Este documento presenta una unidad sobre matemáticas para profesores y estudiantes de licenciatura en ciencias naturales. La unidad cubre varios temas matemáticos incluyendo fracciones algebraicas, exponentes y radicales, ecuaciones y desigualdades, funciones logarítmicas, el binomio de Newton, pares ordenados y el producto cartesiano, relaciones y funciones, funciones algebraicas e inversas, y funciones trascendentes. El documento es parte de un curso en la Universidad Pedagógica de El Salvador.

1. Universidad Pedagógica de El Salvador
Facultad de Educación
Escuela de Ciencias Naturales y Exactas
Asignatura:
Bases para el estudio de las Ciencias Naturales
Unidad 3
“Matemática: Lenguaje y herramienta de las Ciencias
Naturales”
Docente:
Lic. Juan Carlos Pérez Majano
Para Profesorado y Licenciatura en Ciencias Naturales

2. 1.1 Fracciones Algebraica
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que el numerador
y denominador son polinomios; o son expresiones literales que representan
el cociente entre dos expresiones algebraicas y se representa con la siguiente
formula general:
Se operan del mismo modo que las fracciones ordinarias. Son frecuentes los
errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Suma y resta: la suma y la resta de fracciones algebraicas es semejante a la
de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma y resta de
fracciones algebraicas con denominadores iguales y, luego, extenderemos el
análisis a la suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores
distintos.
Veamos: Dos formas de realizar adición puede ser en denominadores iguales
y diferentes:
Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es
una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores, y cuyo
denominador es el denominador común.
Ejemplo:
Ejemplo=
Sacar el m.c.d

3. Multiplicación de fracciones: el producto de las fracciones ; se define
de la siguiente manera ; es así que el producto de dos facciones es
una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y cuyo
denominador lo es de los denominadores.
Ejemplo: Encontrar el producto
División de fracciones: de la división de fracciones tenemos que
el resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en
una multiplicación.
Ejemplo: simplificar

4. 1.2 Exponentes y radicales
Cuando se tiene 2 . 2 . 2 . 2, esto es, cuatro factores de 2, se emplea la
notación 24, la cual se lee, “dos a la potencia de cuatro”, o bien “dos a la
cuarta potencia”.
Del mismo modo, a . a . a . a . a = a5 significa cinco factores de a. El numero a
se llama base y el 5, exponente. Cuando no hay este ultimo, como en x, se
supone siempre x a la potencia 1.
Nótese la diferencia entre:
Obsérvese también que mientras que
2a3 = 2(a . a . a)
(2a)3 = (2a) (2a)(2a)
= (2 . 2 . 2)(a. a . a)
= 23a3 = 8a3
Ejemplos:
1. 7a.a.a.a = 7a4
2. –(-3)(-3)(-3)(-3) = -(-3)4
Las reglas de los exponentes basados en teoremas:
1.
2.

5. 3.
4. (mayor que)
4.1
4.2 (menor que)
5.
Exponente cero y exponente negativo:
a m-n = 1, o bien a0=1
Por consiguiente, se define que si Cuando a = 0, se tiene 00, lo
cual es indeterminado.
De acuerdo a esta definición, puede demostrarse que los teoremas
anteriores para exponentes son validos cuando se presenta un exponente
cero.
Ejemplo:
1. 20=1
2. (-20)0=1
3. (a2b3)0=1
Exponentes fraccionarios positivos: para los exponentes fraccionarios
positivos, se debe tener la siguiente definición:
Radicales: la raíz n-ésima de un numero real a se denota por el símbolo ,
el cual se llama radical. La raíz n-ésima de a es un numero cuya potencia n-
ésima es a; esto es,

6. 1.
2.
El numero natural n presente en el radical se llama índice u orden del
radical, y a se denomina radicando. Cuando no se escribe ningún índice,
como en , se sobrentiende que el índice es 2 y se lee “raíz cuadrada de a”.
Si el índice es 3, como en , se lee “raíz cubica de a”.
Ejemplo:
1.
2.
3.
4.
Cuando se tiene de la forma siempre que
Ejemplo:
1.
2.
3.
Cuando el valor de un radical es un número racional, se dice que es una raíz
perfecta. Puesto que , un radical es raíz perfecta si el radicando
se puede expresar como un producto de factores, cada uno de los cuales con
un exponente que sea un múltiplo entero del índice del radical.
Ejemplo: 1. 2.

7. 1.3 Ecuaciones y Desigualdades
Para resolver ecuaciones de primer grado o lineales con una variable, es
decir, para resolver cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma:
Donde a y b son constantes reales y x es una variable. El conjunto de
soluciónpara una ecuación se define como el conjunto de elementos
pertenecientes al conjunto de las sustituciones que hacen de la ecuación una
proposición verdadera. Cualquier elemento del conjunto de soluciones se
denomina solución o raíz de la ecuación. Resolver una ecuación es encontrar
el conjunto de solución para esta.
Ejemplo cual es el conjunto de solución para la ecuación: la
solución es {2,-2}.
Ejemplo 1: Resuélvase
El conjunto solución para esta última ecuación es obvio. Conjunto solución
{4}.
Comprobación:

8. Se llama conjunto solución de una desigualdad al conjunto formado por
aquellos números reales que hacen verdadera la desigualdad.
Existen casos de desigualdades como lineales y cuadráticas a continuación
veremos algunos ejemplos.
Ejemplo de desigualdad lineal: Encontrar el conjunto solución de
Ejemplo de desigualdad cuadrática: Encontrar el conjunto solución de
Este es un binomio al cuadrado de la forma:
Se multiplica por ½ por que todos los términos son divisibles entre dos.
Cuando X va ser igual a cero; x=2 y X=-1 y verificamos que se cumple la
propiedad.

9. 1.4 Funciones Logarítmicas
En general se define la función logarítmica de base b como la inversa de la
función exponencial con base
El logaritmo de base b de x es la potencia a la cual debe elevarse b para
obtener x.
1. De las formas algorítmicas a las exponenciales y viceversa
Ejemplos:
Por definición de logaritmo para despejar x tenemos
que bajarla del exponente esto se logra aplicando logaritmo a ambos lados
de la ecuación entonces tenemos: ; despejando ,
utilizando la calculadora aplicamos log 8 entre log 2 dará como resultado 3.
Entonces
Propiedades de las funciones logarítmicas:
Si b, M, y N son números reales positivos, b ≠ 1 y p es un número real,
entonces:
1.
2.
3.
4.
5.

10. Ejemplos de las propiedades:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

11. 1.5 Binomio de newton
El binomio de Newton es la fórmula que nos permite elevar a cualquier
potencia de exponente natural, n, un binomio. O sea la forma de obtener
, entonces la respuesta es la siguiente:
Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de .
El cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta son
sólo los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia.
Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o
menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo",
es decir:
Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce
como "Binomio de Newton".
Precisamente los coeficientes son los números de la fila enésima del
Triángulo de Tartaglia:

12. Ejemplo:

13. 1.6 Par ordenado y producto cartesiano
Par ordenado: En un sistema de coordenadas cartesianas, dos rectas
numéricas perpendiculares, llamadas de ejes, se intercambia se intersectan
en un punto llamado origen. El eje horizontal se llama eje de x y el eje
vertical, eje de y. Estos dos ejes permiten nombrar cada punto por medio de
un par ordenado de números llamados coordenadas del punto.
Las coordenadas del origen son . Las coordenadas del punto son
y las coordenadas del punto son . La del
punto es 3 y la del punto es -4.
Ejemplo:
Dar las coordenadas de los puntos A, B y C.

14. Ejercicio 1
En el papel milimetrado representar de acuerdo a la grafica las coordenadas
de los puntos D, E, F, G, K, J y I.
Ejercicio 2
En el papel milimetrado representar los puntos .
Ejercicio 3

15. Producto cartesiano: una pareja ordenada con primer elemento y segundo
elemento la denotamos por . El producto cartesiano de dos conjuntos
es el conjunto de todas las parejas ordenadas que tiene su primer
elemento en y su segundo elemento ; es decir:
Donde la igualdad entre parejas se define como:
Observaciones:
1. En general, Por ejemplo, ya que
2. La igualdad se cumple solo si
3.
4. En general,
Ejemplo:
1. Encontrar
2. Describir el conjunto

16. Ejercicios:
1. Si , localizar en el plano cartesiano los
elementos del producto
2. Si , encuentra:
a.
b.
3. Localiza en el plano los elementos de los conjuntos que se indican,
tomando en cuenta que:
1.7 Relaciones y funciones
Se llama relación del conjunto en el conjunto , a todo subconjunto del
producto cartesiano .
Ejemplo: Para los conjuntos
Relaciones de A en B son:
1.
2.
3.
Dominio: es el conjunto de las primeras componentes de una relación
R se llama DOMINIO de R.

17. Recorrido: es el conjunto de las segundas componentes de R se llama
RECORRIDO o rango de R.
Si la relación R es un subconjunto del producto cartesiano A x A entonces se
dice que R es una relación en A.
Ejemplo:
Dado el conjunto de los números dígitos, . Encontrar el
Dominio, Recorrido y graficar la relación.
Se le llama función a toda relación que cumple con la condición de que: a
cada valor “x” del dominio le hace corresponder un solo valor “y” del
recorrido.
La notación que se emplea para designar las funciones es la siguiente:
En este caso y .
A la igualdad se le llama ley de asignación. E indica la manera en
que están ligadas la variable independiente y dependiente.
Ejemplo:
Una función como se expresa mas
sencillamente escribiendo únicamente su ley de asignación. Lo cual puede
hacerse de las dos maneras siguientes:

18. Ejemplo: De la función sacar raíz cuadrada
Dad la función , encontrar:
Dominio: se llama dominio de una función al conjunto de todos los valores
que puede tomar la variable independiente:
Recorrido: se llama recorrido o rango de una función al conjunto de todos los
valores que toma la variable dependiente.
Nota: cuando no se indique otra cosa deberemos entender que el dominio
estará constituido por el conjunto mas amplio para el cual la ley de
asignación , tenga sentido.
Ejemplo: determinar el dominio y el recorrido de la función .
1.8 Funciones algebraicas
Para la función polinómica ; se
llama polinómica o polinomial de grado n, si los coeficientes
son números reales y los exponentes de la variable x, son enteros no
negativos.
Ejemplo 1: , es una función polinomial de grado 5.
La función polinomial da origen, de acuerdo a su grado, a varias funciones
especiales.
1. Si el grado de una función polinomial es cero, entonces a la función se
le llama constante y es de la forma

19. Ejemplo 2:
Graficar la función constante
El dominio de esta función constante es R y el recorrido es {4}.
2. Si el grado de una función polinomial es uno, entonces a la función se
le llama función lineal y es de la forma
Ejemplo 3:
Graficar la función lineal
3. Si el grado de la función polinomial es dos, entonces se conoce con el
nombre de función cuadrática y es de la forma
Ejemplo 4:
Graficar la función cuadrática
4. Si el grado de la función polinomial es tres, entonces se conoce con el
nombre de función cubica y es de la forma.
Ejemplo 5:
Graficar la función cubica
1.9 Funciones Inversas
La operación inversa de la suma es la resta, de la multiplicación es la división;
mientras que la operación inversa de la elevación a potencias es la extracción
de raíces. En suma, lo que una operación hace, su operación inversa lo
deshace.

20. De la misma manera, la función inversa de , la cual se denota como , es
aquella función que deshace todo lo que hace.
Ejemplo 1:
La función . A partir de la x del dominio hace lo siguiente:
Paso 1. Multiplica por 3 3x
Paso 2. Suma 4
Entonces la funcion inversa se obtiene invirtiendo el orden de lospasos y
empleando en cada caso no la operación original, si no que su inversa, así
Paso 1. Resta 4
Paso 2: divide entre 3
Por lo tanto
Debemos tener en cuenta que si la funcion va de hacia , entonces la
funcion inversa viene de hacia .
Una manera mas practica de obtener la funcion inversa es la siguiente:
1. Se verifica que sea uno a uno (que dos elementos del dominio no
deben tener la misma imagen)
2. Se sustituye por
3. Se despeja
Ejemplo 2. Encontrar la iversa de la funcion
1. Se sustituye x por (x) y f(x) por x
2. Se despeja

21. 1.10 Funciones Transcendentes
Las funciones que se vieron anteriormente han sido algebraicas; por que se
definen haciendo uso de variables y de las operaciones de suma, resta,
multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces; por
ejemplo .
Se llaman funciones transcendentes las que no pueden ser definidas
solamente en base a operaciones algebraicas. Las principales funciones
transcendentes son: exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
1.10.1 Funciones Exponencial
La función exponencial describe crecimiento o decrecimientos acelerados y
tiene múltiples aplicaciones en campos tan diversos como biología, química,
economía, física, demografía, etc.
Supongamos que un biólogo se encuentra analizando un cultivo de 100
bacterias y que el numero de estas se duplica cada 24 horas. De tal manera
que el segundo día habrá 2(100) bacterias, el tercero 22(100),…, y así
sucesivamente el n-ésimo día habrá 2n-1(100) bacterias; pero como el numero
de bacterias no se duplica de manera brusca, cada 24 horas, si no que crece
cada hora, minuto o segundo, entonces una mejor manera de escribir el
numero de bacterias que habrá después de transcurrir un periodo x de
tiempo es 2x (100).
La función , se llama función exponencial
de base a.
Ejemplos de funciones exponenciales:
1.
2.

22. 3.
La base debe de ser positiva; pero diferente de uno.
Ejemplo:
1. Graficar la función exponencial .
Se trata de una función exponencial d base 2.
Ejercicio 1:
Graficar la función exponencial
Ejercicio 2:Base 10
El sistema de numeración que nosotros utilizamos en la vida cotidiana es el
que tiene como base el numero 10.
La función exponencial de base diez es
Ejercicio 3: Base e
Un número que frecuentemente sirve de base en el caso de funciones
exponenciales, es el que se reconoce como numero e y cuyo valor es
aproximadamente igual a 2.7182818.
El numero e es irracional transcendente. Es un número tan importante como
el número , aparece en múltiples aplicaciones matemáticas.
Es tan importante esta base que incluso tiene asignada una tecla en las
calculadoras de bolsillo. La función exponencial en este caso es .

23. 1.10.2 Funciones Logarítmicas
Actualmente la utilidad de los logaritmos es otra, puesto que ahora los
cálculos se simplifican haciendo uso de calculadoras de bolsillo.
El creador de los logaritmos fue el religiosos escoces John Napier, que nació
en el siglo 16.
Recordando de la forma exponencial y logarítmica:
Ejemplo:
Como la función exponencial .
Ejemplo:
Graficar la función logarítmica de
1.10.3 Funciones Trigonométricas. Solución de triángulos
Consideremos un triangulo rectángulo
Los lados que forman el ángulo recto se llaman “catetos”. El otro lado, que es
el opuesto al ángulo recto, se llama “hipotensa”.

24. El siguiente teorema relaciona a los lados de un triangulo rectángulo.
En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma
de los cuadrados de los catetos a y b.
Teorema de Pitágoras
Así en el triángulo de la figura de la figura tendremos:
De donde podemos obtener:
Ejemplo 1:
Si los catetos de un triangulo rectángulo miden 7 y 6 centímetros, calcular la
longitud de la hipotenusa.
Ejercicio 1:
Si la hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 5m y un cateto mide 3m,
¿Cuál es la longitud del otro cateto?

25. Funciones trigonométrica para un ángulo cualquiera
Para definir las funciones trigonométricas nos referimos a la siguiente figura.
En el cual observamos el triangulo rectángulo
p
d
Donde
0
Definición:
Sea el un ángulo colocado en posición normal y sea un punto
cualquiera, distinto del origen 0, que este ubicado sobre el lado terminal de
.
Siendo la distancia (positiva) desde 0 hasta , entonces las funciones
trigonométricas “seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante”
del ángulo , denotadas por
respectivamente se definen así:

26. Ejemplo 2:
Calcular las funciones trigonométricas del ángulo colocado en posición
normal, cuyo lado terminal pasa por el punto .
Ejercicio 2:
Calcular las funciones trigonométricas del ángulo colocado en posición
normal, cuyo lado terminal pasa por el punto
Funciones trigonométrica de un ángulo agudo
Podemos usar triángulos rectángulos para calcular las funciones
trigonométricas de sus ángulos agudos. Lo que hacemos es asociar los lados
del triangulo a las cantidades x, y, d de la definición anterior, como se explica
a continuación.
Para

27. Sea un ángulo positivo, agudo, colocado en posición normal.
Entonces cae en el primer cuadrante, y al adoptar la simbología de la figura
anterior, las funciones trigonométricas pueden obtenerse así:
Ejemplo 3:
Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delánguloαdel
triangulo rectángulo mostrado en la figura.
a = 10cm
90°
b = 5cm
c
α
Ejercicio 3:
Encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo β del
triangulo rectángulo mostrado en la figura anterior.
a = 10cm
β 90°
b = 5cm
c

28. Bibliografía:
1. O´ Daffer, Introducción al algebra, primera edición, 1998, por Prentice
Hall, impreso en México.
2. A. Barnett Raymond, Algebra y trigonometría, tercera edición, 1988,
por Mc Graw Hill, impreso en México.
3. H. Carrillo Lam, Algebra, segunda edición, 2003, por Pearson
Educación, impreso en México.
4. G. Alonso, Algebra elemental, primera edición, 1990, por Grupo
Editorial Iberoamericana. Impreso en México.
5. L. Raúl, Matemática: Primer año de bachillerato, 2004, por Talleres
Gráficos UCA.
6. M. Willian, N. Gloria Galo, Matemática básica Pre-Universitaria, 2001,
por talleres Gráficos UCA.