8 12 6 8 4 3 5 4 x x x x + − − − d. Indica el menor coeficiente del cociente. 15 5 6 7 2 5 5 4 x x x x − + − + e. Si la división es exacta, halla b. x x b x 2 7 5 + + + .
- 65. 2.o de secundaria 65 ColegioBertolt Brecht Álgebra 1 5 TEMA Teorema del resto Objetivos Calcular el residuo sin efectuar la división polinómica. Resolver problemas que demanden aplicar el teorema del resto. Nació en una familia acomodada. Su padre era consejero en el parlamento de Gran Bretaña. Su madre murió en un parto cuando él tenía 14 meses. Vivió con su abuela hasta que ingresó en el colegio de los jesuitas La Fléche en Anjou, abierto unos meses antes, cuando tenía 8 años. Descartes tenía un carácter triste o melancólico (hoy diríamos depresivo); se achaca este carácter a la temprana pérdida de su madre, a la falta de relación con su padre y a una salud delica- da. En el colegio, le concedieron permiso para levantarse a las 11 a.m. Esta costumbre la mantuvo hasta su muerte. Estudió Derecho en la Universidad de Poitiers. En 1616 se alistó en el ejército del príncipe Maurice de Nassau y fue enviado a Breda (la del cuadro de Velázquez). Estando ahí, un día vio un cartel, en la calle, en el que se proponía la resolución de un problema matemático. Descartes lo resolvió y de esta forma conoció a Isaac Beeckman, el mejor matemático de Holanda en aquella época. En 1618, empezó a estudiar matemáticas con este. En 1619, Descartes le comunicó a Beeckman el descubrimiento de un método que le iba a permitir resolver todos los problemas que se puedan proponer de geometría. Descartes estaba anunciando el descubrimiento de la geometría analítica, aunque no lo publicaría hasta 1637, en su trabajo Geometrie. Entre 1619 y 1622 estuvo en el ejército bávaro. En esta época fue cuando decidió dudar me- tódicamente de todo lo que sabía y debía encontrar puntos de partida evidentes para reconstruir todas las ciencias. Por fin encontró una verdad incuestionable: “Pienso, luego existo”. En 1625, regresó a París y entró en contacto con el círculo del padre Mersenne, al que había conocido en el colegio La Fléche en Anjou. Mersenne fue el mejor amigo de Descartes. En esta época de su vida, incrementó su actividad social y su padre dijo de él: “No vale para nada, salvo para acicalarse”. En 1628, decidió instalarse en Holanda, pero siguió en contacto con Mersenne, quien le man- tenía al tanto de las novedades científicas. En 1649, llegó a Estocolmo, reclamado por la reina Cristina como profesor de Filosofía. Un carruaje lo recogía tres veces por semana, a las cuatro de la mañana. Descartes, que toda su vida se había levantado mucho más tarde, no lo soportó (cosa que no es de extrañar) y murió de pul- monía en febrero de 1650. René Descartes (1596-1650)
- 66. Álgebra Compendio escolar 66 Seha especulado sobre la posibilidad de que Descartes hubiese sido envenenado por los luteranos (para impedir que un católico influyese en la reina Cristina) pero esto está descartado. En 1666, sus restos fueron exhumados y trasladados a París. Descartes ha pasado a la historia de las matemáticas por haber unido la geometría y el álgebra. Presionado por sus amigos, escribió un tratado de ciencia con el título Discours de la mé- thode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences, que fue publicado en Leiden en 1637 (Descartes no consintió que se publicase en Le Monde). Este trabajo tenía tres apéndices: La dioptrique (trabajo sobre óptica) Les meteoros (trabajo sobre meteorología) La geometrie (trabajo sobre geometría) Este último es el más importante de los tres. Está dividido en tres libros: en el libro I (sobre los problemas que pueden construirse empleando solamente círculos y líneas rectas), establece una base geométrica para el álgebra. En el libro II (sobre la naturaleza de las curvas), clasifica las curvas mediante ecuaciones algebraicas y establece un método para calcular tangentes a curvas, que es muy parecido al que se utiliza actualmente. El libro III (sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos) trata de la solución de raíces de ecuaciones. El Discurso del método fundó el cartesianismo. Descartes, para llegar al conocimiento de la verdad, preconiza- ba someter las ideas a la prueba de la duda, porque el espíritu solo debe admitir la evidencia. Demostró luego que la proposición Pienso, luego existo resiste a la prueba de la duda y permite guiarse por la razón. Descartes deseaba crear un método que pudiera aplicarse a la resolución de todos los problemas de la geometría. La teoría se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma de curva plana cualquier ecuación algebraica con dos incógnitas, valiéndose para ello del método de las coordenadas. Teorema del resto El teorema del resto permite hallar el resto en una división sin efectuarla, es decir, en forma directa. Para aplicar este teorema, es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado. Paso 1. El divisor se iguala a cero. x – 1 = 0 Paso 2. Se despeja la variable. – 1 = 0 → x = 1 Paso 3. El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo. Como D(x) = 2x2 + x + 4 → Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4 → Resto = 2 ∙ 1 + 1 + 4 ∴ Resto = r(x) = 7 Recuerda que... Para aplicar el teorema del resto, no es necesario que el polinomio dividendo sea completo.
- 67. 2.o de secundaria 67 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad en el aula 1. Utilizando el teorema del resto, en cada una de las siguientes divisiones, halla el residuo respectivo. a. x x x 2 5 1 + + − Resolución b. x x x 2 1 2 − + − Resolución c. 2 3 2 2 1 3 2 x x x x + − + − Resolución d. x x x 2 3 11 1 + + + Resolución e. x x x 2 2 4 2 − − + Resolución f. 3 3 8 1 4 3 x x x x + + + + Resolución
- 68. Álgebra Compendio escolar 68 g. 2 2 1 2 xx x + − Resolución h. 3 2 3 1 2 x x x + − Resolución 2. En la división 2 1 2 x x b x − + − , halla el valor de b si el resto que se obtiene es 7. 3. La siguiente división 3 3 2 2 x bx x + − − tiene resto 5. Halla b. 4. Halla el valor de b en la siguiente división bx x x x 3 2 2 4 1 + + + + si el resto es 3. 5. Halla el valor de b si el resto de la división x x b 2 23 + − es 27. 6. Calcula el resto de x x x 4 6 2 1 + − . 7. De la división x x x x 4 6 2 2 3 3 1 + + − − , halla el resto. 8. Halla el resto en la división 4 8 3 1 2 5 4 x x x x − + + − . 9. Calcula el resto de x x x x − ( ) + − ( ) + − − 1 2 1 1 1 2004 2003 . 10. Calcula el resto de x x x 4 2 2 1 + − . 11. Halla el resto de la división 2 5 2 97 98 x x x − + − . 12. Halla el resto de la división 5 2 3 3 1 100 99 45 x x x x + − + − .
- 69. 2.o de secundaria 69 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad domiciliaria 1. Utilizando el teorema del resto, en cada una de las siguientes divisiones, halla el residuo respectivo. a. x x x 2 2 2 1 + + − b. x x x 2 3 2 2 + − − c. 5 2 5 2 1 3 2 x x x x − − + − d. x x x 2 6 8 1 + + + e. x x x 2 1 3 + − − f. 8 8 2 2 1 4 3 x x x x + + + + g. 2 3 2 1 2 x x x − − h. 3 5 3 1 2 x x x + − 2. Halla b en la siguiente división 2 3 2 2 x x b x − + − si el resto es 3. 3. La siguiente división 2 4 3 2 x bx x + + − tiene resto 7. Halla b. 4. Halla el valor de b en la división bx x x x 3 2 3 3 2 1 − + + + si el resto es 5. 5. Halla el valor de b si el resto de x x b 2 15 + − es 40. 6. Indica el resto de la siguiente división. 2 4 2 3 2 7 6 x x x x − + + − 7. Calcula el resto de 3 5 1 2 2 2004 2003 x x x − ( ) + − ( ) − − . 8. Halla el resto de 4 3 2 1 4 1 2009 2008 x x x − ( ) + − ( ) + − . 9. Halla el resto de dividir 5 9 2 4 3 2 2007 2009 x x x x − ( ) + − ( ) + + − .
- 70. Álgebra Compendio escolar 70 1 6 TEMA Ángulos Objetivos Representar ángulos geométricos mediante el uso de instrumentos de medición angular. Conocer la clasificación de los ángulos y sus aplicaciones en nuestro medio. Conocer las aplicaciones y realizar ejemplos sobre ángulos de instrumentos de medición angular. Ballestilla. Es un instrumento de navegación antiguo utiliza- do para medir la altura del Sol y otros astros sobre el hori- zonte con el fin de utilizar la información así obtenida en la navegación náutica. Una descripción de la ballestilla que hizo un judío catalán llamado Levi ben Gerson en 1342 pa- rece ser la noticia más antigua acerca de este instrumento. La ballestilla es una vara de madera sobre la que se desliza una vara cruzada más pequeña. El marino aplicaba el ojo en un extremo del instrumento, dirigía este hacia la estrella cuya posición quería medir y deslizaba la vara cruzada hasta que la parte inferior de esta coincida con el horizonte y la superior con la estrella. La altura de la estrella (ángulo que forma con el horizonte) se leía directamente en una graduación grabada en la vara principal. Astrolabio. Es un instrumento utilizado para medir la posición de los cuerpos celestes. Consiste en un círculo, o sección de un cír- culo, dividido en grados con un brazo móvil montado en el centro de dicho círculo. Cuando el punto cero del círculo se orienta con el horizonte, la altura de cualquier objeto celeste se puede medir observando el brazo. El primer astrónomo que utilizó el astrolabio fue el griego Hi- parco de Nicea. En el siglo xvi, poco antes de que se inventara el telescopio, el astrónomo danés Tycho Brahe, que con sus obser- vaciones asombrosamente precisas hizo posible la formulación de las teorías actuales sobre el sis- tema solar, construyó un astrolabio de tres metros de radio. Hasta ser sustituidos por los sextantes, en el siglo xviii, los astrolabios fueron los instrumentos fundamentales que utilizaron los navegantes. Brújula. Es un instrumento que indica el rumbo empleado por ma- rinos, pilotos, cazadores, excursionistas y viajeros para orientarse. Hay dos tipos fundamentales de la brújula: la brújula magnéti- ca, que en versiones primitivas se utilizaba ya en el siglo xiii, y el girocompás o brújula giroscópica, un dispositivo desarrollado a comienzos del siglo xx. En la brújula magnética, el rumbo se de- termina a partir de una o varias agujas magnetizadas que señalan al polo norte magnético bajo la influencia del campo magnético terrestre. Instrumentos de medición
- 71. 2.o de secundaria 71 ColegioBertolt Brecht Álgebra Cuadrantes. Es una placa metálica en forma de cuarto de círculo. En uno de los lados hay dos mirillas (para dirigirlo hacia el astro deseado) y el arco está graduado. Del vértice cuelga una plomada que indica la dirección vertical. La lectura se obtiene de la posición de la cuerda de la plomada sobre el arco graduado. El cuadrante se aplicó a la astronomía y a la navegación. Los astrónomos lo usa- ban para medir la altura de los astros por encima del horizonte. Los marinos lo usaban sobre todo para determinar la latitud a la que se encontraban (midiendo la altura sobre el horizonte de la estrella polar o del sol del mediodía). El reloj de sol. Indicaba la hora local verdadera. Era generalmente de tamaño pequeño para poderlo llevar en un bolsillo, y provisto de una brújula para orientar su línea central en el sentido del me- ridiano. Como los relojes normales de sol se construían para una determinada latitud, a medida que la nave se apartaba de ella, sus indicaciones eran cada vez más erróneas. Ahora que conocemos algunos instrumentos de medición, veremos que también existe un instrumento para medir ángulos. El transportador. Es un instrumento semicircular que se utiliza para medir ángulos, graduado hasta 180º. Tiene dos escalas: una en la parte superior y otra en la parte inferior. Comprueba tu aprendizaje a. Utilizando el transportador, trazamos una figura geométrica conocida como ángulo y en él identi- ficamos sus elementos. α medida del ángulo O A B lado OA lado OB Notación - AOB: ángulo AOB - m AOB: medida del ángulo AOB = a Elementos - vértice: O - lados: OA OB y b. Dibuja una casa y en ella identifica, extrae y grafica ángulos considerando sus medidas. c. Escribe tres ejemplos en los que se puedan identificar ángulos (según su medida) en tu cuerpo. Explica con detalle. ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Recuerda que... El ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos no colineales que tienen el mismo origen llamado vértice.
- 72. Álgebra Compendio escolar 72 Actividad enel aula 1. Empleando el transportador, mide los siguientes ángulos y escribe su nombre según su clasifica- ción. a. O A B b. O C D c. N P M m AOB = .................... m COD = .................... m MNP = .................... d. S R T e. D O F f. L P K m RST = .................... m DOF = .................... m LKP = .................... 2. Empleando la regla y el transportador, grafica los ángulos según las medidas indicadas. a. m AOB = 30º b. m COD = 143º c. m PQR = 40º d. m RST = 130º e. m DEF = 137º R S E D
- 73. 2.o de secundaria 73 ColegioBertolt Brecht Álgebra 3. Observa y contesta. En el gráfico, si m AOB = m BOC, OB es ........................................................ del AOC Además del transportador, ¿qué instrumento utilizarías para deter- minar la bisectriz de cualquier ángulo? 4. Traza la bisectriz de los siguientes ángulos empleando la regla y el transportador. a. b. c. d. e. f. O A B C 39º 39º 5. Calcula el complemento de la medida de un ángulo si dicho ángulo es igual al suplemen- to de 160º. 6. Calcula el suplemento del complemento de 70º. 7. El suplemento del complemento de la me- dida de un ángulo es igual a 100º. Calcula dicha medida. 8. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es igual a 40. Calcula la medida del ángulo mayor. 9. El complemento de la medida de un ángulo es igual al quíntuplo de la medida del ángu- lo. Calcula dicha medida. 10. Calcula la medida de un ángulo sabiendo que esta es igual a un octavo de su suple- mento. 11. La diferencia entre el suplemento y el com- plemento de α es igual a 6α. Calcula α. 12. Si AC : recta, además, m AOD =160º y m BOD =170º, calcula m BOC. A B C D O 13. Si OC: bisectriz del BOD; m AOB = 20º y m AOD = 80º, calcula m AOC. O D C B A
- 74. Álgebra Compendio escolar 74 14. Si OC:bisectriz del AOD; m AOB = 20º y m BOD = 60º, calcula m BOC. O A B C D 15. Si m AOC = 100º y m BOD = 90º, calcula m XOY. α α θ θ A O X B C Y D 16. Si m COD = 28 y (m AOB)(m AOC) = (m AOC)(m COD), calcula m AOB. O A B C D 17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD; además m AOB + m COD = 70º, OX: bisectriz del AOC y OY: bisectriz de m BOD. Calcula m XOY. 18. Calcula θ. θ θ A B C D O 40º 19. Calcula m POQ. O A C Q B P α α β β 20. Calcula el suplemento de θ. 2θ 3θ 4θ A D C B O 21. Si m AOC + m BOD = 140º, calcula x. x O A B C D 22. Si S: suplemento y C: complemento, calcula SC(40º). 23. Si S: suplemento y C: complemento, halla SC SS CCC o o o ( ) ( ) ( ) . 50 139 89 − 24. Calcula la m POQ si la m AOC = 60º y m BOD = 80º. (C: complemento) α α β β O D Q C B P A
- 75. 2.o de secundaria 75 ColegioBertolt Brecht Álgebra Actividad domiciliaria 1. Si OP es bisectriz del AOC y m AOB = 36; además m BOC = 30, calcula x. O A P B x C 2. En el gráfico mostrado, calcula θ si m BON = 22º; ON es bisectriz del AOX y OM es bisectriz del AOX’. θ θ O M A B N X X' 3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que m AOC – m BOD = 10º y m MON = 100º. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, respectivamente, calcula m AOC. 4. Calcula el valor de x para que OB sea bisec- triz del AOC. O B A C 40º 5x 5. El complemento de la medida de un ángulo es igual al doble de la medida de dicho án- gulo. Halla la medida del ángulo en mención. 6. Halla la medida de un ángulo sabiendo que la diferencia entre su suplemento y su com- plemento es seis veces la medida de dicho ángulo. 7. Calcula el complemento del suplemento de 120º y luego adiciónale el suplemento del complemento de 60º. 8. Indica el triple de la mitad del complemento de 40º. 9. ¿En cuánto excede el doble del comple- mento de 63º al triple del complemento de 84º? Bibliografía Asociación Fondo de Investigadores y Editores. Compendio académico de álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2007. Asociación Fondo de Investigadores y Editores. Álgebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras Editores, 2000. COVEÑAS NAQUICHE, Manuel. Matemática 2. Lima: Editorial Coveñas, 2004. PISCOYA HERMOZA, Luis. Retos de la matemática, el impacto del CONAMAT. Lima: Fondo Editorial UCH, 2009. ROJAS, Alfonso. Matemática 2. Colección Skaners. Lima: Editorial San Marcos. SEBASTIANI CARRANZA, Felipe. Diccionario de matemática. Lima: Editorial Escuela Nueva, 2003. Páginas web consultadas http: // en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei(en.wikipedia.org) (consulta 10/02/2014) http: // www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/capitulo03.html (consulta el 19/02/2014) http: // www.ecured.cu/index.php/Transportador_de_%C3%A1ngulos (consulta el 20/02/2014) http: // masterpilargomezcueva.blogspot.com/2013/04/la_ultima_ecuacion_de_diofanto_17htm (consulta el 11/02/2014)