El documento presenta una breve historia de varios conceptos matemáticos como la radicación, la potenciación y la factorización. Explica que la raíz cuadrada fue introducida en 1525 y que resolver ecuaciones por radicales llevó a avances importantes. También describe que los babilonios y griegos usaban la potenciación y que la factorización se desarrolló en el Renacimiento italiano con trabajos de Cardano y Tartaglia. Finalmente, proporciona algunas propiedades y usos de estos conceptos.

1. 2
RADICACIÓN
HISTORIA
De hecho, el símbolo de la raíz cuadrada fue
introducido en 1525 por el matemático alemán
Christoph Rudolff. Saber si una ecuación se podía
resolver o no por radicales (con raíces cuadradas o de
orden superior) llevó a una de las historias más
apasionantes de las matemáticas.
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POTENCIACIÓN
HISTORIA
La potenciación era conocida ya desde la antigüedad,
los babilonios utilizaban la elevación a potencia como
auxiliar de la multiplicación. Los griegos por su parte
tenían predilección por los cuadrados y los cubos. La
potenciación es el producto de varios factores iguales.
Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se
repite y en la parte superior derecha del mismo se
coloca el número de veces que se multiplica.
La potenciación nos sirve para simplificar
números

2. PRECURSOR
Se considera que Arquímedes fue uno de los
matemáticos más grandes de la antigüedad y,
en general, de toda la historia. Usó el método
exhaustivo para calcular el área bajo el arco de
una parábola con el sumatorio de una serie
infinita, y dio una aproximación
extremadamente precisa del número pi.
Su frase era
Aquellos que pretenden descubrirlo todo pero no
encuentran pruebas pueden ser considerados
como que en realidad pretendieron descubrir lo
imposible.
PROPIEDADES
Multiplicación repetida o suma potenciada. Si
dos bases iguales con potencias se multiplican,
las potencias se suman y si dos bases iguales
con potencias se dividen, las potencias se restan.
Si una base con potencia se eleva a otra
potencia, las potencias se multiplican.

3. ¿QUE ES Y PARA QUE SIRVE?
La factorización es una técnica que consiste en la
descomposición de una expresión matemática, en forma
de producto. El teorema fundamental del álgebra se
puede establecer como: Todo polinomio de grado n con
coeficientes de número complejo se divide por completo
en factores lineales n.
PRECURSOR
Euclides fue un matemático histórico que escribió los
Elementos y otras obras atribuidas a él. Euclides fue el
líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en
Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las
obras completas de Euclides, incluso firmando los
libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
SIRVE PARA
La radicación es una operación que permite
solucionar diversos problemas de matemáticas
en los que inter- vienen potencias. En las
matemáticas básicas, en diversas situaciones, se
requiere encontrar la raíz cuadrada o cúbica,
entre otras, de números positivos.
PRECURSOR
Christoph Rudolff (nacido en 1499 en Jawor,
Región de Silesia; fallecido en 1545 en
Viena) fue el autor del primer libro alemán de
álgebra.

4. PROPIEDADES
Una vez que ya sabemos qué es la radicación, vamos a
ver cuáles son sus propiedades:
1. Se resuelve encontrando el número que, multiplicado
por sí mismo el número de veces que dice el índice, da
el radicando. Por eso, ∛8 = 2, ya que 2 x 2 x 2 = 8.
2. El radicando puede ser negativo en los radicales con
índice impar, pero no en los radicales con índice par.
Así pues, ∛-27 = -3, pero √-9 no tiene solución.
3. El resultado o raíz de los radicales con índice par, se
debe dar con una doble solución, pues puede ser
negativo o positivo. Pensemos que, por ejemplo √25
puede resolverse tanto multiplicando 5 x 5 como
multiplicando (-5) x (-5). De este modo, la respuesta
a √25 es ±5 o, lo que es lo mismo, 5 y -5.
4. La multiplicación de dos radicales con el mismo índice
se realiza multiplicando los radicandos y
manteniendo el índice. Por ejemplo: √3 * √8 = √24.
Otro ejemplo sería: ∜9 * ∜2 = ∜18.
5. Lo mismo sucede con las divisiones, si tienen el mismo
índice, se dividen los radicandos: (√12)/(√4) = √3.
Otro ejemplo podría ser (∜25) / (∜5) = ∜5.
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FACTORIZACIÓN
HISTORIA
El desarrollo moderno de la factorización se inicia
en el Renacimiento Ita- liano, hacia el a˜no 1545,
con la publicación del Ars Magna de Girolamo
Cardano (1501-1576) en el cual se muestran las
soluciones para la ecuación cúbica y cuártica,
desarrolladas por Nicolo Fontana Tartaglia
(1500-1557),

5. Trinomio adición y
sustracción - Caso 5
Algunos trinomios cuyo primer y tercer término
son cuadrados perfectos (es decir, tienen raíces
cuadradas exactas), pueden ser transformado
como trinomio cuadrados perfectos.
En este caso se utiliza la técnica de completar
cuadrados, en la que sumamos y restamos el
doble del producto del primer y segundo
término. Luego de ello, procedemos a efectuar
una diferencia de cuadrados y listo.
Ejemplo de trinomio por adición y sustracción:
10 CASOS DE LA FACTORIZACIÓN
Factor Común - Caso 1
El factor común de un se aplica cuando, en un
polinomio, encontramos un término recurrente, que
puede ser un número o una letra.
Si hay un factor común en un polinomio, entonces este
polinomio será igual al factor común multiplicado por
el polinomio por el cual cada elemento fue dividido por
este elemento repetitivo.
Aplicar el factor común significa tomar tanto letras
(literales) como números (coeficientes) comunes, en el
caso de las letras se toma la letra con el menor
exponente. Y para los números, simplemente será
MCD (máximo común divisor), es decir, el mayor
número que los puede dividir a todos.
Ejemplo de factor común:

6. Agrupación por términos
semejantes - Caso 2
El objetivo de este caso es encontrar el factor
común en los términos que vamos a asociar,
luego aplicar el factor común nuevamente y
finalmente expresar el polinomio en factores.
Para lo anterior, será importante agrupar
términos con coeficientes comunes en paréntesis
desde el principio.
Ejemplo de agrupación de términos semejantes:
Trinomio Cuadrado
perfecto - Caso 3
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado
de multiplicar el binomio por sí mismo o por su
cuadrado. Por ejemplo, (x + 2)2 = (x + 2) (x
+ 2) = x2 + 4x + 4.
Para trabajar un trinomio cuadrado perfecto,
siempre se deben utilizar las siguientes
fórmulas, según corresponda:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a+b) = (a+b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a+b) = (a-b)2
Diferencia de Cuadrados
perfectos - Caso 4
En este caso, hay una diferencia entre los dos
términos, donde cada término tiene una raíz
cuadrada específica. Para resolver cualquier
ejercicio de este tipo, nos basamos en la siguiente
fórmula:
a2 – b2 = (a+b) (a-b)

7. Suma o diferencia de cubos
perfectos - Caso 9
En este caso, utilizaremos las siguientes
fórmulas generales que se diferencian por su
signo:
a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
Cuando tenemos la suma o la diferencia de
cubos, calcular la raíz cúbica de cada término y
luego aplicar la fórmula general anterior, sigue
siendo la mejor opción para operar este caso.
Suma o diferencia de dos
potencias iguales - Caso 10
A menudo encontramos sumas o restas de términos a
la quinta potencia, la séptima potencia u otras raíces
impares. Es aquí cuando este caso se hace efectivo y la
forma de operar es la siguiente:
 Inicia abriendo un par de corchetes.
 En el primer paréntesis, saca la raíz de ambos
términos y que tome el signo inicial de los mismo.
Factorización Trinomio de la
forma x²+bx+c - Caso 6
Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:
 El coeficiente del primer término es 1.
 La variable del segundo término es la misma que
la del primero, excepto que su exponente es la
mitad.
 El tercer término es independiente del literal de los
términos primero y segundo.
A continuación, veremos cómo se trata este caso de la
forma más práctica posible.

8. Factorización Trinomio de
la forma ax²+bx+c - Caso
7
Este caso es ligeramente diferente al anterior
porque la primera posición precede a un número
distinto de 1 y debe ser positiva.
Trabajaremos con este trinomio de la siguiente
manera:
- Multiplicamos el coeficiente a del término
(ax2) por cada término y dejamos expresada
la multiplicación del término bx o término medio
por a.
- Descomponemos el trinomio en dos binomios,
donde el primer término será la raíz del primer
término una vez multiplicado por a.
- Dividimos todo por a, para no cambiar el
trinomio.
- Colocamos los signos de los binomios, de
manera que el primer binomio tendrá el signo
del término bx y el segundo binomio su signo lo
establecerá la multiplicación de los signos de
términos bx y c.
Cubo perfecto de binomio -
Caso 8
Para este caso nos basaremos en las siguientes
fórmulas generales:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Antes de ejecutar y aplicar las fórmulas
anteriores, es importante que logremos reconocer
un cubo perfecto:
 Los términos primero y cuarto tienen una
raíz cúbica.
 Incluye sólo cuatro términos.
 Todos sus signos son positivos o
alternos (+, -, +, -).
 Están ordenados a partir de una letra y su
exponente decrece a medida que
avanzas hacia la derecha.

9.  En el segundo paréntesis, pon el polinomio
de tal forma que el primer término decrece
y el segundo término crece en cuanto a sus
exponentes.
 Si es una suma, entonces el polinomio tiene
signos intercalados en el segundo
paréntesis (-, +, -, ...) y si es una resta,
entonces el polinomio tiene signos positivos
en su totalidad en el segundo paréntesis.