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- 3. 3.1. Orbitales atómicos Triplenlace.com (Más sobre orbitales atómicos: aquí y aquí)
- 4. Triplenlace.com Para explicar el comportamiento de los electrones en los átomos, Schrödinger se basó en la propuesta de De Broglie de que el electrón lleva asociada una onda. Entre los posibles tipos de ondas escogió las estacionarias porque están confinadas en un espacio cerrado…
- 5. Triplenlace.com …y sus movimientos están cuantizados, en el sentido de que solo son posibles ciertos modos de vibración, cada uno con una energía asociada
- 6. Triplenlace.com Estos modos presenta nodos, que son puntos de la onda que no se mueven en la vibración
- 7. Triplenlace.com Las cuerdas de una guitarra pueden generar ondas estacionarias El comportamiento de las ondas estacionarias viene dado por la llamada ecuación de ondas
- 8. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸 Schrödinger quiso buscar una ecuación de ondas cuántica que contuviera una función capaz de describir el estado físico del electrón en el átomo; la llamó función de onda, . La función de onda tiene valores distintos en distintos puntos del espacio. Es decir, depende de las coordenadas x, y, z
- 9. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸H Esta es la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) simplificada. E es la energía del átomo y H es el llamado operador hamiltoniano…
- 10. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸 …que se puede desarrollar en dos términos, un operador de energía cinética (azul) y otro de energía potencial (rojo)
- 11. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸 Como se ve, se trata de una ecuación en derivadas parciales. Resolverla es laborioso, pero resulta más sencillo si las coordenadas cartesianas (x, y, z) se transforman en coordenadas polares esféricas (𝒓, 𝜽, 𝝋)
- 12. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = arccos 𝑧 𝑟 = arctan 𝑦 𝑥 Estas son las relaciones entre ambos sistemas de coordenadas
- 13. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸 = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Estas es la solución de la ecuación de ondas para átomo de un solo electrón (hidrogenoides). Como ve, está en función de (𝒓, 𝜽, 𝝋) y también de unos valores 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 Nota: la L de la función se refiere a “polinomios de Laguerre”; la P, a “polinomios de Legendre”
- 14. Triplenlace.com − ℎ 82 𝜕2 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜕𝑧2 − 𝑍𝑒2 40 𝑟 = 𝐸 𝐸 𝑛 = − 𝑍2 𝑒4 8𝜀0 2ℎ2 𝑛2 La solución para la energía asociada está en función de 𝑛 = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 15. Triplenlace.com Los valores 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 son parámetros de la ecuación y se llaman números cuánticos Que la función de onda dependa de parámetros significa que tiene infinitos valores, dependiendo de los valores que se le den a los parámetros. Ahora bien, se demuestra que los parámetros 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 no pueden tener cualquier valor arbitrario • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 16. Triplenlace.com Concretamente, hay que seguir estas reglas para escoger valores válidos de 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 17. Triplenlace.com • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). A cada solución válida de se le llama orbital = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 18. Triplenlace.com • para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0 Cada orbital se puede nombrar con el símbolo y, como subíndices, los valores de 𝑛, 𝓁 y 𝑚 𝓁 . Por ejemplo, si 𝑛 =1, 𝓁 solo puede valer 0 y 𝑚 𝓁 solo puede valer 0. Por lo tanto, el orbital correspondiente a esos números cuánticos se denomina 1,0,0 • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 19. Triplenlace.com • para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 2,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 1 se pueden obtener tres orbitales, en función de 𝑚 𝓁 (–1, 0 y 1): 2,1,−1, 2,1,0, 2,1,−1 • etc. • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 20. Triplenlace.com • para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 2,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 1 se pueden obtener tres orbitales, en función de 𝑚 𝓁 (–1, 0 y 1): 2,1,−1, 2,1,0, 2,1,−1 • etc. 𝑛𝓁 𝑚 𝓁 Una notación mucho más común para los orbitales es esta • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 21. Triplenlace.com • para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 2,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 1 se pueden obtener tres orbitales, en función de 𝑚 𝓁 (–1, 0 y 1): 2,1,−1, 2,1,0, 2,1,−1 • etc. Valor de 𝓁: 0 1 2 3 4 5 Letra: s p d f g h𝑛𝓁 𝑚 𝓁 En ella se tiene en cuenta que los valores numéricos de 𝓁 se suelen sustituir por estas letras • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 22. Triplenlace.com • para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 2,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 1 se pueden obtener tres orbitales, en función de 𝑚 𝓁 (–1, 0 y 1): 2,1,−1, 2,1,0, 2,1,−1 • etc. Valor de 𝓁: 0 1 2 3 4 5 Letra: s p d f g h𝑛𝓁 𝑚 𝓁 • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). 1,0,0 = 1s = 1 𝜋 𝑍 𝑎 3/2 𝑒− 𝑍𝑟 𝑎 𝑛 = 1 𝓁 = 0 𝑚 𝓁 = 0 Por ejemplo, para los valores de los números cuánticos (1,0,0) el orbital se puede llamar tanto 𝜓1,0,0 como 1s. (Excepcionalmente, en los orbitales s no se escribe el valor del subíndice 𝑚 𝓁 porque siempre es 0) = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 23. Triplenlace.com • para 𝑛 = 1 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 1,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 0 se obtiene el orbital 2,0,0 • para 𝑛 = 2 y 𝓁 = 1 se pueden obtener tres orbitales, en función de 𝑚 𝓁 (–1, 0 y 1): 2,1,−1, 2,1,0, 2,1,−1 • etc. Valor de 𝓁: 0 1 2 3 4 5 Letra: s p d f g h𝑛𝓁 𝑚 𝓁 • 𝑛: número cuántico principal • 𝓁: número cuántico acimutal • 𝑚 𝓁: número cuántico magnético 1. Se escoge cualquier valor de 𝑛 que sea un número natural (1, 2, 3…). 2. Para un valor de 𝑛 se escogen valores enteros de 𝓁 desde el 0 al 𝑛 – 1. 3. Para cada valor de 𝓁 se escogen valores de 𝑚 𝓁 que sean enteros contenidos entre −𝓁 y +𝓁 (ambos incluidos). 𝑛 = 1 𝓁 = 0 𝑚 𝓁 = 0 Sustituyendo en la función de arriba los valores (𝑛, 𝓁, 𝑚 𝓁) por (1,0,0) se obtiene la expresión matemática del orbital 1s = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 1,0,0 = 1s = 1 𝜋 𝑍 𝑎 3/2 𝑒− 𝑍𝑟 𝑎
- 24. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Triplenlace.com Pero todos los casos en los que 𝑚 𝓁 0 la solución es mucho más complicada. De hecho, ni siquiera sería una función matemática real, sino compleja ya que contendría al número imaginario i (para 𝑚 𝓁 = 0, i desaparecería, pero en los demás casos no) 1,0,0 = 1s = 1 𝜋 𝑍 𝑎 3/2 𝑒− 𝑍𝑟 𝑎
- 25. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Triplenlace.com Nota: es posible trabajar con funciones de onda reales haciendo combinaciones lineales de funciones de onda imaginarias para conseguir algebraicamente que desaparezca i. Un teorema de la mecánica cuántica demuestra que si dos funciones de onda tienen la misma energía, una combinación lineal de las mismas es también solución de la ecuación de Schrödinger y mantiene la misma energía. De hecho, así es como se procede para obtener los orbitales reales con los que se trabaja en química. Por ejemplo, los orbitales 2,1,−1 y 2,1,1 son funciones imaginarias, pero hay combinaciones lineales de las mismas que son reales
- 26. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Triplenlace.com Esta característica complica mucho entender qué significado físico tiene la función de onda. Además, hay otra dificultad para ello: que es una función de tres variables: (𝒓, 𝜽, 𝝋), o sus equivalentes (x, y, z). Las funciones de tres variables necesitarían un espacio tetradimensional (4D) para poder ser representadas gráficamente. Esto se explica mejor a continuación
- 27. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Obsérvese la línea verde dibujada en esta imagen
- 28. Triplenlace.com 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛 = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Se trata de una recta, cuya función matemática es una función de una variable: f(x). Una función de una variable se puede representar en un plano (es decir, en dos dimensiones)
- 29. Triplenlace.com 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑟2 − 𝑥2 1/2 = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Lo mismo se puede decir del círculo rojo
- 30. Triplenlace.com 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑟2 − 𝑥2 1/2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2 1/2 = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Una esfera es una función de dos variables y necesita tres dimensiones, o sea, tres ejes, para ser representada: un eje para la función, otro para la variable x y otro para la variable y
- 31. Triplenlace.com 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑟2 − 𝑥2 1/2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2 1/2 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ⋯ = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 En cambio es una función de tres variables: (𝒓, 𝜽, 𝝋) o sus equivalentes (x, y, z). Necesitaríamos cuatro dimensiones. Pero solo percibimos objetos de tres dimensiones (átomos incluidos)
- 32. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Una estrategia para adquirir una idea de la “forma” de cada orbital es hacer constante una de las variables y representar la función de onda frente a las otras. Eso equivale a hacer una proyección del espacio 4D en el 3D del mismo modo que un objeto 3D como el de la figura…
- 33. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 …se puede proyectar en un plano (2D)
- 34. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 O en otro plano
- 35. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃
- 36. Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Las proyecciones nos permitirían hacernos una idea de la forma del objeto incluso sin verlo
- 37. Triplenlace.com 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Una estrategia mejor es obtener el cuadrado de . Max Born interpretó que el cuadrado de la función de onda, 2, representa la densidad de probabilidad o densidad electrónica. Es decir, da una idea de la región o regiones en las que se “concentra” el electrón. Un modo de dibujar esas regiones es calcular 2 en miles de puntos elegidos al azar alrededor del núcleo. Después se traza una superficie de contorno, que es aquella que reúne dos condiciones: pasa por todos los puntos que tienen un valor concreto de densidad electrónica y engloba un cierto porcentaje de la densidad electrónica total, habitualmente el 90%. Para tener una mejor apreciación visual de la forma del orbital, el algoritmo de selección de puntos los elige modo que calcula más valores de 2 en zonas en las que va encontrando que su valor es alto. Así, cuanto más “apretados” veamos esos puntos, mayor es 2
- 38. Triplenlace.com 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 1s = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Este es el resultado de la aplicación del procedimiento para el orbital 1s
- 39. Triplenlace.com 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 1s 2s = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Esta sería la “forma” 3D de un orbital 2s (Nota: Como se ve, para dibujar el orbital 2s se han empleado dos colores (naranja en el centro y azul en el resto). Esto se debe a que la función de onda , como la mayoría de las funciones matemáticas, tiene signo positivo en unas regiones y negativo en otras. El signo se llama fase y no tiene nada que ver con la carga (siempre negativa) del electrón. La densidad electrónica, 2, tiene signo positivo, pero conviene retener el signo que tenía en cada región para comprender cómo se forman los orbitales moleculares a partir de orbitales atómicos)
- 40. Triplenlace.com 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 1s 2s 3s = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 “Forma” 3D de un orbital 3s (Nota: Los orbitales 3s tienen dos regiones con un signo (naranja) y una con signo contrario (azul)
- 41. Triplenlace.com 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 1s 2s 3s = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Representación de la región que contiene un 90% de la densidad de un electrón 1s
- 42. Triplenlace.com 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 1s 2s 3s = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Representaciones de las regiones que contienen un 90% de la densidad de electrones tipo 2s y 3s (Nota: Las regiones esféricas se han seccionado por la mitad para comprender la estructura de las fases. Del mismo modo que una función matemática vale 0 donde pasa de negativa a positiva o viceversa, en la zona del paso de la fase naranja a la azul o viceversa hay un nodo, es decir, la densidad electrónica es 0
- 43. Triplenlace.com 2p 3p 4p 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Estas son representaciones de los orbitales 2p, 3p y 4p (mapa de puntos y superficies de contorno)
- 44. 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 3dxy 3dz23dyz 3dxz 3dx2 – y2 Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Superficies de contorno de orbitales d (las superficies blanquecinas son nodos)
- 45. 2 = ⋯ densidad de probabilidad o densidad electrónica 4fx(x2 – 3y2) 4fy(3x2 – y2) 4fxz2 4fyz2 4fz(x2 – y2) 4fxyz 4fz3 Triplenlace.com = − 𝑛−𝓁−1 ! 2𝑛 𝑛+𝓁 ! 3 2𝑍 𝑛𝑎 2𝓁+3 𝑟 𝓁 𝑒− 𝑍𝑟 𝑛𝑎 𝐿 𝑛+𝓁 2𝓁+1 2𝑍𝑟 𝑛𝑎 2𝓁+1 𝓁− 𝑚 𝓁 ! 4𝜋 𝓁+ 𝑚 𝓁 ! 𝑒 𝑖𝑚 𝓁 𝜑 𝑃𝓁 𝑚 𝓁 cos 𝜃 Superficies de contorno de orbitales f (las superficies blanquecinas son nodos)
Notas del editor
- Esos hechos llevaron a los físicos a tratar de formular una ecuación de ondas cuántica que en el límite clásico macroscópico se redujera a las ecuaciones de movimiento clásicas o leyes de Newton. Dicha ecuación ondulatoria había sido formulada por Erwin Schrödinger en 1925 y es la celebrada Ecuación de Schrödinger:
- La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925, describe la evolución temporal de una partícula subatómica masiva de naturaleza ondulatoria y no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Según los operadores diferenciales que se utilizan, se observa que es una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal.
- Sharp, prinsipol, fandaménta/ol, di/efiuse.
- Sharp, prinsipol, fandaménta/ol, di/efiuse.
- Sharp, prinsipol, fandaménta/ol, di/efiuse.
- Una función de onda es una entidad matemática que proporciona una distribución de probabilidad para los resultados de cada posible medición en un sistema. El conocimiento del estado cuántico junto con las reglas para la evolución del sistema en el tiempo agota todo lo que se puede predecir sobre el comportamiento del sistema. Generalmente, las interpretaciones tipo Copenhague niegan que la función de onda proporcione una imagen directamente aprehensible de un cuerpo material ordinario o un componente discernible de alguno de ellos, [23] [24] o algo más que un concepto teórico. La regla de Born es esencial para la interpretación de Copenhague. [25] Formulado por Max Born en 1926, da la probabilidad de que una medición de un sistema cuántico dé un resultado dado. En su forma más simple, establece que la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado, cuando se mide, es proporcional al cuadrado de la magnitud de la función de onda de la partícula en ese punto. [Nota 5] (Postulado de Max Born)