El documento presenta un problema de conducción de calor estacionario unidimensional y bidimensional para una aleta. Se describen 12 ecuaciones que modelan la transferencia de calor entre nodos de la aleta. Al resolver numéricamente este sistema de ecuaciones, se obtienen las temperaturas en cada nodo de la aleta en régimen estacionario.

1. PROBLEMAS DE CONDUCCION DE
CALOR ESTACIONARIO,
UNIDIMENSIONAL, BIDIMENCIONAL Y
TRIDIMENCIONAL (método numérico)

2. • La base de la aleta que se muestra se mantiene a 300°C y esta expuesta al
entorno convectivo indicado. Calcúlese las temperaturas en régimen estacionario
de los nodos mostrados y el calor perdido si k = 1W/m°C
3
0
0
°C
Datos:
∆𝑦
∆𝑥
= 0.5 , 𝐊 =
𝟏𝐖
𝐦°𝐂
, 𝐡 =
𝟒𝟎𝐖
𝐦𝟐°𝐂
𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 ∶
∆𝑥
∆𝑦
= 2
Nodo 1
…………(1)
1 2 3 4
8
1211109
5 6 7
8cm
𝑄300−1 + 𝑄 𝑐1−1 + 𝑄2−1+𝑄5−1 = 0
C1
C2
C3
𝐾
∆𝑥
2∆𝑦
300 − 𝑇1 + h∆𝑥 30 − 𝑇1 + 𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
(𝑇2 − 𝑇1)+K
∆𝑋
∆𝑦
𝑇5 − 𝑇1 = 0
1cm
1cm
−6.6𝑇1 + 0.5𝑇2 + 4𝑇5 = −198

3. Ecuación nodo 9
Ecuación del nodo 2
Ecuación del nodo 10
𝑄300−9 + 𝑄 𝑐3−9 + 𝑄10−9+𝑄5−9 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
300 − 𝑇9 + h∆𝑥 30 − 𝑇1 + 𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
(𝑇10 − 𝑇9)+K
∆𝑋
∆𝑦
𝑇5 − 𝑇9 = 0
−6.6𝑇9 + 0.5𝑇10 + 4𝑇5 = −198
𝑄1−2 + 𝑄 𝑐1−2 + 𝑄3−2+𝑄6−2 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
𝑇1 − 𝑇2 + h∆𝑥 30 − 𝑇2 + 𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
(𝑇3 − 𝑇2)+K
∆𝑋
∆𝑦
𝑇6 − 𝑇2 = 0
0.5𝑇9 − 6.6𝑇10 + 0.5𝑇11 + 4𝑇6 = 0
𝑄9−10 + 𝑄6−10 + 𝑄11−10+𝑄 𝑐3−10 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
𝑇9 − 𝑇10 + 𝐾
∆𝑥
∆𝑦
(𝑇6 − 𝑇10)+K
∆𝑋
2∆𝑦
𝑇6 − 𝑇2 + h∆𝑥 30 − 𝑇10 = 0
0.5𝑇1 − 6.6𝑇9 + 0.5𝑇3 + 4𝑇6 = −48

4. • Ecuación del nodo 3
Ecuación del nodo 11
Ecuación del nodo 4
𝑄2−3 + 𝑄 𝑐1−3 + 𝑄4−3+𝑄7−3 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
𝑇2 − 𝑇3 + h∆𝑥 30 − 𝑇3 + 𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
(𝑇4 − 𝑇3)+K
∆𝑋
∆𝑦
𝑇7 − 𝑇3 = 0
0.5𝑇2 − 6.6𝑇3 + 0.5𝑇4 + 4𝑇7 = −48
𝑄10−11 + 𝑄7−11 + 𝑄12−11+𝑄 𝑐3−10 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
𝑇10 − 𝑇9 + 𝐾
∆𝑥
∆𝑦
(𝑇7 − 𝑇11)+K
∆𝑋
2∆𝑦
𝑇12 − 𝑇11 + h∆𝑥 30 − 𝑇11 = 0
0.5𝑇10 − 6.6𝑇11 + 0.5𝑇12 + 4𝑇7 = −48
𝑄3−4 + 𝑄 𝑐1−4 + 𝑄8−4+𝑄 𝑐2−4 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
𝑇3 − 𝑇4 + ℎ
∆𝑥
2
(30−𝑇4)+K
∆𝑋
2∆𝑦
𝑇8 − 𝑇4 + ℎ
∆𝑦
2
30 − 𝑇4 = 0
0.5𝑇3 − 3.7𝑇4 + 2𝑇8 = −36

5. Ecuación del nodo 12.
Ecuación del nodo 8.
• Ecuación del nodo 7.
𝑄7−8 + 𝑄4−8 + 𝑄12−8+𝑄 𝑐2−8 = 0
𝐾
∆𝑦
∆𝑥
𝑇7 − 𝑇8 + 𝐾
∆𝑥
2∆𝑦
(𝑇4 − 𝑇8)+K
∆𝑋
2∆𝑦
𝑇12 − 𝑇8 + h
∆𝑦
2
30 − 𝑇8 = 0
𝑄11−12 + 𝑄 𝑐3−12 + 𝑄8−12+𝑄 𝑐2−12 = 0
𝐾
∆𝑦
2∆𝑥
𝑇11 − 𝑇12 + ℎ
∆𝑥
2
(30−𝑇12)+K
∆𝑋
2∆𝑦
𝑇8 − 𝑇12 + ℎ
∆𝑦
2
30 − 𝑇4 = 0
0.5𝑇11 − 3.7𝑇12 + 2𝑇8 = −36
2𝑇4 − 0.5𝑇8 + 𝑇7 + 2𝑇12 = −12
𝑄6−7 + 𝑄3−7 + 𝑄8−7+𝑄11−7 = 0
𝐾
∆𝑦
∆𝑥
𝑇6 − 𝑇7 + 𝐾
∆𝑥
∆𝑦
(𝑇3 − 𝑇7)+K
∆𝑦
∆𝑥
𝑇8 − 𝑇7 + h
∆𝑥
∆𝑦
𝑇11 − 𝑇7 = 0
2𝑇3 + 0.5𝑇6 − 5𝑇7 + 0.5𝑇8 + 2𝑇11 = 0

6. • Ecuación del nodo 6
• Ecuación del nodo 5
Ordenando las 12 ecuaciones y formando la matriz de 12x12,se
obtiene la distribución de temperaturas
𝑄5−6 + 𝑄2−6 + 𝑄7−6+𝑄10−6 = 0
𝐾
∆𝑦
∆𝑥
𝑇5 − 𝑇6 + 𝐾
∆𝑥
∆𝑦
(𝑇2 − 𝑇6)+K
∆𝑦
∆𝑥
𝑇7 − 𝑇6 + h
∆𝑥
∆𝑦
𝑇10 − 𝑇6 = 0
2𝑇2 + 0.5𝑇5 − 5𝑇6 + 0.5𝑇7 + 2𝑇10 = 0
𝑄300−5 + 𝑄1−5 + 𝑄6−5+𝑄9−5 = 0
𝐾
∆𝑦
∆𝑥
300 − 𝑇5 + 𝐾
∆𝑥
∆𝑦
(𝑇1 − 𝑇5)+K
∆𝑦
∆𝑥
𝑇6 − 𝑇5 + h
∆𝑥
∆𝑦
𝑇9 − 𝑇5 = 0
2𝑇1 − 5𝑇5 + 0.5𝑇6 + 2𝑇9 = −150

7. -6.6 0.5 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 4 0 0 0 -
6.6
0.5 0 0
0.5 -6.6 0.5 0 0 4 0 0 0 0 0 0
0. 0 0 0 0 4 0 0 0.5 -6.6 0.5 0
0 0.5 -6.6 0.5 0 0 4 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 4 0 0 0.5 -6.6 0.5
0 0 0.5 -3.7 0 0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0.5 -3.7
0 0 0 2 0 0 1 -5.4 0 0 0 2
0 0 2 0 0 0.5 -5 0.5 0 0 2 0
0 2 0 0 0.5 -5 0.5 0 0 2 0 0
2 0 0 0 -5 0.5 0 0 2 0 0 0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
-198
-198
-48
0
-48
-48
-36
-36
-12
0
0
150

8. • finalmente resolviendo se tiene
•
•
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
106.907
50.286
36.2009
32.60257
120.611
53.080
37.370
33.264
106.350
50.125
35.637
32.526